費爾馬大定理及其證明

1、費爾馬大定理及其證明近代數(shù)學如參天大樹，已是分支眾多，枝繁葉茂。在這棵蒼勁的大樹上懸掛著不勝其數(shù)的數(shù)學難題。其中最耀眼奪目的是四色地圖問題、費爾馬大定理和哥德巴赫猜想。它們被稱為近代三大數(shù)學難題。300多年以來，費爾馬大定理使世界上許多著名數(shù)學家殫精竭慮，有的甚至耗盡了畢生精力。費爾馬大定理神秘的面紗終于在1995年揭開，被43歲的英國數(shù)學家維爾斯一舉證明。這被認為是“20世紀最重大的數(shù)學成就”。費爾馬大定理的由來故事涉及到兩位相隔1400年的數(shù)學家，一位是古希臘的丟番圖，一位是法國的費爾馬。丟番圖活動于公元250年前后。1637年，30來歲的費爾馬在讀丟番圖的名著算術的法文譯本時，他在書中關

2、于不定方程的全部正整數(shù)解這頁的空白處用拉丁文寫道：“任何一個數(shù)的立方，不能分成兩個數(shù)的立方之和；任何一個數(shù)的四次方，不能分成兩個數(shù)的四次方之和，一般來說，不可能將一個高于二次的冪分成兩個同次的冪之和。我已發(fā)現(xiàn)了這個斷語的美妙證法，可惜這里的空白地方太小，寫不下?！辟M爾馬去世后，人們在整理他的遺物時發(fā)現(xiàn)了這段寫在書眉上的話。1670年，他的兒子發(fā)表了費爾馬的這一部分頁端筆記，大家才知道這一問題。后來，人們就把這一論斷稱為費爾馬大定理。用數(shù)學語言來表達就是：形如的方程，當n大于2時沒有正整數(shù)解。費爾馬是一位業(yè)余數(shù)學愛好者，被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王”。1601年，他出生在法國南部圖盧茲附近一位皮革商人

3、的家庭。童年時期是在家里受的教育。長大以后，父親送他在大學學法律，畢業(yè)后當了一名律師。從1648年起，擔任圖盧茲市議會議員。他酷愛數(shù)學，把自己所有的業(yè)余時間都用于研究數(shù)學和物理。由于他思維敏捷，記憶力強，又具備研究數(shù)學所必須的頑強精神，所以，獲得了豐碩的成果，使他躋身于17世紀大數(shù)學家之列。艱難的探索起初，數(shù)學家想重新找到費爾馬沒有寫出來的那個“美妙證法”，但是誰也沒有成功。著名數(shù)學家歐拉用無限下推法證明了方程和不可能有正整數(shù)解。因為任何一個大于2的整數(shù)，如果不是4的倍數(shù)，就一定是某一奇素數(shù)或它的倍數(shù)。因此，只要能證明n4以及n是任一奇素數(shù)時，方程都沒有正整數(shù)解，費爾馬大定理就完全證明了。n4

4、的情形已經(jīng)證明過，所以，問題就集中在證明n等于奇素數(shù)的情形了。在歐拉證明了 n 3， n 4以后， 1823年和 1826年勒讓德和狄利克雷各自獨立證明了 n 5的情形， 1839年拉梅證明了 n 7的情形。就這樣，一個一個奇素數(shù)證下去的長征便開始了。其中，德國數(shù)學家?guī)炷瑺栕鞒隽酥匾暙I。他用近世代數(shù)的方法，引入了自己發(fā)明的“理想數(shù)”和“分圓數(shù)”的概念，指出費爾馬大定理只可能在n等于某些叫非正則素數(shù)的值時，才有可能不正確，所以只需對這些數(shù)進行研究。這樣的數(shù)，在100以內(nèi)，只有37、59、67三個。他還具體證明了當 n 37、59、67時，方程是不可能有正整數(shù)解的。這就把費爾馬大定理一下推進到n

5、在100以內(nèi)都是成立的。庫默爾“成批地”證明了定理的成立，人們視之為一次重大突破。1857年，他獲得巴黎科學院的金質(zhì)獎章。這一“長征”式的證法，雖然不斷地刷新著記錄，如 1992年更進到n1000000，但這不等于定理被證明?？磥恚枰肀脔鑿?。10萬馬克獎給誰從費爾馬時代起，巴黎科學院曾先后兩次提供獎章和獎金，獎勵證明費爾馬大定理的人，布魯塞爾科學院也懸賞重金，但都無結(jié)果。1908年，德國數(shù)學家佛爾夫斯克爾逝世的時候，將他的10萬馬克贈給了德國哥庭根科學會，作為費爾馬大定理的解答獎金。哥庭根科學會宣布，獎金在100年內(nèi)有效。哥庭根科學會不負責審查稿件。10萬馬克在當時是一筆很大的財富，而費爾

6、馬大定理又是小學生都能聽懂題意的問題。于是，不僅專搞數(shù)學這一行的人，就連很多工程師、牧師、教師、學生、銀行職員、政府官吏和一般市民，都在鉆研這個問題。在很短時間內(nèi)，各種刊物公布的證明就有上千個之多。當時，德國有個名叫數(shù)學和物理文獻實錄的雜志，自愿對這方面的論文進行鑒定，到 1911年初為止，共審查了111個“證明”，全都是錯的。后來實在受不了沉重的審稿負擔，于是它宣布停止這一審查鑒定工作。但是，證明的浪潮仍洶涌澎湃，雖然兩次世界大戰(zhàn)后德國的貨幣多次大幅度貶值，當初的10萬馬克折算成后來的馬克已無多大價值。但是，熱愛科學的可貴精神，還在鼓勵著很多人繼續(xù)從事這一工作。姍姍來遲的證明經(jīng)過前人的努力，

7、證明費爾馬大定理取得了許多成果，但離定理的證明，無疑還有遙遠的距離。怎么辦？來必須要用一種新的方法，有的數(shù)學家用起了傳統(tǒng)的辦法轉(zhuǎn)化問題。人們把丟番圖方程的解與代數(shù)曲線上的某種點聯(lián)系起來，成為一種代數(shù)幾何學的轉(zhuǎn)化，而費爾馬問題不過是丟番圖方程的一個特例。在黎曼的工作基礎上，1922年，英國數(shù)學家莫德爾提出一個重要的猜想。：“設F（x，y）是兩個變數(shù)x、y的有理系數(shù)多項式，那么當曲線F（x，y）= 0的虧格（一種與曲線有關的量）大于1時，方程F（x，y）0至多只有有限組有理數(shù)”。1983年，德國29歲的數(shù)學家法爾廷斯運用蘇聯(lián)沙法拉維奇在代數(shù)幾何上的一系列結(jié)果證明了莫德爾猜想。這是費爾馬大定理證明中

8、的又一次重大突破。法爾廷斯獲得了1986年的菲爾茲獎。維爾斯仍采用代數(shù)幾何的方法去攀登，他把別人的成果奇妙地聯(lián)系起來，并且吸取了走過這條道路的攻克者的經(jīng)驗教訓，注意到一條嶄新迂回的路徑：如果谷山志村猜想成立，那么費爾馬大定理一定成立。這是1988年德國數(shù)學家費雷在研究日本數(shù)學家谷山志村于1955年關于橢圓函數(shù)的一個猜想時發(fā)現(xiàn)的。維爾斯出生于英國牛津一個神學家庭，從小對費爾馬大定理十分好奇、感興趣，這條美妙的定理導致他進入了數(shù)學的殿堂。大學畢業(yè)以后，他開始了幼年的幻想，決心去圓童年的夢。他極其秘密地進行費爾馬大定理的研究，守口如瓶，不透半點風聲。窮七年的鍥而不舍，直到1993年6月23日。這天，

9、英國劍橋大學牛頓數(shù)學研究所的大廳里正在進行例行的學術報告會。報告人維爾斯將他的研究成果作了長達兩個半小時的發(fā)言。10點30分，在他結(jié)束報告時，他平靜地宣布：“因此，我證明了費爾馬大定理”。這句話像一聲驚雷，把許多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大廳時鴉雀無聲。半分鐘后，雷鳴般的掌聲似乎要掀翻大廳的屋頂。英國學者顧不得他們優(yōu)雅的紳士風度，忘情地歡騰著。消息很快轟動了全世界。各種大眾傳媒紛紛報道，并稱之為“世紀性的成就”。人們認為，維爾斯最終證明了費爾馬大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一?？刹痪?，傳媒又迅速地報出了一個“爆炸性”新聞：維爾斯的長達200頁的論文送交審查時，卻被發(fā)現(xiàn)證明有漏洞。維爾斯在挫折面前沒有止步，他用一年多時間修改論文，補正漏洞。這時他已是“為伊消得人憔悴”，但他“衣帶漸寬終不悔”。1994年9月，他重新寫出一篇108頁的論文，寄往美國。論文順利通過審查，美國的數(shù)學年刊雜志于1995年5月發(fā)表了他的這一篇論文。維爾斯因此獲得了199