河北省石家莊市2020屆高三一模教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理)試卷

1、數(shù)學(xué)理、選擇題(共12小題).1V1.已知集合A x|2x 4 , B4y |y lgx,x J，則硝 B ()A. 2,2B. (1,)C. 1,2D. , 1(2,)答案：C【分析】,，一一1 一 -1.先解得不等式- 24及x 時函數(shù)y lg x的值域，再根據(jù)交集的定義求解即可4101解：由題，不等式一24,解得2x2，即A x|2x2；41一因為函數(shù)y lgx單倜遞增，且x ，所以y 1,即B y|y 1 ,10則 A B 1,2 , 故選:C點評：本題考查集合的交集運算，考查解指數(shù)不等式，考查對數(shù)函數(shù)的值域2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為A.3. i2B.(1,2),則已1C

2、.一2()3.i 21D.-23. i2答案：D根據(jù)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1,2),可以確定z1 2i ,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡六，即可得答案解：由題意知復(fù)數(shù)z 1 2i ,1 2( 1 2i) (1 i)1i21 3. . i,2 2故選：D.點評：本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義， 復(fù)數(shù)的乘法和除法運算等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力,推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想是非零向量，則“ H”的B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案：D由條件知4| |b,由向量的加法法則得到，兩個模長相等的向A.充分而不必要條件故也不能反推.故是既不充分也不必要條件量相加得到的和與

3、差向量是作為四邊形的對角線的，而對角線不一定相等；反之 ,兩邊平方可得兩個向量垂直，四邊形對角線相等，但是不一定有邊長相等,故答案為D.cosx的部分圖象大致為()答案：A因為f(x)xexecosx,先判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合當(dāng) x 0時，函數(shù)值的為正，即可求得答案.解：.f(x)xe1xe1cos( x)xe 1丁: cosx f(x), e 1f（x）為奇函數(shù)，排除C,當(dāng) x 0 時，f (x) 0 ,排除 B,D,故只有A符合題意故選：A.點評：本題主要考查了根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求解函數(shù)圖象問題,解題關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法和函數(shù)圖象的基礎(chǔ)知識，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題5.下

4、邊的莖葉圖記錄的是甲、乙兩個班級各5名同學(xué)在一次數(shù)學(xué)小題訓(xùn)練測試中的成績（單位：分，每題5分，共16題）.已知兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則 x、y的值分別為（）甲班乙班A.0, 0答案：B由莖葉圖得各個數(shù)據(jù)，由平均數(shù)相等可得x,y的關(guān)系x 5 y ,從而可得結(jié)論解：兩組數(shù)據(jù)和相等，貝U 80 2 75 70 x65 80 70 2 7570 yX 5 y,則x 0, y 5.只有B適合.故選：B.點評：本題考查莖葉圖，考查平均數(shù)，正確認(rèn)識莖葉圖是解題關(guān)鍵.6.九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所乙兩得與下三人等，問各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五

5、人分五錢，甲、 人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各C.5得多少錢？” （“錢”是古代乙種質(zhì)量單位），在這個問題中，甲比戊多得（）錢?A. 3答案：A【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,利用等差數(shù)列的通項公式即可求解解：設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人所得錢數(shù)分別為a1,a2,a3,a4,a5,公差為d ,貝 U aia2a3%a52a d 512,即2 ,解得253a1 9 d 2aida a故選：A4d點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題7.將函數(shù)f x cos2x圖象上所有點向左平移 一個單位長度后得到函數(shù) g x的圖象，如4果g

6、x在區(qū)間0,a上單調(diào)遞減，那么實數(shù) a的最大值為（）A.8答案：BB. 一4C.2【分析】根據(jù)條件先求出g x的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可解：將函數(shù)f x cos2x圖象上所有點向左平移 一個單位長度后得到函數(shù) g x的圖象, 4貝U g xcos2 x cos 2x 一,42設(shè) 2x , 2則當(dāng) 0 x a 時，0 2x 2a , 2x 2a ,222即一 2a 一， 22要使g x在區(qū)間0,a上單調(diào)遞減，則 2a 得 2a ,得 a224即實數(shù)a的最大值為一, 4故選：B.點評：本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題.228.已知雙曲線C:x

7、2 41(a 0,b 0), O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)i、F2為其左、右焦點，點G在 a bC的漸近線上，F(xiàn)2G OG ,且J6|OG| |GFi |,則該雙曲線的漸近線方程為()A. y xB. y xC. y x22D. y 1 2x答案：D【分析】根據(jù)F2G OG ,先確定出GF2,GO的長度，然后利用雙曲線定義將化為a, b, c的關(guān)系式，化簡后可得到 b的值，即可求漸近線方程. a解：如圖所示：因為F2GOG ,所以GF2bca1Vb, OG Jc2 b2 a,又因為J6OGGFi ,所以6 OGI 同 ,所以 V6|OGi iGF2 F2F11,22. 2 一 2,所以 6a b 4c 2

8、b 2c cos 180GF2F1 ,所以 6a2 b2 4c2 2b 2c b，所以 b2 2a2,- J2 , ca '所以漸近線方程為 y 2x.故選：D.點評：本題考查根據(jù)雙曲線中的長度關(guān)系求解漸近線方程，難度一般 .注意雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半 .9.如圖所示，正四面體ABCD中，E是AD的中點，P是AC上一動點，BP PE的最小值為JT4 ,則該正四面體的外接球表面積是（）A.12B. 32C. 8D. 24答案：A【分析】將側(cè)面ABC和&ACD沿AC邊展開成平面圖形為菱形ABCD ,可得到BE的長即為BP PE的最小值，設(shè)DE x ,在RtBC

9、E中，利用勾股定理可得x 衣,則棱長為2 J2，進(jìn)而可求得正四面體的外接球的表面積解：將側(cè)面&ABC和&ACD沿AC邊展開成平面圖形，如圖所示，菱形ABCD,在菱形ABCD中，連接BE ,交AC于點P ,則BE的長即為BP PE的最小值,即BE ,14,因為正四面體 ABCD,所以AC AB,所以 BCD 120,因為E是棱AD的中點，所以 DCE 30 ,所以 BCE BCD DCE 90 ,設(shè) DE x,則 AB BC CD AD 2x,所以CE曲x ,則be Jbc2 CE2幣x 714 ,所以x叵則正四面體 ABCD的棱長為2J2，所以正四面體的外接球半徑為 -6 2

10、2.3,4所以該正四面體外接球的表面積為 S 4冗J312%，故選：A點評：本題考查線段和最短問題，考查外接球問題，考查運算能力10.已知點G在 ABC內(nèi)，且滿足2GA 3GB 4GC 0,現(xiàn)在 ABC內(nèi)隨機取一點，此點取自GAB, GAC, GBC的概率分別記為"，已，2，則（）A. PP2P3B.P3P2PC. P1P2P3D. B P P3答案：C分別延長GA到GA ,GB到GC 至U GC,使得GA2GA , GB 3GB ,GC 4GC ,則有 GA GB GC 0，得到點G為 A B C的重心，所以S S SGAB GACGBC '11 一L 而求信 Sgab 6

11、Sgab ' Sgac gSgac 'c1c _Sgbc SGBC,得出面積之間的關(guān)系，即可求解.解：由題意，分別延長 GA到GA , GB到GB , GC到GC ,使得GA2GA , GB 3GB , GC4GC，則有 GA gB GC0，所以點G為ABC的重心,所以 Sgab S gac S gbc， GA BGA CGB C1 -Sgab 6SGAB' Sgac從而得到S GAB : S GAC : S GBC1s 81s IsGAC，S GBC 12 S GB C，:4:3:2, 6 8 12則 P：B：P3 4:3:2,即 P>P2>P3 .故選

12、C.點評：本題主要考查了平面向量的應(yīng)用，以及幾何概型思想的應(yīng)用， 其中解答中根據(jù)響亮的 運算求得點G的位置，得出面積之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力, 屬于中檔試題.達(dá)芬奇創(chuàng)作的油畫，現(xiàn)收藏于法國11 .蒙娜麗莎是意大利文藝復(fù)興時期畫家列奧納多 羅浮宮博物館.該油畫規(guī)格為：縱 77cm木5 53cm油畫掛在墻壁上的最低點處 B離地面237cm（如圖所示）.有一身高為175cm的游客從正面觀賞它（該游客頭頂T到眼睛C的距離為xcm,視角為.為使觀賞視角最大，x應(yīng)為（）A. 77B. 80C.100D. 77、. 2答案：D設(shè)二/acd，二/BCD ,則,利用兩角差的正切公式用x表

13、不出，再根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求解.詳解】解：過C作CD AB于D ,設(shè)二，ACD,二，BCD ,則237tantantantann tan應(yīng)時,，當(dāng)且僅當(dāng)x故選：D.則BD AD CD77 ( cm ),AD77: 154 ( cm ),-BD - 77CD."x， 154 77x x ._ 154, 77x7711858 ，tan有最大值，此時 也最大,屬于中檔題.點評：本題主要考查兩角差的正切公式的應(yīng)用，考查對勾函數(shù)的單調(diào)性與最值,12 .已知點P是曲線y=sinx + lnx上任意一點，記直線 OP （O為坐標(biāo)原點）給出下列四個命題:存在唯一點P使得對于任意點P都有0;對于任意

14、點P都有存在點P使得k1,則所有正確的命題的序號為（）A.C.D.答案：D結(jié)合正弦函數(shù)的值域和對數(shù)函數(shù)y lnx和直線y x 1的關(guān)系，即可判斷正確，錯誤.一九 . . . 一一 . .一當(dāng)一 x 九時，y sin x ln x 0,即可判斷錯誤；對于，存在唯一點p使得k 1 ,2即sin x+ ln x二7存在唯一解,令 g x sinx ln x x,則g x0存在唯一解，運用x -導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性結(jié)合零點存在定理，可判斷正確，由排除法即可得到結(jié)論解：任意 x 0 , 一方面 y sin x ln x In x 1,另一方面由y ln x和直線y x 1的圖象易證ln x x 1成立，即 I

15、nx 1 x, y sinx ln x x , y sinx ln x ln x 1與lnx 1 x中兩個等號成立條件不一樣， y sin x ln x x 恒成立， . k 1 ,則正確，錯誤.當(dāng)一 x 九時，y sin x ln x 0,2 . k 0,則錯誤；對于，存在唯一點 P使得k 1 ,也就是sinx+1nx二7存在唯一解,x令g x sinx lnx x,則g x0存在唯一解，.1g x sinx lnx x cosx 一 1 0恒成立， x函數(shù)g x sinx lnx x,在0,上單調(diào)遞增，又g 10, g 0.10,sinx+ln x+x=0存在唯一解，故正確，故選：D點評：

16、本題主要考查直線的斜率范圍，同時考查了利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根，考查了學(xué)生分析問題和判斷問題的能力，屬于難題.二.填空題（共4小題，每題5分，共20分）x y 2 013.若實數(shù)x, y滿足約束條件x 2y 0 ，則x y的最小值為 x 2y 4 0答案：6【分析】首先根據(jù)題意作出可行域，根據(jù)x y的幾何意義，從而求出最小值詳解】由題意作平面區(qū)域如下,2y 0y經(jīng)過目標(biāo)函數(shù)取得最小值故z x y的最故答案為：6題意畫出可行域為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題14.已知1011G2dx.則i：x xm的展開式中x2的系數(shù)為（用數(shù)字表本）答案：10首先根據(jù)定積分的幾何意義求解、5x）通項公式求解即可.解：因為1

17、1G7dx表示以0,0為圓心,1為半徑的圓的上半圓的面積,所以 I'1 x2 dx 2, m10 j-1 x2 dx5；7T其展開式的通項公式為:Tr 1C5r)5x)r(1)r C；3r 52 r 3.x)m的展開式中x2的系數(shù)為:1)3 C310.故答案為：10點評：本題主要考查二項式定理，同時考查了定積分的幾何意義，屬于中檔題22P關(guān)于原點O15.已知點P是橢圓C： 士72r 1 a b 0上一點，點p在第一象限且點 a2 b2的對稱點為Q ,點P在x軸上的投影為E ,直線QE與橢圓C的另一個交點為 為直角三角形，則橢圓 C的離心率為答案：空2設(shè)P, G的坐標(biāo)，由題意可得Q ,

18、E的坐標(biāo)，由題意可得kQG kPGb2-2， a再由A PQG為c的關(guān)系求出離心率.直角三角形，所以kop kpG1,可得a, b的關(guān)系，再由a, b,解:0設(shè)P m, n , G x,y ,則由題意可得： Q m, n , E m,0 ,kQG kPG2 y -2" x2m2由a2 xa2 n b12 y b71作差可得:1所以kQGkPG2y2x2n-2mkGQ kEQ , 2m所以kPGb2 a2m2b2m2， na所以kOP-m因為APQG為直角三角形，所以kOP kpG1,所以，-m2mb22- na1,即:22a 2b .22 Ce a2.2a b2ab22b21 離心率

19、e2-22故答案為:,22點評：本題主要考查橢圓中離心率的求法,根據(jù)題意找到a, b,c的關(guān)系式為解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.16.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x) Acos(x )(A 0,0,1 | -) , f (x)的部分圖象如圖所示，g(x) f(x Jx1, x2 五十時，則g(x,) g(x2)的最大值為【分析】125 一一5由圖象可信： A= 2,- 彳5 ,解得3= 2.可得f （ x） = 2cos （2 彳 4）5 一 5一 一=-2, |。|一），把x ，f '2代入解得力.可得 f' （x）,進(jìn)而得出f21212(x), g (x) =f (x ),利用正

20、弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.121 25解：由圖象可得：A= 2,-一，解得3= 2.412 6 f( x) = 2cos (2 () = 2, | j | < ),解得。 一.1226，f ' ( x) = 2cos (2x )6 .1.f (x) = sin (2x一）+c. （c為常數(shù)）.6g (x) = f (x ) = sin2 x+c.26, 3sin2 xC ,112)2當(dāng) x1,x2C 行，&時，貝U| g (x。 g (x2)| = |sin2x1 sin2x2|< 1 -3因此當(dāng)x1, x2e ,3時，則| g (x。- g (x2)|的取大值為

21、.3故答案為3.2點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、 等價轉(zhuǎn)化方法、數(shù)形結(jié)合方法,考查了推理能力與計算能力，屬于難題.三、解答題(共70分，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求選擇其中一個作答.)17.如圖，四棱錐P ABCD中側(cè)面PAB為等邊三角形且垂直于底面 ABCD, AB BC ,1 一BC/AD , AB BC 2 AD , E 是 PD 的中點.(1)證明：直線CE平面PAB ;(2)求二面角 B PC D的余弦值.答案：(1)證明見解析(2) 叵5(1)證明四邊形 EFBC是平行四邊形，可得 CE / BE,進(jìn)而得證.(2)首先取AB的中點O,連接PO,根據(jù)題

22、意易證 PO 底面ABCD ,再建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求得余弦值解：(1)取PA的中點F ,連接FE, FB ,口 ，一一1 一 E是 PD 的中點，F(xiàn)EZ/-AD ,又 BC/-AD，.- FE/BC , 2=，四邊形EFBC是平行四邊形，CE /BF ,又CE不在平面 PAB內(nèi)，BF在平面 PAB內(nèi),CE/平面 PAB .(2)取AB的中點O ,連接PO.因為PA PB ，所以PO AB又因為平面PAB 底面ABCD AB,所以PO 底面ABCD.分別以AB、PO所在的直線為x軸和z軸，以底面內(nèi) AB的中垂線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系,1一一令 AB

23、BC 2 AD 2 ,則 ad 4 ,因為ZPAB是等邊三角形，則 PA PB 2,。為AB的中點，PO J3,則 P 0,0,6 , B 1,0,0 , C 1,2,0 , D1,4,0PC 1,2,亞,0,2,0 , CD2,2,0 ,設(shè)平面PBC的法向量為mx, y,z ,平面PDC的法向量為n a,b,c ,0 2y 0a 2b x 3c2a 2b 0 i1,1 百，2_32.5cos m,n155，經(jīng)檢驗，二面角 B PCD的余弦值的大小為點評：本題第一問考查線面平行的證明，第二問考查向量法求二面角的余弦值，同時考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題18.甲、乙兩同學(xué)在復(fù)習(xí)數(shù)列時發(fā)現(xiàn)原來曾

24、經(jīng)做過的一道數(shù)列問題因紙張被破壞，導(dǎo)致一個條件看不清，具體如下：等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知（1）判斷SI, S2, S的關(guān)系;-#c 、一 , n(2)右 a1 a3 3,設(shè) bn a12,_4,記bn的前n項和為Tn,證明：Tn 一3甲同學(xué)記得缺少的條件是首項 a的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值，并且他倆都記得第（1）問的答案是6,S成等差數(shù)列.如果甲、乙兩同學(xué)記得的答案是正確的,請你通過推理把條件補充完整并解答此題答案：（1） Si 8 2s3（2）見解析（1）可補充公比q的值，由等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的中項性質(zhì)，計算可得所求結(jié)論;（2）由等比數(shù)列的通項公式求得b 2n

25、n 3,再由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，不等式的性質(zhì)，即可得證解：（1）由題意可得saS2a1 a2S3a1a2可得§S22s3 ,即 S1 , S3,S2成等差數(shù)列;(2)證明:a1a33,可得a11一a13,解得 a14 ,4bnn-a 12n12III113a3 a1-a1 二 a1二現(xiàn)，244上面兩式相減可得1 1 12 22n3 2化簡可得Tn21812Tn16III16III 7 n1,修4可得Tn - 3點評：本小題主要考查證明數(shù)列是等差數(shù)列, 考查錯位相減求和法，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于中檔題2219.橢圓E：與與a2 b21 ( a b

26、 0)的離心率是 ，點P(0,1)在短軸CD上，且2IPC PD 1 -(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點 P的動直線與橢圓交于 A, B兩點，是否存在常數(shù)，使得2為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由2答案：(1)41 ; (2)見解析.解：(1)由已知，點又點P的坐標(biāo)為(0,C, D的坐標(biāo)分別為(0, -b), (0, b)1),且1B. r c 正- a2ab2J2 b222所以橢圓E方程為上 L 1 .42(2)當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線 AB的方程為y=kx + 1A, B的坐標(biāo)分別為(xi, yi),(X2, y2)22l L 1 22聯(lián)立42 ，得(2k +

27、 1) x+4kx 2 = 0y kx 1其判別式4= ( 4k) 2+8 (2k2+1) >0所以X,X24k22,2222k2 12k2 1從而=X1X2+ nn2+ 入x 1X2+ ( y1 1) (y2 1)2、=(1+入)(1 + k)xX2+ k (X1 + X2) + 1(24)k2 ( 21)2k2 1x-12A:+1所以，當(dāng)入=1 時，一-z-2 =- 3,2t+1此時,3為定值.此時-2- 1 = - 3故存在常數(shù)入=1,使得為定值3.當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線 AB即 直線CD考點：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求

28、解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想20.調(diào)味品品評師的重要工作是對各種品牌的調(diào)味品進(jìn)行品嘗，分析、鑒定，調(diào)配、研發(fā)，周而復(fù)始、反復(fù)對比.對調(diào)味品品評師考核測試的一種常用方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的調(diào)味品讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這 n瓶調(diào)味品，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.現(xiàn)設(shè)n 4,分別以a?, a3, a4表示第一次排序時被排為1, 2, 3, 4的四種調(diào)味品在第二次排序時的序號，并令X 1ai2a23a3|4a,l,則X是對兩次排

29、序的偏離程度的一種描述.(如第二次排序時的序號為1, 3, 2, 4,則X 2).(1)寫出X的所有可能值構(gòu)成的集合；(2)假設(shè)a2, a3,a4的排列等可能地為1, 2, 3, 4的各種排列，求 X的數(shù)學(xué)期望；(3)某調(diào)味品品評師在相繼進(jìn)行的三輪測試中，都有 X 2.(i )試按(2)中的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪測試相互獨立)；(ii)請你判斷該調(diào)味品品評師的品味鑒別能力如何？并說明理由1答案：(1) 0,2,4,6,8 (2)5(3)(i) (ii)我們認(rèn)為該品酒師確定有良好的味覺216鑒別功能，不是靠隨機猜測 .【分析】(1)在1, 2, 3, 4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個，從而

30、 a2, a4中的奇數(shù)個數(shù)等于 現(xiàn)，a3中的偶 數(shù)個數(shù)，進(jìn)而|1aj|3a3與2az|4 a4的奇偶性相同，由此能舉出使得X所有可能值構(gòu)成的集合.(2)可用列表法列出1, 2, 3, 4的一共24種排列，求得分布列進(jìn)而求出X的數(shù)學(xué)期望.41.山(3)(1)首先PX 2 P X 0 P X 2 一 一，將三輪測試都有X 2的 24 6概率記做p,由獨立性假設(shè)能求出結(jié)果 .、一 15(口)由于p 是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都 216 1000有X 2的結(jié)果的可能性很小， 從而我們認(rèn)為該品酒師確定有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機猜測.解：(1) X的可能值集合為 0,2,4

31、,6,8 ,在1, 2, 3, 4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個，所以a2, a4中的奇數(shù)個數(shù)等于 & , a3中的偶數(shù)個數(shù)，因此1 ai 3 a3與2 a2 4 a4的奇偶性相同，從而X 1 a | 3 a312a2114a41必為偶數(shù)，X的值非負(fù)，且易知其值不大于8.由此能舉出使得 X的值等于0, 2, 4, 6, 8各值的排列的例子.(2)可用列表列出1 , 2, 3, 4的一共24種排列，如下表所示:aia2a3a4Xa1a?a3a4X12340312441243231426132423214413424324161423434128143243421821342412362143441

32、3262314442136234164231624136431282431643218計算每種排列下的 X值如上表所示，在等可能的假定下，得到X02468P12432472492442413794EX 024685.242424242441(3)(i)首先PX 2 PX 0 PX 2 一 一，將三輪測試都有X 2的24 6概率記做p,由上述結(jié)果和獨立性假設(shè)，得11p 63 216、一 15(11)由于 p 是一個很小的概率,216 1000這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有X2的結(jié)果的可能性很小,所以我們認(rèn)為該品酒師確定有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機猜測點評：本小題主要考查隨機變量分布列

33、及其期望值的求法，考查相互獨立事件概率計算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題 .21.已知函數(shù)f x xlnx.(1)求曲線y f x在x e 2處的切線方程；(2)關(guān)于x的不等式f x x 1在0,上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若 f x1 a fx2a 0,且 xx2,證明：x2x11e212ae2.答案：(1) y x e2 (2)1 (3)證明見解析【分析】(1)首先求導(dǎo)，求出切線的斜率，再寫出切線方程即可(2)等價 g x f x x 1 xln x x 10, x 0, 恒成立.對 g x 求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間和最小值，再根據(jù)最小值的單調(diào)性和最值即可得到的取值范圍.(3)首先證明f

34、x x e2,再設(shè)直線y x 62與丫 a的交點為x1，a，則a x1 e 2x1 e 2,貝U x1a e 2,且x1x1，直線y x 1分別于y a交于點 x2 ,a ,則 a x2 1 x2 1，x2a 1，且 x2 x2，可得x2 x1x2x1a 12a 1即可證明x2 x1 1 e2 1 2ae2 .解：解：1)x 1 ln x，所以 kfe1 lne 21，2e 2，切點為切點為22 e , 2e故切線方程為y2e 2等價于：2)由題知：gxfxxln x0，0, 恒成立 .g x lnx 1令 g x 0 ，解得 x e 1 .1當(dāng) x 0,e 時， g x 0， g x 為減函

35、數(shù)，1當(dāng) x e , 時， g x 0 ， g x 為增函數(shù) .111所以 g x g e1 e e 1 emin設(shè) he 1， h 1 e 1.令 h0 ，解得1 .0,1 時， h0 ， h 為增函數(shù)，1, 時， h0 ， h 為減函數(shù)，所以 h max h(1) 0，所以e 10 .又因為0 恒成立，所以1 .3)設(shè)k x f xx e 2 xlnx x e 2， x 0，則 k x 2 ln x，0 x e 2時， k x 0， k x 單調(diào)遞減，x e2時，k x 0, k x單調(diào)遞增,故當(dāng)x時，函數(shù)k x取得最小值，k e2 2e20.因此f設(shè)直線a的交點為x1 , a，則 ax1e2x1e ，Xi且Xix,，當(dāng)且僅當(dāng)a2e 2時取等號又由（2）可知f1分別于y a交于點X2 ,a .貝 U a x2 1 x2x2a1，且 x2x2 ,當(dāng)且僅當(dāng)a 0時取等號因此x2x1x2Xi2a 1 e2.因為等號成立的條件不能同時滿足,x2 x1 2a 1