華理概率論B考試答案

1、華理概率論B考試答案日期:華東理工大學(xué)2005 - 2006學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程期末考試試卷B 2006.06所需時(shí)間：120分鐘(1)設(shè) P ( A ) = 0.5 , P ( AUBa)若a 與 B獨(dú)立，則 與B不相容，則)=0.75 ,b).若 AP(B) =0.5;P (B) =0.25(2)設(shè) Xi,X2,Xn為總體 N(2)的樣本，XXi,U1n(Xi 1)2，則它們分別服從2(n)分布。(3)設(shè)隨機(jī)變量,相互獨(dú)立，且4D 。記 X3，丫23，則開(kāi)課學(xué)院： 理學(xué)院，專業(yè)：大面積 ，考試形式：閉卷題序-一-二二三四五、六七八總分得分評(píng)卷人考生姓名:學(xué)號(hào):班級(jí)任課教師共 2

2、0 分)E(XY) (EX)(EY)/J(DX)(DY)7/25。(4)設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：p(x)ax 0b x,10x其它E 1，貝a, b的值分別等于:選擇題(每題5分，共20 分)(1)設(shè)A,B是任意兩個(gè)概率不是零的不相容事件, 是(D )。則下列結(jié)論中肯定正確的(A) A與B互不相容；(B) A與B相容；(C) P(AB) = P(A) P(B);(D) P(A B) P(A)。(2)設(shè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且E 3,D2.1 ;4,D2.4，則E(2)(A )。(A) 14.8 ;(C) 12.4 ;(B) 4;(D) 其它。(3)設(shè)隨機(jī)變量X , 丫相互獨(dú)立，服從相同的兩點(diǎn)分布

3、:1 112 1/2，則下列結(jié)論中肯定正確的是(C ):(A) X=Y(B) P(X=Y) = 0(C) P(X=Y) = 1/2 ；(D) P(X=Y) = 1(4)設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則隨機(jī)變量UX Y,V丫獨(dú)立的充要條件為(B )：(A) EX EY ；(B) EX22 2(EX) EY(EY)2;(C) EX2 EY2 ;(D) EX2(EX)2 EY2(EY)2。三、(共10分)袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球, 乙再?gòu)闹须S機(jī)取出一球。(1)(2)甲先從袋中隨機(jī)取出一球后,試求“乙取出的是白球”的概率；若已知“乙取出的是白球”，計(jì)算“甲取到紅球”的條件概率。解:(1 )設(shè)A = 甲

4、取出的是白球 ; B = 乙取出的是白球;則B ABAB，由全概率公式(或抓鬮模型)，P(B) P(A) P(BA) P(A) P(BA)=1417!。( 5 分)(2)利用貝葉斯公式，得P(AB)鬻P(A)P(B A)P(B)3 58 73 0 (5 分)578四、(共12分)一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行 過(guò)程中每個(gè)元件損壞的概率是 0.10。又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行，至少必需有85個(gè)元件工作。試用中心極限定理近似計(jì)算：(1) 系統(tǒng)的可靠度(即正常運(yùn)行的概率)，(2) 若上述系統(tǒng)改由n個(gè)相互獨(dú)立元件組成，而且又要求至少80 %元件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)正常運(yùn)行，問(wèn)n至少為多大

5、時(shí)，才能保證系統(tǒng)的可靠度不低于0.95(1.667)0.952,(1.6449)0.95 )解：設(shè)nnXi，(根據(jù)第i個(gè)元件是否工作，對(duì)應(yīng)的Xi分別取1或0)。i 1顯然nB(n,p),其中P 1 0.100.90 。由二項(xiàng)分布中心極限定理,n N(np,npq) N(0.9n,0.09n) o (4 分)(1)此時(shí)n 100，系統(tǒng)可靠度為:P( 10085)1 P(100 85)100 100 0.985 100 0.9V100 0.90.1)所以從五、(5/3)(5/3)0.952。(4 分)由于P( n0.8n)4)o.95，得到n 0.9n 0& 0.9n) 1 (P( 0.3石0.3

6、需7n)T)1.6449，即 n 24.35 25。 (4 分)(共8分)設(shè)隨機(jī)變量,的有關(guān)數(shù)字特征分別為:E 2, D22,E4, D32,1/2，試求：E(3 2 223)。3(D (E )2) 2(E)(D (E )2) 3二24 0六、(共10分)2),1, 24,令隨機(jī)變量e，試求:(1)的密度函數(shù)P (y)；(2)的數(shù)學(xué)期望E o解：(1)由于y f(x) ex為單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)x f 1(x) In y ,當(dāng)y 0時(shí)，P(y) 0 ； (1 分)當(dāng)y 0時(shí)，P(y) EexP(In y )2 exp2松EeeX1(X )2e 2 e3 o (5 分)七、（共10分） 如下：

7、某種產(chǎn)品在處理前與處理后分別抽樣，分析其“含脂率”處理前Xi0.19，0.18，0.21，0.30，0.41，0.12，0.27 ；處理后 yj : 0.15，0.13，0.07，0.24，0.19，0.06，0.08，0.12 。假定處理前后的含脂率都服從正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差不變。取顯著性水平0.05 后,的含脂率（1）經(jīng)過(guò)Excel軟件計(jì)算得到下面的輸出表格（其中變量 1代表處理前 ;變量2代表處理后的含脂率）。問(wèn)：表格中數(shù)字的含義，（2）檢驗(yàn)它們的均值是否相等（=0.05）?變量1變量2平均0.240.13方差0.0091333330.003885714觀測(cè)值A(chǔ)、Z.、八78合并萬(wàn)差0.0

8、06307692假設(shè)平均差0df13t Stat2.67612145P（Tv二t）單尾0.00952052t單尾臨界1.770931704P（Tv二t）雙尾0.01904104t雙尾臨界2.16036824t-檢驗(yàn):雙樣本等方差假設(shè)解：檢驗(yàn)時(shí)的（1） ” t Stat= T統(tǒng)計(jì)量的（觀察）測(cè)試值，“P（Tv=t）雙尾”=雙側(cè)P-值，“t雙尾臨界”= 雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)的臨界值，其它省略。（5分）（2）設(shè)它們的期望分別為:令Ho: 12屮1 : 12 ,采用雙側(cè)T檢驗(yàn)。由于從表格可以看出，此時(shí)的 P-值二 0.0190 0.05 =，這說(shuō)明T統(tǒng)計(jì)量的（觀察）測(cè)試值落入拒絕區(qū)域，從而拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為處理

9、前后的 均值不相等。(5 分)八、（共10分）設(shè)總體 U（a,b），隨機(jī)抽樣得到樣本觀察值:X1,X2,Xn，今分別用min(X1,Xn) ，max(X1,Xn)作為a,b的估計(jì)值。（1）試分別寫出，的分布函數(shù)，（4分）（2）問(wèn)它們是否分別為a,b的無(wú)偏估計(jì)；（4 分）（3）如果不是無(wú)偏估計(jì)，問(wèn)應(yīng)該如何把，進(jìn)行線性組合,使之成為a,b的無(wú)偏估計(jì)。（2分）解：（1）由于 Nu（a,b），對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為:F（X）0(X a)/(b1X aa), a X bb所以，的分布函數(shù)分別為:F(X)1(1 F(x)n 10b(b1,a Xbab，( 2 分)XF（X）(F (X)n(尹)b a1分）（2）對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望分別為:b