最完美的四邊形

1、最完美的四邊形正方形之判別方法大匯總（035） 北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)(上)第四章四邊形的性質(zhì)探索是初中數(shù)學(xué)中“空間與圖形”板塊知識(shí)的基礎(chǔ)核心內(nèi)容，是幾何圖形中必須掌握的重點(diǎn)知識(shí)。其中四邊形中的特殊四邊形：平行四邊形、菱形、矩形以及正方形性質(zhì)的理解和判別更是至關(guān)重要。 在經(jīng)歷了兩次初二教學(xué)的反思后，我總結(jié)出了一套關(guān)于特殊四邊形的教學(xué)方法，可以讓學(xué)生對(duì)其性質(zhì)及判別方法有更清楚的理解。在這一輪教學(xué)中，課堂上我一直很注重發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，在學(xué)到正方形的判別時(shí)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)方法、歸納總結(jié)。沒(méi)想到的是學(xué)生由需要掌握的四種判別方法擴(kuò)展成了八種方法，甚至課后還有學(xué)生提出其他方法來(lái)找我驗(yàn)證對(duì)錯(cuò)。于是我靜下心來(lái)思考

2、了一番，發(fā)現(xiàn)了十幾種正方形的判別方法，在這里匯總一下，幫助已經(jīng)掌握了特殊四邊形判別的學(xué)生做個(gè)歸納總結(jié)，開拓一下思維，更重要的是幫助沒(méi)有完全掌握的學(xué)生梳理清楚思路。 正方形是最特殊的平行四邊形，要想掌握好它的性質(zhì)與判別，首先要掌握好前面幾種特殊平行四邊形的性質(zhì)及判別，所以在課堂上我總是借用分層次、分臺(tái)階的方式引導(dǎo)學(xué)生去理解幾種平行四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別。學(xué)好平行四邊形是基礎(chǔ)，掌握好菱形和矩形是關(guān)鍵，這樣過(guò)渡到正方形就很容易了。一、 平行四邊形：掌握好平行四邊形的定義、性質(zhì)及判別是打好基礎(chǔ)的第一步。1. 定義教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生明確小學(xué)時(shí)已給出的平行四邊形定義就是通過(guò)它名稱中的“平行”引出的，即兩組對(duì)

3、邊分別平行得四邊形叫做平行四邊形?？梢缘贸鰪乃倪呅紊?jí)到平行四邊形只需要“兩組對(duì)邊分別平行”即可。2. 性質(zhì)研究平行四邊形的四個(gè)性質(zhì)，不僅要讓學(xué)生在課堂上自主發(fā)現(xiàn)、進(jìn)行證明外，還要幫助學(xué)生理解加記憶。我會(huì)讓學(xué)生去觀察平行四邊形的圖形，然后自己總結(jié)性質(zhì)。由于它是由四條線段首尾依次相連而組成的，所以能夠觀察到的就只有四條邊和邊與邊組成的角，學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)性質(zhì) 兩組對(duì)邊分別平行；性質(zhì) 兩組對(duì)邊分別相等；性質(zhì) 兩組對(duì)角分別相等。這時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生從平行四邊形的邊角過(guò)渡到內(nèi)部看看，連接對(duì)角線并讓他們進(jìn)一步觀察，經(jīng)過(guò)猜想和證明，學(xué)生就可以總結(jié)出性質(zhì) 對(duì)角線互相平分。經(jīng)過(guò)這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生就有了由外到內(nèi)的理解。

4、以后在課堂上提問(wèn)學(xué)生平行四邊形的性質(zhì)，只需要畫出平行四邊形的圖形，手指邊角一圈，學(xué)生就能回憶起前三個(gè)性質(zhì)；手指內(nèi)部，就能想起第四個(gè)性質(zhì)。這樣的記憶方式學(xué)生更容易接受、更喜歡。3. 判別學(xué)習(xí)平行四邊形的判別時(shí)，為了給后面菱形、矩形及正方形的判別打好基礎(chǔ)，我的方法是引導(dǎo)學(xué)生一看臺(tái)階、二看線路。由于平行四邊形是在四邊形基礎(chǔ)上加條件得到的，所以我將四邊形作為第一臺(tái)階，平行四邊形就是上升的第二臺(tái)階，上升的條件按照兩大路線去尋找。路線一：經(jīng)四邊形周圍邊角一圈尋找，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)判別兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；判別兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；判別一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。路線二

5、：到四邊形內(nèi)部尋找，會(huì)發(fā)現(xiàn)判別對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。當(dāng)然學(xué)生在學(xué)習(xí)判別方法時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分判別是將性質(zhì)反過(guò)來(lái)用了，這時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生將判別方法與性質(zhì)相互對(duì)照記憶。也會(huì)有學(xué)生提出問(wèn)題，能不能將兩組對(duì)角分別相等的性質(zhì)反過(guò)來(lái)變成判別方法，應(yīng)給予學(xué)生正確的指導(dǎo)：這個(gè)判別方法是可以的，并加以證明。告訴學(xué)生由于這個(gè)方法不常用，所以課本上沒(méi)有給出。這樣平行四邊形的性質(zhì)和判別就都可以歸納出四點(diǎn)。二、菱形學(xué)好菱形的定義、性質(zhì)及判別是掌握特殊平行四邊形的一個(gè)關(guān)鍵，課堂上要注重用對(duì)比的方式進(jìn)行教學(xué)。1. 定義下定義過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)菱形比平行四邊形還特殊，讓學(xué)生自己觀察多了什么？他們都能從圖中看到四邊相等

6、，引導(dǎo)學(xué)生歸納為比平行四邊形多了鄰邊相等，即鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2. 性質(zhì)由于菱形是在平行四邊形基礎(chǔ)上又上升了一個(gè)臺(tái)階，所以平行四邊形的性質(zhì)菱形都具備，引導(dǎo)學(xué)生去觀察它特有的性質(zhì)，仍然是先看邊角再看內(nèi)部，可以總結(jié)出三條：性質(zhì)四條邊都相等；性質(zhì)對(duì)角線垂直且平分；性質(zhì)每條對(duì)角線都平分一組對(duì)角。3. 判別判斷怎樣的圖形是菱形，引導(dǎo)學(xué)生探索時(shí)先分類：已知是平行四邊形了怎樣變成菱形；只是一般四邊形又怎樣變成菱形。站的臺(tái)階不一樣，需要添加的條件也就不一樣。站在第二臺(tái)階“平行四邊形”基礎(chǔ)上，我們可以先看圖形周圍邊角，多加“一組鄰邊相等”使其變?yōu)榱庑?；再看圖形內(nèi)部，多加“對(duì)角線垂直”使其變成菱形。即

7、判別鄰邊相等的平行四邊形是菱形；判別對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形。學(xué)生理解和記憶之后，開始引導(dǎo)學(xué)生站在第一臺(tái)階“四邊形”基礎(chǔ)上如何得到菱形。啟發(fā)學(xué)生一般的四邊形看周圍邊角需要加上什么條件才能變成菱形，這時(shí)學(xué)生會(huì)想到性質(zhì)，可以得到判別四條邊都相等的四邊形是菱形。再看內(nèi)部勾起學(xué)生對(duì)性質(zhì)的回憶，從而又得到判別對(duì)角線垂直且平分的四邊形是菱形。學(xué)習(xí)完后，讓學(xué)生對(duì)比菱形的這四個(gè)判別方法，并展開小組討論，問(wèn)他們有什么新的認(rèn)識(shí)？不少學(xué)生會(huì)感悟到：判別和判別都是看周圍的邊角，只是所站臺(tái)階不同；同理，判別和判別也是都看內(nèi)部對(duì)角線，依然是所站臺(tái)階不同。甚至有些深入思考的學(xué)生還能體會(huì)到：判別中的四條邊都相等即兩層意思

8、，對(duì)邊相等加鄰邊相等，而對(duì)邊相等的四邊形就是平行四邊形；判別中的對(duì)角線垂直且平分也有兩層意思，對(duì)角線垂直加對(duì)角線平分，而對(duì)角線平分的四邊形就是平行四邊形。以上這些分析讓學(xué)生明白了平行四邊形和菱形之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，概念更加清晰。 三、矩形有了菱形全方位的探索學(xué)習(xí)，到了學(xué)習(xí)矩形時(shí)，學(xué)生已經(jīng)能夠憑借自己的理解去總結(jié)矩形的定義、性質(zhì)和判別方法了。1. 定義在課堂上，借用具備不穩(wěn)定性的平行四邊形的模型，在動(dòng)手操作過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)矩形與平行四邊形的聯(lián)系與區(qū)別，學(xué)生馬上會(huì)發(fā)現(xiàn)矩形是扶正了的平行四邊形，再引導(dǎo)他們總結(jié)出準(zhǔn)確定義：一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2. 性質(zhì)與菱形的學(xué)習(xí)相似，當(dāng)學(xué)生明白矩形也

9、是一種特殊的平行四邊形之后，研究它的性質(zhì)自然就只看它比平行四邊形多具有的特性。先看邊角，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)性質(zhì)四個(gè)角都是直角；再看內(nèi)部可以得到性質(zhì)對(duì)角線相等且平分。3. 判別矩形的判別和菱形的判別大同小異，分兩個(gè)臺(tái)階，每個(gè)臺(tái)階分別走兩條線路，點(diǎn)撥完學(xué)生的思路之后可以由學(xué)生自主探索及歸納，展開活動(dòng)發(fā)揮他們的團(tuán)隊(duì)合作精神。最后總結(jié)出，站在第二臺(tái)階的方法有：判別一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；判別對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。以及站在第一臺(tái)階的方法：判別四個(gè)(三個(gè))角是直角的四邊形是矩形；判別對(duì)角線相等且平分的四邊形是矩形。通過(guò)矩形判別的自主探索，學(xué)生的理解更深一層，思路也更清晰了，還能總結(jié)出菱形與矩形之間

10、的關(guān)系，這時(shí)點(diǎn)出菱形和矩形都是特殊的平行四邊形，都是由平行四邊形上升的第三臺(tái)階。四、正方形北師大教材對(duì)正方形只做了較為簡(jiǎn)單的介紹，內(nèi)容很少，僅給出了一個(gè)定義及性質(zhì)的概括性總結(jié)話，并沒(méi)有提及判別方法。我認(rèn)為在教學(xué)中應(yīng)該重視正方形的研究，帶領(lǐng)學(xué)生共同探討正方形的定義、性質(zhì)及判別。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生除了掌握新的知識(shí)以外，還能系統(tǒng)的感受到不同特殊四邊形之間的關(guān)聯(lián)，他們的理解會(huì)有一個(gè)更高層次的提升和突破。所以在教學(xué)中我會(huì)告訴學(xué)生正方形是最完美的四邊形，讓我們一起去感受和體會(huì)它的完美吧！1. 定義北師大教材中正方形的定義是繼續(xù)沿用了小學(xué)課本中的定義，學(xué)生很容易接受，正方形是特殊的長(zhǎng)方形。所以課堂上我拿著一

11、張矩形紙片，啟發(fā)學(xué)生如何動(dòng)手操作使其轉(zhuǎn)變成正方形。學(xué)生都能想到，只需要在長(zhǎng)邊上截取寬邊的長(zhǎng)度，即要長(zhǎng)等于寬。引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的語(yǔ)言去定義：鄰邊相等的矩形叫做正方形。但此時(shí)我會(huì)再拿出一個(gè)可以活動(dòng)的菱形模型問(wèn)學(xué)生，菱形能不能變成正方形呢？我開始讓菱形的一個(gè)內(nèi)角由小變大，很快學(xué)生就發(fā)現(xiàn)，內(nèi)角變?yōu)橹苯菚r(shí)菱形變成正方形。于是有學(xué)生說(shuō)出了正方形的第二個(gè)定義：一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形。其實(shí)這個(gè)過(guò)程也為正方形的判別做了一個(gè)鋪墊。2. 性質(zhì)研究正方形的性質(zhì)前，需要引導(dǎo)學(xué)生回顧四邊形是如何一步步升級(jí)到正方形的。可以畫出框架圖，讓學(xué)生一目了然。四邊形菱形矩形平行四邊形正方形通過(guò)圖形，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)正方形是所有特殊四邊

12、形的最終交匯處，是上升的最高臺(tái)階。它既是四邊形也是平行四邊形，既是菱形也是矩形，前面所學(xué)圖形的性質(zhì)它應(yīng)該都具有，它是集所有特性于一身的，所以它最完美。而前面每種圖形的性質(zhì)都是經(jīng)兩條路線尋找的，那么就可以歸納為先看邊角的性質(zhì)四條邊相等，四個(gè)角都是直角。再看內(nèi)部性質(zhì)對(duì)角線互相垂直、相等且平分。3. 判別在教學(xué)中原本我只想引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)四個(gè)正方形的判別，即站在第三臺(tái)階菱形和矩形的基礎(chǔ)之上，外加一個(gè)條件得到正方形?？墒橇钊艘庀氩坏降氖?，學(xué)生在前面的自主學(xué)習(xí)過(guò)程中被調(diào)動(dòng)起了積極性，都有了自己獨(dú)特的見解，搶著從不同臺(tái)階和不同角度來(lái)回答正方形的不同判別方法，大部分都思路清晰、語(yǔ)言準(zhǔn)確。我也被學(xué)生帶動(dòng)著把歸納出

13、的四種判別方法擴(kuò)展到八種，接著又?jǐn)U展為十種，直到下課學(xué)生們還意猶未盡，仍有人來(lái)找我驗(yàn)證不同的方法，得到肯定后欣喜若狂，跑回班里宣布自己的新發(fā)現(xiàn)。在學(xué)生熱情的影響下，我也靜下心來(lái)仔細(xì)歸納總結(jié)了一番，竟然總結(jié)出了十五種不同的判別方法。當(dāng)然，它們只是在所站的臺(tái)階和角度上有所區(qū)別，很多方法在本質(zhì)上都是一樣的。要想能夠清楚的理解它們之間的轉(zhuǎn)換，需要先明確每種特殊四邊形自身的特性。例如對(duì)角線平分是平行四邊形的特性，對(duì)角線垂直是菱形獨(dú)有的特性，而對(duì)角線相等又是矩形與眾不同的特性等等。匯總的十五種正方形判別方法依然是以一看臺(tái)階二看路線的方法歸納出來(lái)的，下面就按不同的臺(tái)階給出這些判別方法。（一） 站在第三臺(tái)階，

14、再加一個(gè)條件 . 第三臺(tái)階 - 菱形判別一個(gè)角是直角的菱形是正方形。（看邊角）判別對(duì)角線相等的菱形是正方形。 （看內(nèi)部） . 第三臺(tái)階 - 矩形判別一組鄰邊相等的矩形是正方形。（看邊角）判別對(duì)角線垂直的矩形是正方形。 （看內(nèi)部）（二） 站在第二臺(tái)階 - 平行四邊形，再加兩個(gè)條件判別一個(gè)角是直角、一組鄰邊也相等的平行四邊形是正方形。（看邊角）判別對(duì)角線相等且垂直的平行四邊形是正方形。 （看內(nèi)部）判別一個(gè)角是直角、對(duì)角線垂直的平行四邊形是正方形。 （交叉看）判別一組鄰邊相等、對(duì)角線也相等的平行四邊形是正方形。 （交叉看）（三） 站在第一臺(tái)階 - 四邊形判別對(duì)角線平分、垂直且相等的四邊形是正方形。判別四條邊相等、一個(gè)角是直角的四邊形是正方形。判別四個(gè)角是直角、一組鄰邊相