不等式概念及性質(zhì)知識點(diǎn)詳解與練習(xí)

1、不等式的概念及性質(zhì)知識點(diǎn)詳解及練習(xí) 一、不等式的概念及列不等式概念T不等號T不等式列不等式T步驟設(shè)未知數(shù)*列出代數(shù)式表示出不等關(guān)系1、不等式的概念及其分類(1 )定義：用“”、“<”關(guān)系的式子。a-b>0 O a>b, a-b=0 O a=b, a-b<0 O a<b。?(2)分類：矛盾不等式：不等式只是表示了某種不等關(guān)系，它表示的關(guān)系可能在任何條 件下都不成立，這樣的不等式叫矛盾不等式；如2>3, x2< 0 絕對不等式：它表示的關(guān)系可能在任何條件下都成立，這樣的不等式叫絕對不等式； 條件不等式：在一定條件下才能成立的不等式叫條件不等式。(3 )不等

2、號的類型：“ /”“W”讀作 讀作 讀作 讀作 讀作“不等于”“大于”“小于”“大于或等于”“小于或等于”“工”、“”及“W”等不等號把代數(shù)式連接起來，表示不等，它說明兩個量之間關(guān)系是不等的，但不能明確兩個量誰大誰小; ，它表示左邊的數(shù)比右邊的數(shù)大； ，它表示左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小；它表示左邊的數(shù)不小于右邊的數(shù)；它表示左邊的數(shù)不大于右邊的數(shù)；“非正數(shù)”、“不大于”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語的含義。注意：要正確理解“非負(fù)數(shù)”、(4 )常見不等式基本語言的含義：若x> 0,則x是正數(shù)；若x< 0,則x是負(fù)數(shù)；若x> 0,則x是非負(fù)數(shù)；若x< 0, 則x是非正數(shù)；若 x-y >

3、; 0,貝U x大于y;若x-y < 0，則x小于y;若x-y > 0,貝U x不x小于y;若x-y < 0,則x不大于y;若xy >0 (或一>0),貝U x, y同號；若xy < 0yx（或-< 0）,則x, y異號;y(5 )等式與不等式的關(guān)系：等式與不等式都用來表示現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系，等式表示相等關(guān)系，不等式表示不等關(guān)系， 但不論是等式還是不等式，都是同類量比較所得的關(guān)系，不是同類量不能比較。2、列不等式：(1 )根據(jù)已知條件列不等式，實(shí)際上就是用不等式表示代數(shù)式間的不等關(guān)系，重點(diǎn)是抓住關(guān)鍵詞，弄清不等關(guān)系。(2)步驟：正確列出代數(shù)式；正確使用不

4、等號知識要點(diǎn)總結(jié)注意問題不等式的概念表示不相等關(guān)系的式子1、“不大于”應(yīng)為“W”2、“不小于”應(yīng)為“”列不等式兩步驟：正確列出代數(shù)式；正確使用不等號解題方法總結(jié)列不等式和列代數(shù)式以及列方程有相似之處，一般是先設(shè)出未知數(shù)，再用 代數(shù)式表示出相關(guān)的量，通過尋找不等關(guān)系列出不等式，審題時要抓住關(guān)鍵詞。如“不超過”、“不大于”、“不小于”等。例1:列不等式：x的2倍與y的差是非正數(shù)；x與3的差不小于5fx +2y = 4m +1例2：已知關(guān)于x、y的方程組J y，試列出使XW y成立的關(guān)于 m的不等式ix-2y = 9、不等式的解和解集1、相關(guān)概念： 不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解

5、； 不等式的解集：使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍叫做不等式的解的集合，簡稱解集； 解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式；2、不等式的解和解集的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：不等式的解是一些具體數(shù)值，有無數(shù)個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用 不等號表示。聯(lián)系：不等式的每一個解都在它的解集的范圍內(nèi)。x > -2表示為:x W -2表示為:3、用數(shù)軸表示不等式的解集：0I I I1x< 2表示為：-2-1012x>2表示為：-2-1012特別提示：用數(shù)軸表示不等式的解集要注意兩點(diǎn)：定界點(diǎn)：一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可，定邊界點(diǎn)時要注意點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于集合為實(shí)心點(diǎn)

6、，不含于解集為空心點(diǎn)；定方向：“小于向左，大于向右”。例1、表示不等式組W的解集如圖所示，則不等式組鶯:的解集是例2、x的解集在數(shù)軸上表示為如圖所示的不等式組，求x的解集三、不等式的性質(zhì)？1、不等式的性質(zhì)可分為不等式基本性質(zhì)和不等式運(yùn)算性質(zhì)兩部分。（1）不等式基本性質(zhì)有：？ 一個數(shù)大于另一個數(shù)，則另一個數(shù)一定小于這個數(shù)；若a>bo b<a （對稱性）? 一個數(shù)大于另一個數(shù)，另一個數(shù)大于其它數(shù)，則這個數(shù)一定大于其它數(shù)；若a>b, b>c n a>c （傳遞性）? 不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變；a>b O a+c>b+c

7、 （c R）? 不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；ac>bc? 不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變；acvbc。 ?特別提示：、在不等式兩邊同乘以（或除以）同一個數(shù)（或式）定這個數(shù)的性質(zhì)符號，然后再確定是否改變不等號的方向；c>0 時，a>boc<0 時，a>bo時,必須先確、如果不等式乘以 0,那么不等號改為等號，所以在題目中，要求出乘以的數(shù)， 看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不能為那么就要0，否則不等式不成立；(2 )、運(yùn)算性質(zhì)有：？ a>b,c>d = a+c>b+d

8、。 ? a>b>0,c>d>0=> ac>bd。? a>b>0 nan>b n?(n N, n>1) o ? a>b>0 呂爲(wèi) >崛 (n N, n>1) o ?應(yīng)注意，上述性質(zhì)中，條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：“n ”和“ O ”即推出關(guān)系和等價關(guān)系。一般地，證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。解不等式就是施行一系列的等價變換。因此，要正確理解和應(yīng)用不等式性質(zhì)。？2、不等式與等式性質(zhì)的關(guān)系相同不同不管是等式還是不等式，都可以在它們的兩邊同加（減）一個數(shù)（整式） 結(jié)果仍成立。在等式兩邊同乘（除以）一個正

9、（負(fù)）數(shù)（整式）,等式仍然成立;在不等式兩邊同乘（除以）一個正數(shù)（整式），不等號方向不變，在不等式兩邊同乘（除以）一個負(fù)數(shù)（整式），不等號方向一定改變。，所得3、不等式性質(zhì)的應(yīng)用：主要有以下三類問題：？（1）根據(jù)給定的不等式條件，禾U用不等式的性質(zhì)，判斷不等式能否成立。禾U用不等式的性質(zhì)及實(shí)數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)，判斷實(shí)數(shù)值的大小。4m2+4m+5和 2(2m+1)的大?。浚?）利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式變換中條件與結(jié)論間的充分或必要關(guān)系。 例1、試判斷例2、若關(guān)于2,試確定a的取值范圍1-a不等式的概念及性質(zhì)練習(xí)題正確的打“2” ，錯誤的打“X” ）x的不等式（1-a） x > 2可化為

10、x <一、判斷題（不等式兩邊同時乘以一個整數(shù)，不等號方向不變。 如果 如果 如果 如果 如果1、2、3、4、5、6、7、8a> b，那么 a是有理數(shù), a< b，那么 a為有理數(shù), a> b，那么3 2a> 3 2bo () 那么一 8a>一 5ao ( a2< b2o ()則 a> ao () ac2> bc2 o ()如果一x>8，那么X> 8O （） 若 a< b,貝y a+ c< b+ Co （）xX aO, y <0,則一<0y110、若 X > y >0,則一（y -x） >

11、02a <：b,c v0,則ac -bc xz >yz ,則 X A ya -b Aa,貝y b >0cab >c,則a >-b9、11、若12、若13、若14、若<0115、若一 > -2,貝叮 > -2aa二、填空題111、若 ab，則一一 a-b ,2a+1222、當(dāng) a0 時，bcO時，abcO3、 若x<0,則一4丄2 22 24、 若 ac >bc，則-3aJb5、實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，2b+1a b0, a+ b0, ab0,用“”或“v”填空：a2b2, -1 , 1 a |a bI bl6、7、9、1若

12、av bv 0,則一（b a）2用不等式表示 a的5倍與b的和不大于8”為.ja是個非負(fù)數(shù)可表示為.11若 b >a >0,貝U -一ab10、若-3a >2a,則 a0三、選擇題2在數(shù)學(xué)表達(dá)式 -3<0;4x+5>0;x=3;x +x;x H-4;x+2>x+1是不等式的有 ）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個若mvn，則下列各式中正確的是（）A . m 3 >n 3 B o 3m > 3n C。一 3m > 3n D o m/ 3 1 > n/ 3 1若av 0,則下列不等關(guān)系錯誤的是（）A . a+ 5v a+ 7 B。5a

13、> 7a C。5 av 7 a D。a/5> a/7下列各題中，結(jié)論正確的是（A .若 a>0, bv 0,貝UC .若 av 0, bv 0,貝U下列變形不正確的是（A.若 a>b，貝U bvaC .由一2x > a,得 x > a/ 2有理數(shù)b滿足| b | v 3，并且有理數(shù)A .小于或等于3的有理數(shù)C .小于或等于3的有理數(shù)若 a b v 0,A . a> b1、(2、3、4、5、6、7、若 a Ab ,B.3個)b/ a> 0 abv 0)B .若 a> b,貝U a- b>0D .若 a> b, av 0,則 b/a

14、v 0B . a> b,得 b> a D.由 x/2> y,得 x> 2y a使得avb恒成立，則a得取值范圍是（）B .小于3的有理數(shù) D .小于一3的有理數(shù)則下列各式中一定成立的是（）B . ab> 0C. a/ bv 0D. - a>- ba b且c<0 ,那么在下面 不等式a+cAb + cacAbc一 一>-c c2 2 ac <bc中成立的個數(shù)是（）A . 1B . 2C . 39、已知a、b、c都是實(shí)數(shù)，并且 a>b>c，D. 4那么下列式子中正確的是（A. ab >bcB. a+b>b+cC. a-b

15、>b-c10、下列由題意列出的不等關(guān)系中，錯誤的是（）A. a不是是負(fù)數(shù)可表示為a>0B. x不大于3可表示為x <<3C. m與4的差是非負(fù)數(shù)，可表示為x-0 D.代數(shù)式x2+3必大于3x-7，可表示為 四、解答題1、用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系。2x +3>3x-73。11(1) a與b的和大于a的2倍。(2) a的丄與b的丄的差是負(fù)數(shù)。23(3) x與y之和的絕對值不大于 x的一半的相反數(shù)(4) a與b兩數(shù)和的平方不能大于(5)3x的絕對值不小于 5。( 6)a的6倍與3的差不大于1。2 22、若a cb,試比較ac與be的大小，ac與be的大小。3、若acba且a是負(fù)數(shù)，求b的取值范圍。五、應(yīng)用題1