2020年高考數(shù)學(xué)金榜沖刺卷(北京專(zhuān)版)(一)(解析版)

1、2020年高考數(shù)學(xué)金榜沖刺卷（一）注意事項(xiàng):1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2 .回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡 皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4 .測(cè)試范圍：高中全部?jī)?nèi)容.、選擇題共10題，每題4分，共40分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) .一 . . .1 ,1 .在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 的共軻復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 1 i1 i(1 i)(1 i)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).

2、第四象限111111 i的共軻復(fù)數(shù)為 i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（，），在第四象限，故選D.222 2222 .集合 A xx 2, x R , B2 一一 一. . _x x 2x 3 0 ,則 AI BB. (, 1)U(3,)C. (2,)D. (2,3)_ , 2【解析】B x x 2x 3 013, A x x 2, x R ,故 AI B (3,).故選：A.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+?）上單調(diào)遞增的是（A. y XxB. f x xsinx C. f xx2 x D. y x 1【答案】C【解析】A： y jx為非奇非偶函數(shù)，不符合題意;B： f x xsinx在0,上不單調(diào)，不

3、符合題意;_2, ，一.一 ， c, 一_C： y x x為偶函數(shù)，且在 0,上單調(diào)遞增，符合題意;D： y x 1為非奇非偶函數(shù)，不符合題意 .故選：C.4.已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P 2,0 ,當(dāng)直線(xiàn)l與圓x2y22x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率 k的取值范圍為（A.2拒2夜B.,44D.8892y2x有兩個(gè)父點(diǎn),【解析】直線(xiàn)l為kx y 2k 0 ,又直線(xiàn)l與圓x2k 2k42近故 j 9 1 1 ,k ,故選B.3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任k2 144 5 .如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱(chēng)這取3個(gè)不同的數(shù)，則這 3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）A.310B.C.11

4、0D.120【解析】 試題分析：從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5,故3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為 工，故選C.104.46.已知函數(shù)f x cos x sin x,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A . f x cos2xB.函數(shù)f x的圖象關(guān)于直線(xiàn)X 0對(duì)稱(chēng)C. f X的最小正周期為D. f x的值域?yàn)?, 22【答案】D4. 4.2.2、.2. 2【斛析】 由 f(x) cos x sin x (cos x sin x)(cos x sin x) cos2x , 故A正確；2由定義可知f (x) cos2x為偶函數(shù)，故B正確；

5、由周期公式可得f(x)的最小正周期為：T 一 ，故C2正確；由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得f(x) cos2x的值域?yàn)?, 1,故D錯(cuò)誤；故選：D .7 .九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：今有芻薨，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高二丈，問(wèn)：積幾何？”其意思為： 今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)2丈，高2丈，問(wèn)：它的體積是多少？”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格 紙上小正方形邊長(zhǎng)為 1 ,則該楔體的體積為()A. 10000立方尺 B, 11000立方尺 C, 12000立方尺 D, 13000立方尺【答案】A【解析】由題意，將楔體

6、分割為三棱柱與兩個(gè)四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀(guān)圖如圖所示:沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，則將幾何體分成兩個(gè)四棱錐和1個(gè)直三棱柱,11則二棱枉的體積？ = - X3 X2 X2 = 6,四棱錐的體積？= - X 1 X3X2 = 2, 23由三視圖可知兩個(gè)四棱錐大小相等，？?= ?+ 2? = 10立方丈=10000立方尺.故選 A.8 .如圖：在正方體ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)p是B1C的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在其表面上運(yùn)動(dòng)，且與平面 A1DC1的距離保持不變，運(yùn)行軌跡為 S,當(dāng)M從P點(diǎn)出發(fā)，繞其軌跡運(yùn)行一周的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)的路程 x與l MA1 MC1 MD之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系l f

7、 x ,則此函數(shù)圖像大致是（）【解析】畫(huà)出圖象如圖所示，由于平面BAC/平面A1DC1,故三角形ABC即M點(diǎn)的運(yùn)行軌跡.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，故A 1,0,1 ,G 0,1,1 .當(dāng)M在P 1,1時(shí)，1。 73 Y2,當(dāng)m在B 1,1,1 2202是，11 J3 2 10,由此排除A,C兩個(gè)選項(xiàng).根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)M在PB1和BQ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖象應(yīng)該對(duì)稱(chēng)，故排除B選項(xiàng).所以選D.9 .數(shù)列an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 ”是 數(shù)列an是常數(shù)列”的（A .充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】 數(shù)列an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則可知

8、 an是常數(shù)列，所以充分性成立；若an是an 0常數(shù)列，則 an不是等比數(shù)列，所以必要性不成立，所以 數(shù)列an既是等差數(shù)列又是等 比數(shù)列”是數(shù)列an是常數(shù)列”的充分不必要條件，故選 A.10 .數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美在中國(guó)傳統(tǒng)文化中多有體現(xiàn)，譬如如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形圖 案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、 對(duì)稱(chēng)統(tǒng)一白和諧美.如果能夠?qū)A的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱(chēng)為這個(gè)圓的優(yōu)美函數(shù)：下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.對(duì)于任意一個(gè)圓，其 優(yōu)美函數(shù)宥無(wú)數(shù)個(gè)3B. f X X可以是某個(gè)圓的 優(yōu)美函數(shù)”C.正弦函數(shù)y sin x可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的 優(yōu)美函數(shù)”D.函數(shù)y f x是優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù) y

9、 f x的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形【答案】D【解析】 對(duì)于A(yíng)：過(guò)圓心的直線(xiàn)都可以將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，所以對(duì)于任意一個(gè)圓，其優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)，故選項(xiàng) A正確；33對(duì)于B：因?yàn)楹瘮?shù)f X X圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，所以將圓的圓心放在原點(diǎn)，則函數(shù) f X X是該圓的優(yōu)美函數(shù)”，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：將圓的圓心放在正弦函數(shù)y sin x的對(duì)稱(chēng)中心上，則正弦函數(shù) y sin x是該圓的 優(yōu)美函數(shù)選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：函數(shù)y f x的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則函數(shù)y f x是 優(yōu)美函數(shù)”，但是函數(shù)y f x美函數(shù)”時(shí)，圖象不一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形，如圖所示：所以函數(shù)y f x的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形是函數(shù)y f x是

10、優(yōu)美函數(shù)”的充分不必要條件，故選項(xiàng)誤，故選：D.二、填空題共5題，每題5分，共25分.211 .拋物線(xiàn)y ax的焦點(diǎn)為(-1,0),則a .【答案】-4【解析】由焦點(diǎn)為 1,0 ，得拋物線(xiàn)開(kāi)口向左 a 0,且衛(wèi) 1 ,即p 2,所以a 2p4.2故答案為：4一，一 uriru r12 .已知向量m (3,2), n ( ,1),其中 R.若向量m與2m 3n共線(xiàn)，則 .【答案】-2【解析】由題可得ur rir . ur r 一2m 3n (6 3 ,1),因?yàn)橄蚶飉與2m 3n共線(xiàn),所以（6 3 ） 2 3 0 ,解得T.故答案為：3.222X13.已知雙曲線(xiàn)C： 40）的左、右頂點(diǎn)分別為A、

11、B,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上，且直線(xiàn)PA與直線(xiàn)PB的斜率之積為1,則雙曲線(xiàn)C的焦距為【答案】4,2【解析】由雙曲線(xiàn)方程知：A 2,0 , B 2,0 ,設(shè) PXo,y。，則 kpAkpB5y-°-1,即x2y24,Xo 2 Xo 2 Xo 422又勺咚1 ,b24，c2a2b28，雙曲線(xiàn)C的焦距為2c4 J2 .故答案為：4五.4 b214.已知等差數(shù)列a a3 a9an的公差d o,且a1,a3,a9構(gòu)成等比數(shù)列 bn的前3項(xiàng)，則a? a4ao又若d 2,則數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Sn13163n 1【解析】因?yàn)閍1，a3,a9構(gòu)成等比數(shù)列bn的前3項(xiàng),一. 2所以a32aa9,貝U a12d

12、 4 a18d ,化簡(jiǎn)得a1 d ,所以an*nd (n N ),aa3a9a2a4ao(1 3 9)d13(2 4 1o)d16當(dāng)d 2時(shí)，ai 2a60 18,所以等比數(shù)列 bn的首項(xiàng)為2,公比為3,2 13n數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S 3n 1.n 1 31 13故答案為：_； 3n 11615 .對(duì)定義在0,1上的函數(shù)f(x),如果同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：(1)對(duì)任意的x 0,1總有f (x>-0 ；(2)當(dāng)x0,X2-0,X1X2,1 時(shí)，總有 fX1X2- fX1fX2成立.則稱(chēng)函數(shù)f(x)稱(chēng)為G函數(shù).若h(x) a 2X 1是定義在0,1上G函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 【答案】1【

13、解析】因?yàn)閔(x) a 2X 1是定義在0,1上G函數(shù)，所以對(duì)任意的x 0,1總有h(x) 0,1則a 二對(duì)任息的x 0,1恒成立，解得a 1 ,2X當(dāng)a 1時(shí)，又因?yàn)?x< 0 , x2- 0 , x1 x2, 1 時(shí)，總有h X1 X2h X1h X2成立，即 hx1x2hx1hx2a 2的x2a2X1a2X11a 2X1 1 2X2 1 1 a 0 恒成立，a 1即一2均1 2x2 1恒成立， a又此時(shí)2X1 1 2x2 1的最小值為0,a 1即0恒成立，a又因?yàn)閍 1解得a 1.故答案為：1三、解答題共6題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16 .（本小題14分

14、）如圖，直四棱柱 ABCD AB1C1D1的底面是菱形，AA1 =4, AB=2, /BAD=60°, E, M, N分別是BC, BB1,A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN /平面 C1DE ；（2）求AM與平面A1MD所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）典5【解析】（1）連接ME, BC. M, E分別為BB, BC的中點(diǎn)P1八. .ME B1c 2p p又 A1B1AB CD.A1DCB1是平行四邊形PAD B1CpND MENDEM是平行四邊形NM / DE又NM 平面CDE，NM / 平面 C1DE (2)由題意得DE與BC垂直，所以DE與AD垂直：以D為原點(diǎn)，DA ,

15、DE, DD1三邊分別為x, y, z軸, 建立空間坐標(biāo)系 O-xyz則 A (2, 0, 0), A1(2, 0, 4), M (1, 73 , 2)r設(shè)平面A1MD的法向量為n (x,y,z)v uuvri DA uuuvri DM2x 4z 0x .3y 2z 0r解得 n (2,0, 1)uuuu 又AM(1, 3,2),uuuu cos' AMuuuu r r. AM n nuuuu-r-AMn. 5,8AM與平面AiMD所成角的正弦值10517.（本小題14分）已知VABC滿(mǎn)足2，且b 而，A 二，求sinC的值及VABC的面積.（從B 一,a J3,34a 3，2s1nB

16、這三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問(wèn)題中，并完成解答.）【答案】見(jiàn)解析【解析】選擇時(shí):,故 sinC sin A Bsin AcosB cos Asin B根據(jù)正弦定理:asinAb,故asinB13,故 S absin C29 3.3選擇時(shí),73, b 6 故 bA, A為鈍角，故無(wú)解,3.2sinB .6,，一 ，一，一 一、一a b選擇時(shí)，a 3應(yīng)sinB，根據(jù)正弦正理：- 故 J3sinB,sinA sinB2解得sin B2一 ，sin C sin A B 2sin A cos B cos Asin B、6213根據(jù)正弦定理:a b , 八，19 3 3，故 a 3,故 S absin

17、C .sinA sinB2418.（本小題14分）如圖是2019年11月1日到11月20日，某地區(qū)甲流疫情新增數(shù)據(jù)的走勢(shì)圖130 i-3 4 5 6 /-a 90fH21314f516 171819(1)從這20天中任選1天，求新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過(guò)100的概率；(2)從新增確診的人數(shù)超過(guò) 100的日期中任選兩天，用 X表示新增確診的人數(shù)超過(guò) 140的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)根據(jù)這20天統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)今后該地區(qū)甲流疫情的發(fā)展趨勢(shì)32【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，E X 一 ；(3)見(jiàn)解析203【解析】(1)由圖知，在統(tǒng)計(jì)出的 20天中，新增確診和新增疑似人數(shù)超過(guò)100

18、人的有3天，3設(shè)事件A為從這20天中任取1天，新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過(guò)100”，則P A 20(2)由圖知，新增確診的日期中人數(shù)超過(guò)100的有6天中，有2天人數(shù)超過(guò)140,所以X的所有可能值為0, 1, 2.所以 PX 0 與2,P X 1 CC4 ,P X 2 C1.C；5C：15C215所以X的分布列為X012P25815115所以X的數(shù)學(xué)期望為E X 0 2 1-2-. 515153(3)預(yù)測(cè)一：新增確診和新增疑似的人數(shù)逐漸減少.預(yù)測(cè)二：新增確診和新增疑似的人數(shù)每天大致相當(dāng).預(yù)測(cè)三：該地區(qū)甲流疫情趨于減緩.預(yù)測(cè)四：該地區(qū)甲流疫情持續(xù)走低，不會(huì)爆發(fā)(答案不唯一，只要結(jié)論是基于圖表的數(shù)

19、據(jù)得出的，都給分)19.(本小題15分)已知函數(shù)f(x) sinx lnx. 冗 冗(I)求曲線(xiàn) y f(x)在點(diǎn)m(, f(_)處的切線(xiàn)方程；22(n)證明：函數(shù) f(x)在區(qū)間(1,3)上存在唯一的極大值點(diǎn);(出)證明：函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).15一 ，、2 .兀 【答案】(I) y=-x In- (n)證明見(jiàn)解析(出)證明見(jiàn)解析冗 2【解析】(I)因?yàn)閒(x)sin x In x, x 0,所以 f '(x) cosx兀f( 2e、r 一 冗兀又因?yàn)?f ()1+In ,22-一.一、一一-冗 2 冗所以切線(xiàn)方程為 y (1 ln -) 2(x -),2 冗 2口口21 幾

20、y= x ln .冗 21(n)證明：因?yàn)?y cosx和y 1在1,3上單調(diào)遞減, x所以f '(x)在1,3上單調(diào)遞減，且 f'(1) cos1 1 0.0,_ _ 12又 f '(3) cos3 一 cos-冗33所以在1,3內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) x。，使得f'(xo)=0,并且當(dāng) 1 x x。時(shí)，f'(x) f'(x。) 0,當(dāng) x。 x 3時(shí)，f'(x) f'(x。) 0,所以f(x)在區(qū)間1,3上有唯一的極大值點(diǎn) x0.(出)證明：當(dāng) xe時(shí)，ln x 1, sinx 1 ,此時(shí) f (x) sinx In x 0.當(dāng)1

21、 w x w e時(shí)，In x 0 , sin x 0,此時(shí) f (x) sinx In x 0.當(dāng)0 x 1時(shí)，因?yàn)? 一一一 f '(x) cosx - 0 ,所以 f (x)在x0,1內(nèi)單調(diào)遞增.因?yàn)?1f(-)1 sin 0, f(1) sin1ee0,所以f(x)在0,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).20.(本小題14分)22已知橢圓xya2 b241 a b 0離心率為一，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離是1,直線(xiàn)l ： y kx 1交5橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),(1)求橢圓的方程;(2)求三角形 AOB面積的最大值，并求此時(shí)直線(xiàn) l的方程.2

22、【答案】(1)2L251 (2)面積的最大值為102,此時(shí)直線(xiàn)l的方程是3y 1.【解析】(1)因?yàn)?一，a c 1 ,所以 a 5,522c 4, b 3, 259(2)把直線(xiàn)l:ykx1代入橢圓，得， 9 25k250kx 200 0,ABx1，y1 , B x2, y2 ,則 x1 %50k29 25k2,x1x220029 25k21 k2 , x1 x2 2 4x1x21 k250k-29 25k2,200429 25k1 k2 25k2 8 上一門(mén)嵐O到-29 25k直線(xiàn)l的距離為AB d15 25k2 8-，設(shè) t9 25k29 25k2 9，則6S151t20 時(shí)，Smax1的

23、方程是y 1.21 .(本小題14分)數(shù)字1,2,3,., n n 2的任意一個(gè)排列記作&e2,.,為，設(shè)Sn為所有這樣的排列構(gòu)成的集合.集合Ana1，a2,.,anSn 任意整數(shù) i,j.1 i j n,都有 aj i aj j ，集合 Bn &冏,.冏 Sn 任意整數(shù)i, j,1 i j n,都有aj i aj j(1)用列舉法表示集合 A3,B3 ；(2)求集合An I Bn的元素個(gè)數(shù);(3)記集合Bn的元素個(gè)數(shù)為bn,證明：數(shù)列 bn是等比數(shù)列【答案】(1)從 1,2,3,B31,2,31,3,2 ,2,1,3 , 3,2,1； (2) An I Bn 的元素個(gè)數(shù)為 1； (3)證若 2 k n ,21明見(jiàn)解析【解析】(1)A31,2,3,B31,2,31,3,2 ,2,1,3 , 3,2,1(2)考慮集合An中的元素a1,a2,.,an由已知，對(duì)任意整數(shù)i, j.1i jn,都有a id j ,所以