2013真題及解析

1、2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)設(shè) cosx _1 =xsin a(x)，其中 a(x，則當(dāng) xt 0 時(shí)，a (x)是( ) 2(A ) 比 x高階的無窮小(C)與x同階但不等價(jià)的無窮小(B) 比x低階的無窮小(D )與x等價(jià)的無窮小(2)設(shè)函數(shù)y = f(x)由方程 -h -確定，則lim n f (2) -1 n廠_ n(A)2(B)1(C) -1(D)-2(3)設(shè)函數(shù)sin x,4)=仏則(是函數(shù)F(x)的跳躍間斷點(diǎn)(B)是函數(shù)F(x

2、)的可去間斷點(diǎn)(C) F(x)在x -處連續(xù)但不可導(dǎo)(D)處可導(dǎo)| 1(4)設(shè)函數(shù) f(x)= (x D，若反常積分1 Lxl n1 f (x)dx收斂，則(A) ： -2(C) 一2 ： ： ：0(5)設(shè)z = 丫 f (xy)，其中函數(shù)xf可微，則y exx :z :z+=(A) 2yf (xy) (B) -2yf (xy)(6)設(shè) Dk 是圓域 D = (x, y) | x2 y2(A) I10(B) I202f (xy)xIk = .(y-x)dxdy(k =1,2,3, 4)，則Dk(D)(C)-x乞1在第k象限的部分，記f(xy)I30(D) I40A的列向量組等價(jià)B的行向量組等價(jià)

3、B的列向量組等價(jià)(7)設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣，若 AB二C,則B可逆，則(A )矩陣C的行向量組與矩陣 A的行向量組等價(jià)(B) 矩陣C的列向量組與矩陣(C) 矩陣C的行向量組與矩陣(D) 矩陣C的行向量組與矩陣(1a1 *200、aba與0b0ab100(8)矩陣相似的充分必要條件為(A)= 0,b =2(B)= 0,b為任意常數(shù)(C)= 2,b =0(D)=2,b為任意常數(shù)二、填空題：9一14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.x=f(y)在y=0處的導(dǎo)數(shù)則L所圍成的平面圖形的面積(10) 設(shè)函數(shù)f( x)= 1 _dt ，貝u y=f(x)的反函數(shù)dxdy ly

4、=0(11)設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為r二cos3r (-一乞- -)，6 6x =arcta nt(12)曲線上對(duì)應(yīng)于t =1的點(diǎn)處的法線方程為y=l np訐3x2xx2x2x(13)已知yi =e -xe ，ye -xe ，七-xe是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解, 方程滿足條件yX=0y(14 )設(shè)A =(a0)是三階非零矩陣，| A |為A的行列式，Aj為aj的代數(shù)余子式，aq +Aq =0(i,j =1,2,3),則 A =三、解答題：15 23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或 演算步驟.(15) (本題滿分10分)當(dāng)X； 0時(shí)，

5、1 -cosx cos2x cos3x與axn為等價(jià)無窮小，求 n與a的值。(16) (本題滿分10分)1設(shè)D是由曲線y=x3，直線x=a(a . 0)及x軸所圍成的平面圖形，Vx,Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若 Vy =10Vx,求a的值。(17) (本題滿分10分)設(shè)平面內(nèi)區(qū)域 D由直線x =3y, y = 3x及x y = 8圍成計(jì)算j i x2dxdy。D(18) (本題滿分10分)設(shè)奇函數(shù)f(x)在一1,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f(1)=1.證明：(I)存在(0,1)，使得 f (巴)=1 ； ( II)存在 *ie(0,1)，使得 f)+ f )=1。(19) (

6、本題滿分11分)求曲線x3 -xy y3 =1(x _0,y _0)上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離與最短距離。(20) (本題滿分11分)1設(shè)函數(shù)f(x) =ln x x(I)求f (x)的最小值1(II)設(shè)數(shù)列xn滿足In xn1，證明lim xn存在，并求此極限XnY(21) (本題滿分11分)1 2 1設(shè)曲線L的方程為y= x - I nx(1_x_e)，42(1) 求L的弧長(zhǎng)；(2) 設(shè)D是由曲線L ,直線x=1,x=：e及x軸所圍平面圖形，求 D的形心的橫坐標(biāo)。(22)(本題滿分11分)當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC -CA = B，并求所有矩陣 C。(23)(本題滿分11分)、

7、2 2設(shè)二次型 f (捲，x2,x3 )=2兇 +a2x2 +a3x3 ) +(D論 +b2x2 +b3x3 )，記0(=還,P =b2 0 時(shí)，：(x)0,所以 si n：(x)U：(x)，所以 lim Sin： (x)二血丄7 xT X所以:(X)是與x同階但不等價(jià)的無窮小。(2)設(shè)函數(shù) y = f(x)由方程 cos(xy) l ny -x =1 確定，則 limn f(?)T = r 2 n(A ) 2(B) 1【答案】(A )(C) -1(D)-2|= lim 2n_?cf()-f(0) n2-n-=2f (0)，【解析】由于f (0) =1，所以lim nn咨對(duì)此隱函數(shù)兩邊求導(dǎo)得-

8、(y xy )sin( xy)2=0，所以 f (0) =1，故 lim n f ( ) -1 r n(3)設(shè)函數(shù) f(x)= Sinx，*二2, 兀蘭x蘭2兀xF(x) = J。f(t)dt，則()(A)是函數(shù)F(x)的跳躍間斷點(diǎn)(B)x f 是函數(shù)F (x)的可去間斷點(diǎn)(C) F(x)在x二二處連續(xù)但不可導(dǎo)(D)【答案】(C)【解析】F(x)x0 f (t)dt 二Xsin tdt = 1cosx,Jlx(sin tdt +2dt=2(x 兀 +1)圧蘭x 蘭 2兀由于lim x F(x)lim F(x) =2，所以F(x)在x =康處連續(xù);X廠F(x) -F(二)limX 廠- x 二C

9、SX, , lim-x-nlimJ - x -二F(x)-F(J=lim2J=2，j - X 7所以F (x)在x二二處不可導(dǎo)。1(4)設(shè)函數(shù) f (x)二(x _1) JI 1 xln ：1x:x ： e，若反常積分f (x)dx 收斂，則()(A):- 【答案】:-2( B)用：2(D)(C)一2： ： ：0(D) 0 ： ： ： 2【解析】f(、(X1)3 f(x)=I 1xln： y:x e因?yàn)?f(x)dx二 q f (x)dx e f (x)dx ,當(dāng) 1 ： x : e 時(shí),ee 11 f(x)dx1 廠歹 dx 訂m(x”1 1 】1 1x - 期2a (e-1嚴(yán) 2a (e

10、1嚴(yán)1要使lim: 1當(dāng) x_e時(shí)，.e kdx 二e xln x1 1要使lim.()存在，需滿足:d ln xeIn : dx所以 0 ： ： 2。(5)設(shè)z = 丫 f (xy)，其中函數(shù)f可微，則xx :zy rx:z z (y(A)2yf (xy) (B)-2yf (xy)(C)-xf(xy)2(D) f (xy)x存在，需滿足G -2 v0 ；2_ - ( ； _1)一【答案】(A )【解析】已知z=f(xy)，所以xex2f (xy)，x所以y excy11二f (xy) yf (xy)(- f (xy) yf (xy) =2yf (xy)。xx(6)設(shè) Dk 是圓域 D = Q

11、x,y) |x2 y2 乞-在第 k 象限的部分，記 g 二(y-x)dxdy(k =1,2,3, 4)，則Dk1 a Pn a Pz2 0 0%aba為實(shí)對(duì)稱矩陣，故一定可以相似對(duì)角化，從而aba與0 b 0l1 a 1 丿J a 1丿3 0 0丿【解析】由于相似的(A) h 沁(B) I2 a0(C)丨30(D) I4M【答案】(B)【解析】令x = r cosT, y = r sin日，則有1B1Plk=J(y x) dxdyr d ( s i6n -CO s 日)(6c OsB s i n )Dkoc3a故當(dāng)k=2時(shí)，a=兀，2此時(shí)有12 =0.故正確答案選B。23(7)設(shè)矩陣A,B,

12、C均為n階矩陣，若 AB =C，且C可逆，則()(A) 矩陣C的行向量組與矩陣(B) 矩陣C的列向量組與矩陣(C) 矩陣C的行向量組與矩陣(D) 矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià) A的列向量組等價(jià) B的行向量組等價(jià) B的列向量組等價(jià)【答案】(B)【解析】由C二AB可知C的列向量組可以由 A的列向量組線性表示，又B可逆，故有A=CB，從而A的列向量組也可以由 C的列向量組線性表示，故根據(jù)向量組等價(jià)的定義可知正確選項(xiàng)為(B )。(A)(B)(C)(D)【答案】a1、200aba與0b0Jab100(8)矩陣相似的充分必要條件為=0,b =2= 0,b為任意常數(shù)= 2,b =0-2,b為任意常

13、數(shù)(B)充分必要條件為的特征值為2,b,0 。九-1_a -1又 A = -a扎b v =b)(& 2) 2a2，從而 a = O,b為任意常數(shù)一 1-a九一1二、填空題：9_14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙 指定位置上.(9) lim(2x_sc1ln(1x)5xx【答案】e2【解析】原式lim = exIn (1 1In (1 x)In(1 1ln(1 x)x1 ln(1 x)1(1x o(x)limx 0limx 0因此答案為e2.(10)設(shè)函數(shù)d,t則y二f (x)的反函數(shù)x = f，(y)在y =0處的導(dǎo)數(shù)dxdyy=0【答案】1d【解析】dx1 -e_1nn(11

14、)設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為r =cos3二(-一遼二乞一)，貝y L所圍成的平面圖形的面積66為.n【答案】121 -201+cos6 日兀【解析】所圍圖形的面積是S二丄6cos23応=:2 -60 2 12lx =arcta nt(12)曲線上對(duì)應(yīng)于t=d的點(diǎn)處的法線方程為y = ln J1 +t2【答案】y x In、2=04【解析】dydx1t2,1 t211t2dydxIt 4=1,當(dāng)t=1時(shí)，X蔦，八ln-2，故法線方程為y x In ,2=0.43x2 xx2 x2x3個(gè)解,(13)已知y1 =e -xe , y e -xe , y -xe是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的該方程

15、滿足條件 yxz0=0yx占=1的解為 y = 【答案】y 二e3x-ex -xe2x【解析】由題意知：e3x,ex是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，-xe2x是非齊次方程的解，故非齊次的通解為y二Ge3x C2ex -xe2x，將初始條件代入，得到 C1,C -1, 故滿足條件的解為 y二e3xex xe2x。(14)設(shè)A =(aj)是三階非零矩陣，| A |為A的行列式，Aj為aj的代數(shù)余子式，若aj Aj =0(i,j =1,2,3),則 A 二【答案】-1【解析】由aj 州=0可知，A二-A*A =3訂人1 *ai2A2 +3人3 =a1jA1j +a2jA2j +a3jA3j從而有 A = AT|

16、=|A*卜A2,故 A =-1.三、解答題：15 23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙.指定位置上解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或 演算步驟.(15)(本題滿分10分) 當(dāng)X； 0時(shí)，1 -cosx cos2x cos3x與axn為等價(jià)無窮小，求 n與a的值?！窘馕觥恳?yàn)楫?dāng) x 0時(shí)，1 -cosx cos2x cos3x與axn為等價(jià)無窮小1cosx cos2x cos3x 所以limn1x 0ax又因?yàn)?1 -cosx cos2x cos3x=1 -cosx cosx -cosx cos2x cosx cos2x - cosx cos2x cos3x=1cosx cosx(1cos2x)

17、cosx cos2x(1cos3x)1 -cosx cos2x cos3xnax1 - cosx cosx(1 - cos2x) cosx cos2x(1 -cos3x)nax,1 -cosx cosx(1 cos2x) cosx cos2x(1 cos3x)、=imo(+n-)x 0 axaxax1 2 2 1 2 2 1 2 2-x2 o(x2) -(2x)2 o(x2) -(3x)2 o(x2)2 n 2 n2 n )axaxax所以n(16)149=2 且1= a = 72a 2a 2a(本題滿分10分)1設(shè)D是由曲線y = x3，直線x=a(a 0)及x軸所圍成的平面圖形，Vx,Vy

18、分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若Vy =10Vx，求 a 的值?！窘馕觥坑深}意可得:a23Jo(X3)dx=Jaa 16 兀-Vy二藥腫乂認(rèn)二*3因?yàn)椋?八56兀三3；jVy =10Vx 所以a3 =10a3 a=7、775(17)(本題滿分10分)設(shè)平面內(nèi)區(qū)域 D由直線x =3y, y = 3x及x y =8圍成.計(jì)算丨i x2dxdy。D【解析】iix2dxdy = x2dxdy 亠 iix2dxdyDD1D22 2 3x628-xx2dx x dyx2dx x dy0 233 4163(18)(本題滿分10分) 設(shè)奇函數(shù)f(x)在-1,1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f (11.證明

19、:(I)存在 t (0,1),使得 f =1 ； (II)存在 n ( 0,1),使得 f “(H) + f，儼)=1。【解析】(1)令 F(x) =f (x) _x,F(O) = f(0) =0,F(1)= f(1)_1 =0,則十0,1 使得 F( )=0,即f ( )=1(2)令 G(x)二ex(f(x) -1),則 G( ) =0,又由于f(x)為奇函數(shù)，故f(x)為偶函數(shù)，可知 G(-J=0,則 “I,二.1,1 使 G)=0,即 e f( ) -1 e f( 0，即 f ”() f ()=1(19) (本題滿分11分)求曲線xxy y3 =1(x _0,y _0)上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的

20、最長(zhǎng)距離與最短距離。【解析】本題本質(zhì)上是在條件x3 -xy y3 =1(x _ 0, y _ 0)下求函數(shù)f (x,切二漢 y2的最值。故只需求出X2 y2在條件x3 -xy+y3 =1下的條件極值點(diǎn)，再將其與曲線端點(diǎn)處(0,1),(1,0 )的函數(shù)值比較，即可得出最大值與最小值。由于函數(shù) x2 y2與x2 y2的增減性一致，故可以轉(zhuǎn)化為求x2 y2的條件極值點(diǎn)：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L x, y,， = x2 y2匚心x3 - xy y3-1，求其駐點(diǎn)得= 2x + 3心2 -Xy = 0 ex* 二=2 y +3 * y2 _ 上 x = 0亂 3,3=x _xy 十 y _1=0為了求解該方程

21、組，將前兩個(gè)方程變形為2x =，y _3，x2 y =，x _3，y進(jìn)一步有故，x2 _3, xy2 = y2 _3，x2y2xy 二 y23 x2y小n 222xy 二x3 xy即x - y x y 3xy = 0。則有=0 或 x-y=0 或 x y 3xy = 0。當(dāng)，=0時(shí)，有x = y= 0，不可能滿足方程 x3 - xy y3 -1 = 0 ；當(dāng)x y 3xy = 0 ,由于x亠0, y丄0，也只能有x = y = 0 ,不可能滿足第三個(gè)方程；故必有 x y =0，將其代入 x3 _xy y3=0得 2x3 _x2=0，解得 x =1,y =1?？芍?,1點(diǎn)是唯一的條件極值點(diǎn)。由于

22、 f (1,1)= . 2， f(0,1)= f(1,0)= . 2，故曲線 x3 - xy y3 = 1(x _ 0, y _ 0)上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最 長(zhǎng)距離為,2與最短距離為1。(20) (本題滿分11分)1設(shè)函數(shù)f (x) = In xx(I) 求f (x)的最小值1(II) 設(shè)數(shù)列xn滿足In xn1，證明lim xn存在，并求此極限XnF1 1x _1【解析】(I) f (x)22，則當(dāng) x0,1 時(shí)，f(x)：0 ;當(dāng) x 1時(shí)，f(x)0。x x x可知f (x)在0,11上單調(diào)遞減，在 1,:上單調(diào)遞增。故f (x)的最小值為f(1) = 1。1 1 1(2)、由于In Xn

23、十色1，則 Xn，故Xn單調(diào)遞增。nimxn存在。令 limXn =*，貝lim nxnXn由于In Xn 11，則XnXnXn 1 Xn1In a 1，故 a = 1。 a(21) (本題滿分11分)1 o 1設(shè)曲線L的方程為y= x - -1 nx(1_x_e),42(1)求L的弧長(zhǎng);(2)設(shè)D是由曲線L ,直線x=1,x=e及x軸所圍平面圖形，求 D的形心的橫坐標(biāo)。【解析】(1)由弧長(zhǎng)的計(jì)算公式得 L的弧長(zhǎng)為12x丿dx(2)由形心的計(jì)算公式可得,(22)(本題滿分11分)10【解析】由題意可知矩陣4D的形心的橫坐標(biāo)為xi-x-ln x dx142e lx2lnxdx142當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣C為2階矩陣,故可設(shè)X13 e4 - 2e2 - 34 e-7C使得AC -CA二B，并求所有矩陣 C 。X2則由AC - CA = B可得線性方程組:一冷 +ax3 =0axj x2 ax4 = 1X1 -