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1、1.7 1.7 無窮小的比無窮小的比較較 燕列雅燕列雅 權豫西權豫西 王蘭芳王蘭芳 李琪李琪 第1章 ,0時xxxxsin,32都是無窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可見同樣是無窮小，但它們趨于可見同樣是無窮小，但它們趨于 0 的速度有所不同的速度有所不同 . 定義定義4,0lim若若則稱則稱 是比是比 高階高階的無窮小的無窮小,)(o若若, 1lim若若,0limC或或,設設是自變量同一變化過程中的無窮小是自變量同一變化過程中的無窮小,記作記作則稱則稱 是是 的的同階同階無窮小無窮小;則稱則稱 是是 的的等價等價無窮小無窮小,

2、記作記作例如例如 , 當當)(o0 x時時3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故故0 x時時,xcos1和和 x 的同階無窮小的同階無窮小,xcos1221x且且定理定理2 設設,且且lim存在存在 , 則則lim lim證證 limlim limlimlim lim由定理，對于自變量的同一變化過程由定理，對于自變量的同一變化過程 , , 為為無窮小的性質無窮小的性質, 可簡化某些極限的運可簡化某些極限的運無窮小，無窮小，由等價由等價算算. 例例1 求求xxx5sin2tanlim0 xxx52lim05

3、2.sintanlim30 xxxx30limxxxx原原式式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例2 求求解解 原式原式 解解 原式原式 ,0時當 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x常用等價無窮小常用等價無窮小 : 思考與練習思考與練習1. 填空題填空題sin1)lim_ ;xxx12)lim sin_ ;xxx013)limsin_ ;xxx14)lim(1)_.nnn0101e2. 求求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令令,1xt tttt1111lim2021則則原式原式 =22011limttt111lim20tt 0t 作作 業(yè)業(yè)?321lim2222nnnnnn解解原式原式22) 1(limnnnn)11(21limnn213.原式原式2222123limlimlimlim0nnnnnnnnn利用等價無窮小代換

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