矩陣與變換(12課時(shí)學(xué)案)分享

1、第01課時(shí) 矩陣的概念一、 要點(diǎn)講解1矩陣的概念：2矩陣的相等：二、 知識(shí)梳理1在數(shù)學(xué)中，將形如，這樣的_稱做矩陣_叫做矩陣的行，_叫做矩陣的列通常稱具有i行j列的矩陣為ij矩陣2_稱為零矩陣；_稱為行矩陣；_稱為列矩陣3平面上向量 = (x，y)的坐標(biāo)和平面上的點(diǎn)P(x，y)看作行矩陣可記為_(kāi)，看作列矩陣可記為_(kāi)4當(dāng)兩個(gè)矩陣A，B，只有當(dāng)A，B的_，并且_也分別相等時(shí)，才有A = B三、 例題講解例1 用矩陣表示ABC，其中A(1,0)，B(0，2)，C(2，0)例2 設(shè)，若A = B，求x，y，z例3 已知n階矩陣，其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)(1)寫(xiě)出的值； (2

2、) 寫(xiě)出的計(jì)算公式四、 鞏固練習(xí)1. 畫(huà)出矩陣所表示的三角形，并求該三角形的面積2. 設(shè)，若A = B，求x，y，m，n3. 已知二元一次方程組的系數(shù)矩陣為，方程組右邊的常數(shù)項(xiàng)矩陣為，試寫(xiě)出該方程組4. 設(shè)M是一個(gè)33的矩陣，且規(guī)定其元素，試求M 5. “兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等”是“兩個(gè)矩陣相等”的_條件23 / 24第02課時(shí) 二階矩陣與平面列向量的乘法一、 要點(diǎn)講解1二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則：2二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義：二、 知識(shí)梳理1行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則：=_2二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則：=_一般地兩個(gè)矩陣只有當(dāng)_時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算3一個(gè)列向量左乘一個(gè)22矩陣M

3、后得到_，如果列向量表示一個(gè)點(diǎn)P（x，y）,那么列向量左乘矩陣M后的列向量就_4對(duì)于平面上的任意一個(gè)點(diǎn)（向量）（x，y）,若按照對(duì)應(yīng)法則T，_，則稱T為一個(gè)變換，簡(jiǎn)記為：T：或T：5一般地，對(duì)于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則可以改寫(xiě)為T：_的矩陣形式，反之亦然（a、b、c、d）6由矩陣M確定的變換，通常記為TM，根據(jù)變換的定義，它是_的一個(gè)映射，平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在TM的作用下得到一個(gè)新的圖形三、 例題講解例4 分別計(jì)算下列乘法運(yùn)算的結(jié)果（1）（2）（3）（4）例5 (1)已知變換，試將它寫(xiě)成坐標(biāo)變換的形式(2)已知變換，試將它寫(xiě)成矩陣的乘法形式例

4、6 已知變換T：平面上的點(diǎn)P(2，1)，Q(1，2)分別變換成P1(3，4)，Q1(0，5)，求變換矩陣A四、 鞏固練習(xí)6(1)已知，試將它寫(xiě)成坐標(biāo)變換的形式；(2) 已知，試將它寫(xiě)成矩陣乘法的形式6. 求點(diǎn)(x，y)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)7. 已知變換T把平面上的點(diǎn)(2，1)，(0，1)分別變換成點(diǎn)(0，1)，(2，1) ，試求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣8. 直線l：x + 2y + 3 = 0在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下為l，求l 的方程 9. 已知a，b，若所對(duì)應(yīng)的變換TM 把直線l：3x - 2y = 1變換為自身，試求a，b的值第03課時(shí) 恒等變換與伸壓變換一、 要點(diǎn)講解1恒等變換：2伸

5、壓變換：二、 知識(shí)梳理1_稱為恒等變換，這時(shí)稱矩陣M為_(kāi)，二階單位矩陣一般記為E，平面上任何一點(diǎn)（向量）或圖形，在恒等變換之下都把自己變?yōu)樽约?_稱為（垂直）伸壓變換，這時(shí)稱矩陣M = 或M = 伸壓變換矩陣3當(dāng)k 1時(shí)，伸壓變換M =確定的變換，將原來(lái)平面圖形上的橫坐標(biāo)_，縱坐標(biāo)_；當(dāng)0 k 1時(shí)，伸壓變換M =確定的變換，將原來(lái)平面圖形上的橫坐標(biāo)_，縱坐標(biāo)_；當(dāng)0 k 0時(shí)，沿_移動(dòng)，當(dāng)ky 0時(shí)，沿_移動(dòng)，當(dāng)kx 0時(shí)，沿_移動(dòng)，當(dāng)kx = 0時(shí)原地不動(dòng)此變換下，_為不動(dòng)點(diǎn)4切變變換有如下性質(zhì)：(1)某一個(gè)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)是_；(2)保持_，點(diǎn)間的距離和夾角大小可以改變且點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是沿坐標(biāo)軸方

6、向進(jìn)行的切變變換的實(shí)質(zhì)是_三、 例題講解例18 已知矩形ABCD在變換T的作用下變成平行四邊形ABCD，其中A(0,0)，B(1,0)，C(1，2)，D(0，2)，A(0，0)，B(1，1)，C(1，3)，D(0，2)，試求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣M例19 求出直線x = 1在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變成的圖形ABOABxy例20 試問(wèn)由OAB到OAB的變換對(duì)應(yīng)的矩陣是什么？四、 鞏固練習(xí)28. 研究矩陣M =所確定的變換作用，并求點(diǎn)(1,1)在M作用下的點(diǎn)的坐標(biāo)29. 寫(xiě)出將點(diǎn)(x，y)變換成點(diǎn)(x - 3y，y)的變換矩陣M30. 設(shè)直線y = 2x在矩陣所確定的變換作用下得到曲線F，求曲線F的解析式

7、31. 設(shè)橢圓在(x，y)(x - y，y)對(duì)應(yīng)的切變變換下變成另一個(gè)圖形F，求圖形F的解析式 32. 若曲線x2 + 4xy + 2y2 = 1在矩陣的作用下變換成曲線x2 - 2y2 = 1(1)求a + b的值；(2)矩陣M所對(duì)應(yīng)的變換是什么變換？第08課時(shí) 矩陣乘法的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)一、 要點(diǎn)講解1矩陣乘法的規(guī)則：2矩陣乘法的簡(jiǎn)單性質(zhì)：二、 知識(shí)梳理1兩個(gè)二階矩陣相乘的乘法法則：_2矩陣乘法MN的幾何意義為_(kāi)3M n =_(n個(gè)M相乘)4兩個(gè)二階矩陣的乘法滿足_，但不滿足_和_5兩個(gè)矩陣乘法的幾何意義是_，反過(guò)來(lái)，_矩陣AB對(duì)應(yīng)的復(fù)合變換順序是_三、 例題講解例21 (1)已知，計(jì)算AB

8、；(2)已知，計(jì)算AB，BA；(3)已知，計(jì)算AB，AC例22 試求曲線y = sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中例23 已知梯形ABCD，其中A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，D(1，2)，先將梯形作關(guān)于x軸的反射變換，再將所得圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90(1)求連續(xù)兩次變換所對(duì)應(yīng)的變換矩陣M；(2)求點(diǎn)A，B，C，D在TM作用下所得到的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩次變換后所對(duì)應(yīng)的幾何圖形，并驗(yàn)證(2)中的結(jié)論四、 鞏固練習(xí)33. 計(jì)算34. 計(jì)算35. 求使等式成立的實(shí)數(shù)a，b，c，d36. 已知矩陣，求拋物線y2 = x經(jīng)過(guò)矩陣AB作用下變換得到的曲線方程 37.

9、 已知矩陣，試求滿足方程MX = N的二階矩陣X38. 已知二階矩陣M滿足，求39. 晴天和陰天的轉(zhuǎn)移矩陣A，及表示今天天氣晴、陰的概率分別為，(1)請(qǐng)計(jì)算矩陣A2，A3，并說(shuō)明它們的實(shí)際意義是什么；(2)請(qǐng)用矩陣A與向量表示出明天、后天、再后天的天氣概率第09課時(shí) 逆矩陣的概念一、 要點(diǎn)講解1二階逆矩陣的概念：2逆矩陣的求法：二、 知識(shí)梳理1對(duì)于二階矩陣，若有_，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣2在六種變換中，_變換一定不存在逆矩陣3一般地，對(duì)于二階可逆矩陣，它的逆矩陣為_(kāi)4若二階矩陣A、B均可逆，則AB也可逆，且(AB)1=_5已知A、B、C為二階矩陣，且AB = AC，若矩陣A存在逆矩陣

10、，則_三、 例題講解例24 對(duì)于下列給出的變換矩陣A，是否存在變換矩陣B，使得連續(xù)進(jìn)行兩次變換(先TA后TB)的結(jié)果與恒等變換的結(jié)果相同？(1)以x為反射軸的反射變換；(2)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60作旋轉(zhuǎn)變換；(3)橫坐標(biāo)不變，沿y軸方向?qū)⒖v坐標(biāo)拉伸為原來(lái)的2倍作伸壓變換；(4)沿y軸方向，向x軸作投影變換；(5)縱坐標(biāo)y不變，橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例增加，且滿足（x，y）（x + 2y，y）例25 用幾何變換的觀點(diǎn)判斷下列矩陣是否存在逆矩陣，若存在，請(qǐng)求出逆矩陣；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(1)；(2)；(3)；(4)；例26 求矩陣的逆矩陣四、 鞏固練習(xí)40. 已知矩陣，求滿足AXB = C的矩陣X41

11、. 已知矩陣，求矩陣MN的逆矩陣（用兩種方法求解）42. 已知矩陣，求圓x2 + y2 = 1在 (AB)1變換作用下的曲線方程43. 已知,求矩陣B 44. 已知矩陣(1)求逆矩陣A -1；(2)若矩陣X滿足，試求矩陣X第10課時(shí) 二階矩陣與一元二次方程組一、 要點(diǎn)講解1二階行列式的概念：2用二階行列式求逆矩陣、解方程組：二、 知識(shí)梳理1如果矩陣A =是可逆的，則_其中稱為二階行列式，記作，即_，也稱為行列式的展開(kāi)式。符號(hào)記為：detA或|A|2方程組寫(xiě)成矩陣的形式為_(kāi)，對(duì)于系數(shù)矩陣，當(dāng)_時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)_時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)組解3令，則方程組的解是_三、 例題講解例27 利用行列式和逆矩

12、陣的知識(shí)兩種方法解方程組例28 利用行列式求矩陣A = 的逆矩陣四、 鞏固練習(xí)45. 設(shè)A = ，B = (1)計(jì)算行列式 | A |，| B |； (2)判斷矩陣AB是否可逆，若可逆，求其逆矩陣46. 試從幾何變換的角度說(shuō)明的解的存在性和惟一性47. 已知，求使等式成立的矩陣A48. 已知矩陣,試求曲線y = cosx在矩陣M -1N變換下的函數(shù) 第11課時(shí) 特征值與特征向量一、 要點(diǎn)講解1矩陣特征值和特征向量的概念：2矩陣的特征值和特征向量的求法：二、 知識(shí)梳理1設(shè)矩陣A，如果_，那么稱為是矩陣A的一個(gè)特征值，而稱為_(kāi)的一個(gè)特征向量2如果向量是屬于特征值的一個(gè)特征向量，那么屬于特征值的特征

13、向量有_個(gè)，它的一般形式是_,(k且k0)3設(shè)A = 是一個(gè)二階矩陣，_稱為A的特征多項(xiàng)式4設(shè)是二階矩陣A的特征多項(xiàng)式的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別為對(duì)應(yīng)的特征向量，則向量的關(guān)系一定是_的（填“共線”或“不共線”）5設(shè)矩陣A =，是矩陣A的屬于特征根的任意一個(gè)特征向量，設(shè)，則=_三、 例題講解例29 求出矩陣A = 的特征值和特征向量例30 已知M = ，試計(jì)算例31 給定矩陣A = (1)求A的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量； (2)求四、 鞏固練習(xí)49. 求矩陣的特征值及其對(duì)應(yīng)的所有特征向量50. 已知二階矩陣A的屬于特征值 - 1的一個(gè)特征向量為，屬于特征值3的一個(gè)特征向量為，求矩陣A51. 已知矩

14、陣M = ，其中a，若點(diǎn)P(1，- 2)在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P ( - 4，0)(1)求實(shí)數(shù)a的值； (2) 求矩陣M的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量第12課時(shí) 矩陣的復(fù)習(xí)一、 要點(diǎn)講解1 理解矩陣與變換的關(guān)系，能從幾何變換角度解釋矩陣運(yùn)算；2 掌握六個(gè)常見(jiàn)的初等變換和初等變換矩陣；3 掌握矩陣的乘法及矩陣乘法的簡(jiǎn)單性質(zhì)；4 能熟練求解可逆矩陣的逆矩陣及兩個(gè)矩陣乘積的逆矩陣；5 會(huì)用行列式及逆矩陣的相關(guān)知識(shí)解二元一次方程組；6 會(huì)求二階矩陣的特征值和特征向量，并能簡(jiǎn)單運(yùn)用二、 知識(shí)梳理綜合前面幾課時(shí)三、 例題選講例32 設(shè)T1是旋轉(zhuǎn)角為300的旋轉(zhuǎn)變換，T2是以直線l：y = x為軸的反射變換，求復(fù)合變換T1T2、T2T1的矩陣?yán)?3 設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到倍的伸壓變換 求逆矩陣M -1以及橢圓在M -1的作用下的新曲線的方程例34 已知二階矩陣M有特征值8和對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向