2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-第1節(jié)平面向量的概念及線性運算講義(理)(含解析)新人教A版

1、第1節(jié) 平面向量的概念及線性運算考試要求 1.了解向量的實際背景；2.理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義；3.理解向量的幾何表示和基本要素； 4.掌握向量加法、減法的運算， 并理解其幾何意義；5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.|知識析北體取k 1 二回糜效材.:分,實事地知識梳理1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的長度(或模).(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的. 單位向量：長度等于 1個單位白向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定:0

2、與任一向量 相等向量：長度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向里和的運算方 a三角杉法則匕g a及泗邊1即惻(1)交換律：a+ b= b+ a.(2)結(jié)合律：(a + b) + c= a+ (b + c)減法減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量二"三年形法則a- b=a +( b)數(shù)乘求實數(shù)人與向量a的積的運算(1)| 入 al = I 入 II al ;(2)當(dāng)入0時，入a的方向與a的方向相同：當(dāng) 入v 0 時，入a的方向與a的方向入(1 a)=入. a;(入 +) a=入 a+4a;

3、入(a+ b)=a+-b相反;當(dāng)入=0時，入a=03.共線向量定理向量a(aw0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)入，使得b= la.微點提醒1 .一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即A A2+AA3+AA4+A-1A=AiAn,特別地， 一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量.2 .若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則 Op= (OAfOb.基礎(chǔ)自測1 .判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打”或"X”)(1)零向量與任意向量平行.()(2)若 a/ b, b/ c,則 all c.()(3)向量AB知向量CD是共線向量，則 A,

4、 B, C, D四點在一條直線上.()(4)當(dāng)兩個非零向量a, b共線時，一定有b=入a,反之成立.()解析 (2)若b=0,則a與c不一定平行.(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A, B, C, D四點不一定在一條直線上答案 (1)， (2) X (3) X (4) V教材近化2 .(必修4P78A6改編)給出下列命題：零向量的長度為零，方向是任意的；若a, b都是單位向量，則a=b；向量ABWBAW等.則所有正確命題的序號是()A.B.C.D.解析 根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故錯誤；向量AB

5、BAs為相反向量，故錯誤.答案 A3 .(必修4P92A12改編)設(shè)M為平行四邊形 ABCD寸角線的交點，O為平行四邊形 ABC哧在平面內(nèi)任意一點，則 OafObOoOd于()A.B.2OMD.4OMC.3OM解析 O/V O跳 OO OD= (O/V OC+(O跳 OD=2OM" 20M 40M答案 D考題體盼J4.（2019 東莞調(diào)研）如圖所示，已知 A3BC, OAa, OB=b, OC= c,則下列等式中成立的是（）B.c= 2b aC.c= 2a b-31D.c= ,a 2b一 一一 一一 一一一 3一一 3 一一 3一 1 一解析 因為 A J3BC OAa, OB=b,

6、所以 OC=ONAC=O知 2AB= ON 萬(OB-OA =OB- -OA31= ,b 2a.答案 A7 1 5 .（2018 上海靜安區(qū)月考 ）若四邊形 ABClDt足AD= BCt | AB = | DC ,則四邊形 ABCD勺形狀是（）A.等腰梯形B.矩形C.正方形D.菱形解析 因為Ab= 2配 所以Ab/ BC且| AD =2| BC ,所以四邊形 abcm以ad為上底，bc為下底的梯形.又|Ab = |DC,所以梯形ABCD勺兩腰相等.因此四邊形 ABCD1等腰梯形.答案 A6 .（2019 荷澤調(diào)研）設(shè)2與b是兩個不共線向量，且向量 a+入b與（b2a）共線，則 入20解析依題意

7、知向量a+入b與2ab共線，設(shè)a+入b= k（2 ab）,則有（1 2k） a+（ k+入）b=0,所以1 -2k = 0,k+ 入=0,1答案 2苫總聚焦突破以倒不考點一平面向量的概念a b 一，一【例1】（1）設(shè)a, b都是非零向量，下列四個條件中，一定能使/：十七=0成立的是（）|a| b|A.a= 2b-1C.a= 一 二b 3(2)給出下列四個命題：若 | a| = | b| ,則 a=b；B.a/ bD.a± b若A, B, C, D是不共線的四點，則“ XB=女是"四邊形ABC泗平行四邊形”的充要條件;若 a= b, b=c,則 a=c；a= b的充要條件是|

8、 a| = | b|且a / b.其中正確命題的序號是（）A.B.C.a b a bb解析 由詢+由=0得面=由*0，即'=一后D.a| w 0,則a與b共線且方向相一 一八 一 a b八 _反，因此當(dāng)向重a與向重b共線且方向相反時， 能使paj+b"= 0成立.對照各個選項可知,選項A中a與b的方向相同；選項B中a與b共線，方向相同或相反； 選項C中a與b的方向相反；選項D中a與b互相垂直.（2）不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確.Afe=DC，|麗 =|而且的/而 又A, B, C, D是不共線的四點，四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABC

9、時平行四邊形，則|AB =|DCJ,Ab/ DCaA DC"向相同，因此 AB=DC正確.a=b, a, b的長度相等且方向相同，又 b=c,，b, c的長度相等且方向相同, a, c的長度相等且方向相同，故a=c.不正確.當(dāng)a/ b且方向相反時，即使| a| = | b|,也不能得到a= b,故| a| = | b|且a/ b不是a= b的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號是.答案(1)C(2)A規(guī)律方法對于向量的有關(guān)概念應(yīng)注意以下幾點：(1)平行向量就是共線向量，二者是等價的，它們均與起點無關(guān)；非零向量的平行具有傳遞性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是

10、相等向量；相等向量具有傳遞性(2)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負數(shù)，可以比較大小.(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談. aa(4)非零向量a與百的關(guān)系： 商是與a同方向的單位向量.【訓(xùn)練1】(1)如圖，等腰梯形ABCW,對角線AC與BD交于點P,點E, F分別在兩腰 ADBC上，EF過點P,且EF/ AB則下列等式中成立的是 ()a.aD=Bcb.AC=BDD.EP= PFc.pe= PF(2)給出下列說法:非零向量a與b同向是a=b的必要不充分條件;若ABB或線，則 A B, C三點在同一條直線上；a與

11、b是非零向量，若a與b同向，則a與一b反向;設(shè)入，w為實數(shù)，若入a= b,則a與b共線.其中錯誤說法的序號是.解析(1)根據(jù)相等向量的定義， 分析可得ADBC不平行，ACibm平行，所以AD= bc ac=BD勻錯誤，的pF平行，但方向相反也不相等，只有MpF方向相同，且大小都等于線段EF長度的一半，所以EP=PF(2)根據(jù)向量的有關(guān)概念可知正確，錯誤答案 (1)D(2)考點二 平面向量的線性運算多維探究角度1向量的線性運算【例21(2018 全國I卷)在ABB ,AD為BCi上的中線，E為AD的中點，則EB=()3一 1 一1 一 3 一A. -AB- -ACB. -AB- -AC4444C

12、. 4AB+ 4-ACD. 4AB+ 4AC.1>解析 :E是AD的中點，EA= -2AD,1. E B=EAVAB= 2AN A B,又知D是BC的中點，> 1,> >.AD= 2(AB+AQ ,因此 EB= -4( AB+AC+AB= 3AB- 4AC答案 A角度2利用向量線性運算求參數(shù)【例22(1)如圖，在平行四邊形 ABC由，AC, BD相交于點=入BB D入，C R),則入十 等于()32A.1B.7C-43(2)在銳角 ABC中，CM= 3MB AM= xAB+ yACx, y C R),則 j:解析(1) .E為線段AO的中點，一 1 一 1 一 1 一

13、1 1 一B E=二 BA+ -B0= -BA+ 二 X 二 BD 2222 2Q E為線段A0的中點.若BE1DW .1 之，1 a 、2, a=2BAH BD=入 BA+ （1 BD.11 3入 + W =2+4=T（2）由題設(shè)可得 AU CM/bCA= 3d AC3 . Y3-T> 1=4（ AB AC） + AC= 4ABF 4AC貝U x=y=.故一=3.4 4 y答案（1）B（2）3規(guī)律方法 1.解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.2.用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：（1）觀察各向量的位置；（2）尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

14、（3）運用法則找關(guān)系；（4）化簡Z果.【訓(xùn)練2】（1）如圖所示，已知 AB是圓O的直徑，點C, D是半圓弧的兩個三等分點，AB=a, AC= b,貝UAD=()1 1A.a2bB.-a- b2 1C.a+ -bD-a+b3 21 2(2)設(shè) D, E分別是 ABC勺邊 AB BC上的點，AD= -AB, BE= 2BC 若DE=入 1AB+ 入 2AC 入 1,2 3入2為實數(shù)），則入1+入2的值為 解析（1）連接CD由點C, D是半圓弧的三等分點,得 CD/ AB且CD= 2Ab= 2a,1 2>DE= D拼 BE=-AB+ -BC 23所以 AD=AC>CD= b+1a.（2）

15、 = 2AB+ 3( AC-麗=6AB+ 3ACDEi=入 iA打入 G，=-；,入2= I， 63、1因此入1 + X 2=2-1答案（1）D（2） 2考點三共線向量定理及其應(yīng)用【例3】 設(shè)兩個非零向量 a與b不共線.(1)若AB= a + b, 亂2a+8b, CD= 3(ab).求證：A, B, D三點共線;(2)試確定實數(shù)k,使ka+ b和a+ kb共線.(1)證明AB= a + b, Bb= 2a+8b, 也 3(a-b).BD=B>CD= 2a+8b+3（ab） =2a+ 8b+ 3a-3b= 5（a+ b） = 5AB .昭 Bfe線，又它們有公共點B,.A, B, D三點

16、共線.（2）解 . ka+b與a+kb共線，存在實數(shù)入，使 ka+ b=入（a+ kb）,即 ka+ b=入 a+ 入 kb, " （k 入）a=（入 k 1）b. a, b是不共線的兩個非零向量，k 入=入 k 1 = 0,k2 1 = 0,k=±1.規(guī)律方法1.證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線2.向量a, b共線是指存在不全為零的實數(shù)【訓(xùn)練3】（1）已知a, b是不共線的向量,C三點共線的充要條件為（）A.入 += 2C.入（1 = 1入1,入2,使入1a+入2b = 0成立.AB=入

17、 a + b, AC= a+ b,入，C R,則 A B,B.入一 (1=1D.入(1=1 （2）（ 一題多解）已知A, B, C是直線l上不同的三個點，點O不在直線l上，則使等式x2O知xO中BC= 0成立的實數(shù)x的取值集合為（）A.0B.?C. -1D.0 , 1解析 (1)因為A, B, C三點共線，所以XB/AC設(shè)麗=mApm0),則入a+b=m(a+ wb),所以所以入！ = 1.(2)法一 若要 x2OAfxOBBC= 0 成立，BC、須與 x2OAfxOfe線，由于 OA-Ob=bAa<BC 線，所以O(shè)m口Ob勺系數(shù)必須互為相反數(shù)，則 x2=- x,解得*=?；?=1,而當(dāng)

18、x=o時， BC= 0,此時b, c兩點重合，不合題意，舍去 .故x=1.2法二 . BC=OC-OB . . x OAF xO跳 OC-OB= 0,即OC= x2OA (x1)OB . A, B, C三點共線，一x2 (x 1) = 1,即 x2+ x= 0,解得 x = 0 或 x= 1.當(dāng) x=0 時，x2OAb xOB BC= 0,此 時B, C兩點重合，不合題意，舍去 .故x= 1.答案(1)D(2)C注. . I思維升華1 .向量線性運算的三要素向量的線性運算滿足三角形法則和平行四邊形法則，向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向

19、被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”.2 .三個常用結(jié)論(1) O為ABC勺重心的充要條件是 OAFOBbOC= 0;(2)四邊形ABC珅，E為AD的中點，F(xiàn)為BC的中點，則AB+DC= 2EF;對于平面上的任一點 Q OA OE不共線，滿足OaxOAFyOSx, ye R),則P, A, B共線? x+ y= 1.注意向量共線與三點共線的區(qū)別.易錯防范1 .解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.2 .在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯誤.|分層限

20、時黃煉分二心，出力也力基礎(chǔ)鞏固題組（建議用時：35分鐘）一、選擇題1 .已知下列各式： 超 BUCa通 Mb B）OmOu 0% BU CO ab-aCbdCd其中結(jié)果為零向量的個數(shù)為 （）A.1B.2C.3D.4解析由題知結(jié)果為零向量的是，故選 B.答案 B2 .如圖，在正六邊形 ABCDEF, BA CD> EF=（）A.0B.BEC.ADd.Cf解析 由題圖知 BA+ Cd>Ef=孤 Af+Cb= CWBf= CF答案 d3 .設(shè)a是非零向量，入是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）2A.a與入a的萬向相反B.a與入a的萬向相同C.| 入 a| > | a|D.| 入 a|

21、 > | 入 | , a解析 對于A,當(dāng)人>0時，a與入a的方向相同，當(dāng) 入<0時，a與入a的方向相反，B 正確；對于C, | 入a| = | 一入| a| ,由于| 入|的大小不確定，故| 入a|與| a|的大小關(guān) 系不確定；對于 D, |入|a是向量，而| 入a|表示長度，兩者不能比較大小.答案 B4 .已知XB= a+2b, 鼠 5a+6b, CD= 7a 2b,則下列一定共線的三點是 ()A.A,B,CB.A,B,DC.B,C,DD.A,C,D解析 因為 Ab=AB+BC>CD= 3a+6b=3(a+2b) = 3AB,又Ab, AD!公共點 A 所以 A, B

22、, D三點共線.答案 B5 .設(shè)D, E, F分別為 ABC勺三邊BC CA AB的中點，則 揄 FC=( ) ef 1f 1 >A.B CB.-ADC.A DD. -BC221>解析 如圖，EB+ FC= Et> CB FB+ BC= EC> FB= 2( AO A B =- - 2A> AD答案 C6 .（2019 -唐山二模）已知O是正方形 ABCD勺中心.若DO= XAB+ AC其中 入，w C R,則A.-2B. -1C.小D./2解析 DO= DAvAb=®Ab= AB-A> 1Ao=AB-1AC入=1, = -,因此2 = _2.22

23、2w答案 A7 .如圖所示，在 ABC4點O是BC的中點，過點 O的直線分別交直線 AB AC于不同的兩點M N,若AB= mAM AC= nAN則班n的值為（）A.1B.2C.3D.4解析 :。為BC的中點,> 1,> > A 0= 2( AB+AO1, 、m-> n-=2( mAM nAN = 2AM 2AN m n- M, 0, N二點共線，2+ 2=1，n= 2.答案 B8.在ABC4點D在線段BC的延長線上，且BO= 3由點0在線段CD上(與點C, D不重合)，若A0= xAB+ (1 x) AC則x的取值范圍是()A. 0, 1B. 0, 123C. -1,

24、 0D. -1 023解析設(shè)&> yBc因為 A0= ACC- C0= ACC- yBC= ACC- y( AC- AE) = yAB-F (1 + y) AC因為Bb= 3CD點0在線段CD上(與點C, D不重合)，,1所以yC 0,-, 3因為 A0= xAB+ (1 -x) AC所以x=- y,所以xC 1, 0 . 3答案 D二、填空題9.如圖，點0是正六邊形ABCDE的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，與向量0Af等的向量有 個.解析 根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義，易知與向量06目等的向量有CB D0 EF,共3個.答案 310 .設(shè)向量a,

25、 b不平行，向量 入a+b與a+2b平行，則實數(shù) 入=.解析 ,向量a, b不平行，a+2bw0,又向量 入a + b與a+2b平行，則存在唯一的實數(shù)八.一 .一 . fI = W一1,使 入 a + b= (1 (a + 2b)成立，即 入 a+ b= a + 2b,則得斛得 入=.1 = 2-2答案211 .在ABC 點 M N滿足 AM= 2MC BN=NC 若Mn= xAB+ yAC 則 x+y=解析 由題中條件得，MN= MO CN= 1Am 108= 1AC> ；(AB- Ac) 323211 >=AB-瞪0= xAB+ yAG一， 1所以x= 1 y =1,因止匕 x

26、+y=1-1=1. 62 6 3-1答案312.（2019 清華大學(xué)自主招生能力測試）設(shè)O在ABC勺內(nèi)部，D為AB的中點，且OAfQB20G= 0,則ABCW面積與 AOC勺面積的比值為解析.為AB的中點，則 0D= 2（OafOe8,又 ON 0+ 200= 0,，0D= 0c o為 cd勺中點.又D為AB的中點,1 1S/ ABCSaaoc= "Saadc= _Saabc) 則=4.2 4Sa AOC答案 4能力提升題組（建議用時：15分鐘）13.已知點Q A, B不在同一條直線上，點 P為該平面上一點，且 2022OABA則（）A.點P在線段AB上B.點P在線段AB的反向延長線上C.點P在線段AB的延長線上D.點P不在直線AB上解析 因為2OP= 2OAfBA，所以2AP=BA所以點P在線段AB的反向延長線上，故選 B.答案 B 14.（2019 青島二模）設(shè)D, E, F分別為 ABCH邊BC CA AB的中點，則DAV 2EB+ 3七3B.2AD1 一A.2ADC.2ACD.2A