河南省洛陽市2016屆高三數(shù)學(xué)第二次統(tǒng)一考試試題理

1、2015-2016學(xué)年高中三年級第二次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)試卷一、選擇題：1.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足(z4)(1+i)=2(i為虛數(shù)單位)，則Izl=A.1B.5C.D.【答案】C【考點】復(fù)數(shù)運算，復(fù)數(shù)的?！窘馕觥恳蚴秸归_得z(l+i)=>(1+i)3 +i從而復(fù)數(shù)z,分母實數(shù)化得到z=234 +i因此故選c【點評】：分式形式的復(fù)數(shù)運算，注意分母實數(shù)化的步驟，分子分母要求同乘分母的共胡復(fù)數(shù)；求模運算注意正確選取實部和虛部；本題屬于基本題型2.若命題p:VxW(0+=°),log2(x+-1-)1,命題q:3xoR,xo2-xo+l<0,則下列命X題為真命題的是A.pvqB.pAqC.

2、1p)丫qD.(p?q)【答案】A【考點】命題的邏輯運算，基本不等式，對數(shù)運算，二次函數(shù)【解析】命題p,由基本不等式可判定為真命題關(guān)于命題q,使用配方法可得(xo-)計3>0,故為假命題24綜上可知，選項A為正解【點評】：命題的邏輯運算并不難，但首先要對命題做出基本判斷；本題屬于基本題型13.若f(x)=ae工e，為奇函數(shù)，則f(x-IKJ的解集為eA.B,t*,2)C.(2,+a)D.(0產(chǎn))【答案】D【考點】函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合運用【解析】根據(jù)奇函數(shù)特性得aex-x=ex-arx即a=l得到f(x)-ex,f'(x)=-<0因此這是單調(diào)遞減函數(shù)，f(x-l)<

3、一1=f(1)e故x弓>1-即x>0【點評】：嚴(yán)格按照定義挖掘已知條件，注意觀察函數(shù)特殊值；本題屬于中檔題134 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出i的值為A.4B.5C.6D.55【答案】B【考點】流程圖，平方數(shù)列前n項和公式【解析】本程序作用是對平方數(shù)列求和Sn=1。22+.=n2n(01)(2:1)6容易得到S4=30,S4=55>50,故輸出5【點評】：注意識記典型數(shù)列前n項和公式；本題屬于基本題型5 .已知f(x)=s(x+90X於II滿足)f(冷)2Tg(x)=2cMX在區(qū)間0上的最大值為2A.4'B.VIC.lD.-2【答案】Bit【考點】三角函數(shù)的頻率、

4、相位及初相，誘導(dǎo)公式【解析】由f(0)確定三角函數(shù)的初相，sin=-M21T中=-(結(jié)束)f,(7),則22sin(ox+)=-sin(x+)+1-6263冗由誘導(dǎo)公式可知=n=3=22717T71/因此g(x)=2cos(2x+)且2k一=l6666故gmax(X)=2COS=G6【點評】：考查三角函數(shù)相關(guān)知識，屬于基本題型在矩形ABCD中,6.AB=3,BC=MbMBiayj=*二,則*3,BE2EC,點f在邊cd上，若ABAF3aebf的值為A.4B.3C.OD.-4【答案】D【考點】平面向量，建系知識一一22J3【解析】如圖所示，=BE2既BE=BC=33ABAF3=AFco*=F以A

5、為原點建立平面直角坐標(biāo)系,DF=1AD為x軸，AB為y軸,貝B(0,3),F(3,1),E(3,3),因此BF(3,2)=-32264【點評】：平面解析幾何問題，可以使用三角函數(shù)，也可以使用建系方法，利用平面向量的坐標(biāo)運算，統(tǒng)一處理；屬于中檔題型京0I一7.設(shè)D為不等式對Fy-0表示的平面區(qū)域，圓C:(x5)斗y?=1上的點與區(qū)<2x+y-翼0域D上的點之間的距離的取值范圍是5小A.2一1,a/34+1)B.34+1C.V17,D.17-i,Ft】【答案】bd =J(x-5)2 +y2【考點】簡單線性規(guī)劃，點與圓位置關(guān)系【解析】首先求解平面區(qū)域的頂點，確定各頂點到圓心的距離最后求出最小距

6、離減半徑和最大距離加半徑，即為所求范圍交占->*J、(0,0)(0,3)(1,1)距離d5341【點評】：鎖定目標(biāo)函數(shù)，完成線性規(guī)劃；本題屬于中檔題型所求范圍7171,8 .如圖所示是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為A.57+24nB.57+15叮C.48+15冗D.48+24【答案】D【考點】三視圖，簡單空間組合體【解析】本題為圓錐與直四棱柱的組合體注意表面積分為三部分，圓錐側(cè)面展開圖，即扇形面積Xn56/2=15圓錐底面圓，S=兀r2=g直四棱柱側(cè)面積，xx34448總面積為48+24?！军c評】：簡單空間組合體，注意表面積可用投影法求得，不易誤算；本題屬于基本題型FF9 .已知

7、雙曲線C：2_乎2=的左右焦點分別是L2,過F的直線1與C的左右兩支分x812別交于A,B兩點，且曲1|二BF|,則AB|二A.XZB.3C.4D.【答案】：C【考點】：雙曲線的概念【解析】：由雙曲線定義可知：|AF2|AFi|=2a,|BFi|BF2=2a；兩式相加得：AF2|-|AFi|+|BFj-|BF2|=4a又AFi|=|BFi|,A式可變?yōu)锳F2；BF21=4a=4即件B=4【點評】：屬于基本題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.10.設(shè)等比數(shù)列!n）的公比為q，其前項之積為Tn,并且滿足條件：al,aaa_1 >20152016>1,2W51<。.給出下列結(jié)論：（1）0<

8、;q匕（2）a2015a2017-1>0；a_2016J（3）T2016的值是Tn中最大的（4）使Tn>1成立的最大自然數(shù)等于4030.其中正確的結(jié)論為A.（1）,（3）B.（2）,（3）C.（1）,（4）D.（2）,（4）【答案】：C【考點】：等比數(shù)列性質(zhì)a2015_1【解析】：由<0可知：a20i5<1或&2016<1.a_20161<><<0=如果a2oi51,那么a2oi61,若a2oi50,則q-又因為a20i6aiq2015,所以&2016應(yīng)>若 q 1 ,則 U2015確. a a a 2015 2017

9、 2016與ai異號，即H2016<0，這假設(shè)矛盾，所以q衿.>a><<1且20161,與退出的結(jié)論矛盾，所以0q1,故（1）正2<1,故（2）錯誤.由結(jié)論（1）可知A2015U2016<1，所以數(shù)列從2016項開始小于1,所以12015最大.故（3）錯誤.2=（a）由結(jié)論（1）可知數(shù)列從2016項開始小于1,而Tnaia2a3an,所以當(dāng)Tn2015時,求得Tn>1對應(yīng)的自然數(shù)為4030,故（4）正確【點評】：本題難度中等，解題的關(guān)鍵是熟練等比數(shù)列的性質(zhì).11,已知正四面體S-ABC的外接球O的半徑為，'6，過AB中點E作球O的截面，則

10、截面面積的最小值為A. 4r B.6 兀 C.16471 D. 71【答案】：A【考點】：正四面體的特征，圓的面積公式以及空間想象能力【解析】：由正四面體的外接球的半徑R與棱長a關(guān)系可知：R6a.=即匚6=6r肥廠44以正四面體的棱長a=4.因為過E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的半徑最小，此時截面圓的面積有最小值.此時截面圓的半徑r=2,截面面積S=Jir2=4兀【點評】：本題屬于基礎(chǔ)題目，正四面體外接球的半徑與棱長關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12.若函數(shù)fxex付)=ax(b/極值"點,i,X2xixqxi=則關(guān)于x的方程f2(x)+(2+a)f(x)+a+b=0的不同實根個數(shù)為

11、A.0-B.3C.4D.5答案：B【考點】：導(dǎo)數(shù)、解一元二次方程、分析轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合能力【解析】：函數(shù)f(x用兩個不相同的極值點，即f/(x)=eX限2+(2)x14有兩個不相同的實數(shù)根XI,X2,也就是方程X2+(寸a)x+a+b=0有兩個不相同的實數(shù)根，所22以V=(?(+>0,由于方程f(x)+(2)f(x)+a+b=0的判別式VLV,故此方程的兩個解為f(x)=xi或f(x)=X2.由于函數(shù)y=f(x)的圖像和直線y天1的交點個數(shù)即為方程f(x)=xi的解的個數(shù)，函數(shù)=f僅)=x=xy的圖像和直線y2的交點個數(shù)即為方程f(x)2的解的個數(shù).根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及f(xi)=XI,我

12、們作出函數(shù)的大致圖像.由圖可知y=f(x)的圖像和直線yXI的交點個數(shù)為2,y=f(。的圖像和直線y=X2的交點個數(shù)為1.所以f(x)=xi或f(x)=X2共有三個不同的實數(shù)根，即關(guān)于x的方程f2(x)+(2+a)f(x)+a+b=0的不同實根個數(shù)為3【點評】：本題難度中等偏上，是導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值點與解一元二次方程的綜合題目，求解的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的單調(diào)性，畫出大致圖像，并將方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題.二、填空題(1丫1.l+x+的展開式中常數(shù)項為.X./【答案】141【考點】二項式定理.【解析】將原式看做6,由二項式定理可得展開式的通項為的 展 開 式 通 項 為Tm+=C

13、m*xE1乎二c”-xfm,則取常數(shù)項時rWm，由題可知,對應(yīng)的r分別為r蟲1,2,3,4,5,6,81,2,3,4,5,6,則m的可能取值為0,1,2,30,2,4,6.m=0,r=0時，常數(shù)項為1；m=1,干2時，常數(shù)項為30；m=2,r=4時，常90201309020141數(shù)項為；m=3,尸6時，常數(shù)項為；故原式常數(shù)項為+=【點評】：利用已知的二項式定理，將多項式合理組合，變形為二項式，進而再用公式逐步分析.2. 已知F為拋物線y2 4x的焦點,IPF1與x軸的交點，當(dāng)最小時，點P（）X, y 是該拋物線上的動點，點 A是拋物線的準(zhǔn)線的坐標(biāo)為4x44=W所以X 。，則1 ' 6x

14、 ' x2 十+2 66 X>4-且取最小值時 X 1 ,此時點P的坐標(biāo)為（1； ） .PA 2【答案】（,玄）【考點】拋物線焦半徑公式，基本不等式.【解析】由題可知焦半體PH=x+l,則222PA1=（x方）+y2=（x+l）+4xV+6x1|1pf1）JNx.=1%x_L4x=1_生,因為點qx,在拋物線上,1|pa|J1書x文21節(jié)x產(chǎn)力6/x21即=2（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號），則【點評】：會利用焦半徑公式將幾何意義轉(zhuǎn)化為函數(shù)運算，分式型最值要善于變形，聯(lián)想基本不等式.3.如圖所示，若在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為.【答案

15、】【考點】定積分，幾何概型.=x=y=【解析】由圖可知正方形關(guān)于直線y對稱，又yex與yInx圖象也關(guān)于直線x對e1x21稱，如下圖，則Injqdx)=ee尸xL正方形面積為e,則概率為一？10eye;fix-eKi，JfixMnxo.1«f'JT【點評】：遇到較難的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)問題，可以先聯(lián)系反函數(shù)，被積函數(shù)為對數(shù)函數(shù)時不好求，可根據(jù)圖象特征等價轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù).a_4.對于數(shù)列疝，若Vm,MN*(mMn)都有“丁"t為常數(shù)城立，則稱數(shù)列n-m，且具有性質(zhì)P(0,)()可知an具有性質(zhì)P1).若數(shù)列an的通項公式為an=n2-則實數(shù)a的取值范圍是【答案】卜6,&#

16、165;)【考點】全稱命題，推理運算.【解析】由數(shù)列通項公式且數(shù)列具有性質(zhì)P1012a)怛成立，則數(shù)列)nn0I2oji?_10n-a，為單調(diào)遞增數(shù)列，則有(nH)-(#1)-a-n2-10na>0恒成in，n+1In，立，化簡得a>_ni+b(2n_9),由數(shù)軸標(biāo)根法作圖觀察可知n=3時最值成立，則帶入可得a>36.【點評】：恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為求最值，構(gòu)造新的數(shù)列形式后要利用遞推關(guān)系建立不等式.三、解答題(本小題滿分12分)1.在ABB中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,ccosBsinC+(a-sinB)cos(A+B)=°，C=(1)求角C的大?。?2)求

17、sinA-sinB的最大值.笠3【答案】(1)三(2)_34【考點】正弦定理，三角恒等變換【解析】(1尸cosBsinC+(a-sinB)cos(A+0cosBsinC(a-sinB)cosC=0，sin(B+C)-acosC=0sinA=acosC.q='=J.一=6sinAcosCsinCtanC=J3；C.3Zi1兀1(2)sinAsinB=sinAsin(A)=-sin(2A-)1-3264./八孑、-an/TTk、A(0,2A-6(),36661 7T13sin(2A-一)+=(g.2 6443,sinAsinBw(0,.4【點評】：正確使用正弦定理和三角恒等變換是解決問題的

18、關(guān)鍵，解題時要注意三角形內(nèi)角和的應(yīng)用.本題考查學(xué)生邏輯推理能力和靈活運用知識的能力.(本小題滿分12分)2.如圖1,在邊長為4的正方形ABCD中，E、F分別為AB、CD的中點，沿EF將矩形ADFE折起使得二面角A-EF-C的大小為90°(如圖2)，點G是CD的中點.(1)若M為棱AD上一點，且正=4贏，求證：DE，平面MFC；(2)求二面角E-FG-B的余弦值【考點】：(1)線面垂直；(2)空間向量求二面角余弦值e【解析】：解法一(幾何法)：一(1)證明：F在矩形ADFE中，AD=FE=4,AE=DF=2,由得:MD = 125又由勾股定理得：DE=275,MF所以:sinZADE

19、= AE DE所以:ZADE +ZDMF =ABCD為正方形，二面角所以：CF，面MFC ；f.DE 1CF故有：DE IMFVCF 門 MF = F解法二（坐標(biāo)法）（略） （2）以F為坐標(biāo)原點，分:J，COS /DMF = MD5MF,BP： DE ,MF2A壬F B為直二面角， 所以：CF 1 DE,所以，DE上而MFCE、F為中點FD,FC,FE 為 x,y,z 軸,如圖所示構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，貝小E(0,0,4,F/0,0,)Gl<l,0,)BO,4,4)FE=(0,0,4),FG=(1J,0,FB(0,2,4)設(shè)面EFG的法向量為m=(x,y,z),而BFG的法向量為n=(x,

20、y,z),則有:111222fmTE=0'nWB=0jnYG=0,n¥G=04zi=0&y2+4z2=0即：，«<xi+yi=0x2i+y2=0故可取：m=（h1,0）,ri=（2,-2,-T-一mY2r2麗=3【點評】：（1）本小題考察巧妙，打破一部分同學(xué)認(rèn)為證明題無需計算的思維誤區(qū)，同互余角三角函數(shù)關(guān)系證明垂直；（2）常規(guī)向量法求二面角余弦值，同學(xué)們在備考中要注意：圖形中二面角銳鈍不明顯的情況（本小題滿分12分）3.已知某水庫近5。年來年入流量X（單位：億立方米）的頻數(shù)分布如下表：年入流量40<X<8080<X<120-X&

21、gt;120年數(shù)10355將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.現(xiàn)計劃在該水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機組的水電站，已知每年發(fā)電機組最多可運行臺數(shù)Y受當(dāng)年年入流量X的限制，并有如下關(guān)系:年入流量40<X<8080<X<120X>120最多運行臺數(shù)123（1）求隨機變量Y的數(shù)學(xué)期望；（2）若某臺發(fā)電機組正常運行，則該臺發(fā)電機組年利潤為500。萬元；若某臺發(fā)電機組未運行，則該臺發(fā)電機組年虧損800萬元.為使水電站年總利潤的期望達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電【答案】（1）1.9(2) 2 臺【考點】離散隨機變量的分布【解析】（）依題意，100.2

22、.pi =p(40 < X 80> 50機組多少臺？-35P2=p(80»3120)=、=0.75P3=p(X之120)=0.1.50記水電站總利潤為 Z （單位：萬元）安裝1臺發(fā)電機的情形.由于水庫年流入量總大于40,故一臺發(fā)電機運行的概率為1,對應(yīng)的年利潤Z=5000,E(Z)=5000¥=5000.安裝2臺發(fā)電機的情形.-800= 4200,因此依題意，當(dāng)40X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Z5000=80時，兩臺發(fā)電機運行，此時P(Z=4200)=P(40<X<80廣0.2；當(dāng)X之Z=50002=10000,因此P（Z=10000）于（

23、X之80）力.8.由此Z的分布列如下:Z420010000P0.20.8E(Z)=4200x0.20000x0.8=8840.安裝3臺發(fā)電機的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Z=500。1600=3400,因此P(Z=3400)=P(40<XV80尸0.2；當(dāng)8彷X壬20時，兩臺發(fā)電機運行，此時Z=500j2-800=9200,因此P(Z=9200P(80'X412070.7.當(dāng)X>120時，三臺發(fā)電機運行，此z=5000X3=15000,因此P包15000P(X>120>0.1.由此Z的分布列如下:z40<X<80

24、XW120X>120p0.20.70.1E(Z)=3400>0.2+9200也715000048620.綜上，欲使水電站年總利潤的期望達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺.【點評】正確理解題意是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確寫出各分布列是關(guān)鍵.本題考查學(xué)生邏輯推理能力和離散隨機變量的分布.(本小題滿分12分)X2214.已知橢圓C:_+=l(a>b>0)的左右頂點分別為A,B,右焦點為F,離心率e=_,a2b22點P是橢圓C上異于A,B兩點的動點，APB的面積最大值為2g(1)求橢圓C的方程;(2)若直線AP與直線X2交于點D,試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并作出證明.【考點】(1)橢

25、圓基本量；(2)聯(lián)消判韋，點線距離，線圓位置關(guān)系，分類討論【解析】(1)由題意得,M =b2 +c2二2cl乙解得：c=1x2y2所以，橢圓方程為：二+工=1.43(2)以BD為直徑的圓與直線PF相切.證明：設(shè)直線AP：y后x(+21k¥0),貝ij：D(2,4k),BD的中點為M為(2,2k)x2+y2一+J-1V聯(lián)立3，消去)整理得：(3+4k2)x2+16k216k2-ITO_2xo = 16k 2 12,3+ 4k212kyo = k( x()+23 4kly"x+2)設(shè)P«o,yo),由韋達定理得：用牛1寸：xo=68fcr，故有:3+4k1又F |,0

26、),所以當(dāng)k = ±_時,2(3P 1,±工 2，D 2力振時PF_L x 軸,2以BD為直徑的圓(x"2 )+(y2-1)=1與直線PF相切.1 yo4k當(dāng)k#±時，,f=2-,2 xo-114k所以直線PF：_4k(_v,即：4kX4k_,丫1-4k2X1l-4k2丫1-4k2°8k4kl_4k2_2k-l_4k：所以點E到直線PF的距離d=r=一=2k(D2-h1Vl-4k2而BD=4k,即知：d=-l|BD|,所以以BD為直徑的圓與直線PF相切2【點評】：解法常規(guī)，難度適當(dāng)(本小題滿分12分)J1為函數(shù)f(X)的極值5.設(shè)函數(shù)f(x)=

27、aInx+X2-bx(a,b七R,aH0),x=點.2(1)若x=1為函數(shù)f(x)的極大值點，求f(x)的單調(diào)區(qū)間(用a表示)；(2)若函數(shù)f(x)恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【點評】：本題屬于導(dǎo)數(shù)問題的中檔題，主要考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性、零點問題，涉及的主a)要思路是對參數(shù)范圍的分類討論，其中f(a)=a(lna-1一-的正負問題用到構(gòu)造函數(shù)再求2導(dǎo)分析，難度不大.【解析】：由題意可得：定義域為x10,于一bx+a,;f(x)=/且XT為極值點，二f(i)=b+ae-b=1ax1 ，一一故f(x)=alnx+-X2-(i0)x且f(x)a=1)2 x(1)=X=1為函數(shù)f(x)的極大值點

28、a>1當(dāng)x飛0,1)時，f(x)的單調(diào)遞增；(l,a)時，f(x)的單調(diào)遞減；xW(a,)時，f(x)的單調(diào)遞增.(2)若a<0時，f(x)在xW(0,l)的單調(diào)遞減；在xW(1/)時單調(diào)遞增11t(X)恰有一個零點，f(X)min-f(1)=(1+3)-a22若0<a<1時，f(x)在xe(0,a)單調(diào)遞增；在x己(a,l)單調(diào)遞減；在x云(1產(chǎn))單調(diào)遞增.a,x=a為極大值點f(a)=a(lanL)v°x=1為極小值點2f(l)=-(a+L)<02又丫f(2a+2)=aIn(2a+2)>0,f(x)恰有一個零點若a>1時，f(x)在(0,

29、1)單調(diào)遞增；在x(1,a)單調(diào)遞減；在乒(a,+%)單調(diào)遞增.,.x=1為極大值點f(1)=-(a+)<0=xa為極小值點f(a)=a(In-aI-3-)22X11設(shè)g(x)=lnx4一一則g(X)=，故g(X)max=g(2)=In202x2f(a)=a(lna_l_a)<02又丫f(2擊2)=aIn(2a+2)>0,f(x)恰有一個零點綜上所述：若函數(shù)f(x)恰有一個零點，則實數(shù)a«0,1)U(l2四、選做題(本小題滿分10分)1.選修41：幾何證明選講如圖所示，已知圓。外有一點P,作圓O的切線PM,M為切點，過PM的中點N,作割線NAB,交圓于A、B兩點，連

30、接PA并延長，交圓O于點C,連接PB交圓O于點D,若MC=BC.(1)求證：APMAABP；(2)求證：四邊形PMCD是平行四邊形.【考點】與圓有關(guān)的比例線段；相似三角形的判定.【解析】(1)丁PM是圓O的切線，NAB是圓O的割線，N是PM的中點，PNNA MN2=PN2=NANB,A-=,NBPN又,.,NPNA=NBNP,/.PNAABNP, NAPN=NPBN,即NAPM=NPBA.MC=BC,AZMAC=ZBAC,AZMAP=ZPAB, APMAABP.(2)./ACD=NPBN,NACD=NPBN=NAPN,即NPCD=NCPM,APM/CD,VAAPMAABP,.nPMA=NBPA,PM是圓O的切線，AZPMA=ZMCP,NPMA=NBPA=NMCP,