八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)案-圖形平移與旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)+考點(diǎn)

1、第三講：圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 【知識(shí)精講】知識(shí)點(diǎn)1 平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別。三者概念的區(qū)別：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移；在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)；在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某條直線折疊。如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱。三者運(yùn)動(dòng)方式不同：平移是將圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離。旋轉(zhuǎn)是將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度；軸對(duì)稱是將圖形沿著某一條直線折疊。對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系不同：平移變換前后圖形的對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等；對(duì)應(yīng)角的

2、兩邊分別平行且對(duì)應(yīng)角的方向一致。軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)在對(duì)稱軸上：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分。旋轉(zhuǎn)變換前后圖形的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角是旋轉(zhuǎn)角。三者作圖所需的條件不同：平移要有平移的方向和平移的距離，旋轉(zhuǎn)要有旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角：軸對(duì)稱要有對(duì)稱軸。（2）聯(lián)系。它們都在平面內(nèi)進(jìn)行圖形變換它們都只改變圖形的位置不改變圖形的形狀和大小，因此變換前后的兩個(gè)圖形全等。都要借助尺規(guī)作圖及全等三角形的知識(shí)作圖。知識(shí)點(diǎn)2 組合圖案的形成（1）確定圖案中的“基本圖案”。（2）發(fā)現(xiàn)該圖案各組成部分之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）探索該圖案的形成過(guò)程：運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、

3、軸對(duì)稱分析各個(gè)組成部分如何通過(guò)“基本圖案”演變成“形”的。要用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)、整體的思想分析“組合圖案”的形成過(guò)程。運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)就是要求我們不能靜止地挖掘“基本圖案”與“組合圖案”的內(nèi)在聯(lián)系，頭腦中應(yīng)想象、再現(xiàn)圖案形成的過(guò)程，做到心中有數(shù)，特別是有的圖案含有不同的“基本圖案”其形成的方式也多種多樣，可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱變換中的一種或兩種變換方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可以通過(guò)同一種變換方式的重復(fù)使用來(lái)實(shí)現(xiàn)。整體的思想包括整體的構(gòu)思和“基本圖案”的組合。知識(shí)點(diǎn)3 利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的知識(shí)解決幾何問(wèn)題在幾何題或代數(shù)幾何綜合題的解證過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)使用幾何變換的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題。從圖形的特點(diǎn)出發(fā)，利用幾何變換，可

4、將圖形的全部或一部分移動(dòng)到一個(gè)新的位置，構(gòu)成一個(gè)新的關(guān)系，從而使問(wèn)題獲得解決。這種幾何變換不改變被移動(dòng)部分圖形的形狀和大小，而只是它的位置發(fā)生了變化，這種移動(dòng)有利于找出圖形之間的關(guān)系，從而使解題更為簡(jiǎn)捷。 移動(dòng)圖形一般有三種方法： （1）平移法。 （2）旋轉(zhuǎn)法：利用旋轉(zhuǎn)變換。 （3）對(duì)稱：可利用中心對(duì)稱和軸對(duì)稱。知識(shí)點(diǎn)4 欣賞現(xiàn)實(shí)生活中的一些精美圖案通過(guò)欣賞現(xiàn)實(shí)生活中的一些精美圖案，引起學(xué)生的興趣。通過(guò)分析它們的形成過(guò)程，為今后進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)提供素材。知識(shí)點(diǎn)5 圖案設(shè)計(jì)的步驟1、整體構(gòu)思（1）圖案的設(shè)計(jì)要突出“主題”，即設(shè)計(jì)圖案的意圖，要求簡(jiǎn)捷、自然、別致，具有一定的意義，例如，奧運(yùn)會(huì)徽是由五個(gè)

5、兩兩相聯(lián)的圓環(huán)組成的，分別代表世界上五大洲的人民熱愛(ài)體育運(yùn)動(dòng)，攜手共創(chuàng)美好的未來(lái)。（2）確定整幅圖案的形狀（如圓形或正方形）和“基本圖案”（不宜太復(fù)雜）。（3）構(gòu)思圖案的形成過(guò)程：首先構(gòu)思該圖案由哪幾部分構(gòu)成。再構(gòu)思如何運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等方法實(shí)現(xiàn)由“基本圖案”到各部分圖案的組合，并作出草圖。2、具體作圖根據(jù)草圖，運(yùn)用尺規(guī)作圖的方法準(zhǔn)確地作出圖案。有條件的同學(xué)可用幾何畫板畫出滿意的圖案?！镜湫屠}】例1. 如圖所示，A、B兩村之間有一條河，河寬為a，現(xiàn)要在河上修一座垂直于河岸的橋，要使AB兩村路程最近，請(qǐng)確定修橋的地點(diǎn)。 分析：假設(shè)橋?yàn)镸N，從AB要走的路程為AMNB，要使路程最近，只需A

6、MNB最小即可。 例2. 在ABC的邊BC上，取兩點(diǎn)D、E，使BDCE，觀察ABAC與ADAE的大小關(guān)系。 分析：四條線段AB、AC、AD、AE比較分散，可利用平移的方法將它們集中到一起，即可求出大小關(guān)系。 證明：將AEC沿EB的方向平移到FBD位置 FBAE，F(xiàn)DAC 設(shè)FD與AB的交點(diǎn)為O 在AOD中，AOODAD 在FOB中，F(xiàn)OOBFB 例3. 已知：ABCD1，AB與CD交于O點(diǎn)，DOB60°，比較ACBD與1的大小。 分析：利用平移將AC與BD集中，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行比較大小。 解： 證明：過(guò)C作CEAB，過(guò)B作BEAC，連結(jié)DE 四邊形ABEC為平行四邊形 ACB

7、E，ABCE DOB60°，ABCE DCE60° ABCD1 CECD1 DCE為等邊三角形 DE1 在DEB中，DBBEDE 即DBAC1 例4. 已知：如圖，E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，AF平分EAD交CD于點(diǎn)F，說(shuō)明AEBEDF的理由。 分析：由于要證的3條線段AB、BE、DF分散在兩個(gè)三角形中，可利用旋轉(zhuǎn)變換，將其放到一個(gè)三角形中。 解：把ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)D轉(zhuǎn)到了點(diǎn)B的位置，點(diǎn)F轉(zhuǎn)到了點(diǎn)F'的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得： 31，F(xiàn)'BFD，AF'BAFD ABCD為正方形 DABF'90° F

8、'、B、E、C在一條直線上 又12EAB90° 32EAB90° F'AE290° 又AFD190° AF'B190° 12 F'AEAF'B AEF'EF'BBEFDBE 例5. 如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與CB重合，BP到達(dá)BP'處，AP到達(dá)CP'處，若AP的延長(zhǎng)線正好經(jīng)過(guò)P'，求APB的度數(shù)。 分析：此題運(yùn)用旋轉(zhuǎn)將ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出BP'C的度數(shù)即可。 而BP&

9、#39;C又是BP'P與CP'P之和，可各個(gè)擊破，從而得解。 解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及特征可知： PBP'90°，APP'C，BPBP' 在BPP'中， 又AP的延長(zhǎng)線正好經(jīng)過(guò)P'點(diǎn) AP'C90° BP'CAP'CBP'P135° 從而可得APB135° 例6. 已知：如圖，E、F、G分別是正方形ABCD中BC、AB、CD上的點(diǎn)，且AEFG。 求證：AEFG 分析：AE、FG所在位置不易證明相等，可將其一改變位置，如可用平移、旋轉(zhuǎn)將其位置改變后再進(jìn)行證明。 證明：延長(zhǎng)AB

10、至F'使BF'BE，連結(jié)CF' 正方形ABCD ABCB，ABC90° 又CBF'90°，BEBF' ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得CBF' AECF'，AECF' FGAE FGCF' 又正方形ABCD，ABCD 四邊形GFF'C為平行四邊形 CF'FG AEFG 例7. 如圖，P是正方形ABCD中AC上一點(diǎn)，PEAD于E，PFCD于F。 求證：（1）OEOF （2）OEOF 分析：充分利用正方形的中心對(duì)稱性及旋轉(zhuǎn)變換。 證明：正方形ABCD ADC90°，DAC

11、45° DEAD，PED90° PFCD，PFD90° 四邊形EPFD為矩形 PEDF 又PED90°，DAC45° APE45° AEP中，AEPE AEDF 正方形ABCD為中心對(duì)稱圖形 AOD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與DOC重合 A與D為對(duì)應(yīng)點(diǎn) 又AEDF E與F為對(duì)應(yīng)點(diǎn) 由旋轉(zhuǎn)變換的特征知：OEOF，OEOF 例8. ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別在邊AC、AB、BC上，且AEBFCD，連結(jié)AF、BD、CE，分別交于點(diǎn)G、H、M。 （1）求1的度數(shù)； （2）判斷GMH的形狀。 分析：等邊三角形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且每

12、個(gè)角都是60°，1是BCH的外角，可知123。 而24 14360°，從而得證。 解：（1）等邊ABC是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且AEBFCD 所以，ABC繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)120°后，AEC、BFA、CDB能夠重合 24 由123 14360° （2）同理可得：GMHMGH60° GMH是等邊三角形【同步拓展訓(xùn)練】 1. 兩個(gè)長(zhǎng)為12cm的線段AB與CD相交于點(diǎn)O，AOD120°，判斷ACBD的最小值。 2. 如圖ABC中，BAC90°，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后能與ACQ重合，如果AP3，那么APQ的面積是多

13、少？ 3. ABC是等邊三角形，D為BC邊上一點(diǎn)，CDE也為等邊三角形，請(qǐng)你畫出將ACD以C點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后的三角形，并說(shuō)明AD與BE的關(guān)系。 4. 在四邊形ABCD中，ADCABC90°，ADCD，DPAB于P，若，求DP的長(zhǎng)。 5. ABC中，BAC120°，以BC為邊向形外作等邊BCD，把ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到ECD的位置，若AB3，AC2。 （1）求BAD的度數(shù)； （2）求AD的長(zhǎng)。【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）A卷一、選擇題1. 國(guó)旗上的四個(gè)小五角星，通過(guò)怎樣的移動(dòng)可以相互得到（ ）A. 軸對(duì)稱B. 平移C.

14、 旋轉(zhuǎn)D. 平移和旋轉(zhuǎn)2. 起重機(jī)將重物垂直提起，這可以看作為數(shù)學(xué)上的（ ）A. 軸對(duì)稱B. 平移C. 旋轉(zhuǎn)D. 變形二、填空題3. 廣告設(shè)計(jì)人員進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，經(jīng)常將一個(gè)基本圖案進(jìn)行軸對(duì)稱、平移和_等。4. 將點(diǎn)A繞另一個(gè)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路線是_。5. 以等腰直角ABC的斜邊AB所在的直線為對(duì)稱軸，作這個(gè)ABC的對(duì)稱圖形，則所得到的四邊形ACBC一定是_。6. 國(guó)際奧委會(huì)會(huì)旗上的五環(huán)圖案可以看作一個(gè)基本圖案_經(jīng)過(guò)_運(yùn)動(dòng)得到。7. 利用電腦，在同一頁(yè)面上對(duì)某圖形進(jìn)行復(fù)制，得到一組圖案，這一組圖案可以看作是一個(gè)基本圖形通過(guò)_得到的。三、解答題8. 如圖，是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓

15、盤，圓盤被分成6個(gè)全等的扇形.它可以看作是由什么“基本圖案”通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的？9. 如圖，一柵欄頂部是由全等的三角形組成，下部分是由全等的矩形組成.請(qǐng)你運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱分析說(shuō)明這個(gè)圖形的形成過(guò)程。10. 請(qǐng)你分析下面圖案的形成過(guò)程。11. 下圖是兩個(gè)全等的直角三角形，請(qǐng)問(wèn)怎樣將BCD變成EAB？12. 以一直角三角形為“基本圖形”，利用旋轉(zhuǎn)而得到一個(gè)風(fēng)車風(fēng)輪圖案.你能設(shè)計(jì)出幾種風(fēng)車風(fēng)輪圖案呢？請(qǐng)將你的圖案畫出來(lái)，完成后與同學(xué)進(jìn)行交流。13. 將底邊水平放置的等腰三角形沿底邊的垂直平分線分別向上、向下平移1厘米，得到一組等腰三角形，連同垂直平分線形成的圖案你能給出它的含義嗎？將得到的圖

16、案作為“基本圖案”作兩次適當(dāng)?shù)钠揭菩纬梢唤M圖案。這一組圖案又有什么意義呢？14. 請(qǐng)充分發(fā)揮你的想象力，任意設(shè)計(jì)一個(gè)有意義的圖案，完成后與同學(xué)交流你的作品。15. 下列三幅圖案分別是由什么“基本圖形”經(jīng)過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)而得到的？（1）（2）（3）16. 怎樣將下圖中的甲圖變成乙圖？17. 如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AF=AB，（1）求證：ABEADF。（2）閱讀下列材料：如圖，把ABC沿直線平移線段BC的長(zhǎng)度，可以變到ECD的位置；如圖，以BC為軸把ABC翻折180°，可以變到DBC的位置；如圖，以點(diǎn)A為中心，把ABC旋轉(zhuǎn)180°，可以變

17、到AED的位置，像這樣其中一個(gè)三角形是由另一個(gè)三角形按平行移動(dòng)、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫做三角形的全等變換。請(qǐng)回答下列問(wèn)題：<1>在圖中，可以通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使ABE變到ADF的位置？<2>指出圖中線段BE與DF之間的關(guān)系.B卷1、將如圖1所示的RtABC繞直角邊BC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的左視圖是（）DABCCBA圖1 2、如圖，正方形ABCD和CEFG的邊長(zhǎng)分別為m、n，那么AEG的面積的值 （ ） ABCDGEF第3題圖A與m、n的大小都有關(guān) B與m、n的大小都無(wú)關(guān)C只與m的大小有關(guān) D只與n的大小有關(guān)

18、3、如圖，線段AB=CD，AB與CD相交于點(diǎn)O，且，CE由AB平移所得，則AC+BD與AB的大小關(guān)系是：（ ）A、 B、 C、 D、無(wú)法確定 （第4題圖） （第5題圖） （第6題圖）4、如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到正方形，則圖中陰影部分面積為（ ）A、 B、 C、 D、5、如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則以PA、PB、PC為邊的三角形的三內(nèi)角之比為（ ）A、2：3：4 B、3：4：5 C、4：5：6 D、不能確定6、如圖，正方形網(wǎng)格中，ABC為格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)都是格點(diǎn)），將ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到（1）在正方形網(wǎng)格中，作出；（不要求寫作法）B

19、CA（2）設(shè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1cm，用陰影表示出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段BC所掃過(guò)的圖形，然后求出它的面積（結(jié)果保留）第7題圖7、已知：正方形ABCD中，MAN=45°，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN=MN（1）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)（如圖2），線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明MBCN圖3AD（2）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由BCNM圖2ADBCNM圖1AD8、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB、AD上各有一點(diǎn)P、Q，如果的周長(zhǎng)為2，求的度數(shù)。圖乙圖甲 9、有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖甲），連結(jié)BD、MF，若此時(shí)他測(cè)得BD=8cm，ADB=30°試探究線段BD與線段MF的關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；小紅同學(xué)用剪刀將BCD與MEF剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究他們將ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得AB1D1，AD1交FM于點(diǎn)K（如圖乙），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(0° 90°), 當(dāng)AFK為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；10、有兩塊形狀完全相同的不規(guī)則的四邊形木板，