(完整)初二數(shù)學(xué)---面積法解題

1、Eriucntinn常熟市景航教育信息咨詢有限公司Changshu Wonderful Sailing Education Co.,Ltd初二數(shù)學(xué)一面積法解題【本講教育信息】【講解內(nèi)容】一一怎樣證明面積問(wèn)題以及用面積法解幾何問(wèn)題【教學(xué)目標(biāo)】1.使學(xué)生靈活掌握證明幾何圖形中的面積的方法。2,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?！局攸c(diǎn)、難點(diǎn)】：重點(diǎn)：證明面積問(wèn)題的理論依據(jù)和方法技巧。難點(diǎn)：靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)證明面積問(wèn)題?！窘虒W(xué)過(guò)程】（一）證明面積問(wèn)題常用的理論依據(jù)1.2.3.4.5.三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的部分。同底同高或等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。平行四邊形的對(duì)角線把其分成兩個(gè)面積相

2、等的部分。同底（等底）的兩個(gè)三角形面積的比等于高的比。同高（或等高）的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比。三角形的面積等于等底等高的平行四邊形的面積的一半。1- O41。4D、E、F,6.三角形的中位線截三角形所得的三角形的面積等于原三角形面積的7,三角形三邊中點(diǎn)的連線所成的三角形的面積等于原三角形面積的8.有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。（二）證明面積問(wèn)題常用的證題思路和方法1 .分解法：通常把一個(gè)復(fù)雜的圖形，分解成幾個(gè)三角形。2 .作平行線法：通過(guò)平行線找出同高（或等高）的三角形。3 .利用有關(guān)性質(zhì)法：比如利用中點(diǎn)、中位線等的性質(zhì)。4 .還可以利用面積解決其它問(wèn)

3、題?！镜湫屠}】（一）怎樣證明面積問(wèn)題1.分解法例1.從 ABC的各頂點(diǎn)作三條平行線 AD、BE、CF,各與對(duì)邊或延長(zhǎng)線交于 求證： DEF的面積=2AABC的面積。分析：從圖形上觀察， DEF可分為三部分，其中是 ADE ,它與 ADB同底等Educntinn常熟市景航教育信息咨詢有限公司Changshu Wonderful Sailing Education Co.,Ltd7局，故 S ADE S ADB二是AADF,和上面一樣，SADF SADC三是 AEF ,只要再證出它與 ABC的面積相等即可由 Sacfe= Szx cfb故可得出 Saaef = Saabc證明： AD/BE/CF

4、.ADB和4ADE同底等高SaADB = SAADE同理可證：SADC = SADF SABC = SADE +SADF又 SACEF=空 CBFSABC = SAEFSaef+Sade+Sadf = 2SabcSa DEF = 2sABC2.作平行線法例2.已知：在梯形求證：S ADMABCD中，DCAB , M為腰BC上的中點(diǎn)1S一 ABCD2分析：由M為腰BC的中點(diǎn)可想到過(guò) M作底的平行線 MN ,則MN為其中位線，再利 用平行線間的距離相等，設(shè)梯形的高為hS AMD S DMN S AMN1 1cM MNh二 SABCD22證明：過(guò)M作MN/AB. M為腰BC的中點(diǎn)MN是梯形的中位線設(shè)

5、梯形的高為hMNDCAB則 SABCDMN hAMDAMNMNDMNS ADM1SSABCD2（二）用面積法解幾何問(wèn)題有些幾何問(wèn)題，往往可以用面積法來(lái)解決，用面積法解幾何問(wèn)題常用到下列性質(zhì):Eriucntinn常熟市景航教育信息咨詢有限公司Changshu Wonderful Sailing Education Co.,Ltd性質(zhì)1:等底等高的三角形面積相等性質(zhì)2:同底等高的三角形面積相等性質(zhì)3:三角形面積等于與它同底等高的平行四邊形面積的一半性質(zhì)4:等高的兩個(gè)三角形的面積比等于底之比性質(zhì)5:等底的兩個(gè)三角形的面積比等于高之比1.證線段之積相等例 3.設(shè) AD、BE 和 CF 是 ABC 的三

6、條高，求證： AD - BC = BE - AC = CF - AB分析:用面積法。證明:從結(jié)論可看出,三邊上的高，故可聯(lián)想到可AD、. AD、BE、CF ABCAD BC BE AC的三條高CF ABABCAD BC BE AC2CF AB2.證等積問(wèn)題例4.過(guò)平行四邊形ABCD證： Sa abf = Saade的頂點(diǎn)A引直線，和BC、DC或其延長(zhǎng)線分別交于 E、F,求分析：因?yàn)锳B/DF ,所以 ABF ABC 個(gè)三角形的面積相等。證明：連結(jié)AC CF/AB是同底AB和等高的兩個(gè)三角形，所以這兩S ABF S ABC12 S平行四邊形 ABCD又 CE/ADS ADE S ACD；S平行四

7、邊形ABCDS ABF S ADE3.證線段之和例 5.已知 ABC 中，AB=AC, P 為底邊 BC 上任一點(diǎn)，PEXAB , PFXAC, BHXAC , 求證：PE+PF=BH連結(jié)分析：已知有垂線，就可看作三角形的高,AP,則S ABC SABP S APC又由ABAC,所以1 AB PE2_1 -S ABC1 AC2-AC 2(PEPFPF)又 S ABC1 - AC BH2故 PE+PF= BH證明：連結(jié)AP,則S ABC S ABP S APC.AB=AC, PEL AB,1S ABC 2 AB又 ; BH± ACc1 _S ABC二 AC2PEBH1 -AC ( PE

8、 PF) 2PE+PF=BHPFXAC1 -AC 2-AC 2PFBH4.證角平分線例6.在平行四邊形 ABCD的兩邊AD、 交于P,求證：BP平分/ APC。1一AC2(PE PF)CD上各取一點(diǎn) F、E,使AE = CF,連 AE、CFB分析：要證BP平分/ APC,我們可以考慮，只要能證出B點(diǎn)到PA、PC的距離相等即可，也就是 ABE和4BFC的高相等即可，又由已知 AE = FC可聯(lián)想到三角形的面積，因 此只要證出 Saabe = Sabcf即可由平行四邊形 ABCD 可得 SAABE = SABC , SabFC = SABC所以Saabe = Sbfc ,因此問(wèn)題便得解。證明：連結(jié)

9、AC、BE、BF 四邊形ABCD是平行四邊形SABE = SABCSa BFC = S ABC SABE =空 BFC又 AE = CF而 ABE和 BFC的底分別是 AE、CF .ABE和 BFC的高也相等即B至ij PA、PC的距離相等B點(diǎn)在/ APC的平分線上PB 平分/ APC【模擬試題】（答題時(shí)間：25分鐘）1 .在平行四邊形 ABCD中，E、F點(diǎn)分別為BC、CD的中點(diǎn)，連結(jié) AF、AE ,求證：$ ABE = SADF2 .在梯形ABCD中，DC/AB , M為腰BC上的中點(diǎn)，求證： S adm S dcm S abm111-2 r-2 r23 . RtABC中，/ ACB =90

10、° , a、b為兩直角邊，斜邊AB上的高為h,求證：a b h4 .已知：E、F為四邊形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，G、H為邊DC的三等分點(diǎn)，求證:SeFGH - Sabcd3BEriucntinn常熟市景航教育信息咨詢有限公司Changshu Wonderful Sailing Education Co.,LtdCE 15 .在 ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E在AC上，且AC 3 , CD和BE交于G ,求 ABC 和四邊形ADGE的面積比?！驹囶}答案】1 .證明：連結(jié)AC ,則S ABC S ADC 又 E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)S ABES ADFS ABE-S ABC21二

11、S ADC2S ADF2 .證明：過(guò) M 作 MN/DC/AB. M為腰BC上的中點(diǎn)DCM和ABM 的高相等，設(shè)為 hi1 11S DCM S ABM DC h1-AB h1-(DC AB) %2 22又DMN 與AAMN的高也為h1S ADM S DMN S AMN11 MN h1 MN h1221 MN (" h1)2MN h1 MN為梯形的中位線1 -MN -(AB CD)2S ADM S DCM S ABM3.證明：.在 RtAABC 中，Z ACB =90° , CDXAB c1,1 _ .S ABC ab AB h 22ab AB h2, 22,2 z 2 ,22a b AB h (a b ) h22兩邊同時(shí)除以a b得：工工2 -2,2a bh4.證明：連結(jié) FD、FG、FCS FGH則由已知可得DEFHM1sS DFC3作DM/AB ,設(shè)它們之間的距離為 h, G至ij DM的距離為a,則由已知可得 H、C至ij DM的距離分別為2a、3aEFG1 一EF2(h a)AFDS BFCEF h1h BF2-EF2(h 3a)3EF 2