河南省南陽市2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文(含解析)

1、2020學(xué)年河南省南陽市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1 .若博-忙則下列不等式中正確的是（）A -q二 B. k + a > -+ b C.卜/，"小 D. s?4之2疝 a b |b a【答案】D【解析】A. h.，b,則當(dāng)a=0或者b=0時(shí)，結(jié)論就不成立了，故選項(xiàng)不對(duì)。B.當(dāng)a=0或者b=0時(shí)，結(jié)論不成立了；或者當(dāng)兩者都不為0時(shí)小上! 不等號(hào)不同向，a b不能直接相加，故不一定有故選項(xiàng)不對(duì)。b aC當(dāng)!？ “，故結(jié)果不對(duì)。D.由重要不等式得到 J +產(chǎn)士 2壯在R上成立選項(xiàng)正確。故答案為D=2.在等比數(shù)列中

2、，/,6,力18,則心上町等于（）|4W3IA. B. C. D.P383【答案】B【解析】【分析】，入，口a4，口根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q = - = 3,進(jìn)而可得ai內(nèi)與a2的值，相加即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列 an的公比為q,又由 a3=6, a4=18,則 q= =3, 聞則 ai_ = A, a2 =' 2q2 3 q, 一 a z則 ai+a2 = 2 + 一 一； ;3故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是求出q的值，屬于基礎(chǔ)題.3.不等式卜的解集是（）A.（一巴 2 |u2, +8） B. -2, 2C

3、. 2 , +8）D. （一巴 2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，4-x2>0? x2W4,解可得x的取值范圍，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，4- x2>0? x2<4? -2< x<2,即不等式4-x2>0的解集-2, 2;故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，關(guān)鍵是掌握一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.jx + y < 14.設(shè)變量x, y滿足'9。,則點(diǎn)P （x, v）所在區(qū)域的面積為（）I y>01 1A. 2 B. 1 C.D.【答案】C【解析】【分析】畫出約束條件的可行域，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解區(qū)域的面積即可./

4、X + y < 1【詳解】變量x, y滿足'表示的可行域如圖：I y>0_ 1,1則點(diǎn)P （x, y）表小的區(qū)域的面積為：I x 1=.22故選：C.【點(diǎn)睛】利用線性規(guī)劃求最值的步驟:(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域.米二by型)、斜率(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形.常見的類型有截距型(型(匕？型)和距離型(保+d之4作4卜型).x卜a(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解.(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值。5 .等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 ai007aI0i2+ai008ai0ii = 18,貝”0區(qū)產(chǎn)

5、i + ogj丐+?+。穌丐口迷=( )A. 2020 B. 2020 C. 2020 D.2020【答案】B【解析】ai 001012=1 0«aL0ll，alUO7ai0L2 - a10ffiJa101l=2,1007a10n=i8嗎.河 :；彩產(chǎn)工'.小 】，一運(yùn)得二202010g 33=2020故選：B.6 .在4ABC中，角A,B,C的邊長分別為a,b,c,角A,B,C成等差數(shù)列，a=6, b-4<2 ,則此三角形解的情況是()A. 一解 B. 兩解 C. 無解 D.不能確定【答案】B【解析】角A, B, C成等差數(shù)列，.-A+C=2B 又 A+B+C= ,芯

6、.若,，點(diǎn) C至U AB 的距離 d=asinB=3|-b=4J例,dv b< a,，三角形有兩解.故選B.7 .已知數(shù)列4滿足要求力 1 , %十1 況十1,則a5=()A. 15 B. 16 C. 31 D. 32【答案】C【解析】【分析】由數(shù)列an滿足ai = 1, an+i = 2an+1,分別令n=1, 2, 3, 4,能夠依次求出 物 as, a/ 35.【詳解】一數(shù)列an滿足a = 1, an+i = 2an+1,a2 = 2X 1 + 1 = 3,a3 = 2X3+1= 7,a4 = 2X7+1= 15,a5 = 2X15+1= 31 .故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞

7、推公式的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答， 注意遞推公式的合理運(yùn)用.8 .在ABC43, 5ml jjm2B + suiBsmC ,則 A 的值是()H 沈2孔5兀A. - B. C. T D.6 3m 6【答案】B【解析】【分析】已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用余弦定理表示出cosA,確定A的度數(shù).【詳解】已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：a2=b2+c2- bc,即b2+c2 - a2=bc,L 2 a £2 j，由余弦定理得：cosA=n '=, 2bc 2,A為三角形的內(nèi)角，.A=60° ,故答案為：B【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握定理

8、是解本題的關(guān)鍵.9.已知國j 0, y。且d三,則* 的最小值為（）k yA. 8 B. 4 C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】將1代入x+y,展開后應(yīng)用基本不等式即可. x y【詳解】< x>0, y>0且一 十 一），X yx+y = （x+y） ? （+ I） =2+、-4>4 （當(dāng)且僅當(dāng) x = y=2 時(shí)取"="）. x y pt y故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，著重考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等

9、式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能 應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.10.某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300米和500米，測(cè)得燈塔 A在觀察站C北偏東30。，燈塔B在觀察站C正西方向，則兩燈塔 A、B間的距離為（）A. 500 米 B. 600 米 C. 700 米 D. 800 米【答案】C【解析】在中，由余弦定理得 aB"=5002+30022X500X300cos120° ="490" 000 .所以 AB=700 （米）.故選C.x + y > 111.設(shè)變量x, y滿足約束條件 產(chǎn)-丫_-1 .目標(biāo)函數(shù)把7y僅在（1

10、,0）處取得最小值，2x-y <2則a的取值范圍為（）A. （-1,2） B.（-2, 4） C. （-4, 0 D.（-4, 2）【答案】D+ y > 1X-y 士 l的平面區(qū)域是圖中的三角形 2x-y< 2（陰影部分），又目標(biāo)函數(shù)工心-N僅在點(diǎn)（L0）處取得最考點(diǎn)：考查線性規(guī)劃.數(shù)形結(jié)合思想點(diǎn)評(píng)： 本題的關(guān)鍵是比較直線 的斜率與直線I與水¥二得斜率的大小12 .等差數(shù)列國二的前n項(xiàng)和為即，若%不，當(dāng)（，則數(shù)列母J中（）A.首項(xiàng)最大B. 第9項(xiàng)最大C.第10項(xiàng)最大 D. 第11項(xiàng)最大【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列前10項(xiàng)和定義推導(dǎo)出 &0>0

11、, an<0,由此能求出數(shù)列S中第10項(xiàng)最大.【詳解】.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S20> 0, SY。，20| 會(huì)則"） = °aio>0, an<0,.數(shù)列S中第10項(xiàng)最大.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和取最大值時(shí)項(xiàng)數(shù)的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.二、填空題（把正確答案填在答題卷中的橫線上）13 .已知數(shù)列 聞的前n項(xiàng)和為n: 1,那么也等于.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列的前 n項(xiàng)公式可得a3=4-代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列 an的前n項(xiàng)和$=n2-1,則 a

12、3= S3 4= （3?-1） （2?-1） = 5；故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，注意 an=Sn- Sn-1的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14 .點(diǎn)（3, 1）和（4, 6）在直線0的兩側(cè)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .【答案】【解析】試題分析：因?yàn)辄c(diǎn)（3.1和點(diǎn)1-4,6：.在直線3%-2y + m =。的兩側(cè)，所以。T 2 T 31 6 4 巾）Y,解得 7 - tn -24.考點(diǎn)：本小題主要考查直線與點(diǎn)的位置關(guān)系的數(shù)列關(guān)系的體現(xiàn)，考查學(xué)生對(duì)點(diǎn)與直線的位置 關(guān)系的理解和應(yīng)用.點(diǎn)評(píng)：本小題也可以分兩點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)討論，但是不如直接讓乘積小于零簡(jiǎn)單，做題時(shí)要考慮一題多解，考

13、試時(shí)才可以游刃有余15 .已知ABC4 角 A, B, C對(duì)邊分別為 a, b, c, ccosA b,則、inC=【答案】1【解析】【分析】由已知與余弦定理得cosO 0,結(jié)合平方關(guān)系得 sin 20 1,又A是三角形內(nèi)角，得 sin O 1.由平方關(guān)系得sin 2C= 1,A是三角形內(nèi)角，sin 5 1.故答案為：1 .【點(diǎn)睛】此題考查了余弦定理，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來說，當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn) 叱 及、/時(shí),往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和

14、正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化 為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答。16 .寒假期間，某校家長委員會(huì)準(zhǔn)備租賃A, B兩種型號(hào)的客車安排 900名學(xué)生到重點(diǎn)高校進(jìn)行研學(xué)旅行，A B兩種客車的載客量分別為 36人和60人，租金分別為1200元/輛和1800/ 輛，家長委員會(huì)為節(jié)約成本，要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于 A型車7輛，則租金最少為元.【答案】27600【解析】3x + 5y > 75,IP J x + y_2l由苫 110的4 &09y,得(yr < 7設(shè)分別租用兩種型號(hào)的客車卜輛，輛，所用的總租金為E元,則， IIOOM】的

15、何|,其中xj滿足不等式組x + y_ 11 屈> £ N)y-x< 7,作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域平移，由圖象知當(dāng)直線31800經(jīng)過點(diǎn)|a時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)/最小，由匚得廣二，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)的總租金z- 12 <5 1800 l2776(X：元，達(dá)到最小值，故答案為 27600|.三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17 .已知數(shù)列4：滿足 = 5十SEN),求數(shù)列的前n項(xiàng)和S【解析】【分析】 運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)計(jì)算可得所求和.【詳解】,4 = 2 7, 3, 乎(n + I卜 2*一、-2與-22

16、+ 3" + 42* + + 3+ 1) 2"兩式相減得：2： 2"- (n+ 】) 2,12(1 -211-1)=2 1-S +1) 2口 -n，21-2【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查 化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18 .解關(guān)于x的不等式點(diǎn)二 > 0.【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論a的取值范圍，求出不等式的解集，綜合即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分 3種情況討論：當(dāng)隨。時(shí)，不等式即即x:0.此時(shí)不等式的解集為(-0);當(dāng)時(shí)，方程r有2根，分別為0和L當(dāng)時(shí)，1)0,此時(shí)不等式的解集為一q當(dāng)

17、。時(shí)，-<o,此時(shí)不等式的解集為綜合可得：當(dāng)2(時(shí)，不等式的解集為I.0)U j+q；當(dāng)a-。時(shí)，不等式的解集為(班);當(dāng).。時(shí)，不等式的解集為(10).O- Jr【點(diǎn)睛】本題考查含有參數(shù)的不等式的解法，注意討論a的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.19.已知a, b, c分別是 ABCE個(gè)內(nèi)角 A B, C的對(duì)邊，且bKossC rmwB .(1)求角C的大小；(2)若c=2, ABC勺周長為6,求該三角形的面積.【答案】(1) C-|啊【解析】【分析】(1)由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得2sin AcosC= sin A,結(jié)合sin Aw0,可求cosC=L根據(jù)范圍0vC<7

18、t,可求 C的值；(2)由已知可求 a+b=4,由余弦定理可求 *ab的值，根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解.【詳解】由正弦定理得：2smAcosC - sinBosC sinCc的B|,即窩 mAcosC ninlkoC 4 卻 MkosB,即寡 mAcowC sjn(B C) - sinA, 由于 ainA# d，故83C - J, 蜀又L) ,二J匹所以c - j由于。二三角形的周長為 6,故a 4 b 4,由余弦定理有 J 4-一+ Mb ,即4 = 16 fib,故此. 4,所以三角形的面積=-=222【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，三角形面積公式在解

19、三角形中的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20.圍建一個(gè)面積為360 m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為 45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為 x（單位：米）， 修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y（單位：元）.（1）將y表示為x的函數(shù)；（2）試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用.【答案】（1） v =22” +日然一河0 ; （2）當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)X用是10440元.【解析】試題

20、分析：（1）設(shè)矩形的另一邊長為 am,則根據(jù)圍建的矩形場(chǎng)地的面積為360m2,易得.1岑|此時(shí)再根據(jù)舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,我們即可得到修建圍墻的總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）中所得函數(shù)的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小值，及相應(yīng)的x值試題解析：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長為a m則 J =45x+180 （x-2 ） +180 2a=225x+360a-360一 ,口 36 口由已知xa=360,得a=,x所以 y=225x+ :二、。二； x(2)_>2a/225x3602 =10800二丫 二 225，

21、+吧匚一380210440 .當(dāng)且僅當(dāng)225x=&!時(shí)，等號(hào)成立. LFXX即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元.考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】21.設(shè)之是等差數(shù)列%的前n項(xiàng)和，已知卜工()求苗;(n )若數(shù)列為& + 4)(% r 1,求數(shù)列的前n項(xiàng)和T”.【答案】(I) 18； (n) I” 0 . n 211T【解析】 試題分析：（i）根據(jù)等差數(shù)列：/滿足甄為-q, *15-75,列出關(guān)于首項(xiàng)電、公差d的方程組，解方程組可得 為與d的值，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得 與遞的值； 由（1）知-卜3從而可得: -:利用裂項(xiàng)相消

22、法求解即可&十）（7 +4）（n+lXn + 2） n+ I n + 2試題解析：（I）設(shè)數(shù)列、的公差為d,則解得 所以（也可利用等差數(shù)列的性質(zhì)解答）(II)由(I )知/ - -2 + 1 - (n- 1) n- 3,_I _ _J_ I& + 4)(3.,* + 4>m+ Xn + 2) n+ >n + 211 n2 n+2 2升卜4【方法點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于 中檔題.裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(i)!V_Li；

23、(2)n(口T k) kin n + kJjJ 4 卜加;. i； (4)尿八十尿k v 丫(2n-l)(2n+ I) 2l2n 1 2nlM!；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)h(n U) (Ji + l)(n + 2)1致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.22.如圖，某學(xué)校擬建一塊五邊形區(qū)域的“讀書角”，三角形區(qū)域ABE為書籍?dāng)[放區(qū)，沿著ABAE處擺放折線形書架 (書架寬度不計(jì))，四邊形區(qū)域?yàn)?BCDE閱讀區(qū)，若/BAE= 60° , / BCD= /CD號(hào) 120 , DE= 3BC= 3CD= _ m(1)求兩區(qū)域邊界 BE的長度；(2)若區(qū)域AB呂銳角三角形，求書架總長度ABAE的取值范圍.【答案】(1) Be 6m (2) (6息12【解析】【分析】(1)連接 BD,由余弦定理可得