體檢中的排隊(duì)論建模論文

1、體檢中的排隊(duì)論摘要一個(gè)好的體檢排隊(duì)方案不僅可以提高體檢中心的體檢效率和儀器的使用率， 還可為體檢者節(jié)約時(shí)間和費(fèi)用。本文利用數(shù)學(xué)建模的方法，根據(jù)排隊(duì)論知識建立 體檢中心排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通過 MATLAB件求解。對于問題一、二對一個(gè)新來的顧客要體檢，他通過取票進(jìn)隊(duì)、排隊(duì)等待、叫號服務(wù)等功能，通過分析發(fā)現(xiàn)體檢隊(duì)的隊(duì)長是隨機(jī)的， 體檢所等待的時(shí)間是隨機(jī)的，服務(wù)臺(tái)是否 忙碌也是隨機(jī)的。本文我們主要研究隊(duì)長的分布和等待時(shí)間的分布及忙碌期的分 布狀況。最終以達(dá)到顧客可以最短時(shí)間通過所有體檢，即以最優(yōu)化方案得到最接近的方法。我們采用排隊(duì)規(guī)則中等待制的先到先服務(wù)方法求出隊(duì)列的隊(duì)長、等待時(shí)間、 服務(wù)窗口的忙碌

2、狀態(tài)，服務(wù)規(guī)則是先到先服務(wù)以泊松分布方法建模型。 最后問題 二引用一組數(shù)據(jù)通過極大似然法驗(yàn)證問題一結(jié)論的真實(shí)性。1、平均排隊(duì)等待的隊(duì)長pn+lLq1 P0n -1 ! n-2、系統(tǒng)隊(duì)長(或系統(tǒng)中平均顧客數(shù))的均值Ls 二 Lq L服二 Lq ： 12 F0 ： 1(n_1)!(n _巳)pn卅LS = Lq ' 1服=Lq 2 P0 ' ：1(n-1 )!(n_P1 )3、顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均等待時(shí)間L,7Poq- 1 =門 2丸 un!（n -片）對于問題三分析可知：對于在服務(wù)窗口忙碌情況下，則團(tuán)隊(duì)人數(shù)N與可服務(wù)窗口 n數(shù)量是不確定，因此我們需要分為三種情況來討論。第一種情況：團(tuán)

3、隊(duì)人數(shù) <=服務(wù)窗口數(shù)并在排隊(duì)規(guī)則等待制中的優(yōu)先權(quán)服務(wù) 情況下。第二種情況：團(tuán)隊(duì)人數(shù) <=服務(wù)窗口數(shù)并在排隊(duì)規(guī)則等待制中的先到先服務(wù) 的情況下。第三種情況：團(tuán)隊(duì)人數(shù) >服務(wù)窗口數(shù)并在排隊(duì)規(guī)則等待制中的先到先服務(wù)情 況下。關(guān)鍵字：排隊(duì)論 泊松分布 負(fù)指數(shù)分布極大似然法 最優(yōu)化方案一、問題重述某城市的體檢中心每天有許多人前去體檢， 全部體檢項(xiàng)目包括：抽血、內(nèi)科、 外科、B超、五官科、胸透、身高、體重、等等。每個(gè)人的體檢項(xiàng)目可能各不 相同，假設(shè)每個(gè)體檢項(xiàng)目的服務(wù)時(shí)間是確定的， 并且只有1個(gè)醫(yī)生值班，每次只 能為1個(gè)客戶服務(wù)。為提高設(shè)備利用率、降低客人的等待時(shí)間，中心請你幫助完 成如

4、下任務(wù)：(1) 為某個(gè)新來的客人安排他的體檢順序，使其完成需要的全部檢查的時(shí)間 盡量少(在各個(gè)體檢項(xiàng)目處都可能有人排隊(duì)等待)；(2) 設(shè)計(jì)1組數(shù)據(jù)來驗(yàn)證上述結(jié)論。(3) 接待團(tuán)體客人時(shí)，如何安排每個(gè)人的體檢順序，使得體檢中心能盡快完 成任務(wù)，設(shè)計(jì)1組數(shù)據(jù)來驗(yàn)證該結(jié)論。二、問題分析問題一每個(gè)體檢項(xiàng)目的服務(wù)時(shí)間是確定的，并且只有 1個(gè)醫(yī)生值班，每次只能為1 個(gè)客戶服務(wù)。經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)顧客要體檢，他通過取票進(jìn)隊(duì)、排隊(duì)等待、叫號服務(wù) 等功能，對他而言體檢的隊(duì)長是隨機(jī)的， 體檢所等待的時(shí)間是隨機(jī)的，服務(wù)臺(tái)是 否忙碌也是隨機(jī)的。本文我們主要研究隊(duì)長的分布和等待時(shí)間的分布及忙碌期的 分布狀況。最終盡可能使顧客

5、可以最短時(shí)間通過所有體檢， 即以最優(yōu)化方案得到 最接近的方法，服務(wù)規(guī)則是先到先服務(wù)，以泊松分布方法建模型。顧客到達(dá)體檢中心排隊(duì)流程示意圖圖1排隊(duì)模型框圖15由排隊(duì)論中M/M/1模型中假設(shè)顧客到達(dá)時(shí)間間隔從參數(shù)為 入的泊松分布， 顧客的服務(wù)時(shí)間為固定值t，至V達(dá)時(shí)間與服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的，且有 n個(gè)服務(wù)臺(tái)，若顧客到達(dá)時(shí)服務(wù)窗全部處于忙的狀態(tài)，則進(jìn)行等待。1. 平均排隊(duì)等待的隊(duì)長Lq1Po2. 平均忙著的服務(wù)窗個(gè)數(shù)L 服=p 13. 系統(tǒng)隊(duì)長(或系統(tǒng)中平均顧客數(shù))的均值Ls = Lq - L服=Lq 1 =4. 顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均等待時(shí)間Lq_Wq:T1 Po un! n -首先，我們用極大似然估計(jì)

6、法來估計(jì)泊松分布中報(bào)還的未知參數(shù)。設(shè)總體X服從泊松分布P X =k =e',k =0,1,2k!得參數(shù)入的極大似然估計(jì)量為:A -=x問題二問題二是在問題一的基礎(chǔ)上研究的，所以我們用一組數(shù)據(jù)通過極大似然法來 驗(yàn)證其是否正確。因?yàn)槊總€(gè)體檢項(xiàng)目中只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)并只為顧客服務(wù)，故系統(tǒng)只有兩種可能的狀態(tài)：0服務(wù)臺(tái)空閑；1服務(wù)臺(tái)正在為顧客服務(wù)圖2服務(wù)系統(tǒng)流程圖說明：表示一個(gè)顧客進(jìn)入體檢時(shí)，服務(wù)系統(tǒng)就從狀態(tài)“ 0”以變換到狀態(tài)“1”。當(dāng) 體檢的一個(gè)項(xiàng)目完畢，顧客離開系統(tǒng)，系統(tǒng)從狀態(tài)“ T以服務(wù)速率 卩變到狀態(tài) “0”。把“輸入=輸出”看作系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)，即:4二即1又因?yàn)镻0 + P1 =1故：P0

7、=卩 / (-卩)（閑著概率）P1 二.()（忙著概率）冋題三根據(jù)三種不同的狀態(tài)做出以下的討論：第一種情況：團(tuán)隊(duì)人數(shù) <=服務(wù)窗口并在排隊(duì)規(guī)則等待制中的優(yōu)先權(quán)服務(wù)情 況下。第二種情況：團(tuán)隊(duì)人數(shù) <=服務(wù)窗口并在排隊(duì)規(guī)則等待制中的先到先服務(wù)的 情況下。第三種情況：團(tuán)隊(duì)人數(shù) >服務(wù)窗口并在排隊(duì)規(guī)則等待制中的先到先服務(wù)情況 下。模型的假設(shè)1. 假設(shè)顧客到達(dá)服務(wù)臺(tái)后一切均正常進(jìn)行（服務(wù)人員、顧客狀態(tài)均良好，且儀 器無故障出現(xiàn)），沒有突發(fā)情況出現(xiàn)。2. 在本次建模不做出特殊要求的情況下以先到先服務(wù)為前提。3. 從一個(gè)項(xiàng)目到另一個(gè)項(xiàng)目的時(shí)間忽略不計(jì)。四、 符號說明表1符號說明五、模型的建

8、立與求解參數(shù)參數(shù)解釋N項(xiàng)目個(gè)數(shù)t每個(gè)項(xiàng)目的服務(wù)時(shí)間L平均隊(duì)長，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻的所有顧客數(shù)的期望值Lq平均等待隊(duì)長，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻等待服務(wù)的顧客數(shù)的期望值W平均逗留時(shí)間，即（在任意時(shí)刻）進(jìn)入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時(shí)間的期望值Wq平均等待時(shí)間，即（在任意時(shí)刻）進(jìn)入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時(shí)間的期望值s系統(tǒng)中并聯(lián)服務(wù)臺(tái)的數(shù)目入平均到達(dá)率g平均服務(wù)率；N穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻的狀態(tài)（即系統(tǒng)中所有顧客數(shù)）U任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的逗留時(shí)間Q任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的等待時(shí)間問題一顧客到達(dá)圖3多服務(wù)窗口排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)顧客到達(dá)*服務(wù)臺(tái)服務(wù)完成后離去正在接服務(wù)的顧客數(shù)圖4單服務(wù)窗口系統(tǒng)問題一是為一個(gè)新來的顧客安排一個(gè)科學(xué)、

9、合理、快速的體檢順序，他面對 一個(gè)多服務(wù)窗口等待制排隊(duì)系統(tǒng)，我們從單服務(wù)系統(tǒng)分析，以單服務(wù)系統(tǒng)來求解 多服務(wù)系統(tǒng)，我們有如下的定理：定理1若X( t )表示時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)(隊(duì)長)，則X(t) ，t三0是狀 態(tài)空間E=0,1,2，且生率為：入=入 k ,k=0 ， 1,2,3 滅率為：k u k =0,1,2, 3n 卩 k= nu k =n +1 ,.的生滅過程。定理2若X (t )表示時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，設(shè)Pk = li X t = k則當(dāng)二<1時(shí)，系統(tǒng)可以達(dá)到穩(wěn)態(tài)，且有平穩(wěn)分布nuP)-n 4_k=0k!?n 1Lq對系統(tǒng)進(jìn)行分析，可計(jì)算出如下相應(yīng)的目標(biāo)參量：1、損失概率在等

10、待制中，因到達(dá)系統(tǒng)請求服務(wù)的顧客遲早會(huì)被服務(wù)窗服務(wù)，故:P損=02、系統(tǒng)的相對通過能力與絕對通過能力Q=1-P 損=1A=X Q=X3、平均排隊(duì)等待的隊(duì)長Lqz 2(n-1)( n-耳)P04、平均忙著的服務(wù)窗個(gè)數(shù)L 服=p 15、系統(tǒng)隊(duì)長(或系統(tǒng)中平均顧客數(shù))的均值八"Lq " n1!n.,?n 11 F °6顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均等待時(shí)間LqP：Wq*-2P0aun!（ n _ 叫）7、顧客在系統(tǒng)內(nèi)的逗留時(shí)間Ws 丄=wq -丸u8、來到系統(tǒng)的顧客必須排隊(duì)等待的概率nPnn _ 6系統(tǒng)的平穩(wěn)分特別的，當(dāng)n=1時(shí)（即單服務(wù)窗口等待制M/M/1排隊(duì)模型）， 布為kPk

11、= -1 - ?k>=0故相應(yīng)的目標(biāo)參量為：1. 服務(wù)臺(tái)空閑的概率Po=1-2. 系統(tǒng)額相對通過能力與絕對通過能力Q =1- P損=13. 平均排隊(duì)等待的隊(duì)長4. 平均忙著的服務(wù)窗口個(gè)數(shù)L服=p5. 系統(tǒng)隊(duì)長的均值Ls設(shè)總體 Xn邁xx1 !.x !首先，我們用極大似然估計(jì)法來估計(jì)泊松分布中報(bào)還的未知參數(shù) 服從泊松分布,kP X 二k e：k =0,1,2k!則參數(shù)入的似然函數(shù)為：nn ,勺Li：二 P X 二Xjeu= X !兩邊取對數(shù)得:nnln L - -n ' 人 1 n '； 一 In xi !7i 4得似然方程：dl nL1 nnx0d A/. i _i解得：

12、A1 n-Xj = xn入又可算得：d2l：H工X| 一0 d之'丸xx故得到參數(shù)入的極大似然估計(jì)量為:與顧客達(dá)到時(shí)間一樣，進(jìn)行 X2擬合檢驗(yàn)，同樣可驗(yàn)證：該體檢中心排隊(duì)系 統(tǒng)中體檢人員接受體檢的時(shí)間服務(wù)參數(shù)為 u的負(fù)指數(shù)分布。綜上所述，體檢排隊(duì)模型的假設(shè)是成立的。W總=N總、LN該顧客總共平均所花時(shí)間：Po結(jié)論：通過假設(shè)再論證可知在體檢中如果平均等待隊(duì)長Lq越小，則顧客體檢中所用時(shí)間就越少，即顧客在檢查完一項(xiàng)后，應(yīng)該選擇所有沒檢查項(xiàng)目中平均 隊(duì)長最短的隊(duì)列排隊(duì)檢查，且顧客到達(dá)該對列的平均到達(dá)率最低， 這是讓顧客以 最短時(shí)間體檢完的較好的方法。問題二：系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，對每個(gè)狀態(tài)來說，輸

13、入 =輸出。對于狀態(tài)n來說，有：-1 + Pn+1 =（皿+ Pn n對于狀態(tài)“ 0”，有：0 = H表2狀態(tài)從0到n的穩(wěn)定方程求解以上方程組可以得到：P 0 = 1-p0< P =/ 卩 <1P n =p n(1- p )n=0,1,2,即來到服務(wù)臺(tái)必須等待的概率為：C(n,p i)=n p n(1- p )/ n- p 1表3 Po和Lq的值n5678910Po(10-2)0.74491.14721.27311.31371.47972.0541Lq4.32530.94580.29710.10030.03770.0171MATLA畫出的圖形圖4顧客體檢時(shí)間圖狀態(tài)輸入輸出0uPl

14、=入 P01入 P°+uF2 = uP ! + up2nUPn+1 + 入 Pn-1= UP 汁入 Pl附Li ntv loalb*jr蚯沱 brvskLIK 4 linkei 訛巾la,fl 時(shí) idewT第待時(shí)間停留吋I屁圖5顧客等待與停留時(shí)間圖 由問題一得知：平均排隊(duì)等待的隊(duì)長：LqPo:T12(n 1)!(n 吒)平均隊(duì)長與到達(dá)率是存在一定聯(lián)系的， 要使顧客所化時(shí)間最少，則平均等待 隊(duì)長Lq和平均到達(dá)率入越小越好。因此驗(yàn)證了問題一的正確性。問題三：表4各個(gè)科室參數(shù)科室名稱內(nèi)科外科口腔科彩超（心臟）動(dòng)態(tài)心電圖胸透T（分）4.235.463.0210.032.246.12U （人

15、/時(shí)）14.18410.98919.8685.98226.7869.804nmln911620512n best912720514服務(wù)臺(tái)窗口數(shù)：n，團(tuán)隊(duì)人數(shù)：N假設(shè)一：團(tuán)隊(duì)享有優(yōu)先權(quán)服務(wù)，nv=N 服務(wù)臺(tái)窗口數(shù)門<=團(tuán)隊(duì)人數(shù)N,則每人分別排一個(gè)項(xiàng)目的隊(duì)，然后依次交替, 則團(tuán)隊(duì)所花時(shí)間：W團(tuán)=N*t此時(shí)所花時(shí)間最少假設(shè)二：團(tuán)隊(duì)采用等待制先來先服務(wù),n <=N 此時(shí)顧客群為連續(xù)到達(dá)，服務(wù)臺(tái)窗口數(shù) 門<=團(tuán)隊(duì)人數(shù)N,則每人分別排一個(gè)項(xiàng)目的隊(duì)，然后依次交替，則團(tuán)隊(duì)所花時(shí)間：P；W/團(tuán)=N*F0un!（n - 耳）假設(shè)三：團(tuán)隊(duì)采用等待制先來先服,n>N此時(shí)顧客群為連續(xù)到達(dá)，服務(wù)臺(tái)

16、窗口數(shù)n團(tuán)隊(duì)人數(shù)N,由于每個(gè)項(xiàng)目所花時(shí) 間是相同的，則由表三可知，每個(gè)體檢項(xiàng)目每小時(shí)所到達(dá)的人數(shù) 卩是不同的，所 以對于平均隊(duì)長最短的項(xiàng)目， 則安排超過 3個(gè)顧客排隊(duì)等待；平均隊(duì)長最長的項(xiàng) 目，則安排一個(gè)人排隊(duì)等候；居于中間區(qū)域的平均隊(duì)長，就安排23 個(gè)人排隊(duì)等待。每個(gè)項(xiàng)目均如此循環(huán)下午， 這樣既提高了服務(wù)臺(tái)儀器的利用率， 同時(shí)也降低 了顧客體檢需要等待的時(shí)間，醫(yī)生也可輕松、快速完成工作。六、模型的評價(jià)與推廣 優(yōu)點(diǎn)：我們用泊松分布法建立模型之后可以用極大似然法來驗(yàn)證器正確性， 并在問 2 中引入數(shù)據(jù)來論證，該模型是成立的，有比較好的理論依據(jù)；且抽象的概念用 圖形的方式展現(xiàn)，易于理解。缺點(diǎn)：體檢

17、中的突發(fā)情況很多， 且不容易控制， 所分析的與實(shí)際有一定的誤差， 參 考資料不太完善，對醫(yī)院的項(xiàng)目沒有過多的了解，有待于再次考量。推廣：本模型的排隊(duì)系統(tǒng)不僅可以用于體檢中心的排隊(duì)， 同樣可以考慮運(yùn)用在服務(wù) 行業(yè)的單位和機(jī)構(gòu)，如：銀行、鐵路局、電信、超市等。七、參考文獻(xiàn)1 汪曉銀, 周寶平， 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) , 科學(xué)出版社， 20102 宗容，施繼紅，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模 ，云板大學(xué)出版社， 20093 孟玉珂， 排隊(duì)論基礎(chǔ)及應(yīng)用 ，同濟(jì)大學(xué)出版社， 19894 楊連國，醫(yī)院智能排隊(duì)叫號系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) ，河南大學(xué)， 2005八、附錄MATLA 的數(shù)據(jù)clc%* %初始化顧客源%*%總仿真時(shí)間

18、 Total_time = 10;%隊(duì)列最大長度N = 10000000000;%到達(dá)率與服務(wù)率lambda = 10;mu = 6;%平均到達(dá)時(shí)間與平均服務(wù)時(shí)間arr_mean = 1/lambda; ser_mean = 1/mu;arr_num = round(Total_time*lambda*2); events = ;%按負(fù)指數(shù)分布產(chǎn)生各顧客達(dá)到時(shí)間間隔events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num); %各顧客的到達(dá)時(shí)刻等于時(shí)間間隔的累積和 events(1,:) = cumsum(events(1,:); %按負(fù)指數(shù)分布產(chǎn)生各顧客服務(wù)時(shí)間 eve

19、nts(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num); %計(jì)算仿真顧客個(gè)數(shù)，即到達(dá)時(shí)刻在仿真時(shí)間內(nèi)的顧客數(shù) len_sim = sum(events(1,:)<= Total_time); %* %計(jì)算第 1 個(gè)顧客的信息 %* %第 1 個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng)后直接接受服務(wù)，無需等待 events(3,1) = 0;%其離開時(shí)刻等于其到達(dá)時(shí)刻與服務(wù)時(shí)間之和 events(4,1) = events(1,1)+events(2,1); %其肯定被系統(tǒng)接納，此時(shí)系統(tǒng)內(nèi)共有%1 個(gè)顧客，故標(biāo)志位置 1events(5,1) = 1;%其進(jìn)入系統(tǒng)后，系統(tǒng)內(nèi)已有成員序號為 1 me

20、mber = 1;for i = 2:arr_num%如果第 i 個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間超過了仿真時(shí)間，則跳出循環(huán)if events(1,i)>Total_time break;elsenumber = sum(events(4,member) > events(1,i);%如果系統(tǒng)已滿，則系統(tǒng)拒絕第 i 個(gè)顧客，其標(biāo)志位置 0 if number >= N+1events(5,i) = 0;%如果系統(tǒng)為空，則第 i 個(gè)顧客直接接受服務(wù)elseif number = 0 %其等待時(shí)間為 0 %PROGRAMLANGUAGEPROGRAMLANGUAGE events(3,i) = 0;%其離開時(shí)刻等于到達(dá)時(shí)刻與服務(wù)時(shí)間之和events(4,i) = events(1,i)+events(2,i);%其標(biāo)志位置 1events(5,i) = 1;member = member,i;%如果系統(tǒng)有顧客正在接受服務(wù)，且系統(tǒng)等待隊(duì)列未滿，則第 i 個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng)else len_mem = length(membe