正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法摘要:正項(xiàng)級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)內(nèi)容中的一種重要級(jí)數(shù)，它的斂散性是其基本性質(zhì)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法雖然較多，但是用起來(lái)仍有一定的技巧，歸納總結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別的一些典型方法，比較這些方法的不同特點(diǎn)，總結(jié)出一些典型判別法的特點(diǎn)及其適用的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的特征。根據(jù)不同級(jí)數(shù)的特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判別，才能事半功倍。關(guān)鍵詞:正項(xiàng)級(jí)數(shù)；收斂；方法；比較；應(yīng)用 1引言數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是伴隨著無(wú)窮級(jí)數(shù)的和而產(chǎn)生的一個(gè)問(wèn)題，最初的問(wèn)題可以追溯到公元前五世紀(jì)，而到了公元前五世紀(jì)，而到了公元17、18世紀(jì)才有了真正的無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論。英國(guó)教學(xué)家Gregory J（16381675）給出了級(jí)數(shù)收斂和發(fā)

2、散兩個(gè)術(shù)語(yǔ)從而引發(fā)了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性廣泛而深入的研究，得到了一系列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法。因而，判斷級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題常常被看作級(jí)數(shù)的首要問(wèn)題。我們?cè)跁?shū)上已經(jīng)學(xué)了很多種正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定定理，但書(shū)上沒(méi)有做過(guò)多的分析。我們?cè)趯?shí)際做題目時(shí)，常會(huì)有這些感覺(jué)：有時(shí)不知該選用哪種方法比較好；有時(shí)用這種或那種方法時(shí)，根本做不出來(lái)，也就是說(shuō)，定理它本身存在著一些局限性。因此，我們便會(huì)去想，我們常用的這些定理到底有哪些局限呢？定理與定理之間會(huì)有些什么聯(lián)系和區(qū)別呢？做題目時(shí)如何才能更好得去運(yùn)用這些定理呢？這就是本文所要討論的。2正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法2.1判別斂散性的簡(jiǎn)單方法由級(jí)數(shù)收斂的基本判別定理柯西收斂準(zhǔn)則:級(jí)數(shù)收斂

3、有。取特殊的，可得推論：若級(jí)數(shù)收斂，則。2.2比較判別法定理一（比較判別法的極限形式）：設(shè)和為兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且有，于是（1）若，則與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。（2）若，則當(dāng)收斂時(shí)，可得收斂。（3）若，則當(dāng)發(fā)散時(shí)，可得發(fā)散。正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法在高等數(shù)學(xué)課本中所涉及的主要有：比較判別法、比值判別法和根植判別法。由于比值法與根值法的固定模式，其使用較為方便。但比較判別法在應(yīng)用時(shí)，由于需要對(duì)原有級(jí)數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，選擇與之比較的對(duì)象級(jí)數(shù)，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)都感到難度較人。2.2.1當(dāng)所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)中出現(xiàn)關(guān)于的有理式時(shí)，將借助無(wú)窮小量(無(wú)窮大量)階的概念來(lái)分析比較判別法的使用，進(jìn)而給出如何選擇比較對(duì)象的快捷方法。

4、由于時(shí)，級(jí)數(shù)必發(fā)散。從而，只需考慮時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別。借助“無(wú)窮小量階的比較”，即無(wú)窮小量趨丁零速度的比較這一概念，上述的（1）、（2）、（3）可以等價(jià)理解為（1）當(dāng)，即與是同階無(wú)窮小量（）時(shí)，與同斂散。（2）當(dāng)且收斂，即是較的高階無(wú)窮小量（）時(shí)，必有收斂。（3）若且發(fā)散，即是較的低階無(wú)窮小量（）時(shí)，可得發(fā)散。這表明正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與否最終取決于其通項(xiàng)趨于零的速度，即無(wú)窮小量階的大小。因此可以通過(guò)無(wú)窮小量(或者無(wú)窮大量)階的比較，簡(jiǎn)化的通項(xiàng)或?qū)M(jìn)行適當(dāng)放縮，進(jìn)而利用已知級(jí)數(shù)的斂散性來(lái)判別的斂散。例1、判別級(jí)數(shù)和的斂散性。分析：在實(shí)際題目中，常見(jiàn)的無(wú)窮大量有，等。其發(fā)散的速度：在時(shí)，。從而，（

5、1）。結(jié)合比較判別法的使用。故（1）中的比較對(duì)象的的取值應(yīng)保證，即。（2）中的比較對(duì)象的的取值應(yīng)保證，即。解：（1）可取，有。又收斂，則由比較判別法可知也收斂。（2）可取，有。又收斂，則由比較判別法可知也收斂。使用正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法時(shí)需要熟記P-級(jí)數(shù)以及等比級(jí)數(shù)的斂散性，再結(jié)合本文給出的利用階的概念對(duì)級(jí)數(shù)通項(xiàng)進(jìn)行放縮的方法便能較快捷地選定常用作比較對(duì)象的P-級(jí)數(shù)或等比級(jí)數(shù)的具體形式，準(zhǔn)確判別出正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。1同樣，我們可以利用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，仍需熟記P-級(jí)數(shù)的斂散性。22.2.2當(dāng)所求級(jí)數(shù)通項(xiàng)中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)時(shí)，利用不等式選取適當(dāng)?shù)谋容^對(duì)象。例2：判別級(jí)數(shù)的斂散性

6、。分析：考慮當(dāng)時(shí)，則，而是公比的收斂級(jí)數(shù)，故原級(jí)數(shù)收斂。2.3根值判別法以及兩個(gè)推廣定理一（根值判別法的極限形式）：有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。（2）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。2.3.1一般的情況例1：判別級(jí)數(shù)的斂散性。解：由于，根據(jù)柯西判別法的推論，可得級(jí)數(shù)收斂。2.3.2根值判別法推廣，若將判別極限更改為或，則相應(yīng)結(jié)果在一定條件下將比原判別方法更為精細(xì)，且應(yīng)用范圍也有所推廣。引理一：如果，則級(jí)數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù)收斂。3引理二：設(shè)與為兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式成立，則若級(jí)數(shù)收斂必有級(jí)數(shù)收斂；若級(jí)數(shù)發(fā)散必有級(jí)數(shù)發(fā)散。定理二：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為大于1的自然數(shù)。若級(jí)數(shù)通項(xiàng)滿足，則當(dāng)時(shí)

7、級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散；而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的斂散性不能判定。4定理三：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為大于1的自然數(shù)。如果其中，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散；而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的斂散性不能判定。4定理二、三給出的判別法較根值判別法更為精細(xì)。定理的應(yīng)用不再詳細(xì)舉例，比如對(duì)級(jí)數(shù)及，值或根值判別法不能判別其斂散性，但用本文的定理二或定理三其斂散性即可判別。2.4達(dá)朗貝爾判別法(比值判別法)及其推廣定理三（比值判別法的極限形式）：有正項(xiàng)級(jí)數(shù)（），且1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。2）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。2.4.1一般的情況例1：判別級(jí)數(shù)的斂散性。解：由于，所以根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法的推論知，級(jí)數(shù)收斂。2.4.2比值判別法的推廣，在借鑒比值判別法的基礎(chǔ)上

8、，通過(guò)對(duì)構(gòu)成正項(xiàng)級(jí)數(shù)的解析式進(jìn)行分析給出了判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一種方法。定理一：設(shè)是取值為正且可導(dǎo)的函數(shù)。1）如果存在負(fù)數(shù)，使得當(dāng)足夠大時(shí)有，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；2）如果存在正數(shù)，使得當(dāng)足夠大時(shí)有，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散；3）如果不存在滿足以上條件的實(shí)數(shù)，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。5定理一的應(yīng)用不再詳細(xì)舉例，比如對(duì)級(jí)數(shù)、和的斂散性則可用上述的定理。52.5比式與根式審斂法的推廣正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法有很多種，其中以達(dá)朗貝爾比值審斂法與柯西根值審斂法是最基礎(chǔ)也是使用頻率最高的兩種方法。一般情況下，這兩種審斂法都是分開(kāi)來(lái)使用，事實(shí)上將這兩種方法結(jié)合在一起也可以得到一種新的審斂法。定理一：設(shè)。若。則1）當(dāng)時(shí)，級(jí)

9、數(shù)收斂；2）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；6例1：判定級(jí)數(shù)的斂散性。解：設(shè)。則由于，所以原級(jí)數(shù)收斂。6上述判別法的出現(xiàn)，極大地拓寬了級(jí)數(shù)斂散性的判別范圍，簡(jiǎn)化了級(jí)數(shù)的問(wèn)題。2.6積分判別法定理 一(積分判別法)：設(shè)為上非負(fù)減函數(shù)，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。例1：證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。解：將原級(jí)數(shù)換成積分形式，由于，即發(fā)散，根據(jù)積分判別法可知，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。2.7拉貝判別法以及其推廣定理一（拉貝判別法的極限形式）：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且極限存在，則1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；2）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。2.7.1活用拉貝判別法例1、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：由于，所以原級(jí)數(shù)是發(fā)散的。2.7.2拉貝判別法在判別的范圍上比比式

10、判別法更廣泛，是根據(jù)及其極限與1的大小關(guān)系來(lái)鑒別斂散性。但是對(duì)有些級(jí)數(shù)仍無(wú)法判別其斂散性，如，所以許多作者對(duì)這些已知判別法作了研究與推廣。定理2：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，滿足，且，則有1）若，則收斂；2）若，則發(fā)散。7文獻(xiàn)4中判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)主要定理如下：定理3：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且滿足，則有1）當(dāng)時(shí)，則級(jí)數(shù)收斂；2）當(dāng)時(shí)，則級(jí)數(shù)發(fā)散。8顯然，定理2是上述的定理的改進(jìn)。事實(shí)上，由定理2知，則 。這里令。故1）若，則必有；2）若，則只要再假設(shè)滿足，就有。例1：判定級(jí)數(shù)的斂散性。解：由于，由定理2的變形形式可知，故此級(jí)數(shù)收斂。易見(jiàn)此方法較4中例1的方法簡(jiǎn)便。2.8對(duì)數(shù)判別法2.8.1簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)判別法文獻(xiàn)9

11、給出了判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一種對(duì)數(shù)判別法的極限形式，就是比較與1的大小來(lái)鑒別級(jí)數(shù)的斂散性。2.8.2非正常積分與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的對(duì)數(shù)判別法由于級(jí)數(shù)與反常積分在本質(zhì)上是相同的，都是“求和”運(yùn)算，只不過(guò)是對(duì)兩種不同的變量求和，因此，文獻(xiàn)9將反常積分的對(duì)數(shù)審斂法推廣到級(jí)數(shù)中去，從而得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的對(duì)數(shù)審斂法。第一對(duì)數(shù)審斂法是計(jì)算與0的大小，第二對(duì)數(shù)審斂法是計(jì)算與0的大小來(lái)鑒別斂散性。2.8.3正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值對(duì)數(shù)判別法而文獻(xiàn)11則是巧用麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式給出了一種比值對(duì)數(shù)判別法。對(duì)數(shù)判別法和非正常積分與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的對(duì)數(shù)判別法分別給出了兩種不同形式對(duì)數(shù)判別法的，根據(jù)級(jí)數(shù)的形式選擇合適的判別法，與非正常積分與正

12、項(xiàng)級(jí)數(shù)的對(duì)數(shù)判別法比較對(duì)數(shù)判別法主要適用于判別冪指形級(jí)數(shù)的斂散性。2.9其他判別法2.9.1阿貝爾判別法設(shè)級(jí)數(shù)，若為單調(diào)有界數(shù)列，且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂。2.9.2狄利克雷判別法設(shè)級(jí)數(shù)，若為單調(diào)遞減，且又級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級(jí)數(shù)收斂。3正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法比較3.1當(dāng)級(jí)數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項(xiàng)為等差或等比值或通項(xiàng)為含二項(xiàng)以上根式的四則運(yùn)算且通項(xiàng)極限無(wú)法求出時(shí)，可以選用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的充要條件即判別斂散性的簡(jiǎn)單方法進(jìn)行判斷。3.2當(dāng)級(jí)數(shù)表達(dá)式型如為任意函數(shù)、級(jí)數(shù)一般項(xiàng)如含有等三角函數(shù)的因子可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，并與幾何級(jí)數(shù)、級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)進(jìn)行比較不易算出或，等此類無(wú)法判斷級(jí)數(shù)收斂性或進(jìn)行有關(guān)級(jí)

13、數(shù)的證明問(wèn)題時(shí)，應(yīng)選用比較判別法。比較判別法使用的范圍比較廣泛，適用于大部分無(wú)法通過(guò)其他途徑判別其斂散性的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。且具體的當(dāng)所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)中出現(xiàn)關(guān)于的有理式時(shí)，將借助無(wú)窮小量(無(wú)窮大量)階的概念來(lái)分析比較判別法的使用，如2.2中的例1；當(dāng)所求級(jí)數(shù)通項(xiàng)中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)時(shí)，利用不等式選取適當(dāng)?shù)谋容^對(duì)象如2.2中的例2。3.3當(dāng)級(jí)數(shù)含有次冪，形如或通項(xiàng)即分母含有含的函數(shù)，分子為1，或級(jí)數(shù)含有多個(gè)聚點(diǎn)時(shí)，可選用根值判別法。且2.3中給出的定理二、三給出的判別法較根值判別法更為精細(xì)，且應(yīng)用范圍也有所推廣。3.4當(dāng)級(jí)數(shù)含有階次冪，型如或或分子、分母含多個(gè)因子連乘除時(shí)，選用比值判別法。3.5凡能由

14、比式判別法鑒別收斂性的級(jí)數(shù)，它也能由根式判別法來(lái)判斷，而且可以說(shuō)，根式判別法較之比式判別法更有效，但是他們有一定的局限性。一般情況下，這兩種判別法都是分開(kāi)來(lái)使用，事實(shí)上將這兩種方法結(jié)合在一起也可以得到一種新的判別法：比式與根式審斂法的推廣。極大地拓寬了級(jí)數(shù)斂散性的判別范圍，簡(jiǎn)化了級(jí)數(shù)的問(wèn)題。如2.5中的例1，用比式與根式審斂法的推廣比較簡(jiǎn)單的判斷出它的斂散性。3.6當(dāng)級(jí)數(shù)表達(dá)式型如為含有的表達(dá)式或可以找到原函數(shù)，或級(jí)數(shù)為上非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，含有等三角函數(shù)的因子可以找到原函數(shù)，可以選用積分判別法。3.7當(dāng)級(jí)數(shù)同時(shí)含有階層與次冪，形如與時(shí)，或使用比值、根式判別法時(shí)極限等于1或無(wú)窮無(wú)法判斷其斂散性的

15、時(shí)候，選用拉貝判別法。雖然拉貝判別法在判別的范圍上比比式判別法更廣泛，但是對(duì)有些級(jí)數(shù)仍無(wú)法判別其斂散性，如2.7中例1。因此，給出了拉貝判別法的推廣，它比拉貝判別法的判別范圍廣泛，對(duì)于2.7中例1它可以很容易的就判別出其收斂性。3.8對(duì)于通項(xiàng)中含有因子及討通項(xiàng)中含有的正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，拉貝判別法不易施行。就這類情況，我們應(yīng)用2.8給出的比值對(duì)數(shù)判別法，該方法避開(kāi)了求極限等繁瑣過(guò)程，應(yīng)用更為方便。3.9當(dāng)通項(xiàng)是由兩個(gè)部分乘積而成，其中一部分為單調(diào)遞減且極限趨于0的數(shù)列，另一部分為部分和有界的數(shù)列，如含有等三角函數(shù)等，或形如任意函數(shù)，則可以選用阿貝爾判別法和狄利克雷判別法。阿貝爾判別法也可以看成狄

16、利克雷判別法的特殊形式。例：設(shè)收斂，則級(jí)數(shù)等都收斂。4正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法的總結(jié)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般順序是先檢驗(yàn)通項(xiàng)的極限是否為0，若不為0則發(fā)散，若為0則判斷級(jí)數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散。若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s則使用比較判別法，或可以找到其等價(jià)式用等價(jià)判別法。當(dāng)通項(xiàng)具有一定的特點(diǎn)時(shí)，則根據(jù)其特點(diǎn)選擇適用的方法，如比值判別法、根式判別法、比式與根式審斂法的推廣或拉貝判別法。當(dāng)上述方法都無(wú)法使用時(shí)，根據(jù)條件選擇積分判別法、柯西判別法、對(duì)數(shù)判別法。當(dāng)無(wú)法使用根式判別法時(shí)，通?？梢赃x用比值判別法，當(dāng)比值判別法也無(wú)法使用時(shí)，使用比較判別法，若比較判別法還是無(wú)法判別時(shí)再使用充要條

17、件進(jìn)行斷。由此，我們可以得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法是層層遞進(jìn)使用的，每當(dāng)一種判別法無(wú)法判斷時(shí)，就出現(xiàn)一種新的判別法來(lái)進(jìn)行判斷，因此正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法有無(wú)窮多種。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來(lái)仍有一定的技巧，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時(shí)間，提高效率，特別是一些典型問(wèn)題，運(yùn)用典型方法，才能事半功倍。本文歸納總結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的一些典型方法，比較這些方法的不同特點(diǎn)，總結(jié)出一些典型的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法也可用于判定負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及變號(hào)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性，也可以推廣到傅立葉級(jí)數(shù)的斂散性判別，在復(fù)變函數(shù)中也可以用于判定級(jí)數(shù)在復(fù)平面上的斂散性和收斂半徑。參考文獻(xiàn)：1 聶力. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法探討J. 中國(guó)科技信息. 2012(14)2 李英杰. 等價(jià)無(wú)窮小的兩個(gè)應(yīng)用J. 中國(guó)科技信息.2011(19)  3 龍小胖姜志誠(chéng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的兩個(gè)新的判別法J井岡山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2000(6)：574 龍小胖. 根值判別法的兩個(gè)推廣J. 高等數(shù)學(xué)研究. 2011,14(1)5 李云娟， 樊雪雙. 判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一種方法J. 科技風(fēng). 2012(11)6 居琳. 比值與根值審斂法的