六年級(jí)奧數(shù)-第十一講.數(shù)論綜合(二).教師版

1、第十一講 數(shù)論綜合（二）教學(xué)目標(biāo)：1、 掌握質(zhì)數(shù)合數(shù)、完全平方數(shù)、位值原理、進(jìn)制問題的常見題型；2、 重點(diǎn)理解和掌握余數(shù)部分的相關(guān)問題，理解“將不熟悉轉(zhuǎn)化成熟悉”的數(shù)學(xué)思想例題精講：板塊一 質(zhì)數(shù)合數(shù)【例 1】 有三張卡片，它們上面各寫著數(shù)字1，2，3，從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列出來，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請你將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來1【解析】 抽一張卡片，可寫出一位數(shù)1，2，3；抽兩張卡片，可寫出兩位數(shù)12，13，21，23，31，32；抽三張卡片，可寫出三位數(shù)123，132，213，231，312，321，其中三位數(shù)的數(shù)字和均為6，都能被3整除，所以都是合數(shù)這些數(shù)中

2、，是質(zhì)數(shù)的有：2，3，13，23，31【例 2】 三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)1【解析】 設(shè)這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是、，滿足，則可知、中必有一個(gè)為11，不妨記為，那么，整理得(，又，對應(yīng)的、或、或、 (舍去，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)可能是2，11，13或3，7，11【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個(gè)數(shù)字都要用到并且只能用一次，那么這9個(gè)數(shù)字最多能組成多少個(gè)質(zhì)數(shù)？1【解析】 要使質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)最多，我們盡量組成一位的質(zhì)數(shù)，有2、3、5、7均為一位質(zhì)數(shù)，這樣還剩下1、4、6、8、9這5個(gè)不是質(zhì)數(shù)的數(shù)字未用有1、4、8、9可以組成質(zhì)數(shù)41、89，而6可以與7組

3、合成質(zhì)數(shù)67所以這9個(gè)數(shù)字最多可以組成6個(gè)質(zhì)數(shù)【例 4】 有兩個(gè)整數(shù)，它們的和恰好是兩個(gè)數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)求這兩個(gè)整數(shù)分別是多少？2【解析】 兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個(gè)，它們中的每個(gè)數(shù)都可以表示成兩個(gè)整數(shù)相加的形式，例如，共有16種形式，如果把每個(gè)數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個(gè)數(shù)的乘積是三個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了可以從乘積入手，因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每個(gè)數(shù)都是111的倍數(shù)，而，因此把這九個(gè)數(shù)表示成一個(gè)兩位數(shù)與一個(gè)一位

4、數(shù)或兩個(gè)兩位數(shù)相乘時(shí)，必有一個(gè)因數(shù)是37或37的倍數(shù)，但只能是37的2倍(想想為什么？3倍就不是兩位數(shù)了把九個(gè)三位數(shù)分解：、把兩個(gè)因數(shù)相加，只有(和(的兩位數(shù)字相同所以滿足題意的答案是74和3，37和18板塊二 余數(shù)問題【例 5】 (年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是，余數(shù)是，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為，則被除數(shù)是多少？1【解析】 被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)被除數(shù)除數(shù)+17+13=2113，所以被除數(shù)除數(shù)=2083，由于被除數(shù)是除數(shù)的17倍還多13，則由“和倍問題”可得：除數(shù)=(2083-13÷(17+1=115，所以被除數(shù)=2083-115=1968【例 6】 已知200

5、8被一些自然數(shù)去除，所得的余數(shù)都是10，那么這樣的自然數(shù)共有多少個(gè)？1【解析】 本題為一道余數(shù)與約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式的小綜合性題目由題意所求的自然數(shù)一定是2008-10即1998的約數(shù)，同時(shí)還要滿足大于10這個(gè)條件這樣題目就轉(zhuǎn)化為1998有多少個(gè)大于10的約數(shù)，共有(1+1×(3+1×(1+1=16個(gè)約數(shù)，其中1，2，3，6，9是比10小的約數(shù)，所以符合題目條件的自然數(shù)共有11個(gè)【例 7】 有一個(gè)整數(shù)，除39，51，147所得的余數(shù)都是3，求這個(gè)數(shù)2【解析】 (法1 ，12的約數(shù)是，因?yàn)橛鄶?shù)為3要小于除數(shù)，這個(gè)數(shù)是；(法2由于所得的余數(shù)相同，得到這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意

6、兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)，所以這個(gè)數(shù)是【例 8】 (2005年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題有一個(gè)整數(shù)，用它去除70，110，160所得到的3個(gè)余數(shù)之和是50，那么這個(gè)整數(shù)是_3【解析】 ，除數(shù)應(yīng)當(dāng)是290的大于17小于70的約數(shù)，只可能是29和58，所以除數(shù)不是58，所以除數(shù)是【鞏固】 (2002年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題用自然數(shù)n去除63，91，129得到的三個(gè)余數(shù)之和為25，那么n=_4【解析】 n能整除因?yàn)?，所以n是258大于8的約數(shù)顯然，n不能大于63符合條件的只有43【例 9】 一個(gè)大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，

7、則這個(gè)自然數(shù)是多少？1【解析】 這個(gè)自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除后所得的余數(shù)，所以254和220除以這個(gè)自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個(gè)自然數(shù)是的約數(shù)，又大于10，這個(gè)自然數(shù)只能是17或者是34如果這個(gè)數(shù)是34，那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是22、28、16，不符合題目條件；如果這個(gè)數(shù)是17，那么他去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是5、11、16，符合題目條件，所以這個(gè)自然數(shù)是17【例 10】 甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393某數(shù)除甲數(shù)所得余數(shù)是除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，除乙數(shù)所得余數(shù)是除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍求等于多少？2【解析】

8、根據(jù)題意，這三個(gè)數(shù)除以都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來： 由于，要消去余數(shù)， ， ，我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減這樣我們先把第二個(gè)式子乘以2，使得被除數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大2倍，同理，第三個(gè)式子乘以4于是我們可以得到下面的式子： 這樣余數(shù)就處理成相同的最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被整除，51的約數(shù)有1、3、17、51，其中1、3顯然不滿足，檢驗(yàn)17和51可知17滿足，所以等于17【例 11】 (2003年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營試題 與的和除以7的余數(shù)是_5【解析】 找規(guī)律用7除2，的余數(shù)分別是2，4，1，2，4，1，2，4，1，2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，用7除的余數(shù)為1；2的

9、個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多1時(shí)，用7除的余數(shù)為2；2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多2時(shí)，用7除的余數(shù)為4因?yàn)?，所以除?余4又兩個(gè)數(shù)的積除以7的余數(shù)，與兩個(gè)數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同而2003除以7余1，所以除以7余1故與的和除以7的余數(shù)是【鞏固】 除以7的余數(shù)是多少？6【解析】 除以7的余數(shù)為1，所以，其除以7的余數(shù)為：；2008除以7的余數(shù)為6，則除以7的余數(shù)等于除以7的余數(shù)，為1；所以除以7的余數(shù)為：【例 12】 (2009年走美初賽六年級(jí)有一串?dāng)?shù)：1，1，2，3，5，8，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)之和，在這串?dāng)?shù)的前2009個(gè)數(shù)中，有幾個(gè)是5的倍數(shù)？7【解析】 由于兩個(gè)數(shù)的和除以5的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)除

10、以5的余數(shù)之和再除以5的余數(shù)所以這串?dāng)?shù)除以5的余數(shù)分別為：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以發(fā)現(xiàn)這串余數(shù)中，每20個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)中，每5個(gè)數(shù)中第五個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)由于，所以前2009個(gè)數(shù)中，有401個(gè)是5的倍數(shù)【鞏固】著名的裴波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第2008個(gè)數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？8【解析】 斐波那契數(shù)列的構(gòu)成規(guī)則是從第三個(gè)數(shù)起每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，由此可以根據(jù)余數(shù)定理將裴波那契數(shù)列轉(zhuǎn)換為被3除所得余數(shù)的數(shù)列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第

11、九項(xiàng)和第十項(xiàng)連續(xù)兩個(gè)是1，與第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的值相同且位置連續(xù)，所以裴波那契數(shù)列被3除的余數(shù)每8個(gè)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由于2008除以8的余數(shù)為0，所以第2008項(xiàng)被3除所得的余數(shù)為第8項(xiàng)被3除所得的余數(shù)，為0【例 13】 (1997年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題將依次寫到第1997個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)1997位數(shù)，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是 _9【解析】 本題第一步是要求出第1997個(gè)數(shù)字是什么，再對數(shù)字求和共有9個(gè)數(shù)字，共有90個(gè)兩位數(shù)，共有數(shù)字： (個(gè)， 共900個(gè)三位數(shù)，共有數(shù)字： (個(gè)，所以數(shù)連續(xù)寫，不會(huì)寫到999，從100開始是3位數(shù)，每三個(gè)數(shù)字表示一個(gè)數(shù)，即有602個(gè)三位數(shù)，第603個(gè)三位數(shù)只寫

12、了它的百位和十位從100開始的第602個(gè)三位數(shù)是701，第603個(gè)三位數(shù)是9，其中2未寫出來因?yàn)檫B續(xù)9個(gè)自然數(shù)之和能被9整除，所以排列起來的9個(gè)自然數(shù)也能被9整除，702個(gè)數(shù)能分成的組數(shù)是： (組，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未寫出來，所以余數(shù)為【例 14】 有2個(gè)三位數(shù)相乘的積是一個(gè)五位數(shù)，積的后四位是1031，第一個(gè)數(shù)各個(gè)位的數(shù)字之和是10，第二個(gè)數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和是8，求兩個(gè)三位數(shù)的和10【解析】 本題條件僅給出了兩個(gè)乘數(shù)的數(shù)字之和，同時(shí)發(fā)現(xiàn)乘積的一部分已經(jīng)給出，即乘積的一部分?jǐn)?shù)字之和已經(jīng)給出，我們可以采用棄九法原理的倒推來構(gòu)造出原三位數(shù)因?yàn)檫@是一個(gè)一定正確的算式，所以一定

13、可以滿足棄九法的條件，兩個(gè)三位數(shù)除以9的余數(shù)分別為1和8，所以等式一邊除以9的余數(shù)為8，那么1031除以9的余數(shù)也必須為8，只能是3將31031分解質(zhì)因數(shù)發(fā)現(xiàn)僅有一種情況可以滿足是兩個(gè)三位數(shù)的乘積，即所以兩個(gè)三位數(shù)是143和217，那么兩個(gè)三位數(shù)的和是360【例 15】 設(shè)的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，那么？11【解析】 由于一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以與、 除以9都同余，而2009除以9的余數(shù)為2，則除以9的余數(shù)與除以9的余數(shù)相同，而除以9的余數(shù)為1，所以除以9的余數(shù)為除以9的余數(shù)，即為5另一方面，由于，所以的位數(shù)不超過

14、8036位，那么它的各位數(shù)字之和不超過，即；那么的各位數(shù)字之和，的各位數(shù)字之和，小于18且除以9的余數(shù)為5，那么為5或14，的各位數(shù)字之和為5，即板塊三 完全平方數(shù)【例 16】 從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)？1【解析】 完全平方數(shù)，其所有質(zhì)因數(shù)必定成對出現(xiàn)而，所以滿足條件的數(shù)必為某個(gè)完全平方數(shù)的2倍，由于，所以、都滿足題意，即所求的滿足條件的數(shù)共有31個(gè)【例 17】 一個(gè)數(shù)減去100是一個(gè)平方數(shù)，減去63也是一個(gè)平方數(shù)，問這個(gè)數(shù)是多少？2【解析】 設(shè)這個(gè)數(shù)減去為，減去為，則，可知，且，所以，這樣這個(gè)數(shù)為【鞏固】 能否找到這么一個(gè)數(shù)，它加上24，和減去30所

15、得的兩個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)？3【解析】 假設(shè)能找到，設(shè)這兩個(gè)完全平方數(shù)分別為、，那么這兩個(gè)完全平方數(shù)的差為，由于和的奇偶性質(zhì)相同，所以不是4的倍數(shù)，就是奇數(shù)，不可能是像54這樣是偶數(shù)但不是4的倍數(shù)所以不可能等于兩個(gè)平方數(shù)的差，那么題中所說的數(shù)是找不到的【例 18】 有5個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個(gè)平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個(gè)數(shù)中最小數(shù)的最小值為 4【解析】 考查平方數(shù)和立方數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)涉及到數(shù)量較少的連續(xù)自然數(shù)問題，設(shè)未知數(shù)的時(shí)候有技巧：一般是設(shè)中間的數(shù)，這樣前后的數(shù)關(guān)于中間的數(shù)是對稱的設(shè)中間數(shù)是x，則它們的和為， 中間三數(shù)的和為是平方數(shù)，設(shè)，則，是立方數(shù)，所以至少含有3和5的質(zhì)因

16、數(shù)各2個(gè)， 即至少是225，中間的數(shù)至少是1125，那么這五個(gè)數(shù)中最小數(shù)的最小值為1123板塊四 位值原理【例 19】 (美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克把一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)字加以交換，得到一個(gè)新的兩位數(shù)如果原來的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45，試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？5【解析】 設(shè)原來的兩位數(shù)為，交換后的新的兩位數(shù)為，根據(jù)題意，原兩位數(shù)最大時(shí)，十位數(shù)字至多為9，即，原來的兩位數(shù)中最大的是94【鞏固】 將一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來，得到一個(gè)新的四位數(shù)(這個(gè)數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù)，新數(shù)比原數(shù)大8802求原來的四位數(shù)6【解析】 設(shè)原數(shù)為，則新數(shù)為，根據(jù)題意，有，推知，得到，原數(shù)為1099

17、【例 20】 (第五屆希望杯培訓(xùn)試題有3個(gè)不同的數(shù)字，用它們組成6個(gè)不同的三位數(shù)，如果這6個(gè)三位數(shù)的和是1554，那么這3個(gè)數(shù)字分別是多少？7【解析】 設(shè)這六個(gè)不同的三位數(shù)為，因?yàn)?，它們的和是：，所以，由于這三個(gè)數(shù)字互不相同且均不為0，所以這三個(gè)數(shù)中較小的兩個(gè)數(shù)至少為1，2，而，所以最大的數(shù)最大為4；又，所以最大的數(shù)大于，所以最大的數(shù)為4，其他兩數(shù)分別是1，2【鞏固】 (迎春杯決賽有三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)，這6個(gè)三位數(shù)的和是2886，求所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù)8【解析】 設(shè)三個(gè)數(shù)字分別為a、b、c，那么6個(gè)不同的三位數(shù)的和為： 所以，最小的三位數(shù)的百位數(shù)應(yīng)為1，十位數(shù)應(yīng)盡可能

18、地小，由于十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和一定，故個(gè)位數(shù)應(yīng)盡可能地大，最大為9，此時(shí)十位數(shù)為，所以所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù)為【鞏固】 a，b，c分別是中不同的數(shù)碼，用a，b，c共可組成六個(gè)三位數(shù)，如果其中五個(gè)三位數(shù)之和是2234，那么另一個(gè)三位數(shù)是幾？9【解析】 由，組成的六個(gè)數(shù)的和是因?yàn)?，所以若，則所求數(shù)為，但，不合題意若，則所求數(shù)為，但，不合題意若，則所求數(shù)為，符合題意若，則所求數(shù)為，但，不合題意若，則所求數(shù)，但所求數(shù)為三位數(shù)，不合題意所以，只有時(shí)符合題意，所求的三位數(shù)為652板塊五 進(jìn)制問題【例 21】 在幾進(jìn)制中有？10【解析】 利用尾數(shù)分析來解決這個(gè)問題：由于，由于式中為100，尾數(shù)為0

19、，也就是說已經(jīng)將12全部進(jìn)到上一位所以說進(jìn)位制為12的約數(shù)，也就是12，6，4，3，2中的一個(gè)但是式子中出現(xiàn)了4，所以要比4大，不可能是4，3，2進(jìn)制另外，由于，因?yàn)?，也就是說不到10就已經(jīng)進(jìn)位，才能是100，于是知道，那么不能是12所以，只能是6【鞏固】 算式是幾進(jìn)制數(shù)的乘法？11【解析】 注意到尾數(shù)，在足夠大的進(jìn)位制中有乘積的個(gè)位數(shù)字為，但是現(xiàn)在為4，說明進(jìn)走，所以進(jìn)位制為16的約數(shù)，可能為16、8、4或2因?yàn)樵街杏袛?shù)字5，所以不可能為4、2進(jìn)位，而在十進(jìn)制中有，所以在原式中不到10就有進(jìn)位，即進(jìn)位制小于10，于是原式為8進(jìn)制【例 22】 在6進(jìn)制中有三位數(shù)，化為9進(jìn)制為，求這個(gè)三位數(shù)在

20、十進(jìn)制中為多少？ 12【解析】 (abc6 =a×62b×6+c=36a+6b+c；(cba9=c×92+b×9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因?yàn)?5a是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù)所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3，5=1所以，b=0或5當(dāng)b=0，則35a=80c；則7a=16c；(7，16=1，并且a、c0，所以a=16，c=7但是在6，9進(jìn)制，不可以有一個(gè)數(shù)字為16當(dāng)b=5，則35a=3×5+80c；則7a=3+16c；mod 7后，3+2c0所以c=2或者2+7k(k為整數(shù)因?yàn)橛?/p>

21、6進(jìn)制，所以不可能有9或者9以上的數(shù)，于是c=2；35a=15+80×2，a=5所以(abc6 =(5526 =5×62+5×6+2=212這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為212課后練習(xí)：練習(xí) 1 三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)3【解析】 設(shè)這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是、，滿足，則可知、中必有一個(gè)為7，不妨記為，那么，整理得，又，對應(yīng)的2、9(舍去或3、5，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)可能是3，5，7練習(xí) 2 有一個(gè)大于1的整數(shù)，除所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù)13【解析】 這個(gè)題沒有告訴我們，這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)，的約數(shù)有，所以這個(gè)數(shù)可能為練習(xí) 3 20072008，試求這個(gè)多位數(shù)除以9的余數(shù)14【解析】 以19992000這個(gè)八位數(shù)為例，它被9除的余數(shù)等于被9除的余數(shù)，但是由于1999與被9除的余數(shù)相同，2000與被9除的余數(shù)相同，所以19992000就與