(整理)定積分筆記

1、第三節(jié)定積分、定積分的定義設(shè)函數(shù)了（克）在明川上有界，在。金中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)建=/1工1 口2Jr*匕/二,把區(qū)間/句分成忽個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長度依次為四百二%-&1 ,（1=1,2,），在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)點(diǎn)（4叵八三），作乘積/人不=12，,）并作為 己 ，記丸,如果不論對值句怎樣的分法，也不論在小區(qū)間區(qū)土片上點(diǎn)端怎樣的取 法，只要當(dāng)為T 0時(shí)，和君總趨于確定的極限我們稱這個(gè)極限 工為函數(shù)/ 在區(qū)間口»上的定積記為:.T諾和表，區(qū)式OinlQ -SI二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 ：山土虱切瓜口d用式跖性質(zhì)2:初小叫：，“為常數(shù)）1 月廣性質(zhì)3:假設(shè)”匚行，（工）L 

2、9;" J, /（工）"工性質(zhì) 性質(zhì)5:在區(qū)間“上,"，則卜口沖加（超 性質(zhì)6:設(shè)洶及播分別是函數(shù)/在區(qū)間1%加上的最大值及最小值，則出一口W f于叵冰WN也-g性質(zhì)7（定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間凡如上連續(xù)，則在積分區(qū)間凡句上至少存在一個(gè)點(diǎn)三,使9*扮積分中值公式積分中值公式的幾何解釋：在區(qū)間凡切上至少存在一個(gè)點(diǎn) 自，使得以區(qū)間,句為底邊，以曲線=/（工）為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個(gè)矩形的面積。三、微積分的基本公式1,原函數(shù)存在定理：如果丁在必上連續(xù)，則變上限積分的函數(shù)以元）二她小冽可導(dǎo),還是八負(fù)在%句上的一個(gè)原函數(shù)。2.微積分基本公式（牛

3、頓萊布尼茨公式）如果是連續(xù)函數(shù)/（X）在區(qū)間凡句上的一個(gè)原函數(shù)，則場L= 50) - F(哈伍0江微積分基本公式表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間1訊封上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間1%切上的增量。求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題。第四節(jié)定積分的積分方法與無窮區(qū)間上的廣義積分解一解二定積分的積分方法1、定積分的換元積分法4 dx求01 xdx 令vx tx2訴 In 1_dx_2 2tdtLx01 t2tdt1 tTXt2(t0)22 0(1般地，定積分換元法可敘述如下，設(shè)(1)(2)2 (1(x)在 ,上有連續(xù)導(dǎo)數(shù);)a,()ln2 e 1dx0解設(shè)Jex 1 t,即b，且當(dāng)t在ln(t2換積

4、分限：當(dāng) x 0時(shí),2(t ln 1041dxx 2工0時(shí),t 0;當(dāng)x2(t In 1 t) 2t) C4時(shí),2(2f(x)在a,b上連續(xù)，而xln(1In 3)4 2ln3(x)滿足下列條件:，上變化時(shí)，x 的值在a,b上變化，則有換元公ba f(x)dx f (t) (t)dt a1),dx -t2 dtt2 1當(dāng)x ln2時(shí)，t 1,于ln2、ex1 2t1dx t dt0 t2 1c i 1 、，、2 o(1 pdt 2(t arctant)2a22x a4dxx解設(shè)xdxasecttantdt.換積分限：當(dāng)x a時(shí)，t0； x 2a 時(shí),解一所以,解二2a . x2 a2.2 si

5、ndxatant-4- a sect tantdta sec t1. 2 . sin t costdt atd(sin t)sin3138a2dx1 sint（換元法）令x 0時(shí)，t1201 2t（湊微分法）兀2 0 x(sin 一2t2dtan-2x 2(tan 2 1),x .tan 一，sin2x0;當(dāng)dtdx2t t2,dx2dt t22時(shí),dt(1 t)2x、2 cos-)2dxx 22 x(tan 1) cos 一tanx 12注意:求定積分一定要注意定積分的存在性2、定積分的分部積分法設(shè)u(x) ,v(x)在a,b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則有budv uvabvdu a a,b該公式稱為定

6、積分分部積分公式，使用該公式時(shí)要注意，把先積出來得那一部分代上下限求值，余下的部分繼續(xù)積分.這樣做比完全把原函數(shù)求出來再代上下限簡便一些兀2 x2 cosxdx0兀2x02 cosxdx兀02x2d(sinx)sinx兀21兀22xsin xdx02 7t42 02 xd(cosx)2 7t42xcosx兀2cosxdx02 7t42sin xln x dxIn x dxIn xIn x dxIn xIn x dxdx.因?yàn)?時(shí),In x0,這時(shí)In1nx；x>1 時(shí)，1nx11 ln xdxeeln xdx分別用分部積分求右端兩個(gè)積分得111n xdxexln xixdx e x11n

7、1e eeln xdx1xln xln x dx，最后得無窮區(qū)間上的廣義積分b、lim f(x)dx設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間a ,)上連續(xù)，取b >a,如果極限b a 存在，則稱此 極限為函數(shù)f (x)在無窮區(qū)間a,)上的廣義積分，記作a f(X)dXb即 a f(X)dX=blim a f(X)dx這時(shí)也稱廣義積分a收斂。如果上述極限不存在，此時(shí)稱廣義積分a "Md'發(fā)散。例題1計(jì)算廣義積分11 X2dX.解 dX=ac tan x|1 Xlim arctanx lim arctan xXX一(一)22第五節(jié) 定積分的應(yīng)用一、微元法定積分的所有應(yīng)用問題，一般總可按“分割

8、、求和、取極限”三個(gè)步驟把所求的量表示為定積分 的形式.可以抽象出在應(yīng)用學(xué)科中廣泛采用的將所求量U (總量)表示為定積分的方法一一微元法，這個(gè)方法的主要步驟如下：(1)由分割寫出微元根據(jù)具體問題，選取一個(gè)積分變量，例如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間a,b,任取a,b的一個(gè)區(qū)間微元x,x dx,求出相應(yīng)于這個(gè)區(qū)間微元上部分量U的近似值，即求出所求總量U的微元dU f(x)dx；(2)由微元寫出積分根據(jù)dUf (x)dx寫出表示總量U的定積分bbU dU f (x)dxaa二、平面區(qū)域的面積1、直角坐標(biāo)的情形由曲線y f(x)(f(x) 0)及直線x a與x b( a b)與x軸所圍成的曲邊梯形

9、面積A。0 X K -占 bbA f (x)dx其中：f(x)dx為面積元素。 a由曲線 y f (x)與y g(x)及直線 x a , x b( a b )且f (x) g(x)所圍成的圖形面積Ao w a -PR 。bA f(x)dxabg(x)dxabf(x) g(x) dxa其中：f(x)g(x)dx為面積元素。例1計(jì)算拋物線2y 2x與直線y x4所圍成的圖形面積。解：1、先畫所圍的圖形簡圖解方程 y 2x ,得交點(diǎn)：(2, 2) 和(8,4)。y x 42.選擇積分變量并定區(qū)間選取x為積分變量，則3.給出面積元素2上,dA2x ( 2x)dx2 2xdx4.列定積分表達(dá)式8上,dA

10、2x (x 4)dx(4 2xx)dx4x dx04 ,22x3182x23另解:若選取y為積分變量，則dA(y4)12-y dy24(y22y212、-y )dy2418顯然，解法二較簡潔，這表明積分變量的選取有個(gè)合理性的問題。2、極坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形是由曲線()及射線所圍成的曲邊扇形。取極角為積分變量，則,在平面圖形中任意截取一典型的面積元素A ,它是極角變化區(qū)間為, d 的窄曲邊扇形。A的面積可近似地用半徑為中心角為d的窄圓邊扇形的面積來代替,從而得到了曲邊梯形的面積微元為)2d1 dA 1r(2從而面積為1 2 z2r ( )d例2計(jì)算心臟線r a(1 cos )(a0)所圍成的圖形面

11、積。解：由于心臟線關(guān)于極軸對稱,2 1a2(102、cos2)2d a22 cos2- do2,24,4 a cos do 28a23! - 4!T24 ,令-t8acos tdt0三、求體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體，該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。計(jì)算由曲線y f(x)直線x a, x b及x軸所圍成的曲邊梯形，繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體的體積。取x為積分變量，則x a,b,對于區(qū)間a,b上的任一區(qū)間x,x dx,它所對應(yīng)的窄曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而生成的薄片似的立體的體積近似等于以f(x)為底半徑，dx為高的圓柱體體積。 即：體積微元為dV f(x)

12、2dx所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為bV f (x) 2dxr例3求由曲線y 一 x及直線x h0, xh(h 0)和x軸所圍成的三角形繞X軸旋轉(zhuǎn)而生成的立體的體積。解：取x為積分變量，則X 0,hh rx o hdxhx2dx r2ho32、平行截面面積為已知的立體的體積(截面法)由旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算過程可以發(fā)現(xiàn)：如果知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面的面積，那么這 個(gè)立體的體積也可以用定積分來計(jì)算。取定軸為x軸，且設(shè)該立體在過點(diǎn) x a , x b且垂直于x軸的兩個(gè)平面之內(nèi)，以A(x)表示過 點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積。取x為積分變量，它的變化區(qū)間為a,b。立體中相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x,x dx的

13、一薄片的體積近似于底面積為 A(x),高為dx的扁圓柱體的體積。即：體積微元為dV A(x)dxb于是，該立體的體積為V A(x)dxa2例4計(jì)算橢圓一ab21所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積。解：這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可看作是由上半個(gè)橢圓y一”及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所生成的立體。a在x處(a x a),用垂直于x軸的平面去截立體所得截面積為bA(x) ( a aa2 ab 2242V A(x)dx2- (a x )dx - abaa a3四、平面曲線的弧長f(x)的長度s。1、直角坐標(biāo)情形設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算曲線y0 a工工+歐占取x為積分變量，則 x a, b

14、,在a,b上任取一小區(qū)間x,x dx,段的長度 s可以用它的弧微分 ds來近似。于是，弧長元素為ds 1 f (x) 2dx弧長為b s 1f (x) 2dxa2 3,、例5計(jì)算曲線y -x2(a x b)的弧長。3那么這一小區(qū)間所對應(yīng)的曲線弧解：ds 1 ( x)2dx 1 xdx2(1 b:2 (1 a)32 32.1 xdx (1 33x)22、參數(shù)方程的情形若曲線由參數(shù)方程x (t)y (t)給出，計(jì)算它的弧長時(shí)，只需要將弧微分寫成ds(dx)2(dy)2.(t) 2(t) 2dt的形式，從而有s :(t) 2(t) 2dt例6計(jì)算半徑為r的圓周長度。解：圓的參數(shù)方程為x r cost

15、y rsint(0 tds ( rsint)2 (rcost)2dt rdt2s rdt 2 r03、極坐標(biāo)情形若曲線由極坐標(biāo)方程r r()(只需要將極坐標(biāo)方程化成參數(shù)方程，再利用參數(shù)方程下的弧長計(jì)算公給出，要導(dǎo)出它的弧長計(jì)算公式, 式即可。曲線的參數(shù)方程為r( )cos( r( )sin此時(shí)變成了參數(shù)，且弧長元素為ds.,(dx)(dy)2.(r cos r sin )2(d )2 (r sin r cos )2(d )2 r2 r 2d從而有例7計(jì)算心臟線r a(1 cos ) ( 02 )的弧長。解：ds . a2(l cos )2 ( a sin )2d4a 2 gs.22sin cos d222acos 一 22s2 a cos do224a cos d04a |cos | d0cos d 28a五、變力作功例8 半徑為r的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重為 1 ,現(xiàn)將這球從水中取出，需作多少功？解：建立如圖所示的坐標(biāo)系將高為r的球缺取出水面，所需的力F