米散射理論基礎(chǔ)

1、米散射(Mie scattering);又稱粗粒散射”粒子尺度接近或大于入射光波 長(zhǎng)的粒子散射現(xiàn)象。德國(guó)物理學(xué)家米(Gustav Mie,18681957)指出，其散射光強(qiáng) 在各方向是不對(duì)稱的，順入射方向上的前向散射最強(qiáng)。粒子愈大，前向散射愈強(qiáng)。 米散射當(dāng)球形粒子的尺度與波長(zhǎng)可比擬時(shí)，必須考慮散射粒子體內(nèi)電荷的三維分 布。此散射情況下，散射粒子應(yīng)考慮為由許多聚集在一起的復(fù)雜分子構(gòu)成，它們?cè)谌肷潆姶艌?chǎng)的作用下，形成振蕩的多極子，多極子輻射的電磁波相疊加，就構(gòu)成 散射波。又因?yàn)榱Ｗ映叨瓤膳c波長(zhǎng)相比擬，所以入射波的相位在粒子上是不均勻 的，造成了各子波在空間和時(shí)間上的相位差。在子波組合產(chǎn)生散射波的地

2、方，將出現(xiàn)相位差造成的干涉。這些干涉取決于入射光的波長(zhǎng)、 粒子的大小、折射率及 散射角。當(dāng)粒子增大時(shí)，造成散射強(qiáng)度變化的干涉也增大。因此，散射光強(qiáng)與這 些參數(shù)的關(guān)系，不象瑞利散射那樣簡(jiǎn)單，而用復(fù)雜的級(jí)數(shù)表達(dá)，該級(jí)數(shù)的收斂相當(dāng) 緩慢。這個(gè)關(guān)系首先由德國(guó)科學(xué)家G.米得出，故稱這類散射為米散射。它具有如下特點(diǎn)：散射強(qiáng)度比瑞利散射大得多，散射強(qiáng)度隨波長(zhǎng)的變化不如瑞利散射 那樣劇烈。隨著尺度參數(shù)增大，散射的總能量很快增加，并最后以振動(dòng)的形式趨 于一定值。散射光強(qiáng)隨角度變化出現(xiàn)許多極大值和極小值，當(dāng)尺度參數(shù)增大時(shí)，當(dāng)尺極值的個(gè)數(shù)也增加。當(dāng)尺度參數(shù)增大時(shí)，前向散射與后向散射之比增大，使粒 子前半球散射增大。

3、當(dāng)尺度參數(shù)很小時(shí)，米散射結(jié)果可以簡(jiǎn)化為瑞利散射； 度參數(shù)很大時(shí)，它的結(jié)果又與幾何光學(xué)結(jié)果一致；而在尺度參數(shù)比較適中的范圍 內(nèi)，只有用米散射才能得到唯一正確的結(jié)果。所以米散射計(jì)算模式能廣泛地描述 任何尺度參數(shù)均勻球狀粒子的散射特點(diǎn)。19世紀(jì)末，英國(guó)科學(xué)家瑞利首先解釋了天空的藍(lán)色：在清潔大氣中，起主 要散射作用的是大氣氣體分子的密度漲落。分子散射的光強(qiáng)度和入射波長(zhǎng)四次方 成反比，因此在發(fā)生大氣分子散射的日光中，紫、藍(lán)和青色彩光比綠、黃、橙和 紅色彩光為強(qiáng)，最后綜合效果使天穹呈現(xiàn)藍(lán)色。從而建立了瑞利散射理論。20世紀(jì)初，德國(guó)科學(xué)家米從電磁理論出發(fā)，進(jìn)一步解決了均勻球形粒子的散射問題，建立了米散射理論

4、，又稱粗粒散射理論。質(zhì)點(diǎn)半徑與波長(zhǎng)A接近時(shí)的散射，特點(diǎn)：粗粒散射與波長(zhǎng)無關(guān)，對(duì)各波長(zhǎng)的散射能力相同，大氣較混濁時(shí)， 大氣中懸浮較多的的塵粒與水滴時(shí)，天空呈灰白色。般把粒子直徑與入射光波長(zhǎng)相當(dāng)?shù)奈⒘Ｗ铀斐傻纳⑸浞Q為 米散射。米散射適合于任何粒子尺度，只是當(dāng)粒子直徑相對(duì)于波長(zhǎng)而言很小時(shí)利 用瑞利散射、很大時(shí)利用夫瑯和費(fèi)衍射理論就可以很方便的近似解決問題。 射理論最早是由G1 Mie在研究膠體金屬粒子的散射時(shí)建立的。米散米散射理論是由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來的均質(zhì)球形粒子在電磁場(chǎng)中對(duì)平面 波散射的精確解。1908年，米氏通過電磁波的麥克斯韋方程，解出了一個(gè)關(guān)于光散射的嚴(yán)格解， 得出了任意直徑、任意成

5、分的均勻粒子的散射規(guī)律 ，這就是著名的米氏理論4 - 6 。根據(jù)米散射理論，當(dāng)入射光強(qiáng)為I0 ,粒子周圍介質(zhì)中波長(zhǎng)為入的自然光平行 入射到直徑為D的各向同性真球形粒子上時(shí)，在散射角為0 ,距離粒子r處的散射光和散射系數(shù)分別為：廣 、A從上式中可以看到，因?yàn)槭歉飨蛲缘牧Ｗ?，散射光?qiáng)的分布和©角無關(guān)。同時(shí)， 上式中:?1 =< 7H , 8, nJ Xsi f WJ F 0, C丿?2 Z m 1 6，df 戲 F 比仃丿i1、i2為散射光的強(qiáng)度函數(shù)；s1、s2稱為散射光的振幅函數(shù)；a為粒子的尺寸 參數(shù)(a =n D/入)；m = m1 +im2為粒子相對(duì)周圍介質(zhì)的折射率，當(dāng)虛部

6、不為零 時(shí)，表示粒子有吸收。對(duì)于散射光的振幅函數(shù)，有：7丁 H 一 1”Fk卩嵩F - U S G + X:匸7嗆-1Z1口 n F" + g 兀J11 = 1 W / 冷-U式中an、bn為米散射系數(shù)，其表達(dá)式為：仇f E (用- 朋0 ； f 4丿氣(髒山Ijj f a f? ( m a! - Jn C n ( n.) ©f 丿f a)nf “e -nf a)札(b 科=hi tV/,神忒 ( ij) d n f阿口丿-C /G dw f冊(cè)口丿其中:札=r八'幾丄+心丿 =dPMZ) rf <cos 07=護(hù)代丿幾+寸"/是半奇階的第一類貝塞爾函

7、數(shù)；hf- 2是第二類漢克爾函數(shù)；Pn (cose)是第一類勒讓德函數(shù)；P(1)n (cose )是第一類締合勒讓德函數(shù)。M ie散射理論M ie散射理論是麥克斯韋方程對(duì)處在均勻介質(zhì)中的均勻顆粒在平面單色波 照射下的嚴(yán)格數(shù)學(xué)解。由M ie散射知道，距離散射體r處P點(diǎn)的散射光強(qiáng)為sea隔8聲/(°弔/(60?=卜1(0)£五卩 機(jī)(QjpgJ©式中：h為光波波長(zhǎng);I 0為入射光強(qiáng);I sea為散射光強(qiáng)；日為散射角；3為偏振光的偏振角。S】(8=呂”5+ 1)附亦石85:(9=厶J刃(押+不+瓦兀FJ=式中：se)和是振幅函數(shù)；an和bn是與貝塞爾函數(shù)和漢克爾函數(shù)有關(guān)

8、 的函數(shù)；兀n和Tn是連帶勒讓得函數(shù)的函數(shù)，僅與散射角e有關(guān)。其中_ 尊(oO 0 ； 6科 CX)- 冷 0 ；(0()0()k e, «)«(/« Of) - m Cn (a)(X)_ 也 毀(od 卩；(m 0()- 中；(<x) oO” m & (a) y ； M g) -(a) Q?(w a)式中：®nW)和備W)分別是貝塞爾函數(shù)和第一類漢克爾函數(shù)；和JI(a )是Se )和En(a )的導(dǎo)數(shù)；a為無因次直徑，a =兀。"，D為顆粒的 實(shí)際直徑；A是入射光的波長(zhǎng)；m是散射顆粒相對(duì)于周圍介質(zhì)的折射率，它是一 個(gè)復(fù)數(shù)，虛部是

9、顆粒對(duì)光的吸收的量化。由以上公式可見 ，M ie散射計(jì)算的關(guān)鍵 是振幅函數(shù)Si(8)和se),它們是一個(gè)無窮求和的過程，理論上無法計(jì)算。求解 振幅函數(shù)的關(guān)鍵是計(jì)算an和bn ,所以M ie散射的計(jì)算難點(diǎn)是求解an和bn。M ie散射理論的數(shù)值計(jì)算,M ie散射計(jì)算的核心是求解an和bn ,我們編制程序也是圍繞它進(jìn)行編寫。在通過以上分析可知an和bn的表達(dá)式中 ®n 2)幾 W)，E n(d)和 E nW)滿足下列遞推關(guān)系：iR如 先丄R則：(akAip；(二 M+ « 1 (X)'Ia九- 1G («)'= a & 1( K)- a ： (

10、OdC n (ex) w a G (X)+ Ga L (ft)這些函數(shù)的初始值為；1 (Of) = CO' sftW(0d= sill 0(C I (ft) = CO's Of- 15111ft(i> (ft) = sniOr ICO 5ft與散射角有關(guān)的W n© ）和名n3 ）滿足下列遞推公式：吊=re cos& 7?fl sir 0a 22Tt- - ZT.- ico sfct- 1 ra- 2 n產(chǎn)(2?' I) rp-：幣=01= 0Tro= Ki= 0有了這些遞推公式可以很方便地通過計(jì)算機(jī)程序求解。但是對(duì)于n的大小,因?yàn)橛?jì)算機(jī)不可能計(jì)算

11、無窮個(gè)數(shù)據(jù)，所以n在計(jì)算之前就要被確定。散射理論基礎(chǔ)與Matlab實(shí)現(xiàn)若散射體為均勻球體，如圖1所示，照射光為線偏振平面波，振幅為E,光強(qiáng)10, 沿z軸傳播，其電場(chǎng)矢量沿x軸振動(dòng)。散射體位于坐標(biāo)原點(diǎn)0 , P為觀測(cè)點(diǎn)。散射 光方向（OP方向）與照射光方向（z軸）所組成的平面稱為散射面，照射光方向 至散射光方向之間的夾角0稱為散射角，而x軸至OP在xy平面上投影線（OP） 之間的夾角©稱為極化角。觀測(cè)點(diǎn)與散射體相距r。根據(jù)經(jīng)典的Mie散射理論, 散射粒子的尺度參數(shù)為a = 2n a/入，其中a為球形粒子的半徑，散射粒子相對(duì)周 圍介質(zhì)的折射率為m = m1 +i *m2。則散射光垂直于散

12、射面和平行于散射面的兩個(gè)分量的振幅函數(shù)為：以上式中:5 =芬:：；* 亠 bE3$2 =不鳥二 g + be遼(g；丿- ZFl( g '卩小回(丿 'P ； ( m a) - m i ； f 眄 5 勿f a) ip ； (ma) -0 ； (cc)屮靈 f 幣 a)m 爲(wèi) < g 0 ； < m a)三 E a) f g 丿P：" f g沏sill 0爲(wèi)(-)A-i ?7X 丿幾“"上丿i “"“二打0-/ H 嘰-1( 2)-丄必冷=1 ( Z? - *霽(Z)J n+1/2 (z )和丫 n+1/ 2 ( z )分別為半整數(shù)階的

13、第一類，第二類貝塞爾函數(shù)。Pn (cose)為一階n次第一類締合勒讓德函數(shù)；Pn (cose)為第一類勒 讓德函數(shù)。在數(shù)值模擬過程中選取初始下：S1丄 fdn- + icoszJ - <cos - /sins?5 =1微粒子對(duì)光的散射和吸收是電磁波與微粒子相互作用的重要特征，而微粒對(duì) 電磁輻射的吸收與散射與粒子的線度有密切關(guān)系，對(duì)于不同線度的粒子必須應(yīng)用 不同的散射理論。Mie散射理論主要用于從亞微米至微米的尺寸段；在微米以下 至納米的光散射則近似為形式更明晰簡(jiǎn)單的瑞利散射定律，散射光強(qiáng)烈依賴于光 波長(zhǎng)入(I入-4)；而對(duì)大于微米至毫米的大粒子則近似為意義明確的夫朗和費(fèi)衍 射規(guī)律了。Mi

14、e散射理論給出了球型粒子在遠(yuǎn)場(chǎng)條件下的散射場(chǎng)振幅 an、bn以及粒子 內(nèi)部電磁場(chǎng)振幅cn、dn的計(jì)算表達(dá)式,通常稱為Mie散射系數(shù)W ja f 加兀丿 / Xja O Mf X丿 / 枷 Xj趕 5 口 _nr jn( XJ xh J? J( X/ J - 1( X)mx/ JHl ,wf 冊(cè)xj rx/fff X丿 /- jn（兀丿 hxW 叨卞丿 1心川 g） X3 f X/ -方屮 f aJ mxj（ /JIXI JHl兒E " f f工丿八 “1 ” y f工丿J X/h f工丿丿“兒 f 也工丿 f X必鏟 f X丿丿-f xJ ffnx）1門丿"1 m i n

15、f x/X 譏' f H丿-Dl附f X丿Xj輕（艾）/nr J ( jn X J 工為；'f T) - Ml 方;“ i X) W7A7 ( waJ 式中m表示微粒子外部介質(zhì)的相對(duì)折射率,x = K a ,a為球的半徑,k = 2 n /入 稱為波數(shù),卩為相對(duì)磁導(dǎo)率，即球的磁導(dǎo)率與介質(zhì)磁導(dǎo)率的比值,j n(x)和hn(x)分 別為第一類虛宗量球Bessel函數(shù)和Hankell函數(shù)。散射系數(shù)，消光系數(shù)及偏振狀態(tài)下散射相位函數(shù)："之自2八"昇+1人>怎"二 6押 + U R亡 f+ bj1 Sif 礎(chǔ)一 S"0丿 LVf 2 ?/ +

16、 1J f On - +1 6 1 '丿散射截面（Tsed散射率Qsea）、吸收截面（T abs （吸收率Qabs）、消光截面（Text （消光率Qext）、后向散射截面（T b （后向散射率Qb）以及輻射壓力（T pr （輻射壓力效率 Qpr）。其表達(dá)式如下：其中i為sea、abs、ext、pr分別表示散射、吸收、消光、輻射壓力。按照 能量守恒定律有：Qexr = Qca + O址，或氏=還 +比Qpr （輻射壓力效率的計(jì)算公式）CdQpr = Q加- Qz < co" >< COS > =1 " Rgf- bnb ：-) + y： ； R

17、e(anbn>Qb （后向散射系數(shù)）：2/ 2"+1 丿 f 三1 丿 ” f 6-bn)a =丄 A-這些都是無窮級(jí)數(shù)求和，在實(shí)際計(jì)算過程中必須取有限項(xiàng)，Bohren和Huffman 給出了級(jí)數(shù)項(xiàng)最大值取舍的標(biāo)準(zhǔn)：-Y + 4-2對(duì)于單位振幅入射波經(jīng)微粒散射后，其散射場(chǎng)振幅的大小與散射角有關(guān)，在球 坐標(biāo)系下，遠(yuǎn)場(chǎng)散射振幅的大小為：jkrE屮=cos 5"cos和 - ikrE理=±7曲10丿7kr其中S1和S2為散射輻射電場(chǎng)在垂直及平行于散射面的兩個(gè)偏振分量。 微球內(nèi)部場(chǎng)振幅計(jì)算公式顆粒內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度為：o其中M（1）o1n和N（1）e1n為矢量波球諧函數(shù)，

18、在球坐標(biāo)系中定義如下：Ex0cos'/* Tn (COS 7f rm )、- MD 冷 ' jfcoM j( nnx/J jt f F WJ V)v ( u + Dcos* *sine 心“25 9丿rrnx厶門H Xj f MX丿COS*P ' qfg沏rnix.IV r FFHXfnf 廠 fflX/ /吸收截面Qabs具有損耗介質(zhì)顆粒的吸收截面為:護(hù)If其中£ 是粒子相對(duì)介電常數(shù)的虛部，經(jīng)整理可得：%ic臺(tái)蘇務(wù)耳JgThdu尸亠dr式中mn、nn為:匸/h f二丿丿= 2（2 n + 1丿丿訂二丿 =2 u（2 n + r Oj - I）1 E b3:?

19、J 1 Cfl4 + njj dnA 予4*丿，即:<實(shí)際上由Mie散射理論可知，上式中的積分項(xiàng)為電場(chǎng)強(qiáng)度的平方對(duì)角度 0、©全 空間積分的平均值于是吸收效率為:X- - rf.Y式中X = rk = z/ m。當(dāng)x n 1時(shí)即瑞利散射情況，顆粒的內(nèi)部平均場(chǎng)強(qiáng)為常數(shù)，其值 9* 2Imp roved Mie scatteri ng algorithms W.J.WiscombeMie計(jì)算存在的問題就是如何最有效地構(gòu)造 Mie計(jì)算，同時(shí)保證準(zhǔn)確性和避 免數(shù)值的不穩(wěn)定性和病態(tài)。Mie計(jì)算以耗時(shí)著稱，首先無窮項(xiàng)級(jí)數(shù)N的求和，例如:100 Pm的水滴在0.5 4 m的可見光散射情況下，

20、大約需1260項(xiàng)求和。其次，典型的計(jì)算都希望能對(duì)一系列半徑（如對(duì)尺寸分布求積分）、一系列波長(zhǎng)（如對(duì)太陽 光譜求積分）及一系列折射率求和（如通過散射參量反推折射率）。2 NQutL（2n + 1 ）Re（S + fert）.H n-l2 N呻Res礙"虬畑)n + 1= - E伽+1川血U I亦4 N s =yhQ迪盒2n+ 1rt（rt+ 1）N 2n + ISlip）' - E 一s暫fl00 + bn m3兒n«i nn + 1）N 2n + 1SzOO- E 一B訂nW） + 虬叭GO,n«i nn + I）Animx）-仏（771工）耳”（叱），當(dāng)

21、折射率虛部mim很大時(shí)，用向后循環(huán)法求 An很不穩(wěn)定。而向前遞推總是穩(wěn)定的（但向后遞推 安全時(shí)，總是優(yōu)先選擇，因?yàn)槠溆?jì)算速度很快）。得岀允許向后遞推的經(jīng)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：用正確的向前地推與相對(duì)應(yīng)的向后地推做比較，當(dāng)發(fā)現(xiàn)對(duì)Qeitr Qsca和g的相對(duì)誤差超過10-6時(shí)，認(rèn)為計(jì)算失敗。對(duì)于一對(duì)確定的（x,mRe）,我們采用向后遞推尋找第一個(gè)循環(huán)失敗的mim研究表明：對(duì)于確定的 ERb,，皿ImH的值隨著X的增加很快趨向于一個(gè)確定值。xmfn, > mindll XZi(Rc) 8 + 26,22/71 0.4474m+ 600204碾-0.000175mk對(duì) Qe Q°如果在任意角度下S|

22、、S2的實(shí)部和虛部的相對(duì)誤差超過10一5時(shí)，認(rèn)為對(duì)S|和S2的向后遞推失敗。（而此時(shí)，QscaQxt并不受影響，因?yàn)楫?dāng)0 , S2的相對(duì)誤以下。）差達(dá)到105時(shí)，QscaQext的相對(duì)誤差總維持在1010血伽的2 1338刑L - 10,8mR* + 39 對(duì) 3 和 g/atniR*） = 16.35/nt + 8乂沏焦-15.04*對(duì)散射強(qiáng)度|S1F +辰|2和偏正度（|&區(qū)|2）/（辰|2+3們連分式算法總結(jié):Mie散射計(jì)算的核心是計(jì)算an和bn收f加氏f "E丿-加心 3収（"皿丿町 fat嘰f ma）-加壬/釦 仇（ma）-b _耕収/龍丿氏f也加-仇5仇

23、”加如" "茫沖 <刃必I （ moj -二5） 0訂曲）其中 （ a ） = a J n （ a ） , E n （ a ） = a J n （ a ） + i a Y n （ a ） ,J n 和 Yn 分別是第一和二類貝塞 耳函數(shù),a稱為當(dāng)量直徑,a = 2 n r/入,r是球形顆粒的真實(shí)半徑，入是入射光的波長(zhǎng)，m為折射率=/2）詵嘰皿（刃/ . d -, ” 認(rèn)（P）式中P為函數(shù)任一自變量。貝塞耳函數(shù)遞推關(guān)系式： 、 1 ,. 屛 J 加 ， . 嘰=Vz H 亠 ;5心丿="-,久丿"刃三（彩/2）也庇曲（Z）+卜1）啦5）f 丿 a d

24、 了柄-rd 口 嘰 f 0）- Sh - 1 f 魔丿6J 8 -"DM /粗亠a忙牡小£_1心丿 b _ f jhDh （ ¥加 + h/ 久?認(rèn) 5）-仏 H - 1 （ Q wD/ "問 + h/ 5 己- 1 < 劉Mie散射計(jì)算中J n、Yn、Dn的計(jì)算是關(guān)鍵和難點(diǎn)。對(duì)于Dn ,我們采用的是的連分式的算法：LentzLentzDM心丿士+ 叨證明有如下關(guān)系：片，1 f如丿gg?&1 /f g &1 J 曲）如ga】其中，a#（可根據(jù)精度要求例如10-7來確定所要達(dá)到的k值）卄（口 12（” + k卜5丿。我們注意到當(dāng)kg

25、時(shí),am。所以可以利用上式累積相乘直到滿足精度要求。對(duì)于J n、Yn的生成本文也采用連分式的算法。具體方案如下令Cn =J n - 1 （a ） / J n （a ）,根據(jù)貝塞耳差積公式：幾心丿Yz 1仏丿15丿=久2ZK. i f勿/ C屛刃U 1 5丿-久丄 Y訂（a丿=由以上二式整理得：J 卄_ 1 3上式中Cn的計(jì)算是采用類似于Dn的連分式的形式，計(jì)算中可調(diào)用同一函數(shù)計(jì) 算。若已知初值：Jo = sina/ 鼻;J1 r 久丿=dll久/久'-cos久/ f必；Yq - - CO加/ a; Y1久丿=-8"/ / -、in"/ 如：這樣就可計(jì)算出各級(jí)J n和

26、Yn。William J丄entz關(guān)于連分式的文章:笛（g）=尿/2"”晟）沐刃=（m/2）叫幾曲（2）+蟲山刃=W = T +紀(jì)呂其中 + Z = E。以縊為基礎(chǔ)，采用貝塞爾函數(shù)比值的連分式表示法：幾（2）/J“-l（2）,利 用此法可產(chǎn)生所有的An（倉(cāng)），盡管耗時(shí)，但能減少存儲(chǔ)需求。同時(shí)可通過計(jì)算 高階幾（Z）/JpT值，使用下面的遞推公式，從后往前算出其他值。九2$）= 2抑-1 _ j2）Q） z j".。）不像一般的函數(shù)，貝塞爾函數(shù)的比值一旦超過可控制的邊界，就不再增長(zhǎng)，初始的高階值決定了所有低階值的準(zhǔn)確性，因此，采用新方法計(jì)算準(zhǔn)確的初 始比值是必要的。Gt +

27、1+*+巾+1 1-2(“ + 10 + 23 + 2)扌彳1+ -2(# + 30 + 處于分母位置的+號(hào)表示分母上加上一個(gè)特殊的連分式。類似于上式 /中的表示 形式。定義一種新的符號(hào)：曲=552的+舟琵+ # +人（V）= tZ曲吁皿氐1Lentz給出了 n階部分收斂值為:- * 1=°n=L， * *p衛(wèi)fl八*衛(wèi)11J - 1 2儀rp *，旳+ 一"2 +.+外例如：實(shí)變量H = 1Q，虛數(shù)D = 95:計(jì)算過程:J = (一1)"唱("+ 理一 ”0川=1,2,3口J 二 19&2= 21為*旳)=旳 + 丄=20.94736842理

28、I叢-U9) (-20.9473理42) (22.95226131)«24.95643131) (2匕95993017) 齊 =丙) (22.9523809'5) (-2493154) (26.95993017)=1/95228198.米散射學(xué)習(xí)目前所遇到的困難：到底怎樣的計(jì)算結(jié)果才算正確，如何能找到一個(gè) 米散射計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確又有效的數(shù)據(jù)庫(kù)，來驗(yàn)證自己算法及程序的正確性。倒退式算法的總結(jié)：由于Mie級(jí)數(shù)的收斂速度隨特征值X的增大而減慢,因此不同的X值即使在相同的計(jì)算精 度要求下所需級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)陰也不一樣+1979年美國(guó)學(xué)者捋combe在大量計(jì)算的基礎(chǔ)上，錐考前人的工柞總結(jié)出一個(gè)叫的

29、經(jīng)臉計(jì)算£式，利用該公式給出的項(xiàng)數(shù)可以便幫個(gè)計(jì)算誤差小于 lOl WisoMftbe 公式底JC+ 4x3 + I+ 4.05x3 + 18 < X < 42004200三需査20000當(dāng)X小于002時(shí)*可U利用Rayleigh S'式計(jì)算，而當(dāng)X tt 20000更大時(shí).幾何光學(xué)即可適用.Dn的計(jì)算采用Dave的倒推式:小 ,；I£>.!< 7na/ =-_.f_we f n/ 用以( nW)由于Dn函數(shù)有很強(qiáng)的收斂性 對(duì)于Dn的倒推計(jì)算的初值的選取有很強(qiáng)的隨意 性。因?yàn)楫?dāng)n-x時(shí)Dn ( m a ) -0所以可以取0作為初值。倒推起點(diǎn)選取大一 些，可以保證D