完整版余弦定理及其應(yīng)用

1、余弦定理及其應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】【知識與技能目標(biāo)】(1) 了解并掌握余弦定理及其推導(dǎo)過程.會利用余弦定理來求解簡單的斜三角形中有關(guān)邊、角方面的問題.能利用計算器進行簡單的計算(反三角).【過程與水平目標(biāo)】用向量的方法證實余弦定理,不僅可以表達向量的工具性,更能加深對向量 知識應(yīng)用的熟悉.通過引導(dǎo)、啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并且順利推導(dǎo)出余弦定理的過程,培養(yǎng)學(xué)生 觀察與分析、歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維水平.【情感與態(tài)度目標(biāo)】通過三角函數(shù)、余弦定理、向量數(shù)量積等知識間的聯(lián)系,來表達事物之間的普遍 聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.【教學(xué)重點】余弦定理的證實及應(yīng)用.【教學(xué)難點】(1)用向量知識證實余弦定理時的思路分析與探索

2、.(2)余弦定理在解三角形時的應(yīng)用思路.【教學(xué)過程】Ca一、引入問：在RtABC中,假設(shè)0=90°,三邊之間滿足什么關(guān)系答：c2 a2 b2/A . c B問：假設(shè)Cw 90°,三邊之間是否還滿足上述關(guān)系答：應(yīng)該不會有了！問：何以見得答：假設(shè)a,b不變,將A、B往里壓縮,那么C< 90°,且c2 a2 b2 ；同理,假設(shè)a,b不變,將A、B往外拉伸,那么C> 90°,且c2 a2 b2 .師：非常正確！那么,這樣的變化有沒有什么規(guī)律呢 答：規(guī)律肯定會有,否那么,您就不會拿它來說事了. 問：仔細觀察,然后想想,到底會有什么規(guī)律呢答：有點象向量的

3、加法或減法,b c a或a b c.【探求】設(shè)ABC勺三邊長分別為a,b,c,由于AC AB BCAC? AC (AB BC)?(AB BC)2b22AB 2 AB BC cos(1800 B)2BC即 AC AB? AB 2AB?BC BC?BC22c 2ac cos B a 即 b2 a2 c2 2accosB問：仔細觀察這個式子,你能否找出它的內(nèi)在特點答：能！式子中有三邊一角,具體包括如下三個方面：第一、左邊是什么邊,右邊就是什么角；第二、左邊有什么邊,右邊就沒有什么邊；第三、邊是平方和,乘積那里是“減號.師：很好！那么,你能否仿照這個形式寫出類似的另外兩個答：可以！它們是：a2 b2

4、c2 2bccosA和 c2 a2 b2 2abccosC .【總結(jié)】這就是我們今天要講的余弦定理,現(xiàn)在,讓我們來繼續(xù)研究它的結(jié)構(gòu) 特點以及其應(yīng)用問題.板書課題 余弦定理及其應(yīng)用新課一余弦定理的文字表述：三角形的任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的 余弦的積的兩倍.二余弦定理的另一種表述形式：22222.22.22八 b c aa c b - abccos A - cosB - cosC 2bc '2ac '2ab三歸納1 .熟悉定理的結(jié)構(gòu),注意“平方 “夾角“余弦等；2 .每個式子中都有四個量,知道其中的三個就可以求另外的一個；一 0 一 . 一、.3 .

5、當(dāng)夾角為90 即三角形為直角三角形時即為勾股定理特例.四余弦定理的適用范圍1 .三邊求角；2 .兩邊及其夾角求第三邊.三、應(yīng)用 例1.在ABCta 7,b 5,c 3,求這個三角形的最大內(nèi)角.【分析】根據(jù)大邊對大角的原那么,知：A為最大.解：由a b c ABC,222_44 b c a 25 9 49 cos A 2bc 2 5 3即該三角形的最大內(nèi)角等于1200 .練習(xí)1. ABC勺三邊長分別是a3,b 4,c £密,求三角形的最大內(nèi)角.答案：120°.思考： ABC的三邊長為a, b, c,如何判斷該三角形的 形狀提示：求出與最大邊相對應(yīng)的角的余弦值,再與 0進行比較

6、,判定標(biāo)準如下:假設(shè)0,那么為銳角三角形；假設(shè)=0,那么為直角三角形；假設(shè)0,那么為鈍角三角形.例 2.在ABCh1, a 23, c 廄 2, B ,求 b 及 A.4【分析】兩邊夾角,可以用公式 b2 a2 c2 2accosB直接求出b；然后, 222用公式cos A bca-即可求出角A.2bc解：由 b2 a2 c2 2accosB 得:b2 (2.3)2又 cos A(J6 V2)2 2 2百(V6 v'2)cos- 8,解得 b 2V2 ;4b2c2a2(2 行)2 (6 西2(2內(nèi))212bc2 2 2 卜 62)2例3.4ABC中,a:b:c 2:"：#1,

7、解此三角形.【分析】知道邊的比值,可以設(shè)其公約數(shù)為k,由于,在后面的運算中又可以同時 約分將其約掉,原那么上一般先求最小的角；當(dāng)然,也可以先求最大的角.由 cos A.222b c a A得 cosA2bc解法一：設(shè)其三邊的公約數(shù)為k,那么a 2k,b J6k,c V3 1k ,(上 6k)2_(、3_1)k2_(2k)22 <6k (、3 1)k由 C0sB a2 c2 b2(2k)2_(23_1)k2_(二6k)2由 cOS B個31 cOS B B= 600 ;2ac2 2k (,3 1)k因此 C=180O (A B) 180O (450 60O) 75° .解法二：設(shè)

8、其三邊的公約數(shù)為k,那么a2k,b ,6k,c(V3 1)k ,由 cosCb22ab2 c 得cosC(2 k) 2(、6k)2(,3 1)k22 2k 、 6k即 cosC,6 、2,此時可用計算器的第二功能求運界的反余弦又由于一222cos450 cos300cos(450 300)2 sin450 sin300 cos750 C= 750 ；2 a 由cos B 2acb2 口得cos B(2k)2 (、3 1)k2 (、6k)22 2k 卜3 1)k0一 0_ B= 60 ;3180 (BC) 18000(60750)例4. ABC中,A 1200,a7,bc 8,求b,c及 B .

9、【分析】這種題型一般都要歸結(jié)為解方程組.解：由a2b2c22bccosA得 72 b2 c2 2bccos1200,即b2bc49 (bc)2 bc 49 bc 82 49 15,3,分類討論如下:bc 15222c a c b當(dāng) b 5時,a 7,c 3,由 COSB 得:2ac222c72325211cos B 27314B 38.2022. 2c a c b當(dāng)b 3時,a 7,c 5,由cOSB 得:2accosB22_272 52 32132 7 514B21.80即 b 5,c 3, B 38.20或 b 3,c 5, B 21.80練習(xí) 2.在 AABC 中,A C 2B,a c 8,ac 15,求 b.提示：B 60O,b2 a2 c2 2accosB (a c)2 3ac 19,； b V19 .練習(xí)3.在棱長為1的正方體A