將軍飲馬問題拓展

1、“將軍飲馬問題”的探究與啟示【摘要】利用“將軍飲馬問題”中的軸對稱思想去解決線段和最小的問題，是較 多學(xué)生解題的“障礙”問題，現(xiàn)通過數(shù)學(xué)建模思想把這類問題化歸為“將軍飲馬 問題”，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”加以證明，同時(shí)對數(shù)學(xué)教育工作者提出了啟 示?！娟P(guān)鍵詞】軸對稱最小值問題探究問題啟示【正文】一、問題再現(xiàn)基本問題：人教版八年級數(shù)學(xué)上冊P42有一道探究題，源于古希臘著名的“將軍飲馬問題”，大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問題。課文原 題如下：如圖1,要在燃?xì)夤艿繧上修建一個(gè)泵站，分別向 A, B兩鎮(zhèn)供氣，泵站 修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？課本給出了如下的作圖及證明方法

2、：C,點(diǎn)C就如圖2,作B關(guān)于直線丨的對稱點(diǎn)B',連結(jié)AB與直線丨交于點(diǎn)是所求的位置.證明：如圖3,在直線I上另取任一點(diǎn)C,連結(jié)A C, B C,B' C,因?yàn)橹本€I是點(diǎn)B, B'的對稱軸，點(diǎn)C, C在I上, CB=CB , CB= C B，, AC+CB AC+CB二AC+C =A B'.在A C B 中，t < A C + C B 即卩 AC+CB最小.A B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)反思：本問題實(shí)際上是利用軸對稱變換的思想，化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在A B'與I的交點(diǎn)上，即A

3、 C、B'三點(diǎn)共線）。本問題可歸納為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值” 的問題的數(shù)學(xué)模型。二、問題探討1、在三角形（或四邊形）中的運(yùn)用：已知正方形ABCD的邊長為8, M在DC上，且DM=2 N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)。貝y DN+M的最小值為多少？分析：要求DN+MI的最小值，聯(lián)想“將軍飲馬問題”， 作點(diǎn)M關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E,且易知點(diǎn)E應(yīng)該在線段BC上, 這樣MN二NE那么題目就轉(zhuǎn)化成求 DN+N啲最小值了，由于點(diǎn)N在AC上移動(dòng)且D、N、E可能構(gòu)成一個(gè)三角形，因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間線段最短” ， 所以，當(dāng)點(diǎn)N移動(dòng)到DE與AC交點(diǎn)處，即點(diǎn)D、N E共線時(shí)，DN+NE=DE=10達(dá)到 最

4、小值。反思：若引導(dǎo)學(xué)生把題中的 D、M看著是基本問題中的 A B兩點(diǎn)，把AC看著 是基本問題中的燃?xì)夤艿?丨，本問題即為基本問題，學(xué)生可通過基本問題的聯(lián)想和 遷移解決本問題。2、在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)用：(2009年濟(jì)南)已知：拋物線的對稱軸為 X= 1,與X軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中A 3,0、(1) 求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2) 已知在對稱軸上存在一點(diǎn)P,使得 PBC的周長最 小.請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).(3) 若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) O點(diǎn)C重 合).過點(diǎn)D作DE / PC交X軸于點(diǎn)E.連接PD、PE .設(shè)CD 的長為m , PDE的面積為S .求S與m之間的函數(shù)關(guān)

5、系 式試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若 不存在，請說明理由。分析：(本題只對第2問作詳細(xì)分析)(1)拋物線的解析式為X-X 2.3(2)連結(jié)AC BC.因?yàn)锽C的長度一定，要使 PBC周長最小，就是使 PC PB最疋,小。B點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是 A點(diǎn)，通過A 3,0、C(0, -2)可求AC的解析式為y 2x 2.AC與對稱軸X 1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P3-。(3)當(dāng)m 1時(shí)，S最大34反思：本題對第2問的解答是轉(zhuǎn)化為“求定直線X 1上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)B、C的距離和的最小值”，它的原型就是“將軍飲馬問題”的基本問題，由于 和函數(shù)結(jié)合一起，增加了命題的想象空間，這里，蘊(yùn)含了豐

6、富的“數(shù)”與“形” 相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。3、在代數(shù)式中的運(yùn)用：已知a、b均為正數(shù)，且a+b=8 ,求代數(shù)式va2 4 Jb2 16的最小值。C分析：由a、b均為正數(shù)，且a+b=8，得Ja2 4 Jb2 16 = jJa2 4 7(8 a)2 16 ,構(gòu)造合適圖形可將其轉(zhuǎn)化為求兩條線段和的最小值問題。如圖，取 AC=2 BD=4 AB=8,作C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C,連16。接 C D交 AB于 P,連接 Cp 設(shè) PA=a 貝y PB=8-a, CP 4 , DP二J(8 a)2此時(shí)C、P、D三點(diǎn)共線，C D=CP+DP=8L62=1O為最小值。反思：正是由于a、b均為正數(shù)，可以把此題構(gòu)造“將軍飲

7、馬問題”的基本圖 形，順利地求出 需廠 疔"9的最小值為13,想法新奇但又順理成章。三、問題推廣1、由“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”推廣到“求兩 定直線上各一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”問題：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)驗(yàn)教科書八年級上冊 P47第9題，如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要 從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊給馬喝水，然后回到帳篷，請 你幫助他確定這一天的最短路線。bl,即可得出答案;bl=hl hk=bk aj二GJ,貝y四點(diǎn)G I、L、反思：根據(jù)對稱點(diǎn)推出 AI=GI ,在同一直線上（基本問題中三點(diǎn)共線的推廣），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最

8、短即可求出 答案。2、從用“三角形周長最短”證明推廣到用“一邊為定值的四邊形周長最短” 的證明：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB勺頂點(diǎn)0在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn) A B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3 OB=4 D為邊OB的中點(diǎn).若E、F為邊OA上的 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn) E F的坐標(biāo).分析：由于DC EF的長為定值，如果四邊形 CDEF的周長最小，即DE+FC有最小 值.為此，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D'，在CB邊上截取CG=2 當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，四邊形CDEF的周長最小.反思：此題主要考查軸對稱一一最短路線問題（將軍飲馬問 題），它是在基本圖形證明

9、線段和（一邊為定值的三角形周長）最短的基礎(chǔ)上增加了平移的線段（GE和（兩邊為定值的四邊形周長）最短的問題，只要學(xué)生充分體會(huì)“將軍飲馬”的問題，通過對基本問題知識的類比與遷移， 可以解決此問題四、問題啟示 基于對“將軍飲馬問題”的探索，筆者認(rèn)為對數(shù)學(xué)教育工作者有兩方面的啟 示：1、對習(xí)題設(shè)計(jì)者（試卷命題者）的啟示：對習(xí)題的變式題的設(shè)計(jì)要“從學(xué)生 發(fā)展的內(nèi)在需要出發(fā)，從教學(xué)內(nèi)容的發(fā)生、發(fā)展過程的角度出發(fā)” ，能融數(shù)學(xué)的教 與學(xué)為一體，重視知識的形成過程，重視知識的“內(nèi)化” ；對試題的設(shè)計(jì)要立足于 教材，對例題或基本圖形進(jìn)行深入的挖掘，以教材的例題或基本圖形為起點(diǎn)，結(jié) 合學(xué)生的生活經(jīng)歷，難度視本題型在試卷所處的位置而定。2、對教師教學(xué)的啟示：從本文的解法反思中可以看出，即使是比較復(fù)雜的問 題，所用到的知識也是簡單的基礎(chǔ)問題，這就要求教師在日常的教學(xué)中，特別是 單元復(fù)習(xí)和中考復(fù)習(xí)時(shí)，不僅要從不同角度去分析問題，還原知識的發(fā)生、發(fā)展 及形成的過程，教給學(xué)生解題的方法，而且要與學(xué)生共同探究基本問題與解題的 聯(lián)系，使