【小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路大全】巧想妙算文字題

1、【小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路大全】巧想妙算文字題1.想數(shù)碼例如，1989年“從小愛數(shù)學(xué)”邀請賽試題6：兩個四位數(shù)相加，第一個四位數(shù)的每一個數(shù)碼都不小于5，第二個四位數(shù)僅僅是第一個四位數(shù)的數(shù)碼調(diào)換了位置。某同學(xué)的答數(shù)是16246。試問該同學(xué)的答數(shù)正確嗎？(如果正確，請你寫出這個四位數(shù)；如果不正確，請說明理由)。思路一：易知兩個四位數(shù)的四個數(shù)碼之和相等，奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)，這兩個四位數(shù)相加的和必為偶數(shù)。相應(yīng)位數(shù)兩數(shù)碼之和，個、十、百、千位分別是17、13、11、15。所以該同學(xué)的加法做錯了。正確答案是思路二：每個數(shù)碼都不小于5，百位上兩數(shù)碼之和的11只有一種拆法56，另一個5只可能與8組成13，6只

2、可能與9組成15。這樣個位上的兩個數(shù)碼，8916是不可能的。不要把“數(shù)碼調(diào)換了位置”誤解為“數(shù)碼順序顛倒了位置。”2.尾數(shù)法例1比較1222×1222和1221×1223的大小。由兩式的尾數(shù)2×24，1×33，且43。知1222×12221221×1223例2二數(shù)和是382，甲數(shù)的末位數(shù)是8，若將8去掉，兩數(shù)相同。求這兩個數(shù)。由題意知兩數(shù)的尾數(shù)和是12，乙數(shù)的末位和甲數(shù)的十位數(shù)字都是4。由兩數(shù)十位數(shù)字之和是817，知乙數(shù)的十位和甲數(shù)的百位數(shù)字都是3。甲數(shù)是348，乙數(shù)是34。例3請將下式中的字母換成適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立。由3和a5乘

3、積的尾數(shù)是1，知a5只能是7；由3和a4乘積的尾數(shù)是725，知a4是5；不難推出原式為142857×3428571。3.從較大數(shù)想起例如，從110的十個數(shù)中，每次取兩個數(shù)，要使其和大于10，有多少種取法？思路一：較大數(shù)不可能取5或比5小的數(shù)。取6有65；取7有74，75，76；取10有九種101，102，109。共為1357925(種)。思路二：兩數(shù)不能相同。較小數(shù)為1的只有一種取法110；為2的有29，210；較小數(shù)為9的有910。共有取法12345432125(種)這是從較小數(shù)想起，當(dāng)然也可從9或8、7、開始。思路三：兩數(shù)和最大的是19。兩數(shù)和大于10的是11、12、19。和是1

4、1的有五種110，29，38，47，56；和是1119的取法54433221125(種)。4.想大小數(shù)之積用最大與最小數(shù)之積作內(nèi)項(或外項)的積，剩的相乘為外項(或內(nèi)項)的積，由比例基本性質(zhì)知交換所得比例式各項的位置，可很快列出全部的八個比例式。5.由得數(shù)想例如，思考題：在五個0.5中間加上怎樣的運算符號和括號，等式就成立？其結(jié)果是0，0.5，1，1.5，2。從得數(shù)出發(fā)，想：兩個相同數(shù)的差，等于0；一個數(shù)加上或減去0，仍等于這個數(shù)；一個因數(shù)是0，積就等于0；0除以一個數(shù)(不是0)，商等于0；兩個相同數(shù)的商為1；1除以0.5，商等于2；解法很多，只舉幾種：(0.50.5)×0.5

5、15;0.5×0.500.50.5(0.50.5)×0.50(0.50.50.5)×(0.50.5)0(0.50.50.50.5)×0.50(0.50.5)×0.5×0.50.50.50.50.50.50.50.50.5(0.50.5)×(0.50.50.5)0.5(0.50.5)×0.50.50.50.5(0.50.5)×0.50.50.510.5÷0.5(0.50.5)×0.51(0.50.5)÷0.50.50.51(0.50.5)÷0.5(0.50.5)10.

6、50.50.50.5÷0.51.5(0.50.5)×0.50.50.51.50.50.50.50.50.51.50.5÷0.50.5÷0.50.51.50.5÷0.5÷0.50.50.52(0.50.5)÷0.50.50.52(0.50.50.50.5)÷0.52(0.50.5)×0.50.5÷0.526.想平均數(shù)思路一：由“任意三個連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)是中間的數(shù)”。設(shè)第一個數(shù)為“1”，則中間數(shù)占知這三個數(shù)是14、15、16。二、一個數(shù)分別為16115，15114或16214。若先求第一個數(shù)，則思

7、路三：設(shè)第三個數(shù)為“1”，則第二、三個數(shù)，知是15、16。思路四：第一、三個數(shù)的比是78，第一個數(shù)是2÷(87)×714。若先求第三個數(shù)，則2÷(87)×816。7.想奇偶數(shù)例1思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結(jié)果都等于100。例如123456789100123456789100你還能想出不同的添法嗎？12345678945。若去掉7和8間的“”，式左為123456789，比原式和增大了78(78)63，即1234567894563108。為使其和等于100，式左必須減去8。

8、加4改為減4，即可123456789100。“減去4”可變?yōu)椤皽p1、減3”，即123456789100二年級小學(xué)生沒學(xué)過負“1”，不能介紹。如果式左變?yōu)?23456789。12(12)89(89)81。即123456789458110026。要將“”變?yōu)椤啊钡臄?shù)和為13，在3、4、5、6、7中有67，346，因而有123456789100，123456789100，同理得123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100。為了減少計算。應(yīng)注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添

9、上加、減(不再去掉某兩數(shù)間的加號)，結(jié)果為100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)奇數(shù)，結(jié)果不會是100。(2)有一個是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100。因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再減去余下的56，差大于100。例2求59199的奇數(shù)和。由從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù)n的平方1357(2n1)n2奇數(shù)比它對應(yīng)的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應(yīng)的奇數(shù)為2n1。例如，32對應(yīng)奇數(shù)2×32163。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n1199，n100)的位置上。知1199的奇數(shù)和是1

10、00210000。此和包括59，2n157、n29、157的奇數(shù)和為292841。所求為100008419159?；蛘?930×21，302900，10000900599159。例1思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結(jié)果都等于100。例如123456789100123456789100你還能想出不同的添法嗎？12345678945。若去掉7和8間的“”，式左為123456789，比原式和增大了78(78)63，即1234567894563108。為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1234

11、56789100?！皽p去4”可變?yōu)椤皽p1、減3”，即123456789100二年級小學(xué)生沒學(xué)過負數(shù)“1”，不能介紹。如果式左變?yōu)?23456789。12(12)89(89)81。即123456789458110026。要將“”變?yōu)椤啊钡臄?shù)和為13，在3、4、5、6、7中有67，346，因而有123456789100，123456789100，同理得123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100。為了減少計算。應(yīng)注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數(shù)

12、間的加號)，結(jié)果為100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)奇數(shù)，結(jié)果不會是100。(2)有一個是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100。因為1234減去余下數(shù)字組成(按順序)的最大數(shù)789，再減去余下的56，差大于100。例2求59199的奇數(shù)和。由從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù)n的平方1357(2n1)n2奇數(shù)比它對應(yīng)的序數(shù)2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應(yīng)的奇數(shù)為2n1。例如，32對應(yīng)奇數(shù)2×32163。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n1199，n100)的位置上。知1199的奇數(shù)和是100210000。此和包

13、括59，2n157、n29、157的奇數(shù)和為292841。所求為100008419159。或者5930×21，302900，10000900599159。8.約倍數(shù)積法任意兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積，等于這兩個自然數(shù)的積。證明：設(shè)M、N(都是自然數(shù))的最大公約數(shù)為P，最小公倍數(shù)為Q、且M、N不公有的因數(shù)各為a、b。那么M×NP×a×P×b。而QP×a×b，所以M×NP×Q。例1甲乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是105。甲數(shù)是21，乙數(shù)是多少？例2已知兩個互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是155，求這兩個

14、數(shù)。這兩個互質(zhì)數(shù)的積為1×155155，還可分解為5×31。所求是1和155，5和31。例3兩數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是40，大數(shù)是數(shù)的2.5倍，求各數(shù)。由上述定理和題意知兩數(shù)的積，是小數(shù)平方的2.5倍。小數(shù)的平方為4×40÷2.564。小數(shù)是8。大數(shù)是8×2.520。算理：4×408×208×(8×2.5)82×2.5。9.想份數(shù)10.巧用分解質(zhì)因數(shù)例1四個比1大的整數(shù)的積是144，寫出由這四個數(shù)組成的比例式。14424×32(22×3)×(2×3

15、)×2(4×3)×(6×2)可組成4623等八個比例式。例2三個連續(xù)自然數(shù)的積是4896，求這三個數(shù)。489625×32×1724×17×(2×32)16×17×18172826×33(22×3)31233855×7×11例41992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題3：找出1992的所有不同的質(zhì)因數(shù)，它們的和是多少？19922×2×2×3×83238388例5甲數(shù)比乙數(shù)大9，兩數(shù)的積是1620，求這兩1

16、7.想法則用來說明運算規(guī)律(或方法)的文字，叫做法則。子比分母少16。求這個分數(shù)？由“一個分數(shù)乘以5，是分子乘以5分母不變”，結(jié)果是分子的5倍比3倍比分母少16。知分子的532(倍)是21618，分子為18÷29，分母為9×5243或9×31643。18.想公式證明方法：以分母a，要加(或減)的數(shù)為(2)設(shè)分子加上(或減去)的數(shù)為x，分母應(yīng)加上(或減去)的數(shù)為y。19.想性質(zhì)例11992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題6：有甲、乙兩個多少倍？200÷1612.5(倍)。例2思考題：三個最簡真分數(shù)，它們的分子是連續(xù)自然數(shù)，分母大于10，且它們最小公分母

17、是60；其中一個分數(shù)的值，等于另兩個分數(shù)的和。寫出這三個分數(shù)。由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。由“分子是連續(xù)自然數(shù)”，知分子只能是小于12的自然數(shù)。滿足題意的三個分數(shù)是(二)第400個分數(shù)是幾分之幾？此題特點：(2)每組分子的排列：假設(shè)某一組分數(shù)的分母是自然數(shù)n，則分子從1遞增到n，再遞減到1。分數(shù)的個數(shù)為nn12n1，即任何一組分數(shù)的個數(shù)總是奇數(shù)。(3)分母數(shù)與分數(shù)個數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，正是自然數(shù)與奇數(shù)的對應(yīng)關(guān)系分母：1、2、3、4、5、分數(shù)個數(shù)：1、3、5、7、9、(4)每組分數(shù)之前(包括這組本身)所有分數(shù)個數(shù)的和，等

18、于這組的組號(這一組的分母)的平方。例如，第3組分數(shù)前(包括第3組)所有分數(shù)個數(shù)的和是32=9。10×216=13(個)位置上。分別排在81788(個)，8113=94(個)的位置上?；蛘?02=100，10012=88。100694，88694。問題(二)：由上述一串分數(shù)個數(shù)的和與組號的關(guān)系，將400分成某數(shù)的平方，這個數(shù)就是第400個分數(shù)所在的組數(shù)400202，分母也是它。第400個分數(shù)在第20組分數(shù)中，400是這20組分數(shù)的和且正好是20的平方無剩余，故可斷定是最后一個，即若分解為某數(shù)的平方有剩余，例如，第415個和385個分數(shù)各是多少。逆向思考，上述的一串分數(shù)中，分母是35的

19、排在第幾到第幾個？352(35×21)112256911157。排在11571225個的位置上。20.由規(guī)則想例如，1989年從小愛數(shù)學(xué)邀請賽試題：接著1989后面寫一串?dāng)?shù)字，寫下的每一個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù)字。例如，8×972，在9后面寫2，9×218，在2后面寫8，得到一串?dāng)?shù)：1989286這串?dāng)?shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個數(shù)字是什么？先按規(guī)則多計算幾個數(shù)字，得1989286884286884顯然，1989后面的數(shù)總是不斷重復(fù)出現(xiàn)286884，每6個一組。(19894)÷63305最后一組數(shù)接著的五個數(shù)字是28688，即第1989個

20、數(shù)字是8。21.用規(guī)律例1第六冊P62第14題：選擇“、×、÷”中的符號，把下面各題連成算式，使它們的得數(shù)分別等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。(1)222220(2)222221(10)222229解這類題的規(guī)律是：先想用兩、三個2列出，結(jié)果為0、1、2的基本算式：220，2÷21；再聯(lián)想22÷21，2×2÷22，2÷223，每題都有幾種選填方法，這里各介紹一種：2÷22÷2202÷2×22÷21222÷2×222×22÷2

21、232×2×222422÷22×252222×262×2×22÷272÷2×2×2×282÷22×2×29例2第六冊P63題4：寫出奇妙的得數(shù)21×9312×94123×951234×9612345×9得數(shù)依次為11、111、1111、11111、111111。此組算式的特點：第一個加數(shù)由2開始，每式依次增加1。第二個加數(shù)由乘式組成，被乘數(shù)的位數(shù)依次為1、12、123、繼續(xù)寫下去7123456&#

22、215;9=111111181234567×9=11111111912345678×911111111110123456789×91111111111111234567900×9=111111111111212345679011×9=111111111111很自然地想到，可推廣為(1)當(dāng)n=1、2時，等式顯然成立。(2)設(shè)n=k時，上式正確。當(dāng)n=k1時k1123k×9=k1123(k1)×10k×9=k1123(k1)×9×109k=k123(k1)×9×101根據(jù)數(shù)學(xué)歸納

23、法原理，由(1)、(2)可斷定對于任意的自然數(shù)n，此等式都成立。例3牢記下面兩個規(guī)律，可隨口說出任意一個自然數(shù)作分母的，所有真分數(shù)的和。(1)奇數(shù)(除1外)作分母的所有真分數(shù)的和、是(分母1)÷2。=(211)÷2=10。22.巧想條件比5小，分母是13的最簡分數(shù)有多少個。764為64(71)58(個)，去掉13的倍數(shù)13、26、39、52，余下的作分子得54個最簡分數(shù)。例2一個整數(shù)與1、2、3，通過加減乘除(可添加括號)組成算式，若結(jié)果為24這個整數(shù)就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有幾個是可用的。看結(jié)果，想條件，知都是可用的。4×(123)24(51

24、2)×3246×(321)247×312248×3÷(21)249×3122410×2132423.想和不變無論某數(shù)是多少，原分數(shù)的分子與分母的和711=18是不變的。而新分數(shù)的分子與分母的和為12=3，要保持原和不變，必同時擴大18÷36(倍)。某數(shù)為761或12111。24.想和與差算理，原式相當(dāng)于求這個分數(shù)。25.想差不變分子與分母的差41356是不變的。新分數(shù)的此差是871，要保持原差不變，新分數(shù)的分子和分母需同時擴大6÷16(倍)。某數(shù)為42357，或48417。與上例同理。231112，312

25、，12÷26，某數(shù)為1165或23185。分子加上3變成1，說明原分數(shù)的分子比分母小3。當(dāng)分母加上2后，分子比分母應(yīng)小32=5。26.想差的1/2對于任意分母大于2的同分母最簡真分數(shù)來說，其元素的個數(shù)一定是偶數(shù)，和為這個偶數(shù)的一半。分母減去所有非最簡真分數(shù)(包括分子和分母相同的這個假分數(shù))的個數(shù)，差就是這個偶數(shù)。例1求分母是12的所有最簡真分數(shù)的和。由12中2的倍數(shù)有6個，3的倍數(shù)有4個，(2×3)的倍數(shù)2個，知所求數(shù)是例2分母是105的，最簡真分數(shù)的和是多少？倍數(shù)15個，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍數(shù)分別是7、3、5個，(3

26、5;5×7)的倍數(shù)1個。知105(352115)(357)148，48÷224。27.借助加減恒等式個數(shù)。若從中找出和為1的9個分數(shù)，將上式兩邊同乘以2，得這九個分數(shù)是28.計算比較例如，九冊思考題：1÷11、2÷11、3÷1110÷11。想一想，得數(shù)有什么規(guī)律？可見，除數(shù)是11，被除數(shù)是1的幾倍(倍數(shù)不得大于或等于11)，商17÷11(116)÷1111÷116÷11凡商是純循環(huán)小數(shù)的除式，都有此規(guī)律；不是純循環(huán)小數(shù)的，得數(shù)不存在這一規(guī)律。不難發(fā)現(xiàn)，它們循環(huán)節(jié)的位數(shù)比除數(shù)少1，循環(huán)數(shù)字和順序相

27、同，只是起點不同。只要記住1÷7的循環(huán)節(jié)數(shù)字“142857”和順序，計算時以最大商的數(shù)字為起點，順序?qū)懗鋈垦h(huán)節(jié)數(shù)字，即可。29.由驗算想例如，思考題：計算1212÷101，3939÷303，你能從計算中得到啟發(fā)，很快說出下面各題的得數(shù)？4848÷202，7575÷505，3939÷303(3030909)÷3033030÷303909÷30310313備課用書這種由“除法的分配律”解，要使三年級學(xué)生接受，比較困難。若從“除法的驗算”推導(dǎo)由3939÷303()，商百位上的3和13相乘才可得39

28、，商個位上的3也必須與13相乘得39，除數(shù)是13確定無疑。顯然，在被除數(shù)上面寫上除數(shù)，使位數(shù)對齊，口算很快會得出結(jié)果。所以商是12。30.想倍比31.擴縮法例如，兩數(shù)和是42，如果其中一個數(shù)擴大5倍，另一個數(shù)擴大4倍，則和是181。求這兩個數(shù)。若把和，即這兩個數(shù)都擴大4倍，則得數(shù)比181小，因為原來擴大5倍的那個數(shù)少擴大了1倍。差就是那個數(shù)。18142×413421329若把兩數(shù)都擴大5倍，結(jié)果比181多了原來擴大4倍的那個數(shù)。42×518129，422913。若把181縮小4倍，則得數(shù)比42大。因為其中的一個數(shù)先擴大5倍，又若把181縮小5倍，得數(shù)比42小。因為先擴大4倍

29、的那個數(shù)，又縮小5最佳想法：兩數(shù)擴大的倍數(shù)不同，181不會是42的整倍數(shù)。相除就把多擴大1倍的那個數(shù)以余數(shù)形式分離出來。181÷424余13。另個數(shù)可這樣求32.分別假設(shè)例如，1992年中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題5：把一個正方形的一邊減少20，另一邊增加2米，得到一個長方形，它與原來的正方形面積相等。那么，正方形的面積是多少平方米。設(shè)正方形的邊長為1，另一邊增加的百分數(shù)為x，則(11×20)×(1x)1，正方形邊長2÷258(米)，面積8×864(平方米)。33.變數(shù)為式34.分解再組合例如，(12399)(4812396)(12399

30、)4(1+2+399)5(12+399)35.先分解再通分有的學(xué)生通分時用短除法，找了許多數(shù)試除都不行，而斷定57和76為互質(zhì)數(shù)。判斷兩個數(shù)是否互質(zhì)，不必用2、3、5、逐個試除。把其中一個分解質(zhì)因數(shù)，看另一個數(shù)能否被這里的某個質(zhì)因數(shù)整除即可。573×19，如果57和76有公有的質(zhì)因數(shù)，只可能是3或19。用3、19試除，57，7619×3×4228。262×13，65和91是13的倍數(shù)。最小公分母為13×2×5×7910。36.巧用分解質(zhì)因數(shù)教材中講分解質(zhì)因數(shù)，主要是為了求幾個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，給通分和約分打基礎(chǔ)。其

31、實，分解質(zhì)因數(shù)在解題中很有用處。提供新解法，啟迪創(chuàng)造思維。例2184×75原式2×2×46×3×5×5=46×3×(2×5)2=138×100=13800。37.變式法38.推理調(diào)整例如，1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題8：一個小于200的自然數(shù)，它的每位數(shù)字都是奇數(shù)，并且它是兩個兩位數(shù)的乘積，那么，這個自然數(shù)是多少？由奇數(shù)×奇數(shù)奇數(shù)，知這個自然數(shù)是兩個奇數(shù)的乘積。如果其中一個是11，乘積的十位數(shù)字將是百位與個位數(shù)字之和、必為偶數(shù)。因此，兩奇數(shù)都至少是13。所求數(shù)只能是13

32、×15195。39.想順推例如，用1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字，能組成多少個九位數(shù)？由“1”，組成1個數(shù)；由“1、2”，可組成12、21，2個數(shù)；由“1、2、3”，可組成123、132、231、213、312、321，6個數(shù)。可見：由兩個一位數(shù)組成的兩位數(shù)的個數(shù)2×1：由三個一位數(shù)組成的三位數(shù)的個數(shù)3×2。依此類推40.想倒推倒推是常用的數(shù)學(xué)思維方法，思考途徑是從題目的問題出發(fā)，倒著推理，逐步靠攏已知條件，直到解決問題。有些題用此法解，能化難為易。例1一個數(shù)擴大3倍后再增加100，然后縮小2倍后再減去36得50，求這個數(shù)。從最后的差50倒推。減前是

33、503686，縮小2倍前是86×2=172，增加前是172-100=72。擴大3倍前是72÷3=24。即這個數(shù)是：(5036)×2100÷324。例2某種細菌每小時可增長1倍，現(xiàn)有一批這樣的細菌，10小時可增長100萬個。問增長到25萬個時，需要幾小時？由“細菌每小時增長1倍”，知增長到25萬個后經(jīng)過1小時增長到25×2=50(萬個)，再過1小時就可增長到50×2=100(萬個)。從25萬個增長到100萬個要用11=2(小時)，所以增長到25萬個需10-2=8(小時)41.推想與推斷例如，武漢市武昌區(qū)數(shù)學(xué)競賽題：3/17的分子和分母同

34、時加上什么數(shù)，因為一個分數(shù)的分子與分母同時加上一個數(shù)的前后、分母與分子的差17分母同時擴大14÷2=7(倍)，就是加上的數(shù)是351718或21318。42.巧歸結(jié)例如，選擇“、-、×、÷、()”中的符號，把七個5連成算式，得數(shù)為0、1、2、3、10。5的個數(shù)是7以上的都可歸結(jié)為7個討論。此題解法很多，這里只介紹一種。由5÷51，5÷55÷52，55，知問題可變?yōu)?，怎樣用運算符號把1、2、5連成結(jié)果分別等于0、1、2、10的算式。1、2、5三個數(shù)不能通過四則運算得0和1，但5÷51、550、0乘任何數(shù)都得0，易得到0(5555

35、55)×515÷55×(5555)25(5÷55÷5)5÷552135×(5÷5)(5÷55÷5)5×12455÷5(5÷55÷5)51255×(5÷55÷5)5÷55×(21)65(5÷55÷5)5÷552175×(5÷5)(5÷55÷5)5×1285(5÷55÷5)5÷552195×(

36、5÷55÷5)5÷55×21105×(5÷55÷5)×(5÷5)5×2×1若5的個數(shù)是8，則05555555515÷5555555105×2×15×(11)×15×5÷55×5÷5×5÷595×215×(11)15×5÷55×5÷55÷555×(21)5×25×15×(

37、5÷55÷5)5×5÷5由5÷515(555)÷525=5知其余各式的討論，和5的個數(shù)為7時相同。即8=521=55-(555)÷55÷575×125×5÷55(555)÷5652155(555)÷55÷5451255÷55(555)÷535×125×5÷55(555)÷5252155(555)÷55÷5顯然，若5的個數(shù)是9，只要在5的個數(shù)是7的各式后面加上(55)。如105&

38、#215;(5÷55÷5)×(5÷5)(55)若5的個數(shù)是72n(n為自然數(shù))，只要在5的個數(shù)是7的各式，后面加上n個(55)。若5的個數(shù)是10，只要在5的個數(shù)是8的各式，后面加上一個(55)。若5的個數(shù)是82n，則只要在5的個數(shù)是8的各式，后面加上n個(55)。43.巧歸類例如，用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13這十二個數(shù)，編加、減、乘、除四個算式，每個數(shù)只許用一次。根據(jù)逆運算關(guān)系，把“加法和減法”、“乘法和除法”歸為一類。編加減法算式，比編乘除法算式多得多，宜從量少的入手。想到這十二個數(shù)中，能做被除數(shù)的只有12、10、8、6

39、，先編除法算式更為適宜。(1)12÷34(2)12÷2612÷4312÷62(3)10÷25(4)8÷24(5)6÷2310÷528÷426÷32確定(1)組為除法算式，其余四組都可變?yōu)槌朔ㄋ闶?。由于每個數(shù)只許用一次，此組已出現(xiàn)3、4、12。乘法算式的(2)、(4)、(5)組重復(fù)、舍去。唯有第(3)組符合題意。若(1)組為除法算式，(3)組為乘法算式?；蚍催^來，各得四式12÷3410÷2512÷4=310÷5=24×3=125×2=10

40、3×4=122×5=10剩的六個數(shù)，可組成67=1381=976=1318=9136791813769-8=1整理：組合：(1)組可組合算式(2)、(3)、(4)均可組成16種答案，共64種。44.想聯(lián)系求這二數(shù)。由整數(shù)除法、分數(shù)、比的內(nèi)在聯(lián)系想：被除數(shù)÷除數(shù)商(整數(shù))余數(shù)；45.想關(guān)系例1一個減法式子中，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是76。求被減數(shù)。76÷238例2被減數(shù)是7，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是多少？7×214例3被除數(shù)、除數(shù)和商的積是196。求被除數(shù)。1962×2×7×714×14被除數(shù)是14。例1與此例

41、的算理設(shè)ABC，那么ABC。若ABCn，則AAn，2An，An/2。設(shè)A÷BC，那么AB×C。如果A×B×Cn，則有A×An。A可用分解質(zhì)因數(shù)法求。46.想對調(diào)例如，第八冊P94思考題：用1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字，寫出三個大小相等的分數(shù)，每個數(shù)字只許用一次。參考書中給出：這三種和下面的四種答案的分子和分母對調(diào)，為14種。還能求出12種47.邏輯思考例如，一個硬幣重10克，每10個硬幣為一摞，一共有10摞。從表面上看，這10摞硬幣都一樣，其實里面有一摞是假的?，F(xiàn)在只知道假幣比真幣輕2克，你能只稱一次，就把這摞假幣找出來嗎？從第一

42、摞里取一個硬幣，從第二摞里取兩個，從第十摞中取十個。55個放在一起稱，如果都是真的，應(yīng)重10×55550(克)。假如稱的結(jié)果是538克，那就少了12克，每個假幣比真幣少2克，因而有12÷26(個)，說明6個硬幣的第六摞是假的。若稱的結(jié)果是542克，少了8克，說明第四摞是假的。48.由特征想例如，哪些自然數(shù)的和能被2、4、5、7整除？任何個偶數(shù)的和，能被2整除；偶數(shù)個奇數(shù)的和，能被2整除；任意四個連續(xù)自然數(shù)，如果首尾兩數(shù)的和能被5整除，那么這四個數(shù)的和也能被5整除；任意四個連續(xù)偶數(shù)的和，能被4整除；任意五個(或5的倍數(shù))個連續(xù)自然數(shù)的和，能被5整除；任意七個連續(xù)自然數(shù)的和，能

43、被7整除；49.以零求整把題分成有聯(lián)系而又相對獨立的小問題，進而解決所求問題。例如，第五冊P20思考題：用0、1、29十個數(shù)字組成三個數(shù)(每個數(shù)字只能用一次，且必須用一次)，其中兩個數(shù)的和等于第三個數(shù)。這是三位數(shù)加三位數(shù)等于四位數(shù)，百位上兩數(shù)相加和為10，其它兩位數(shù)相加不進位的題。分成小問題：一位數(shù)分別相加，其中一組的和為10，再分別找出兩個數(shù)相加得第三個數(shù)。這樣分別開來，易找出3710，268，459，合起來為3247651089?；蛘?610，279，358，4236751098。再分別交換個位、十位上的數(shù)字，又可得到多組答案。50.探索法就是多方尋求答案，解決疑難。51.觀察法數(shù)學(xué)知識是

44、通過數(shù)、式、形三方面的內(nèi)容，體現(xiàn)客觀事物和空間形式相互間數(shù)量關(guān)系的。這常常需要觀察。例1計算下組算式的(1)、(2)、(3)，類推出(4)的結(jié)果。(1)11×8(2)212×8(3)3123×8(4)41234×8仔細觀察算式間的聯(lián)系，第一個加數(shù)，逐次增加1；第二個加數(shù)逐次增加11，111，1111，而乘數(shù)都是8，即第二個加數(shù)中兩個數(shù)的乘積，逐次多11個8，111個8，；(1)式，(2)式，(3)式，的結(jié)果逐次增加89，889，8889，由式(3)的結(jié)果989889987，知式(4)為98788899876。例2觀察不難發(fā)現(xiàn)：自然數(shù)從1開始，累加到任何一

45、個自然數(shù)，其和除以下一個是偶數(shù)，商是小數(shù)，是奇數(shù)時，商是整數(shù)。如：(12310001001)例3由111.111×1.1，知其積等于其和。特點：第一個加數(shù)是整數(shù)。第二個加數(shù)是帶分數(shù)，整數(shù)部分是1，分數(shù)部分的分子是1，分母比第一個加數(shù)少1。例4觀察分析會產(chǎn)生一個直覺：如果a與b是互質(zhì)數(shù)(且ab)，那么a±b與ab是互質(zhì)數(shù)。此結(jié)論成立的話，兩個分子是1，分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)相加減，所得結(jié)果豈不是不必考慮約分了嗎？用反證法證明：若a±b與ab不互質(zhì)，而有因子d的話，設(shè)a±bcd，abed。則由abed，d為素數(shù)可知，或da，或db。若da，則由a±bcd，可知必有db，這與ab是互質(zhì)數(shù)矛盾。同理，若db，也有矛盾，所以a±b與ab互質(zhì)。52.猜測與證明美國數(shù)學(xué)家G·玻利亞在數(shù)學(xué)與似真推理一書中寫道：“人們對數(shù)學(xué)事實總是首先猜測，然后才加以證明?！崩?3&