第九章用MATLAB求二元泰勒展開式

1、第九章 用MATLAB求二元泰勒展開式1級數(shù)求和命令S=symsum(u,t,a,b)的功能是計算級數(shù)和S=。其中u是包含符號變量t的表達(dá)式，是待求和級數(shù)的通項。當(dāng)u的表達(dá)式中只含一個變量時，參數(shù)t可省略。例9.11.1判斷下列級數(shù)是否收斂，如收斂則求其和：，解 創(chuàng)建符號變量n和x,用symsum命令計算各級數(shù)的和：syms n x symsum(1/n,1,inf) ans= inf知級數(shù)發(fā)散至無窮大。 symsum(1/n2,1,inf) ans= 1/6*pi2知級數(shù)收斂，且其和為 對級數(shù)，由于其通項中包含兩個變量x和n，故使用symsum命令時須指定求和變量是n：un=x2/(1+x2

2、)n; symsun(un,n,0,inf) ans= 1+x2得和函數(shù)為1+x2 對有些級數(shù)，symsum命令不能求得其和，從而也無法得知其斂散性。此時，可使用MATLAB的數(shù)值計算功能進(jìn)行處理。例9.11.2試求級數(shù)的和解 用symsum命令求解：syms n symsum(log(1+1/n2),1,inf) ans= sum(log(1+1/n2),n=1.inf)此結(jié)果表示symsum命令不能求得其和。我們轉(zhuǎn)而采用數(shù)值方法計算部分和。將下面的程序存入一個m文件中： clear all n=9000; %部分和的項數(shù) Sn=0; for k=1:n Sn= Sn+log(1+1/k2)

3、; end fprintf(Sn=%f,(n=%d), Sn,n)執(zhí)行該程序，顯示結(jié)果為 Sn=1.301735，（n=9000）再對程序中的變量n分別賦值n=9000 ，n=900000 ，n=9000000并執(zhí)行程序，得計算結(jié)果為：Sn=1.301835，（n=9000 ）Sn=1.301845，（n=900000） Sn=1.301846，（n=9000000）由此看出，隨著n增大，Sn趨于1.30185。故知該級數(shù)收斂，且其和約為1.301852泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開命令是taylor,其調(diào)用格式為 r=taylor(f,n,x,a).該命令的功能是將符號函數(shù)f展開成（x-a）的n-

4、1階泰勒多項式。其中x是待展開的符號變量，其缺省值為最接近x的字母。n的缺省值為n=6,a的缺省值為a=0。例9.11.3將分別展開為x和x-1的冪級數(shù)。解 首先創(chuàng)建符號變量x及函數(shù)f：syms x f=x/sqrt(1+x2); 計算關(guān)于x展式的前8項：taylor(f,8)ans=x-1/2*x3+3/8*x5-5/16*x7計算關(guān)于x-1展式的前3項：taylor(f,3,x,1) ans=1/2*2(1/2)+1/4*2(1/2)*(x-1)-16/3*2(1/2)*(x-1)/2即。3傅里葉級數(shù)展開 到目前為止，MATLAB中還沒有專門計算傅里葉展開式的命令。但根據(jù)尤拉-傅里葉公式,

5、用int命令很容易算出傅里葉級數(shù)的系數(shù)：syms n xa0=int(f,-pi,pi)/pian= int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pibn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi其中f為含符號變量x的待展開函數(shù)。 類似可得，對周期為2l的函數(shù)，計算其傅里葉系數(shù)的命令為 a0=int(f,-l,l)/lan= int(f*cos(n*pi*x/l),-l,l)/lbn=int(f*sin(n*pi*x/l),-l,l)/l.例9.11.4 用MATLAB求的傅里葉展開式。解syms k n x a0=int(k,x,0,2) a0=kan=int(k*cos(n*p

6、i*x/2),x,0,2)/2 an=sin(n*pi)*k/n/pibn= int(k*sin (n*pi*x/2),x,0,2)/2 bn=-k*(cos(n*pi)-1)/n/pi注意MATLAB不能把sin（n*pi）化為0，也不能把cos（n*pi）化為(-1)例9.11.5本例中的程序演示了用正弦波迭加逼近方波的過程。取例9.11.4中所得傅里葉級數(shù)的前m項作和，記為這是m個正弦波的合成波。執(zhí)行下面程序可觀察到，隨著m逐漸增大，的波形逐漸逼近f(x)（周期性延拓后）的波形，圖1與圖2分別是該程序執(zhí)行中當(dāng)m=3和m=6時的快照 m = 40;k = 1;syms xhold onSm = k/2;for n = 1:m fn = 2*k*sin(2*n-1)*pi*x/2)/(2*n-1)/pi; Sm = Sm + fn; clf subplo