簡單六方結(jié)構(gòu)二維光子晶體能帶的COMSOL模擬

1、簡單六方結(jié)構(gòu)二維光子晶體能帶的 COMSOL模擬北京東之星 應(yīng)用物理研究所伍 勇1. 引言COMSOL 攜帶的案例庫里，其中一篇 <Bandgap Analysis of a Photonic Crystal>(以下簡稱< Bandgap >)對砷化鎵簡單正方格子 2D 光子能帶進行了完整計算和研究。 本文將程序用于簡單六方結(jié)構(gòu)，并 將結(jié)果在此做一介紹。2. 關(guān)于Floquet (弗洛蓋) 波矢kF這是入門COMSOL光子晶體能帶模擬的重要概念，在另一案例 vPorous Absorber中，在 Floquet周期性邊界條件一段寫明： p( x) p( x d )e i

2、(kd)由此我判斷Floquet波矢就是Bloch (布 洛赫)波矢，但“幫助”文檔中有： kF k sin 1 (a1 cos 2 n a1 sin 2 )，以正格子基矢 a1 ,a2 表示(其文沒有任何幾何插圖和物理說明)，使我決定必須在六方格子中 選擇矩形單胞作為周期單元，以使計算機程序能夠運行我的幾何方 案。3. 幾何建模圖1作為試探選擇的幾何模型，圓形柱代表以GaAs作為格點材料，在空氣介質(zhì)中周期性排列，形成二維六方結(jié)構(gòu)人造晶體。a是晶格a1 ab1b2a2a3a1 ( a2ia2xa3)a3a1a1 (a2a3)?是z方向的單位常數(shù)3 / 9圖1六方格子光子晶體的矩 形單胞以上根據(jù)

3、倒格子基矢定義計算出b1, b2及其分量。由倒格子基矢b1，b2 ，構(gòu)建長方格子的布里淵區(qū)也是長方結(jié)構(gòu)如圖2:圖2.六方結(jié)構(gòu)光子晶體的布 里淵區(qū)4.二維光子晶體主方程COMSOL在 Bandgap 模型開發(fā)器”電磁波，頻域?qū)懗龇匠绦问饺缦拢簉1(E)烤(r)E 0，0在 Bandgap 中，下面目錄波方程，電中直接簡化為，(E)烤 rE 0電磁波在光子晶體中的傳播遵從麥克斯韋方程，上述方程可由麥克 斯韋方程組出發(fā)導(dǎo)出介質(zhì)中的麥克斯韋方程組D (1)(2)B 0 (3)H J *(4)D E，B H，J E在電介質(zhì)中一般認(rèn)為自由電荷，自由電流密度(電導(dǎo)率)為零本文檔不考慮磁性質(zhì)，0 , J 0,

4、 r 1傳播模態(tài)電場函數(shù) COMSOL 表達為：ikzz i tE(x,y,z,t) E(x,y)e z ei(5)，在周期結(jié)構(gòu)中，它應(yīng)具有 Bloch波的性質(zhì)，不考慮衰減損耗。注意這里次上標(biāo)的符號與我們習(xí)慣的教科書里正負(fù)符號相反。由(2)兩端取旋度，將(4)代入得:(E)2e，絕緣介質(zhì)k213 / 9n2 ，k220折射率nko0 0為真空波數(shù)，應(yīng)用(5)，Co如期得到前面提到的 Bandgap 中的假設(shè)波方程:E) k2n2E 0利用(E)(E) 2E2EE偏振時(又稱橫磁場模式TM )對應(yīng)的二維光子晶體主方程 是:27)Ez(x,y) yn2kgEz(x,y)0 (6) 這里電場方向平行

5、于z軸，而磁場方向只分布在x-y平面內(nèi)。二維光子晶體主方程(6)是計算光子能帶的出發(fā)點和源依據(jù)。5折射率色散函數(shù)n( f )n( f )是COMSOL計算能帶的第二個關(guān)鍵點，描述折射率隨頻 率參量f的變化。格點材料砷化鎵的n( f )，在 Bandgap 有如下 定義n_GaAs= 3.3285e5s/ m*c_const/f+3.5031，參變量 f,單位 Hz;下限：0, 上限：1c_ const 299792458（ m/s表示真空光速，我在軟件Mathematica上化簡這個函數(shù)，給出n_GaAs 3.5031 9.97884* 10A13/ f，并繪制圖 3 如下：圖3.光子晶體Ga

6、As的折射率隨頻率的變化經(jīng)COMSOL計算機程序進行求解，得到 E偏振情況下2D介質(zhì) （GaAs）光子晶體能帶結(jié)構(gòu)。6.光子能帶圖（選取能量最低的5個能帶）（1）沿布里淵區(qū)10方向（K）（圖2）:沿布里淵區(qū)01方向（ M ）:GaAs 10 bard (hexagonal)X10144OB3o.1=0.o 4.2m.8.64.23.8.64.22 4.4 3 3 3 3 2 2 2 2NHxwudncraJJIJ-GaAs 01 band hexagonal心 d2400£.4,2m.8.64 22.s.64OL4.4,3 3 3 3 2 2 2 2 111 1XNH-xuuspHb

7、ei（1）7.電場傳播模態(tài)Z分量Ez（x,y）的平面圖（1）和高度圖（2）:A 10,band=1（平移組合了 6個單胞圖）k(lj=O "Tl： Electric field, z component (V/m)j_ 豪亠1-3-50X10*7 T'3.06k(l>=0 " Electric -field, z component (V/m)u(1)B 01,ba nd=5band(5)=5 k(51=0.5T|： Electric fielri 2 c&rnponsnt <V/m)xlO*732.521.50,50 -0.5J -1.5-2

8、-2.5”3-3.5xio-A 0.01xlO-2o.s0.6040.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-2Q5-0.4Electriic field, z component (V/m)X1Q_；A0 01 xlO'210 6-0 8-1-O.Q1(1)8.討論作者又在文獻“ Bandgap And Field Propagation Analysis UsingPhotonic Crystal ” ( Intern ati onal Jour nal of Inno vative Research in Computer andCommu ni cati onEngin ee

9、ri ngAn ISO 3297: 2007 Certified Organization Vol.3, Special Issue 1, February 2015)中，看至卩晶體周 期單元適合計算機運行的相同本文的圖示periodic cellReciprocal space:R(?匚 iprocalspace:k(b) Hcxjgonnl periodicitvnJ Square periodicitv受到啟發(fā)：計算機看自然可能不會拘于人類目光所決定的一種格式， 晶體狀態(tài)也會有它本身具有的所有高低不同對稱性和不同的能量范 圍的本征態(tài)。AlphaGc人機大戰(zhàn)挑戰(zhàn)人類的思維。如果以往在試題中 出現(xiàn)選擇矩形為