有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法

1、第七章有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法第一節(jié) 概述地層劃分與對(duì)比是煤田地質(zhì)勘探的主要任務(wù)之一。在地質(zhì)工作中，通常是尋找地層的不整合或假整合界線，或者利用古生物化石、巖石礦物等地質(zhì)特征對(duì)地層進(jìn)行劃分與對(duì)比。 這種劃分方法比較直觀，適用于較大地層單元的劃分與對(duì)比。當(dāng)?shù)刭|(zhì)特征間的差異性不顯著時(shí)，運(yùn)用上述直觀、定性的方法來解決較小地層單元的進(jìn)一步劃分就有一定的困難。因此， 近年來開始利用有序地質(zhì)量，即運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，并借于電子計(jì)算機(jī)定量地劃分地層，提出了“有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法”。地質(zhì)數(shù)據(jù)中有相當(dāng)多是有序的。這些按一定順序排列的地質(zhì)變量，叫做有序地質(zhì)量。例如，沿地層露頭剖面采集的巖石標(biāo)本；鉆孔取出的巖芯樣品；與這些巖

2、石、樣品有關(guān)的巖性、物理化學(xué)和古生物數(shù)據(jù)；以及地球物理測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)等。它們都是有序地質(zhì)量。這類數(shù)據(jù)的所以，一些不考慮樣品排列順序的數(shù)學(xué)處理方法, （地質(zhì)體）進(jìn)行分段的統(tǒng)計(jì)方法。特點(diǎn)是樣品的前后次序不能變更。所以，一些不考慮樣品排列順序的數(shù)學(xué)處理方法，對(duì)此不適用。有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法，就是對(duì)一批有序數(shù)據(jù)設(shè)有n個(gè)按順序排列的樣品，每個(gè)樣品測(cè)得 表示為P個(gè)變量,這批數(shù)據(jù)可用數(shù)據(jù)矩陣的形式k 1i 1X11X12X1PXX21X22X2pXilXn1Xn2XnpXil表示第i個(gè)樣品第l個(gè)變量的取值。若對(duì)以上n個(gè)有序樣品進(jìn)行分割（分段），可能有1 2n 1cn 1cn2cn 1nxp其中,2n1種劃分方法，

3、每一種分法稱為一種分割。段（組）內(nèi)部樣品之間的差異性最?。礃悠窋?shù)據(jù)的組內(nèi)離差平方和最?。?之間的差異性最大（即樣品數(shù)據(jù)的組間離差平方和最大） 差平方和最小的分割方法，稱為最優(yōu)分割法。樣品變量總離差平方和的分解式為T W B在所有這些分割中,存在這樣一種分割，它使得各，而使段（組）。這種對(duì)n個(gè)樣品分段并使組內(nèi)離(7 1)式中，T為總離差平方和； W為組內(nèi)離差平方和；B為組間離差平方和。由式（7 1）可知，如果n個(gè)樣品分為K段，每段的樣品個(gè)數(shù)為nk，若每個(gè)樣品只取一個(gè)變量，則nk_(72)(Xik xk)2K %_K_(73)B(Xk X)2 n k (Xk X)2k 1 i 1k 1因此，尋求

4、最優(yōu)分割，就是用計(jì)算的分法找出使組內(nèi)離差平方和（W ）最小的那些分割點(diǎn)。這與判別分析中費(fèi)歇準(zhǔn)則相似，所以有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法， 有人又稱為“F-分割法”或“有序樣品的聚類分析”。第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割若有n個(gè)有序樣品，每個(gè)樣品只取一個(gè)變量， 則有n個(gè)有序數(shù)據(jù)序列，為X Xi , X2 , ,Xn現(xiàn)在試圖將這n個(gè)樣品按順序分割為K段，使段（組）內(nèi)離平差和盡可能小，而組間離差平方和盡可能大。為此，用Xi'Xj,Xj表示從第i個(gè)樣品數(shù)據(jù)開始至第 j個(gè)樣品數(shù)據(jù)為止的某段樣品，其中該段樣品變量的離差平方和為d（i,j）2i, j(7-4)式中X i, j由于d（i,j）能夠反映樣品段Xi

5、, Xi 1,Xj內(nèi)樣品間差異的情況，d（i,j）愈小，表示段內(nèi)各樣品之間差異性愈小；反之,d（i,j）愈大，表示段內(nèi)各樣品之間差異性愈大。因此，又把d（i,j）稱為i, j段的直徑。若 n 個(gè)樣品分為 K 段：X11,X12, X1n1X21 , X22 ,X2n211 >XK2 , XK2 , XKnk，為最優(yōu)K段分割。其各段離差平方和（段直徑）分別為:di(i, j)，d2(i, j), dK(i,j)。根據(jù)最優(yōu)分割的原則，其組內(nèi)離差平方和必須滿足K nk_2(7-5)WXik Xk i, jk 1 i 1dk i, j mind1 i,j d2 i.jK _ 2Bn k Xk i

6、, j X maxk 1(7-6)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往事先不知道n個(gè)有序樣品客觀上究竟能劃分為幾段。因此，必須從最優(yōu)分成二段、三段、一、最優(yōu)二段分割K段進(jìn)行分析。若把n個(gè)有序樣品X1,X2, ,Xn分為兩段，則有如下 n 1種不同的分法，即X1X2,X3, ,XnX1,X2X3, X4, XnX1,X2,X3 X4,X5, XnX1, X2, ,Xn 1Xn在上述n 1種分法中，究竟哪一種方法最優(yōu)？只須計(jì)算出每一種分割的組內(nèi)離差平方和,并從其中找出組內(nèi)離差平方和W 最小的那一種分割，就是所求的最優(yōu)二段分割。在n個(gè)有序樣品中，對(duì)任意一個(gè)j 1 n 1都可以確定一個(gè)二段分割，即1,j 1, n。若把

7、對(duì)n個(gè)樣品在第j個(gè)樣品處進(jìn)行的二段分割的組內(nèi)離差平方和(7-7)記為Wn 2; j d 1,1 d 2,n式中，n表示被分割的樣品數(shù)；2表示把n個(gè)樣品分為二段；j表示以第j個(gè)樣品為分割點(diǎn)。上述n 1種分割的組內(nèi)離差平方和分別為Wn 2;1 d 1,1 d 2,nWn 2;2 d 1,2 d3,nWn 2；n1 d 1,n1 d n, n在i, , j中，當(dāng)i j時(shí)，則d 1,1 d 2,2d n, n0假設(shè)當(dāng) j a1 時(shí)，Wn 2; j 達(dá)到最小，即Wn 2;a11mj inn 1 Wn 2;j則最優(yōu)二段分割為x1, x2, ,xa1xa 1, ,xn ，其中 xai 為最優(yōu)二段分割點(diǎn)。二、

8、最優(yōu)三段分割若把 n 個(gè)有序樣品 x1 ,x2 , xn 分為三段， 其中必有兩個(gè)分割點(diǎn)。 假設(shè)第 a1 j 和第 j個(gè)樣品為分割點(diǎn)，則三段分割為x1 , xa1xa1 1, xj xj 1, xn若把三段分割的組內(nèi)離差平方和記為：Wn 3;a1,j ，其中 a1,j 為兩個(gè) 分割點(diǎn)1 a1 j 1;2 j n 1 ，則Wn 3;a1,jd1,a1d a11, j d j 1, nWj 2, a1d j1,n顯然，如果有 Wn 3; a1, j 為最優(yōu)三段分割，則Wj 2; a1 必為最優(yōu)二段分割，否則必存在另一個(gè)最優(yōu)二段分割 Wj 2; a1 ，使Wn 3; a1, jWn 3;a1, j這

9、與Wn 3；a1, j為最優(yōu)三段分割相矛盾。因此，如果對(duì)n個(gè)有序數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)三段分割,必須對(duì)任意一個(gè) j 2n 1 ，即前 j 個(gè)數(shù)據(jù)先求出其最優(yōu)二段分割， 為Wj 2;a1 j d1,a1 jda1 1, jWj 2; a11 am1 jinj 1 Wj 2; a1 j則前 j 個(gè)樣品的最優(yōu)二段分割與 x j,xn 構(gòu)成一個(gè)三段分割。 最后，找出一個(gè)適當(dāng)?shù)?j ，如 j a2 ，使得Wn 3; a1 , a2 min Wj 2; a1 d j 1, n則 x1, ,xaj xaj 1, ,xa22mj inn 1 Wn 3;a1 j,jxa2 1, , xn為n個(gè)樣品的最優(yōu)三段分割，其中a1

10、和32為最優(yōu)三段分割點(diǎn)。三、最優(yōu) K 段分割若 對(duì) n 個(gè) 有 序樣 品 數(shù)據(jù) x1,x2, ,xn 進(jìn)行最 優(yōu) K 段分割 ， 可先 找 出n 1 個(gè)樣品的最優(yōu)K 1段最優(yōu)分割，即Wj K 1;a1,a2,ak 2從而得Xa1 1 , Xa2Xak 2 1 ,Xj與Xj 1, ,Xn構(gòu)成K段分割，但不一定是最優(yōu)K段分割。 可選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)?j Kn 1 ，如 j aK1 時(shí)，使得Wj K 1;a1,a2 , aKK m1 ijnn 1 Wn K;a1 jK 1 j n1, a2 jaK 2 ,可得最優(yōu) K 段分割為 x1 , xa1xa11 , Xa2XaK 1 1 ,xn，其中 Xai，X

11、a2， ,XaKi 為K 一直可做到所要最優(yōu) K 段分割點(diǎn)。 應(yīng)當(dāng)指出，分割的段數(shù) 求的段數(shù) K 為止；或者可以預(yù)先給定一個(gè)小正 數(shù) ，使 K 段分割的組內(nèi)離差平方和Wn K;a1,a2, ,ak 1 后為止。這樣得出的K 就是最后的分割的段數(shù)。由圖 7 1 所示，組 內(nèi)離差平方和是隨分段段數(shù) K 的增加而單調(diào)地 減少。所以當(dāng) K n 時(shí)，組內(nèi)離差平方和Wn n;a1,a2, ,an 10 。因此，可根據(jù)組內(nèi)離 差平方和隨段數(shù)增加而下降到比較穩(wěn)定的時(shí)候（即 圖中曲線平緩時(shí)）再確定分段段數(shù)。例如，采集n個(gè)有序樣第三節(jié) 多元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割為了分層，有時(shí)需要匯集樣品更多的信息， 采用多個(gè)變量指標(biāo)

12、。品，每個(gè)樣品測(cè)得 P個(gè)變量，原始數(shù)據(jù)可構(gòu)成一個(gè) n P階矩陣，為X11X12X1pX21X22X2pXn1Xn2Xnpn P在多變量情況下，人們自然會(huì)聯(lián)想到是否能將單元有序數(shù)據(jù)最優(yōu)分割原理引申到多元 數(shù)據(jù)中來，以此對(duì)n個(gè)有序樣品進(jìn)行分割， 一般最簡(jiǎn)單有效的辦法就是把一段樣品多個(gè)變量 合并為一個(gè)變量來處理，統(tǒng)一定義“段直徑”。但是，為了使不同變量間具有共同的數(shù)據(jù)基原始數(shù)據(jù)矩陣中元素記為：Xil i 1,2, ,n;l1,2, P，則正規(guī)化數(shù)據(jù)為Zi為 min Xilmax Xiimin xil(7-8)得正規(guī)化數(shù)據(jù)矩陣Z11Z12ZpZ21Z22Z2PZn1Zn2Znp的段直徑定義為根據(jù)正規(guī)化

13、數(shù)據(jù)，將樣品段i,d i, ji, j(7-9)礎(chǔ)，事先要對(duì)各個(gè)變量進(jìn)行數(shù)據(jù)規(guī)范化處理，如使數(shù)據(jù)作正規(guī)化變換。式中Z i, jn,1,2,(7-10)若n個(gè)有序樣品分為K段，每段內(nèi)有nk個(gè)樣品,則多元有序數(shù)據(jù)最優(yōu)分割的原理與單元有序數(shù)據(jù)最優(yōu)分割一樣，使組內(nèi)離差平方和Wn K； 31,32 ,aK 1d1i, j d2 i, jdK i, jKnkpZk1Zk2i, jminK 1 j n1 Wn K;a1 j ,a2 j , ,aK 2 j , j(7-11)應(yīng)當(dāng)指出，樣品的段直徑除了用式（7-9）定義外，還可用其他方法定義。如用樣品數(shù)據(jù)絕對(duì)值距離來定義，即jpD i，jX i, j(7-12

14、)ii也可用其他度量空間的距離來定義。第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟1.數(shù)據(jù)正規(guī)化 設(shè)原始數(shù)據(jù)陣為X11X12X1pXX21X22X2PXn1Xn2Xnp將X中的元素Xil變換為ZiiXilmaxXilmin Xili 1,2,n;l1,2,得正規(guī)化數(shù)據(jù)矩陣Z11乙2Z1pZ21Z22Z2pZn1Zn2Znp其中因?yàn)?.計(jì)算段直徑矩陣i, jz i, jZa2i, j0i,j dj,i故必須計(jì)算nn 1個(gè)d i, j，得2d 1,1 d 1,2d 2,2d 1, nd 2, nd n, n3.計(jì)算全部分割的組內(nèi)離差平方和或段直徑和)nn及各種分段的最優(yōu)分割1)最優(yōu)二段分割 由 D 矩陣對(duì)每一個(gè) m

15、n, n1,2 計(jì)算相應(yīng)的組內(nèi)離差平方和，Wm 2; j d i, j d j 1,m1,2, , m 1找出最小值，確定相應(yīng)的最優(yōu)二段分割點(diǎn)，即Wm 2;a1 m1mj imn 1 Wm 2; j分割點(diǎn)為a1 n , a1 n1 , a1 2 。從而得到 n 個(gè)樣品 m n 的最優(yōu)二段分割為x1, x2, xa1 nx a1 n 1, xn ，其中 a1 n 為最優(yōu)二段分割點(diǎn)。2)最優(yōu)三段分割 根據(jù) D 矩陣及最優(yōu)二段分割結(jié)果，對(duì)每一個(gè) m n, n 1,3計(jì)算相應(yīng)的三段分割的組內(nèi)離差平方和，為Wm 3;a1 j , jWj 2;a1 jd j 1,mj 2,3,m n, n, m 11,

16、,3然后求出最小值，并確定相應(yīng)的最優(yōu)三段分割點(diǎn)，為Wm 3;a1 m,a2 mmin Wm 3;a1 j ,j2 j m1a1n ,a2 n;a1 n 1,a2 n 1; ;a1 3,a2 3從而得到 n 個(gè)樣品 m的最優(yōu)三段分割為 x1,x2, ,xa1 n xa1n 1, ,xa2nx a2 n 1 , x n ，其中a1n ， a 2 n 為最優(yōu)三段分割點(diǎn)。3)最優(yōu) K 段分割根據(jù)矩陣D及最優(yōu)K 1段分割計(jì)算結(jié)果，對(duì)于每一個(gè)m n,n 1, K 分別計(jì)算相應(yīng)的 K 段分割的組內(nèi)離差平方和，為Wm K;a1 j ,a2 j , ,aK2Wj K 1; a1 j ,a2 j , ,aK 2

17、j d j 1,nK 1,K,m 1;m n,n 1, ,K找出最小值，并確定相應(yīng)的最優(yōu) K 段分割點(diǎn)，即Wm K;a1 m,a2 m, ,aK 1m K m1 ijnm1 Wm K;a1 j ,a2 j , ,aK 2 j , j從而得到 n 個(gè)樣品 m n 的最優(yōu)K 段 分割 為x1,xa1 nxa1 n 1,xa2 nxa1 K 2 n ,xa2 K 1 nxa1 K 1 n 1,xn ，其中，a1 n,a2 n , ,aK 1 n 為最優(yōu) K 段分割點(diǎn)。4. 繪制 W K 曲線作為最終分段數(shù)。在W K曲線上，選擇曲線拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 K值（取整）例7 1某煤礦所采煤層的煤質(zhì)牌號(hào)為主焦煤，在煤

18、巷中見一火成巖墻侵入煤層，致使煤質(zhì)發(fā)生變化，為弄清楚煤質(zhì)變化情況， 從火成巖附近每隔0.5 m依次取一煤樣，獲得6個(gè)有序煤樣的鏡煤最大反射率數(shù)據(jù)為R0 %x1,x2,x3,x4,x5,x6,3.20,2.95,2.35,1.80,1.50,1.45試進(jìn)行最優(yōu)分割。此樣本最可能分割法共有 25131種，今要在這 31種分割中找出一種最優(yōu)的分割 （類內(nèi)差別小，（1）類間差別大） 。其作法如下：對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行正規(guī)化變換后得正規(guī)化數(shù)據(jù)，為Z 1.0000,0.8571,0.5143,0.2000,0.0286,0計(jì)算段直徑矩陣 D, 即d 1,1 d 1,2d 1,3d 1,4d 1,5d 1,6d

19、2,2d 2,3d 2,4d 2,5d 2,6Dd 3,3d 3,4d 3,5d 3,6d 4,4d 4,5d 4,6d 5,5d 5,6d 6,60 0.01020.12460.38610.68800.913300.05880.21610.40000.528000.04940.12140.167300.01470.023400.00040最優(yōu)二段分割。由 D 對(duì)于 m6,5,4,3,2 時(shí)，計(jì)算其中其中其中Wn 2;jd i, jd j i,nji,2,m i6時(shí)，則W62;4d i,4d 5,60.3865W62;3d i,3d 4,60.i480W62;2d i,2d 3,60.i776

20、W62;id i,id 2,60.5280叫 2; ai 6min. W6 2; jW62;30.i480ai 635時(shí)，則W52;4d i,4d 5,50.386iW52;3d i,3d 4,50.i393W52;2d i,2d 3,50.i3i6W52;id i,id 2,50.4000W5 2;ai5imjinW52；jW52;20.i3i6ai 524時(shí)，則W42;3d i,3d 4,40.i246W42;2d i,2d 3,40.0596W42;id i,id 2,40.2i6i當(dāng)m當(dāng)m當(dāng)mW4 Zai 4ai 423時(shí)，則W3min W4 2;jW4 2;20.05961 J 32

21、;2 d 1,2 d 3,30.0102W32;1 d 1,1 d 2,30.0588其中W Zai 3min W5 2; jW3 2;20.010231 322時(shí)，則W2 2, ai 2W2 2;1 d 1,1 d 2,2031 11從而得到6個(gè)樣品的最優(yōu)二段分割為Xl,X2,X3 X4 , X5, X6。其中,X3為分割點(diǎn)。Wm 3; 31 j ,jWj 2; 31j d j1,nj 1,2, m1當(dāng)m6時(shí),則W6 3; 31 5 ,5W5 2; 31 5d 6,60.1316W6 3; 31 4 ,4W5 2; 31 4d 5,60.0600W6 3; 31 3,3W5 2; 31 3d

22、 4,60.0336W6 3; 31 2 ,2W5 2; 31 2d 3,60.1673其中3; a1 6 , a2 6 min W6 3; a j2 j 5,jW6 3,31 3,分割點(diǎn)為：31631 32;32 63。當(dāng)m5時(shí),則W5 3; 31 4 ,4W4 2; 31 4d 5,50.0596W5 3; 31 3 ,3W3 2; 31 3d 4,50.0249W5 3; 31 4 ,4W2 2; 31 2d 3,50.1214最優(yōu)三段分割。即對(duì)于m 6,5,4,3時(shí)，計(jì)算(4)0.0366其中3Wi 3; a1 5 , a2 5 min W5 3;a1 j , jWs 3,a1 3 ,

23、30.0249其分割點(diǎn)為：a1 5 a1 32；a? 53。當(dāng)m 4時(shí)，則W4 3; a13,3W3 2；a1 3 d 4,40.0102W4 3; ai2,2W2 2；ai 2 d 3,40.0494其中Wi 3ia1 4 ,a2 4 min W, 3;a1 j , jW, 3,a1 3,3 0.01022 J 3其分割點(diǎn)為：a1 3a1 2 1;a2 4從而得到6個(gè)樣品的最優(yōu)三段分割為:Xi,X2 X3X4,X5,X6。（5）最優(yōu)四段分割。即對(duì)于m 6,5,4時(shí)，計(jì)算Wm 4;a1 j , a:j , jWj 3;a1 j ,a2 jd j1,mj 3,4, m1當(dāng)m 6時(shí)，則4; a1

24、5 , a? 5 ,5W5 3; a1 5 , a2 5d 6,60.02494; a1 4 , a2 4 ,43; a1 4 , a? 4d 5,60.0106We 4; a1 3 , a2 3,3W3 3; a1 3 , a： 3d 4,60.0234其中4;a1 6 ,a2 6 ,a3 6min W 4;a1 j ,a2 j , j3 j 5W 4;a1 4 ,a2 4其分割點(diǎn)為：a1 6 a1 42!; a2 6a2 43; a3 54。當(dāng)m 5時(shí)，貝yW5 4; a1 4 , a24,4W4 3; a 1 4 ,a2 4d 5,50.0102W5 4; a1 3 ,a23,3W4 3； a1 3 , a2 3d 4,50.0147其中W5 4; a1 5 , a2 5 ,a3 5W5 4;a1 4 ,a2 4,40.0102 min則分割點(diǎn)為：a1 5 a1 42:;a2 5a2 43; a3 54。當(dāng)m 4時(shí)，貝y,40.0106W4 4; a1 3 , a? 3 ,3W3 3; a1 3 ,