2020-2021中考數(shù)學復習《直角三角形的邊角關系》專項綜合練習及答案

1、2020-2021中考數(shù)學復習直角三角形的邊角關系專項綜合練習及答案一、直角三角形的邊角關系1 . (6分)某海域有 A, B兩個港口， B港口在A港口北偏西30 °方向上，距 A港口 60海里，有一艘船從 A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達位于B港口南偏東75。方向的C處，求該船與B港口之間的距離即CB的長(結果保留根號)【解析】試題分析：作 ADXBCT D,于是有/ABD=45,得至U AD=BD=°7 ,求出Z C=6(J ,根據(jù) 正切的定義求出 CD的長，得到答案.試題解析：作 ADXBCT D, . /EAB=30, AE/ BF, . . / FBA=

2、30 ,又 / FBC=75,/ ABD=45 ；又 AB=60,AD=BD=0，2,/ BAC=Z BAE+/ CAE=75 ； Z ABC=45 ,AD，/C=60；在 RtACD中，/C=60； AD=°V7,則 tanC=人 , . CD= '戶=°*再, .BC3°，2 +1°5.故該船與B港口之間的距離CB的長為3口d+ 1°W海里.考點：解直角三角形的應用 -方向角問題.,一 k2.如圖，反比例函數(shù) y k 0的圖象與正比例函數(shù) y 2x的圖象相交于 xA(1,a),B兩點，點C在第四象限，CA / y軸， ABC 90

3、.(1)求k的值及點B的坐標；(2)求tanC的值.【答案】(1) k 2, B 1, 2 ； (2) 2.【解析】【分析】(1)先根據(jù)點A在直線y=2x上，求得點A的坐標，再根據(jù)點 A在反比例函數(shù)ky k 0的圖象上，利用待定系數(shù)法求得k的值，再根據(jù)點 A、B關于原點對稱即可x求得點B的坐標；(2)作BH, AC于H,設AC交X軸于點D,根據(jù) ABC 90 , BHC 90，可得C ABH ,再由已知可得 AOD ABH ,從而得 C AOD ,求出tanC 即可.【詳解】(1) ,一點A(1, a)在y 2x上， a=2, A(1, 2),k把A(1, 2)代入y 得k 2, xk 反比例

4、函數(shù)y - k 0的圖象與正比例函數(shù) y 2x的圖象交于 A，B兩點， x A B兩點關于原點。中心對稱，B 1, 2 ；(2)作BHI± AC于H,設AC交x軸于點D,ABC 90 , BHC 90 , C ABH ,CA/ y 軸， BH / x軸，AOD ABH , . C AOD ,AD 2tanC tan AOD - 2.OD 1【點睛】本題考查了反比例與一次函數(shù)綜合問題，涉及到待定系數(shù)法、中心對稱、三角函數(shù)等知識，熟練掌握和應用相關知識是解題的關鍵，（2）小題求出/C=/AOD是關鍵.3.如圖，在 4ABC中，Z ABC= 90°,以AB的中點。為圓心，OA為半

5、徑的圓交 AC于點 D, E是BC的中點，連接DE, OE.（1）判斷DE與。的位置關系，并說明理由；（2）求證：BG = 2CD?OE；314（3）若 cos BAD , BE ，求 OE 的長.35【答案】（1） DE為。的切線，理由見解析；（2）證明見解析；（3） OE =35 .6【解析】試題分析：（1）連接OD, BD,由直徑所對的圓周角是直角得到/ADB為直角，可得出 BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半， 得到CE=DE從而得/C=/ CDE,再由OA=OD,得/A=/ADO,由RtABC中兩銳角互 余，從而可得/ADO與/CDE互余，可

6、得出/ODE為直角，即DE垂直于半徑 OD,可得出 DE為。的切線；（2）由已知可得 OE是4ABC的中位線，從而有 AC=2OE再由/ C=/ C, / ABC=/ BDC, 可得ABJBDC,根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可證得；（3）在直角 ABC中，利用勾股定理求得 AC的長，根據(jù)三角形中位線定理 OE的長即可 求得.試題解析：（1） DE為。的切線，理由如下：.AB為。的直徑，/ ADB=90 ；在RtBDC中，E為斜邊BC的中點,1.CE=DE=BE=. BC,/ C=Z CDE,1.OA=OD,/ A=Z ADO,/ ABC=90 ,°/ C+Z A=90 ;a A

7、 ADO+Z CDE=90,°/ ODE=90 ； .DEXOD,又OD為圓的半徑，.DE為。O的切線；(2) £是BC的中點，O點是AB的中點,.OE是 ABC的中位線， .AC=2OE / C=Z C, / ABC=Z BDC,.ABCABDC,BC ACCDC,即 BC2=AC?CDBC2=2CD?OE，一 3(3)解：cos/ BAD=-,BC 4 sin Z BAC=,AC 5_M 一一 .28又.BE=V, E是BC的中點，即 BCy ,33一 35 .AC-,又 AC-2OE一 1 一 351 OE- AC-.2 b考點：1、切線的判定；2、相似三角形的判定與

8、性質(zhì)；3、三角函數(shù)4.如圖，某公園內(nèi)有一座古塔 AB,在塔的北面有一棟建筑物，某日上午 水平面的夾角為32 ,此時塔在建筑物的墻上留下了高 3米的影子CD.與地面的夾角為45。，此時塔尖A在地面上的影子 E與墻角C的距離為 一條直線上），求塔 AB的高度.（結果精確到0.01米）參考數(shù)據(jù)：sin32 ° =0.5299Cos32° = 0.84§0tan32 ° 0.624 & 1.41429時太陽光線與中午12時太陽光線15 米（B、E、C 在【答案】塔高 AB約為32.99米.【解析】【分析】過點D作DHLAB,垂足為點H,設AB= x,則A

9、H= x- 3,解直角三角形即可得到結論. 【詳解】解：過點D作DHLAB,垂足為點 H.°/ ADH = 32 .=BC, /ABC =/ AHD = 90；設 AB = x,則 AH = x - 3.AB 在 RtABE中，由 /AEB = 45 ；得 tan AEB tan45 1EBEB = AB = x.HD = BC = BE + EC= x + 15.在RtAHD中，由Z AHD = 90 ；得 tan ADHAHHD即得tan32x 3x 15解得x15 tan32 31 tan3232.99 .塔高AB約為32.99米.【點睛】 本題考查的是解直角三角形的應用，根據(jù)

10、題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題 的關鍵.5.我市在創(chuàng)建全國文明城市的過程中，某社區(qū)在甲樓的A處與E處之間懸掛了一副宣傳條幅，在乙樓頂部 C點測得條幅頂端 A點的仰角為45。，條幅底端E點的俯角為30。，若甲、乙兩樓之間的水平距離BD為12米，求條幅AE的長度.（結果保留根號）【答案】AE的長為(12 4蜴【解析】【分析】在RtVACF中求AF的長，在RtVCEF中求EF的長，即可求解.【詳解】過點C作CF AB于點F由題知：四邊形CDBF為矩形CF DB 12在 RtVACF 中， ACF 45AFtan ACF1CFAF 12在 RtVCEF 中， ECF 30tan ECF E

11、F CFEF 3123EF 4 . 3AE AF EF 12 4.3求得AE的長為12 4J3【點睛】本題考查了三角函數(shù)的實際應用 ，中等難度，作輔助線構造直角三角形是解題關鍵6.如圖，已知，在 e O中，弦AB與弦CD相交于點E ,且Ac Bd .(1)求證：AB CD;(2)如圖，若直徑FG經(jīng)過點E,求證:EO平分 AED;(3)如圖，在(2)的條件下，點P在CG上，連接FP交AB于點M ,連接MG ,若AB CD , MG 平分 PMB , MG2 , FMG的面積為2,求e O的半徑的長.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)e O的半徑的長為J10.(1)利用相等的弧所對的弦相等

12、進行證明；(2)連接AO、DO ,過點。作OJAB于點J , OQ CD于點Q ,證明AOJ(3)如圖,DOQ得出OJ OQ ,根據(jù)角平分線的判定定理可得結論；延長 GM交e O于點H ,連接HF ,求出FH 2 ,在HG上取點L ,使HLFHLKKG,延長FL交e O于點K ,連接KG ,求出n , FK FL LK 272 n ,22FL 272，設 HM再證明KFGEMG HMF ,從而得到 tan KFGtanLK和FK的值可得n=4,再求得FG的長，最后得到圓的半徑為 【詳解】KG HMF ,FK 樂.-HF ,再代入HM解：(1)證明： Ac Bd， Ac Cb ?d Cb， ，如

13、 Cd ,AB CD.(2)證明：如圖，連接 AO、DO,過點。作OJ AB于點J,OQ CD于點Q ,八 11_AJODQO 90 , AJ AB -CD DQ ,22又. AO DO,AOJ DOQ ,OJ OQ ,又 OJ AB, OQ CD ,，EO 平分 AED .(3)解： CD AB, . AED 90 ,_1_由(2)知， AEF AED 45 , 2如圖，延長GM交e O于點H ,連接HF ,1 , FG 為直徑， H 90 , S mfg - MG FH 2, 2 MG 2, FH 2,在HG上取點L ,使HL FH ,延長FL交e O于點K ,連接KG ,HFL HLF

14、45 , KLG HLF 45 , FG 為直徑，K 90 ,KGL 90 KLG 45 KLG , LK KG ,在 Rt FHL 中，fl2 FHHL2，F(xiàn)L 272，設 HM n, HL MG 2, GL LM MG HL LM HM n ,在 Rt LGK 中，LG2 LK2 KG2, LK KG n,22FK FL LK 2V2 n, 2 GMP GMB， : PMG HMF , ， HMF GMB ,1MGF KFG HLF 45 , AEF AED 45 , 2 MGFEMGMEF 45 , KFGEMGHMF ,tan KFG tan HMF ,/2n.KG HF2 n 2一,

15、J ?FK HM 2 22 n n2HG HM MG 6,在 Rt HFG 中，F(xiàn)G2 FH 2 HG2,FG 2.10, FO .10 .即e O的半徑的長為J10.【點睛】考查了圓的綜合題，本題是垂徑定理、圓周角定理以及三角函數(shù)等的綜合應用，適當?shù)奶?加輔助線是解題的關鍵.7 .如圖，在矩形 ABCD中，AB=6cm, AD= 8cm,連接BD,將ABD繞B點作順時針方向 旋轉(zhuǎn)得到ABD'(B與B重合)，且點 D剛好落在BC的延長上，AD與CD相交于點E.(1)求矩形ABCD與ABD重疊部分(如圖1中陰影部分ABCE)的面積；(2)將ABD以每秒2cm的速度沿直線BC向右平移，如圖

16、2,當B移動到C點時停止移 動.設矩形ABCD與AABD重疊部分的面積為 v,移動的時間為 x,請你直接寫出y關于x 的函數(shù)關系式，并指出自變量 x的取值范圍；在，請你直接寫出對應的 x的值，若不存在，請你說明理由.(3)在(2)的平移過程中，是否存在這樣的時間x,使得AAA'B成為等腰三角形？若存1）竺；（2）2詳見解析；（3）使得AAAB成為等腰三角形的x的值有：0秒、3秒、2【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知B'd'= BD= 10, CD'= BD - BC= 2,由 tan/BDA'=A'B' CE 可求出CE(A'

17、;D' CD'即可計算CED'的面積， SABCE= Sabd> - Sced；，一一，11 - , 11一一，（2）分類討論，當。蟲 J 時和當 <xW4時，分別列出函數(shù)表達式;（3）分類討論，當 AB'= AB時；當AA'= AB時；當AB'= AA'時，根據(jù)勾股定理列方程即 可.【詳解】解：（1）AB=6cm, AD= 8cm, .BD=10cm,CD'=B'D' BC= 2cm,. tanZ BDA =A'B'A'D'CECD'.CE=CE23cm,2Sa

18、bce= Sbd-8Sced=45 ,人(cm2)；211 ,(2)當 0a 一時，CD= 2x+2,5CE= - (x+1),2Sa cd e= - x2+3x+,尸9”|x2-3x- 2 =3 : 2x2 。 452 3x+ ；2BC= 8- 2x,CE=4 ，一 (8 2x)31 4y 82 3(3)如圖1,28 22x = - x264128IT x+-當 AB'= AB時，x=0 秒;根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 BD=BD=10cm,如圖 2 當 AA = AB 時 AN = BM=BB' BM = 2x+18 , A'M=NB= 24, ，55.AN2+A'

19、N2=36,''' ( 6 -)之+ (2x+ ) 2= 36,55解得：x=6正9, x= 6袤9 （舍去）； 如圖 2,當 AB'= AA時，AN=BM=BB' BM=2x+18 , AM =NB= 4 , .AB2+BB 2=AN2+AN2.36+4x2= ( 6- -24 ) 2+ (2x+18) 2.一 3解得：x= 一2綜上所述，使得 4 AAB成為等腰三角形的x的值有：0秒、3秒、°娓 925二£CB R，萬 M圖2【點睛】本題主要考查了圖形的平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，能夠數(shù)形結合，運用分類討論的思想方法全 面的分析問題，思考

20、問題是解決問題的關鍵. ABC 中，/A、/B、/C 的對8 .閱讀下面材料：觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題.在銳角邊分別是a、b、c,過A作AD，BC于D （如圖），ADADsinB= , sinC=,即 AD=csinB,AD=bsinC,于b是 csinB=bsinC,即sin Bsin Ccsin C3 sin Aasin Ab ,所以sin Bsin A sin B sinC即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.在銳角三角形中,若已知三個元素(至少有一條邊)，運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素.根據(jù)上述材料，完成下列各題.(1)如圖，4ABC中，

21、ZB=75°, / C= 45°, BC= 60,則 AB=;(2)如圖，一貨輪在 C處測得燈塔A在貨輪的北偏西 30。的方向上，隨后貨輪以 60海里/時的速度按北偏東 30。的方向航行，半小時后到達 B處，此時又測得燈塔 A在貨輪的北偏西75°的方向上(如圖)，求此時貨輪距燈塔A的距離AB.(3)在(2)的條件下，試求 75。的正弦值.(結果保留根號)【答案】(1) 20而;(2) 15點海里;(3)6+ 24【分析】(1)根據(jù)材料：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，寫出比例關系，代入 數(shù)值即可求得AB的值.(2)此題可先由速度和時間求出 BC的距離

22、，再由各方向角得出 / A的角度，過B作BMLAC于M,求出/ MBC=30 ,求出 MC,由勾股定理求出 BM,求出 AM、BM的長，由勾股定理求出AB即可;(3)在三角形 ABC中，ZA=45, / ABC=75, Z ACB=60,過點C作AC的垂線BD,構造直角三角形ABD, BCD,在直角三角形 ABD中可求出AD的長，進而可求出 sin75的值. 【詳解】解：(1)在 4ABC 中，/B=75, /C=45, BC=60,則 / A=60°,AB BC =, sinC sinA.AB 60 sin45o sin60AB 60即 >/2 = 33 , 22解得：AB=

23、20,6 .(2)如圖，依題意：BC=60< 0.5=30 (海里)1. CD/ BE, / DCB+/ CBE=180/ DCB=30 ,° ./CBE=150 ° / ABE=75 .°/ ABC=75 ,°/ A=45 ,°在 ABC中,AB BC AB 30=sin ACB sin A sin60? sin45?解之得：AB=15 6 .答：貨輪距燈塔的距離 AB=15j6海里.(3)過點B作AC的垂線BM,垂足為M.E在直角三角形 ABM中，/A=45, AB=15j6,所以AM=15，3,在直角三角形 BDC中，Z BCM=6

24、0 , BC=30 ,可求得 CM=15,所以 AC=15 .3+15,由題意得，15百15二哽,而75=邑2 . sin75 sin604【點睛】本題考查方向角的含義，三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解題關鍵是熟練掌握解直角三角形方法.9 .如圖，在 RtABC中，Z C= 90°, /A=30°, AB= 4,動點 P從點A出發(fā)，沿 AB以每 秒2個單位長度的速度向終點 B運動.過點P作PD, AC于點D(點P不與點A, B重合)， 作/DPQ= 60°,邊PQ交射線DC于點Q.設點P的運動時間為t秒.(1)用含t的

25、代數(shù)式表示線段 DC的長： ；(2)當t =時，點Q與點C重合時；(3)當線段PQ的垂直平分線經(jīng)過 4ABC一邊中點時，求出t的值.II 3 51【答案】(1) 2#取 (2) 1; (3) t的值為有或不或【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函數(shù)求出 AD,即可得出結論；(2)利用AQ=AQ即可得出結論；(3)分三種情況，利用銳角三角函數(shù)，即可得出結論.【詳解】(1) AP=九,AB=4,/A=30°.AC= , AD=.CD=2飛芳(2) AQ=2AD=2i當AQ=AC時，Q與C重合即 =-.t=1 ;(3) 如圖，當PQ的垂直平分線過 AB的中點F時，111111/ PGF

26、= 90 ； PG= ：PQ=彳AP= t, AF=AB= 2. /A=/AQP= 30 °, ，/FPG= 60； . . / PFG= 30 °, . . PF= 2PG= 2t,.AP+PF= 2t + 2t = 2, .1.t = 如圖，當PQ的垂直平分線過 AC的中點N時,/ QMN = 90 ;在 RtA NMQ 中,AN= AC= 3 , QM =MQ 入K嚴=AP=t.AN + NQ= AQ,2/33 + f - 2 畫，, , t 二孑 如圖，當PQ的垂直平分線過 BC的中點F時,.BF= BC= 1,11PE= qPQ=t, / H= 30： / ABC

27、= 60 ；在 RtA PEH 中,/ BFH= 30 = / H,BH= BF= 1.PH=2PE= 2t. AH=AP+ PH=AB+ BH, ，2t+2t=5, ，t =54,即當線段PQ的垂直平分線經(jīng)過 ABC一邊中點時，t的值為彳或彳或工【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線 的性質(zhì)，正確作出圖形是解本題的關鍵.10.現(xiàn)有一個Z型的工件（工件厚度忽略不計），如圖所示，其中60cm, /ABC= 90, / BCD= 60 °,求該工件如圖擺放時的高度（即0.1m,參考數(shù)據(jù)：m=1.73AB 為 20cm, BC為A到CD的距【

28、答案】工件如圖擺放時的高度約為【解析】61.9cm.【分析】過點 A 作 AP，CD 于點 P,交 BC 于點 Q,由/CQP=/AQB、/ CPQ= / B= 90° 知 / A= / C = 60°,在4ABQ中求得分別求得 AQ、BQ的長，結合 BC知CQ的長，在4CPQ中可得PQ,根據(jù)AP = AQ+PQ得出答案.【詳解】 解：如圖，過點 A作AP，CD于點P,交BC于點Q,Z CQP= ZAQB, /CPQ=/B=90/ A= / C= 60 °,AB 20= 40在4ABQ 中，. AQ=cos,1(cm),2BQ=ABtanA= 20tan60 =

29、20 口（cm）,.CQ= BC- BQ=60- 203（加，在ACPQ中，PQ= CQsinC= （ 60 20、？）sin60 = 30 （、一 1） cm,.AP = AQ+PQ= 40+30 （3 1） = 61.9cm）,答：工件如圖擺放時的高度約為61.9cm.【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數(shù)的定義求得相關線段的長度是解題 的關鍵.3 一11.如圖，在4ABC中，AC BC 10, cosC ,點P是BC邊上一動點（不與點 A,C 5重合），以PA長為半徑的e P與邊AB的另一個交點為 D ,過點D作DE CB于點E.1當e P與邊BC相切時，求e P的半徑

30、；2聯(lián)結BP交DE于點F ,設AP的長為x , PF的長為y ,求y關于x的函數(shù)解析式, 并直接寫出x的取值范圍；3在2的條件下，當以PE長為直徑的e Q與e P相交于AC邊上的點G時，求相交所得的公共弦的長.5x，x2 8x 800 x 10 ； (3)10 2453x 20一 40【答案】(1) 40 ； (2)93 一(1)設。P與邊BC相切的切點為 H,圓的半徑為 R,連接HP,則HP± BC, cosC，則5sinC=4, sinC=HP 5 CP 104 r一.=4,即可求解;R 5一 EB(2) PD/ BE,貝U PD%即:PF2 x5x收 8x 80 y ,即可求解

31、;(2)在 ABC 中，AC=BC=10-3cosC=一,5(3)證明四邊形 PDBE為平行四邊形，貝U AG=GP=BD即：AB=DB+AD=AG+AD=4/5 ,即可求解.【詳解】(1)設。P與邊BC相切的切點為 H,圓的半徑為 R,皿 3則 sinC=,5HP R 4 sinC=,斛得:CP 10 R 5設 AP=PD=x, /A=/ABC書，過點 B 作 BH，AC,貝U BH=ACsinC=8同理可得：CH=6, HA=4, AB=4"，貝U: tan / CAB=2BP=j82x 4 2 ="x2 8x 80 ,DA= 2 而x,貝U BD=45/5 - 24x,55