(完整版)數(shù)列與解析幾何綜合—點列問題

1、專題：數(shù)列與解析幾何綜合點列問1.如圖，直線 11 : y kx 1 k(k點P1,過點P1作X軸的垂線交直線|2于點 垂線交直線12于點Q2,，這樣一直作下去,1、-11 »0,k一）與l2：y-X一相父于點P直線11與X軸父于222Q1,過點Q1作y軸的垂線交直線|1于點P2,過點P2作x軸的可得到一系列點的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列Xn(I )證明Xn（H）求數(shù)列Xn1，八工1 （Xn 1）,n N*;2k的通項公式；(m)比較 2| PPn |2 與4k2 | PP1 |2 5 的大小.【解析】（I）證明：設(shè)點Pn的坐標(biāo)是（Xn,yn）,Pl、Qi、P2、Q2,，點 Pn (n=1, 2

2、,)2).由已知條件得點Qn、Pn+1的坐標(biāo)分別是:(Xn,2Xn 2),(X1n 1,二 Xn2由Pn+1在直線|1上，得1一Xn2kXnk.一，1所以 1(xn 1) k(x 21),Xn1 (Xn 1), n2k(H)解:由題設(shè)知X11 k,X1所以數(shù)列Xn 1是首項為X11,公比為1 k12k0,又由（I）的等比數(shù)列.Xn 111 頷(Xn 1)'從而Xn1(kx12k1V1,即 Xn（出）解:k,得點1).所以 2|PPn |2_22(Xn 1)2(kXn2_1 k 1)8224k | PP1 |25 4k (1221)(0 1) 54k2 9.1 1當(dāng)|k |1,即k1或k

3、221 ,2一時，4k2 1Ppi |225 >1+9=10.而此時0(ii)當(dāng) 0而此時1 | | 1,所以 2|PPn|2 8 1 2 10.故2|PPn|2 4k21Ppi | 2k111o o1 |k| 一,即k ( 一,0)U(0,一)時，4k21Ppi |2 5 <1+9=10. 2221一I 1,所以 2|PPn|2 8 1 2 10.故2 I PPn I2 4k2 I PP1 I2 2k5.5.EX已知點Pn an,bn都在直線l：y 2X 2上，P1為直線l與X軸的交點，數(shù)列an成等差數(shù)列，公差為 1.( n N )16(1)求數(shù)列(2)求數(shù)列a n12bn(3)

4、求證:bn的通項公式；的前n項和Tn.， 2【解析】1,0,anP1P3PiPn(n 2, n N )2,bn 2n13nTn=2n12 bn=14 2n則它的前 n2(n 7)13n 84 n 7n項的和sn=13nC70(3)Pn n2,2n 2 ,Pi(1,0)PPn1)(n 2)P1P2RP3RPn1221321151-21151(n 1)(n 1)2、如圖，曲線y2 x(y0)上的點P與x軸的正半軸上的點Qi及原點O構(gòu)成一系列正三角形ORQ1,Q1PA,L ,QnFnQn,L.設(shè)正三角形Qn1PlQn 的邊長為 an,nCN* (記 Q0 為 O),Qn.求a1的值;(2)求數(shù)列 a

5、n的通項公式1求證:當(dāng)n 2時，工 an(1)由條件可得p(2)Q Sna1a2Sn3 24an12 an2an 12an 2工a1 , 一' a1 ，代入曲線221 一L an 八、Pn 1(Snan2*.，于是當(dāng)n 2, n N時，an1即 2(an1一、3一an)(an 1 an ) (an 1 an)4Lx(y0)并整理得n 1)代入曲線SnSn1("an 14y2x(y,3 2 1.an -an)Qan1an 0, an 1an3(n2,n又當(dāng)n3 91 時,S1-a241一 a2, a2243(I舍去)a2ai2,故a 31 an2-(n N3所以數(shù)列an是首項為

6、2 斗2、公差為32-2的等差數(shù)列，32-n ； 3(2)得an2時,1a2£a2n94n24(n 1)294 4n2(n1-1214n21n(n 1)n(n 1)2n(2n 1)(n1) n(1n2n)9(4 n12n)9(n 1),8n(n 1)'9(n 1)欲證-8n(n 1)3 一一3 ,只需證23n3 4n22_4n ,即證 4n 7n 30,2設(shè) f (n) 4n7n 3,(n)遞增.而當(dāng)n3時，有f(n) 0成立.所以只需驗證n=2時不等式成立.13分,9事實上，21695294 64 64 6461364214綜上，原不等式成立.一_1-13、已知曲線 C：

7、y , Cn ： y -xx 2 nn N )。從C上的點Qn(Xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn ,再從點Pn作y軸的垂線，Xi 1,anxn 1 xn,bnYn Yn 1。(I)求Qi,Q2的坐標(biāo)；(II)求數(shù)列 an的通項公式；1(III)記數(shù)列an bn的刖n項和為Sn ,求證：Sn 交C于點Qn1人1, yn 1 ),設(shè)3(1)由題意得知 Q1(1,1), P1(1,2) , Q2(3,2 32 3Qn(Xn,yn), Qn 1 (Xn1,Yn1),點Pn的坐標(biāo)為(Xn ,丫口i)Qn,Qn 1在曲線C上,1yn 一Xnyn 1Xn 1又Pn在曲線Cn上,Xn 1Xn2 nXn

8、an 2 n(HI ) Xn(XnXn 1 )(XnXn2)+ (X22 (n1)2(n 2)1(2)n"T"2an bn(Xn 1Xn )(ynyn1) 2 nUXn 17分X1)X1222222 2(212n 2)(22n111)2 2n2 2n,2nSna1b1anbn13 2213 2n(2)n3(17)36.(本小題滿分15分，其中第一小問4分，第二小問6分，第三小問5分)過曲線C : y X3上的點P1(x1,y1)作曲線C的切線l1與曲線C交于P2(X2,幻,過點P2作曲線C的切線l2與曲線 C 交于點P3(X3,y3), 依此類推，可得到點列：Pi(Xi,Y

9、i),P2 ( X2 , y2, P3(x3, y3 ),L , Pn(xn, yn ),L , 已知 X1 1(D求點P2、P3的坐標(biāo).(2)求數(shù)列Xn的通項公式(3)記點P到直線ln i(即直線Pn R 2)的距離為dn ,求證：1 11L 4.di d2dn9【解析】(1) P2( 2, 8),P3(4,64) 4 分2(2)曲線C上點Pn(Xn，yn)處的切線ln的斜率為KYx xn 3Xn，2故得到的萬程為 y yn 3xn (x xn) 6分3y x聯(lián)立方程yyn3x2(xxn)消去 y 得：x33x2x2x303Vn xn化簡彳導(dǎo):(x xn)2 (x 2xn) 0所以：x xn

10、或x2xn 8分由xxn得到點Pn的坐標(biāo)(xn, yn),由x2xn就得到點Pn1的坐標(biāo)(2xn, (2xn )3)所以：xn 12xn故數(shù)列xn為首項為1 ,公比為一2的等比數(shù)列所以：xn2)n 110分(3)由(2)知：Pn 1( 2)n,( 8)n),Pn 2( 2)n1,( 8)n1),所以直線1n的方程為:y( 8)n(8)n(8)n1(x(2)n)y( 8)( 2)n( 2) n 1(x(2)化簡彳導(dǎo):3 4nx y 2 ( 8)n 0 12分dn13 4n ( 2)n 1 ( 8)n 12 ( 8)n | 27 8n (3 4n)2 ( 1)2,9 4n 127 8n 12n3

11、29.2n所以1dn11d1 d218%1、81、 4一(1 -n-) > 一(1 一) 一 dn 9292915分7.已知曲線C：y=x2(x>0),過C上的點A1 (1, 1)作曲線C的切線11交x軸于點B1,再過點B1作y 軸的平行線交曲線 C于點A2,再過點A2作曲線C的切線12交x軸于點B2,再過點B2作y軸的平行線交 曲線C于交A3,，依次作下去，記點An的橫坐標(biāo)為an(nCN*).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,求證：anSn< 1;(3)求證:14n1vaiSi3【解析】曲線C在點An(an,a2)處的切線ln的斜率是2an,，切

12、線ln的方程是y-a2 2an(x an).1由于點Bn的橫坐標(biāo)等于點An+1的橫坐標(biāo)an+1,所以，令y=0 ,得an+1 = an。2，數(shù)歹u an是首項為1,公比為1的等比數(shù)列.21, an=-2n 11(2)Sn=-112121(1-” >令 t=，則 0vt，anSn=4t(1-t)=-4(t- - )2+1. 222當(dāng) t=,即 n=1 時，-4(t)2+1 有最大值 1 ,即 anSn< 1.2221- 1(3) - Sk>k,k N ,-akSk> ,即W.ak Skak1 ;數(shù)列二是首項為1,公比為4的等比數(shù)列aknnn n111441一 <-2

13、 = .i 1aiSii 1ai1 438、(06山東卷)已知 a1二2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x 2+2x的圖象上，其中=1, 2, 3,證明數(shù)列 lg(1+an)是等比數(shù)列；(2)設(shè) Tn=(1+a1)(1+a2)(1+用,求 Tn 及數(shù)列 an的通項；記1 bn=an12，求 bn數(shù)列的前項和 Sn,并證明Sn+-=1.(I)由已知an 1an2 an2an 1 1 (an 1)Qa121 1,兩邊取對數(shù)得lg(1an 1) 2lg(1an),即必1_anil2'lg(1 an)lg(1 an)是公比為2的等比數(shù)列n 1(n)由(i)知 lg(1 an) 2 lg(

14、1ai)2n12n 11 lg3 lg32anI*)Tn(1ai)(1a2)(1+a n)203232132232n-1312 22+2n-132n-1由(*)式得anon 132(出)Q an1a0 2anan (an2)ananan 1an 12 anan2)bn又an2(；an-)1Snbib2+bn2(ia2a2a31+ anan-)12(；-)1Qan2n321,a12,an2n32Sn又Tn2n 132 1Sn3Tn 11.0)引切線，切于不同于 O的點y2),如此繼續(xù)下去，得到點列32,9.(本題滿分16分)由原點O向曲線f(x) x 3ax x (aP1(X1, y1),再由點

15、P1引此曲線的切線，切于不同于P1的點P2(X2,Pn(Xn, yn).(I)求 x1；(n)求證：數(shù)列xn a為等比數(shù)列；(出)令bn n|xn a |, Tn為數(shù)列 bn的前n項的和，若Tn 2 Xn N恒成立，求a的取值范圍.【解析】'2(I ) f (x) 3x 6ax 11 分、一一一，一 2一、過切點P1(x1，y1)的切線方程為y y(3x16ax11)(xx1)322由于切線過原點 O,因此 0 (x1 3ax1 x1) (3x1 6ax1 1)(0 x1)-3斛得x1 a4 分1 2由于切線過點Pn (xn, yn),因此YnYn 12(3xn i 6axn i 1)(xnxn 1)6 分8 分9 分化簡得 xn 2xn 1 3a , xn a 2(xn 1 a)即 xn n-22n 1 axnaa1 ，數(shù)歹U xn a是以x a 為首項，公比為一的等比數(shù)列。22一