第4章不定積分

1、第4章不定積分一元函數(shù)積分學(xué)是一元函數(shù)微積分學(xué)的另一重要組成部分，包括不定積分，定積分和 定積分的應(yīng)用.不定積分的概念是由研究導(dǎo)數(shù)問題的逆問題而引入的，定積分的概念則是 由研究微小量的無限累加問題而引入.這是一元函數(shù)積分學(xué)的兩個基本問題，它們似乎互 不相干，卻可以通過微積分基本公式密切地聯(lián)系起來.本章介紹不定積分的基本概念、性 質(zhì)及求不定積分的基本方法. 1不定積分的概念一、原函數(shù)的概念已知一個函數(shù)，求它的導(dǎo)數(shù)或微分，是微分學(xué)所研究的最基本的問題在許多實際應(yīng)用中，還會碰到它的逆問題例如，從微分學(xué)知道，若已知曲線方程為y = f(X)，則可求出該曲線在任一點(X, f(X)處切線的斜率f (X)

2、.現(xiàn)假設(shè)知道某一曲線上在任一點處切線 斜率為2x，且曲線經(jīng)過原點，則如何求出此曲線方程？又如，若作變速直線運動的質(zhì)點 的位置函數(shù)為S=s(t)，則質(zhì)點在任一時刻的瞬時速度為s(t) 現(xiàn)若知道從靜止?fàn)顟B(tài)開始作變速直線運動的質(zhì)點在時刻t的瞬時速度為at，則如何求出它的位置函數(shù)S = s(t) ?以上兩個例子，研究對象雖屬于不同范疇，但本質(zhì)上都是已知某一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要求該函數(shù) 表達(dá)式的問題.為了解決這類問題，我們引入原函數(shù)的概念.定義1設(shè)f(X)是定義在區(qū)間I (有限或無窮)上的已知函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x),使得對區(qū)間I上任一點X，恒有F (X)= f (x)或 dF(X)= f (x)dx ,則

3、稱F(x)是f (X)在區(qū)間I上的一個 原函數(shù).1 1例如，當(dāng)x(-1,1)時，因為(arcsinx)=，所以arcsinx是.2在區(qū)間Jl-x2J1-X2(1,1)上的一個原函數(shù).當(dāng)時，因為(x2)=2x,所以x2是2x在(亠嚴(yán))上的一個原函數(shù).當(dāng) x：(-=c,+=c)時，因為(x2+1)=2x，所以 x2+1 是 2x 在(-,垃)上的一個原函數(shù).從上述后面兩個例子可見,2x的原函數(shù)是不唯一的.127F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零，所以對任f (x)存在原一般地，若意常數(shù)C , F(x) +C也是f (x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù).因此，如果函數(shù) 函數(shù)，則它的

4、原函數(shù)必有無窮多個為此需要討論兩個問題：(1 )一個函數(shù)滿足什么條件才有原函數(shù)？(2)如果函數(shù)f(x)有原函數(shù)，它的無窮多個原函數(shù)相互之間有什么關(guān)系?對于上述兩個問題，我們有以下兩個結(jié)論：定理1 (原函數(shù)存在定理) 如果函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上必定存在原 函數(shù).簡單的敘述是：連續(xù)函數(shù)必定有原函數(shù). 定理的證明將在下一章給出.需要指出的是，因為一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的，所以每個初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù).定理2 (原函數(shù)族定理)若F(x)是f (x)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)，則F(x)+C是f (x)在該區(qū)間上的全部原函數(shù)，其中C是任意常數(shù).證一方面，由于F(x)是f

5、(x)的一個原函數(shù)，即F(x) = f(x).因此對任意常數(shù) C ,f(x) +C J = f(x)，即 F(x) +C 都是 f(x)的原函數(shù).另一方面，若G(x)是f (x)的任意一個原函數(shù)，即 G(x)= f(x)，則由第3章 1定 理2的推論2可得，G(x)與F(x)最多相差一個常數(shù)，即 G(x)=F(x ) + C .由以上兩個方面可得，F(xiàn)(x) +C是f(x)在該區(qū)間上的全部原函數(shù)，其中C是任意常數(shù).證畢.二、不定積分的概念定義2設(shè)F(x)是f (x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，貝U F(x)+C ( C是任意常數(shù))稱為f (x)在區(qū)間I上的不定積分，記為J f (x)dx，即H(x)

6、dx = F(x) +C ,其中J稱為積分號,f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù).例 1 求 J3x2dx .解因為(X3) =3x2，所以J3x2dx = X3 +C .例 2 求 jsin xdx.解 因為(cosx) = sinx ,所以 Jsinxdx = cosx + C -1例 3 求 f2 dx .1+x21解因為(arctanx) =12，所以 f x = arctanx+C .1+x21+x2三、不定積分的幾何意義設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，那么方程y = F(x)的圖形是平面直角坐標(biāo)系上的一條曲線，稱為f (X)的一條積分

7、曲線.將這條積分曲線沿著 y 軸方向任意平行移動，就可以得到f (X)的無窮多條積分曲線，它們構(gòu)成一個曲線族，稱為f (X)的積分曲線族不定積yA分Jf(x)dx的幾何意義就是一個積分曲線族它的特點是:在橫坐標(biāo)相同的點處，各積分曲線的切線斜率相等，都是 即各切線相互平行(如圖 4-1).在求f(x)的所有原函數(shù)中，有時需要確定一個滿足條件f(x),/J_OAx圖4-1y(X0)= y。的原函數(shù)，也就是求通過點(X0,y0)的積分曲線.這個條件一般稱為 初始條件，它可以唯一確定積分常數(shù) C 的值.2 1例4求f(X)=X通過點(3,1)的積分曲線.y7x2dxEx3+C，代入初始條件，y1 0)

8、.aJcscxdx.dx解 Jcscxdx = Jsin Xi 2 dx7 少，sinx sin X cos xT1cosx-1c1-In+ C = In2cosx+12Jcscxdx =(cosx-1)(cosx-1) +c(cosx+1)(cosx-1)利用例6得f d(cos x) cos2 X -1Jin2cosx -1cosx +1Jin2(cosx-1)2cos X -1cosx-jc sin x=lncosx -1sin x+C =ln cscxcotx +C .類似可得fsecxdx = In secx + tan x + C .例 9 求 Jtan4 xdx .解 tan4

9、xdx = Jtan2 x(sec x -1)dx = ftan2 xsec xdx- ftan2 xdx2213=ftan xd(tanx) - J(sec x-1)cx =- tan x -tanx + x + C .3二、第二換元積分法(代換法或置換法)我們通過一個具體的例子來說明第二換元積分法計算不定積分的基本思想.1例10求J=dx . 1 +a/x解 作變量代換 jx =t，即X =t2(t 0)，其目的是把被積函數(shù)中的根號去掉，在上 述代換下，有1 1丙T 荷,dx=2tdt，于是12tdt1+t -11JEx7T7r2Jdts1-Hdt1= 2gt-2rd(t+1)=2t-2l

10、n 1+t +C 十t=2仮-2ln 1 +Vx +C .一般地，若積分Jf(x)dx不易計算，而如能作適當(dāng)變換(t)，把原積分化為Jf(t)dt的形式后容易積分，并且在求出原函數(shù)后容易將 t =屮(X)代回還原,則可以使用這種方法.這就是第二換元積分法計算不定積分的基本思想.定理2設(shè)f (x)連續(xù)，X=(t)是單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且屮(t)H 0 . f砂(t) W (t)的一個原函數(shù)，即Jf 歲(t)dt =W(t)+C ,若(t)是(1)J f (x)dx =證由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及反函數(shù)的求導(dǎo)公式，有d魚=叭t)】屮(t)丄 dxdxdt即曠(x)j忙W金=f抄匸f(x)-這說明申V 4

11、(x)是f(x)的原函數(shù)，即(2)式成立.證畢.將(1)式和(2)式合起來寫成便于應(yīng)用的形式：X 當(dāng)V)t 平(X)Jf(x)dx = Jf 卯(t)護(hù)dt =(t)+C= wy4(x)1 + c 1例11求J時xdx -解令t 導(dǎo) +x，貝U X =t3-1 , dx=3t2dt .于是11t2=|(3rx)2-33/rrx+3i 門1+舒7 卜 c.燈ax+b （a H0, n為正整數(shù)）時，則可令一次根式代換.一般來說，若不定積分中的被積函數(shù)含有 t =如+b清除根式.這種代換，稱為1例 12 求 f dx .、J1 +ex解令t+ex，則 ex =t2 -1,eXdx =2tdt ,dx

12、=p2bdt .于是JJdtt(t -1)t -1dt =lnt1t+1=lnJl + ex -1Jl + eX +1例 13 求 J Ja2 -X2 dx(a0 )一一x解 令X =asint(- t )，貝U t = arcsin-,22adx = acostdt .于是jVaxdx = j7a2(1sinT)acostdt =a2 fcos2 tdt2 2a1adt =(t +sin2t)+C =(t+si ntcost) + C2222a . X . a =arcsin 十2a 2/ 2 2 2 X va Xa . x.x fl+ C =arcsin + va -x +C2a 2一般來

13、說，若不定積分中的被積函數(shù)含有二次根式 為了消除根號，通常利用三角函數(shù)關(guān)系式來換元.比如Ja2 -x2 , J a2 + X2 或 J x2 - a2號,(1)被積函數(shù)含有因式,則令X =asint(才ct吒專)；(2)被積函數(shù)含有因式Ja2 +x2兀兀,則令 X = atant(-一 )；22(3)被積函數(shù)含有因式,則令 X = a sect(O a時，令 X =ased (Oct a .根據(jù)上面的計算，有1J(_x)2a2d(-x) =ln (-X)+J(-x)2-a2 +C22151f 1j jR22VX -a=lndx = In2-a+C2 = -InJx2 - a2 + X + C2

14、 + In a2,a +x2I na C? = InJx2 -a2 +x +C ,其中 C = 2ln a -C2.f 1J 122vx -a綜上所述，:dx = In X + Jx2-a2 + C .F面我們再介紹一種很有用的代換-倒代換例16求礙dx 曰MzX占4t1(-F)dt1J(t2 +l)2tdt1 2IQQ=2皿 +1)2d(t +1)1= -3(t3(x2+1)2+c3x3類似可求t vO有3耳x_+C .x3x為了以后計算不定積分的方便，我們將幾個重要的積分公式放入基本積分表中，以便在今后的積分中引用.(13)Jtanxdx = -ln cosx +C ;(14)Jcotxd

15、x =ln sinx +C ；(15)Jsecxdx =lnsecx + tanx +C ；(16)fcscxdx =ln cscx-cotx +C ；(17)-2-2d21-lnx -a2aX -aX +a(18)1 1 dx=-lnX +aX -a(19)2 1 2 dx =1 arctan-+C ； x +a a a(20)xdx =arcsin + C(a :0);a(21)jJa2 /dx2 =arcsin-+ 蟲Ja2 -x2 +C (aO)；2a 2(22)1 JdxJx2 a2=ln x+Jx2a2 +C (a 0).習(xí)題 4-21.求下列不定積分:165(1)Jcos(12x

16、)dx ；(3)(5)fcosx ； 、(X sin x)X(6)；1 X(7),sin X +cosx ,Gsinx-cosxdx ；I 。 , xcos x+sin X ,(8)J (xsinx)2 dX ；(9)f223dx ；(10)(11)dx(13)2 ， X2 -2x +5 f-cosdx; x x(12)(14)(15)Jsin5 xcos3xdx ；(16)(17)dxJx(4-x)(18)f x2edx;處凹dx ；sin xcosxJ-x2dx ;f x2dxX(19)(20H j 2 dx ;V2x -4x彳 p.2arccosx(21) J10 dx ；山x21(22

17、)J；/；(23)xdxJx2 +4x +51(24) f dx ；1 +J2x(25)広9 dx(xAO); Xdx(26)仏dx(28) r(xi)7x(27)也爭x ；xyx2 .若已知 Jf(x)dx = F(x) +C，求(1) Jf(ax + b)dx ；(2)Jcos(3x)f (sin3x)dx . 3分部積分法前一節(jié)我們在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上研究了換元積分法.現(xiàn)在我們利用兩個函數(shù) 乘積的微分法則，來推得另一個求積分的基本方法-分部積分法.定理1設(shè)u,v都是x的函數(shù)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有Judv = uv- Jvdu .證 由于u,v都有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故 u,v的微分存在，于是有d

18、(uv) = udv +vdu ,兩邊積分得Jd(uv) = Judv+ Jvdu ,所以uv = Judv + Jvdu ,移項得到Judv =uv- Jvdu .證畢.注因上式等式右端還保留不定積分號，所以不必寫上C .上面這個公式稱為 分部積分公式它把所求的積分分成了兩個部分，一部分是uv , 是已經(jīng)求出了的；另一部分是Jvdu，是還要積分的，即求不定積分Judv的問題轉(zhuǎn)化成了 求不定積分Jvdu的問題它適用于 Judv不易計算，而Jvdu比較容易計算的情況.例 1 求 f xcosxdx.解 把某個函數(shù)與dx湊微分，化成分部積分公式左邊的形式，現(xiàn)將cosx湊入微分:Jxcosxdx =

19、 fxd(si nx)(u =x,v = s inx)=xsi n x- Js in xdx = xs in x + cosx + C .如果把x與dx湊微分，則有1 2 1 2 1 2Jxcosxdx = fcosxdx)=尹 cosx - J-x d(cosx)1 2+ 1 r 2-.=x cosx + fx sin xdx，2 2 上式右端的積分比原來的積分更不容易求出.由此可見，如果u和dv選擇不當(dāng)，就求不出結(jié)果.所以應(yīng)用分部積分法時，適當(dāng)選取u和dv是一個關(guān)鍵.一般選擇u與v有個經(jīng)驗公式：“反、對、幕、指、三”指的是按反三角函數(shù)，對數(shù) 函數(shù)，幕函數(shù)，指數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的順序.被積函數(shù)

20、若為其中某兩個函數(shù)的乘積時，排 在前面順序的函數(shù)作為 u，排在后面順序的函數(shù)作為 v，湊入微分成為dv .例 2 求 Jx 2 . 2 2 XfX1, Xx,=In X f dx =一In x 一exdx =x2eX - 2 J xeXdx = x2eX - 2 J xd(eX)解 Jx2eXdx = fx2d(eXx2eX - feXd(x2)= x2e2(xeX - JeXdxx2eX-2xe2eC 例 3 求 fxln xdx .2 2 2XXX解 fxln xdx = In xd(一) =一 In x - f一d(ln x)222=X tan X 一 ftan xdx 一1 x221

21、2= xtanx+ln cosx -x +C .2例 5 求 Jarccosxdx .解 Jarccosxdx = x arccosx - J xd(arccosx).x1 ,12=xarccosx+ f dx = xarccosx 一 f .d(1 x )C22Q7 I =x arccosx - J1 -x2 + C例 6 求 fexcosxdx.解 JeXcosxdx = Jcosxd(eX) =eXcosx fexd(cosx)=ex cos Jexsin xdx =eX cosx + Jsin xd(ex)= excosexsinx- Jexd(sinxexcosexsinx- fex

22、cosxdx , 移項得2 Jexcosxd =ex cosex sin x + G，1excosxdx = ex(sinx+ cosx) +C .2類似可得X1 Xfexsinxdx =?ex(sinx-cosx) +C .以上這種解題方法稱為循環(huán)法.例 7 求 JseCxdx .32解 Jsecxdx = Jsecx secxdx = Jsecxd(tanx)= secxtanx- Jtanxd(secx) =secxtanx- Jsecxtan2 xdx= secxtanx- Jsecx(sec x-1)clx移項得- fsec xdx ,= secxtanx + ln secx +ta

23、nx32 fsec xdx = secxtanx+ln secx + tanx +G，Jsec xdx =1 (secxtanx + ln|secx + tanx|) +C 當(dāng)被積函數(shù)是某一簡單函數(shù)的高次幕函數(shù)時，我們可以適當(dāng)選取 U和dv ,通過分部積分后，得到該函數(shù)的高次幕函數(shù)與低次幕函數(shù)的關(guān)系，即所謂遞推公式，故稱遞推法.例8求I n = f(ln x)ndx的遞推公式(其中n為正整數(shù))，并用公式計算f(ln x jdx .解當(dāng)n =1時,114 = Jin xdx = xln X - fxd(ln x) = xln x - Jx dx = xln x-x + C , 、 x當(dāng)n 2時,

24、I n = J(ln X )dx =x(ln x) - Jxd(ln x f= x(ln x)n - Jx n(ln x)n-dx X= x(ln x)n -n J(ln x)ndx = x(ln-門打斗- 所求的遞推公式為：In =x(ln X)n - nln(n 二 2). 從而由Ixln x-x +C可求得In (n 2).33I3 = J(ln x) dx = x(ln x) -312= x(ln X)3 -3x(ln x)2 -21= x(ln X)3 -3x(ln x)2 +61 j32=x(ln X)-3x(ln X)+6(xlnx-x)+C例9求In32= x(ln X)-3x

25、(1 n X)+6x1 nx 6x+C .dx=f 一 （其中n為正整數(shù)，a。）.（X +a ）解當(dāng)n =1時,l1f 2dx arctan- +C , X +a2a當(dāng)n 2時，因為InXI 1=Z 2 丄- J xa_2 n(x +a )(X +a )于是，得遞推公式ln =x=.2 , 2,2(x +a )2X十2( n-1)J 2 +2、ndx(X +a )2.2 2X丄c ,X +a -a ,-_72 屮廣 2 (n _ 1D22 xd(x +a )X 牛a )x,2 , 22(x +a )+ 2(n- 1)lnj-2( n- 1)a2ln,x2、n4(2n -2)a2 (x2 乜2)

26、+ (2n-3)l2 (n 2) =2(t cost Jcostdt) = -2t cost + 2sin t +C=-2 JXcos JX + 2sin JX +C .例11設(shè)F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，F(xiàn)(x)連續(xù)，F(xiàn)(0)=1 , F(x)0，且當(dāng)x0時，有xexf(x)F(x2 亦帚求 f (x).解由F (X)= f (x)代入得2F(x)F(x) =xxe(1 + x)2，于是J2F (x)F(x)dxxr xe.fx，(1+x) x 1x xe 1Txed(丄)-+ L丄1+x1+x1+xxex1 +xxx xe=-一 + r一e dx =+1+x 1+x1+xd(xeX)F

27、2(x) =x+c =x+C1 +x由 F(0) =1 及 F2(O) =1+C 得 C = 0，因為 F(x)0，所以F(x)岳，xxe2f(X)=3 -2(1+x)2習(xí)題 4-31求下列不定積分:(1)Jxcos3xdx；(2)jTXin xdx ；(3)fxe4xdx;2(4) jx arctanxdx ;(5)Jesinnxdx ；(6) Jsin(In x)dx ；(7)1 +xJx|n=dx ；(8) Je%;(9)fxsin xcosxdx ；2(10) J(arcsin x) dx ;(11) Jln(X + J1 + X2)dx ；、fX +ln X ,(12) Wx ；(1

28、3) J(x .證明下列遞推公式: +1)1 nxdx;X(14)%dx.設(shè) In = Jtann xdx，則 I 1n 1tann4x -1 nd,n 為自然數(shù)且 n 2 . 4幾種特殊類型函數(shù)的積分前面介紹了不定積分的兩種基本方法-換元積分法和分部積分法.下面介紹幾種特殊 類型函數(shù)的積分.一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù)，即如下形式的函數(shù)ax + a。P(X) _ anXn +an斗Xn斗 +川 + Q(x) bmXm +bm 斗xmd +|l+t1x + b0其中m,n皆為自然數(shù). 式.利用多項式的除法,當(dāng) n m時稱有理函數(shù)為 假分式；當(dāng)n 2)，則的分解式一

29、般含有 k項:Q(x)AAA i|jXalx-arx-a)3(x-a)若Q(x)中含有二次單因式 X2 + PX + q ( P2 -4q CO)，則的分解式含有一Q(x)項:Mx +N2X + P X + q2k 2(4)若 Q(x)中含有二次 k 重因式(X +px+q)(p -4qv0,k2),則鵲的分解式一般含有k項:M1X + N1X2 + P X +qM2X + N2,j| MkX + Nk川，1 (x + px+q)(x2 + px+q)2X 5例1化真分式 f(X)=2為部分分式的和.(x+1)(x-2)解設(shè)蘆1爲(wèi)二角+爲(wèi)+;b(A，B，C為待定系數(shù))2A(x-2) +B(x+

30、1)+ C(x +1)(x-2)(x+1)(x-2)2兩端去分母后, 比較等式兩邊有 A(x-2)2 + B(x+1) + C(x+1)(x-2) =x-5 .X的同次幕的系數(shù)得A+C =0 VA+ B -C =1 , 4A+B -2C =-5解方程組得2 2A V，CH，所以X 5(x+1)(x-2)2_2-32X +1 (X-2)2 3 x-22169為部分分式的和.例 2 化真分式 f(X)=(1+2x)(1+x2)aBX +C解設(shè)(1+2x)(1+x2廠右+ k(A，B，C為待定系數(shù))，兩端去分母后有21 =A(1+x ) +(Bx+C)(1 + 2x),比較等式兩邊X的同次幕的系數(shù)得

31、A+ 2B =0解方程組得所以B +2C =0, A+C=1A=4,B5一 5，c=_154(1+2x)(1+x2 *)511 2x-121+2x 5 1+x2 四類最簡分式的不定積分因此真分式的積分歸結(jié)為四類最簡分式的積由于真分式都可以分解為最簡分式之和, 分，下面分別討論其求解方法.A(1)dx = Aln x-a +C -X -a(2)r A=dx= (1-n)(x-a)nJC(n=2,3川.(3)Mx +Nx2 + p X +qdxMMp-(2x + p)-于+NJ-T2dxX + p X + qM rd(x2d+(N 迪” + px + qf(Xdx2+2+(q-十)l_Mp2x+衛(wèi)

32、U+c q氣其中p2-4q v0 .Mx +N()J(x2+px+q嚴(yán)M 、Mp(2x+p )- + N2dx(x +p x+q)1712d(x + px+q)十 _ Mpdx (x2 + px+q)n2 . (x2 + px + q)n_M(x2 + px+qrN Mp)j2(1 n)d(電)_2 1n”+宀其中p2 -4q cO, n = 2,3,等式右端第二項的不定積分可以利用4.3例9得到的遞推公式計算.通過上面的討論可知，每一個有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).從原則上說，有理函 數(shù)的不定積分的求法已經(jīng)解決.-43.x3 -1例 3 求 f2x -x -1dx .解 被積函數(shù)是假分式，先

33、將它表示成多項式和真分式之和,2x4-xx -1 X +1亠1=再將真分式分解成最簡分式之和,亠 Bx+C-1=十(xT)(x2+x+1)xTx2+x + 1兩邊去分母得x = A(x2 +x+1) + (x-1)(Bx +C)，比較等式兩邊x的同次幕的系數(shù)得(A+B=0A-B +C =1，AC = 0解方程組得于是2x4 -x3 -XX1所以X3 111dxj2x1+-；dx73(x-1) 3(x2 +x+1)X 5=X2=x2=x2x+3in2dx.(x+1)(x-2)由例1得X 51 2x+13x-1 - dx6 x2+x+12,1d(x +x +1)亠 1X1 f +6， x2+x+1

34、21d(x + yX2 +x+121 2 43 25)2十(號)21x-1 -InX2 +x+16-x+ln3+arctan l373十1 +C2(x+1)(x-2)2x+1 (X2)3 X 2x-5(x+1)(x-2)2g勺;dx + f2丄dx3 X 2dX2 2(X +1)(x -1)dx-2ln|x+13+-lnX23+匕+|lnX-2+cX2X +12“(X2%(X2 +1)(x2 -1)、2(X2 +1)(x -1)1 )dx Jx2-1 x2+11173Jln4X1x+11 -arctan x +C 2二、三角函數(shù)有理式的積分由三角函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算而得到的式子叫做三角函數(shù)有理式.例如1 +sin x,等均是三角函數(shù)有理式.因為各種三角函數(shù)都可cosx(1+tan X)sinx+tanx 5+4sin x用sinx和cosx的有理式表示，所以一般用記號R(sin x,cosx)表示三角函數(shù)有理式對于一般的三角函數(shù)有理式的不定積分，可用萬能代換xtan2化為有理函數(shù)的積分，即令X2t 七巧，則 x=2arctant , d-dt，sinx_ 2t1 +t21 -t2壬曰cosx =2，于疋1 +t2fR(sin x,cos x)dx = fR(,)、1+t2 1+t2 1+t27dt ,從而上式成為右端是t的有理函數(shù)的積分.