九年級數(shù)學(xué)上冊《第一章 一元二次方程》利用換元法解一元高次方

1、利用換元法解一元高次方程 在初中數(shù)學(xué)競賽中，常常會出現(xiàn)一些高次方程求解問題，解這類問題的核心思想是降次，而換元法是其最主要的方法，所謂換元法，是指把方程中某些代數(shù)式用新的變量代替，使方程的次數(shù)降低，從而化難為易，使問題得以解決，這里舉例說明如下 一、直接換元 例1 解方程： (x1)(x2)(x3)(x4)24 分析與解 （x1）（x4)x25x4， （x2）(x3)x25x6， 設(shè)tx25x4， 則可將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程 t(t2)24 即t22t240，（t4)(t6)0， t4t6 當t4時，x25x0， x0，或x5； 當t6時，x25x100，此方程無解 故原方程的解為

2、x0，或x5 二、均值換元 即求出幾個代數(shù)式的平均值，利用平均值進行代換 例2 解方程： (4x1)(3x1)(2x1)（x1)3x4 分析與解 根據(jù)上面的經(jīng)驗，這樣的方程左邊是不能完全展開的，只能部分展開 (4x1)(x1)4x25x1， (3x1)(2x1)6x25x1， 兩個代數(shù)式有相同的一次項和常數(shù)項，故設(shè)t5x25x1，則原方程可化為 （tx2）（tx2） 3x4 t24x4，t2x2或t2x2， 代回即可求得原方程的根為：x 注 當然本題也可以直接設(shè)t4x25x1或者t6x25x1 例3 解方程：(x2)4(x4)4272 分析與解 若將方程左邊展開，將得到難解的高次方程 注意到(

3、x2)(x4)x1，故可設(shè)yx1，則原方程可化為(y3)4(y3)4272，即y454y255(y21)(y255)0，y±1x1±1，x0或2三、雙變量換元例4 解方程：(4x29)2(4x29)(9x24)(9x24)2(13x213)2 分析與解 注意到 (4x29)(9x24)13x213， 設(shè)m4x29，n9x24 則原方程可化為 m2mnn2(mn)2， 即mn0， 則有（4x29）（9x24）0， 解得x±，± 注 用換元法解方程，有時引入的新變量可以不止一個，如本題中引入了m，n 在例1中，如果注意到 (x1)(x4)（x2）（x3)2， 還可以設(shè)m（x1）（x4）， n(x2)（x3），則有 由韋達定理可知m，n是方程z22z240的根，求解這個方程即可以得到原方程的根（過程略） 四、倒數(shù)換元 形如ax4bx3cx2bxa0（a0）的倒數(shù)方程可以兩邊同除以x2，降次換元 例5 解方程： 12x456x389x256x120 分析與解 直接因式分解比較困難，容易發(fā)現(xiàn)該方程是倒數(shù)方程（與首尾等距離的項的系數(shù)相等）又因為x0不是方程的根，所以兩邊同時除以x2，得五、常值換元 將某一常值看作未知數(shù)，原來的未知數(shù)當成常數(shù)，則可以把高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程 例6 解方程： 分析與解 這是關(guān)于x的三次方程，直接解這個方程有一定困難，如