2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修第一冊學(xué)案：1.1 第2課時　集合的表示 Word版含解析

1、第2課時集合的表示必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點1列舉法把集合的所有元素_一一列舉_出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法思考1：哪些集合適合用列舉法表示？提示：(1)含有有限個元素且個數(shù)較少的集合(2)元素較多，元素的排列又呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不至于發(fā)生誤解的情況下，也可列出幾個元素作代表，其他元素用省略號表示，如n可表示為0,1,2，n，(3)當(dāng)集合所含元素不易表述時，用列舉法表示方便如集合x2，x2y2，x3知識點2描述法1設(shè)a是一個集合，把集合a中所有具有_共同特征_p(x)的元素x所組成的集合表示為xa|p(x)2具體步驟：(1)在花括號內(nèi)寫上表示這個集合的元素的一般符號及

2、取值(或變化)范圍(2)畫一條豎線(3)在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征思考2：什么類型的集合適合描述法表示？提示：描述法可以看清集合的元素特征，一般含較多元素或無數(shù)多個元素(無限集)且排列無明顯規(guī)律的集合，或者元素不能一一列舉的集合，宜用描述法基礎(chǔ)自測1判斷下列說法是否正確，正確的打“”，錯誤的打“×”(1)由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為1,1,2,3(×)(2)集合(1,2)中的元素是1和2.(×)(3)集合ax|x10與集合b1表示同一個集合()2不等式x3<2且xn*的解集用列舉法可表示為_1,2,3,4_.3方程組的解集可表示

3、為_(填序號)；1,2；(x，y)|x1，y24說明下列各集合的含義：ay|y；b(x，y)|1；c(0,1)；dxy1，xy1解析a表示y的取值集合，由反比例函數(shù)的圖象，知ayr|y0，b的代表元素是點(x，y)，其表示直線yx3上除去點(3,0)外所有點組成的集合c表示一個單元素集，元素是一個有序?qū)崝?shù)對(0,1)d表示以方程“xy1”和“xy1”為元素的一個二元素集關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一列舉法表示集合例1 用列舉法表示下列集合：(1)36與60的公約數(shù)組成的集合；(2)方程(x4)2(x2)0的根組成的集合；(3)一次函數(shù)yx1與yx的圖象的交點組成的集合分析(1)(2)

4、可直接求出相應(yīng)元素，然后用列舉法表示；(3)聯(lián)立求方程組的解寫出交點坐標(biāo)用集合表示解析(1)36與60的公約數(shù)有1,2,3,4,6,12，所求集合為1,2,3,4,6,12(2)方程(x4)2(x2)0的根是4,2，所求集合為2,4(3)方程組的解是，所求集合為(，)歸納提升1.用列舉法表示集合，要注意是數(shù)集還是點集2列舉法適合表示有限集，當(dāng)集合中元素個數(shù)較少時，用列舉法表示集合比較方便，且使人一目了然因此，集合是有限集還是無限集，是選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǖ年P(guān)鍵【對點練習(xí)】 用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)方程x2x的所有實數(shù)解組成的集合；(3)直線y2x3與y軸

5、的交點所組成的集合解析(1)因為不大于10是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是0,2,4,6,8,10(2)方程x2x的解是x0或x1，所以方程的解組成的集合為0,1(3)將x0代入y2x3，得y3，即交點是(0，3)，故兩直線的交點組成的集合是(0，3)題型二用描述法表示集合例2 用描述法表示下列集合：(1)所有不小于2，且不大于20的實數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限內(nèi)的點組成的集合；(3)使y有意義的實數(shù)x組成的集合；(4)200以內(nèi)的正奇數(shù)組成的集合；(5)方程x25x60的解組成的集合分析用描述法表示集合時，關(guān)鍵要弄清元素的屬性是什么，

6、再給出其滿足的性質(zhì)，注意不要漏掉類似“xn”等條件解析(1)集合可表示為xr|2x20(2)第二象限內(nèi)的點(x，y)滿足x<0，且y>0，故集合可表示為(x，y)|x<0，y>0(3)要使該式有意義，需有，解得x2，且x0.故此集合可表示為x|x2，且x0(4)x|x2k1，x<200，kn(5)x|x25x60歸納提升用描述法表示集合應(yīng)注意的問題1寫清楚該集合中的代表元素，即弄清代表元素是數(shù)、點還是其他對象2準(zhǔn)確說明集合中元素所滿足的特征3所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號內(nèi)，并且不能出現(xiàn)未被說明的符號4用于描述的語句力求簡明、準(zhǔn)確，多層描述時，應(yīng)準(zhǔn)確使用“且”“或

7、”等表示描述語句之間的關(guān)系【對點練習(xí)】 用描述法表示下列集合：(1)大于4的全體奇數(shù)組成的集合；(2)二次函數(shù)y3x21圖象上的所有點組成的集合；(3)所有的三角形組成的集合解析(1)奇數(shù)可表示為2k1，kz，又因為大于4，故k2，故可用描述法表示為x|x2k1，kn，且k2(2)點可用實數(shù)對表示，故可表示為(x，y)|y3x21(3)x|x是三角形題型三集合中的方程問題例3 設(shè)yx2axb，ax|yx0，bx|yax0，若a3,1，試用列舉法表示集合b分析集合a，b都表示關(guān)于x的一元二次方程的解集，而a已知，可根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系確定a和b的值，再解集合b中的方程，從而求出b中的元素解析集合a

8、中的方程為x2axbx0，整理得x2(a1)xb0.因為a3,1，所以方程x2(a1)xb0的兩根為3,1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得所以集合b中的方程為x26x30，解得x3±2，所以b32，32歸納提升集合與方程的綜合問題的解題思路(1)弄清方程與集合的關(guān)系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根(2)當(dāng)方程中含有參數(shù)時，若方程是一元二次方程，則應(yīng)綜合應(yīng)用一元二次方程的相關(guān)知識求解若知道其解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可快速求出參數(shù)的值(或參數(shù)之間的關(guān)系)；若知道解集元素個數(shù)，利用判別式可求參數(shù)的取值范圍【對點練習(xí)】 (1)已知集合ax|x2axb0，若a2,3，求a，b

9、的值(2)已知集合mx|ax22x20，ar中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍解析(1)由a2,3知，方程x2axb0的兩根為2,3，由根與系數(shù)的關(guān)系得因此a5，b6.(2)當(dāng)a0時，方程化為2x20，解得x1，此時m1，滿足條件當(dāng)a0時，方程為一元二次方程，由題意得48a0，即a，此時方程無實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根綜合(1)(2)可知，當(dāng)a或a0時，集合m中至多有一個元素誤區(qū)警示忽視集合中元素的互異性例4 方程x2(a1)xa0的解集為_1(a1)或1，a(a1)_.錯解x2(a1)xa0，即(xa)(x1)0，所以方程的實數(shù)根為x1或xa，則方程的解集為1，a錯因分析錯解中沒有注意到字

10、母a的取值帶有不確定性，得到了錯誤答案1，a事實上，當(dāng)a1時，不滿足集合中元素的互異性正解x2(a1)xa(xa)(x1)0，所以方程的解為x1或xa.若a1，則方程的解集為1；若a1，則方程的解集為1，a故填1(a1)或1，a(a1)方法點撥在剛學(xué)習(xí)集合的相關(guān)概念時，對含有參數(shù)的集合問題容易出錯，盡管知道集合中元素是互異的，也不會寫出1,1這種形式，但當(dāng)字母a出現(xiàn)時，就會忽略a1的情況，因此要重點注意一定要記?。寒?dāng)集合中的元素用字母表示時，求出參數(shù)后一定要代入檢驗，確保集合中元素的互異性學(xué)科素養(yǎng)解決集合的新定義問題的基本方法集合命題中與運算法則相關(guān)的問題已經(jīng)成為新課標(biāo)高考的熱點這類試題的特點

11、：通過給出新的數(shù)學(xué)概念或新的運算方法，在新的情況下完成某種推理證明或指定要求是集合命題的一個新方向常見的有定義新概念、新公式、新運算和新法則等類型例5 當(dāng)xa時，若x1a且x1a，則稱x為a的一個“孤立元素”，所有孤立元素組成的集合稱為“孤星集”，則集合a0,1,2,3,5中“孤立元素”組成的“孤星集”為_5_.分析準(zhǔn)確理解題中給出的新定義，并將其翻譯成自然語言是解答此類題的關(guān)鍵解析由“孤立元素”的定義知，對任意xa，要成為a的孤立元素，必須是集合a中既沒有x1，也沒有x1，因此只需逐一考查a中的元素即可.0有1相伴，1,2則是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，從而集合a0,1,

12、2,3,5中“孤立元素”組成的“孤星集”為5，故填5歸納提升解決這類問題的基本方法：仔細(xì)審題，準(zhǔn)確把握新信息，想方設(shè)法將新定義的問題化歸為已經(jīng)解決的熟悉問題，從而使問題得到解決也就是“以舊帶新”法課堂檢測·固雙基1下列集合中，不同于另外三個集合的是(c)ax|x2 019by|(y2 019)20cx2 019d2 019解析選項a、b是集合的描述法表示，選項d是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個元素2 019，都是數(shù)集而選項c它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個方程2由大于3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是(d)ax|3<x<11，xqbx|3<x&

13、lt;11cx|3<x<11，x2k，kndx|3<x<11，x2k，kz解析因為所求的數(shù)為偶數(shù)，所以可設(shè)為x2k，kz，又因為大于3且小于11，所以3<x<11，即大于3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是x|3<x<11，x2k，kz故選d3已知集合a1,2,3,4,5，b(x，y)|xa，ya，xya，則b中所含元素的個數(shù)為(d)a3b6c8d10解析由a1,2,3,4,5，b(x，y)|xa，ya，xya，當(dāng)x5時，y4,3,2,1，當(dāng)x4時，y3,2,1，當(dāng)x3時，y2,1，當(dāng)x2時，y1，所以b(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，所以b中所含元素的個數(shù)為10.4已知集合a1,0,1，集合by|y|x|，xa，則b_0,1_.解析a1,0,1，當(dāng)x1，或1時，y1，當(dāng)x0時，y0，b0,15用列舉法表示下列集合(1)axz|z；(2)by|yx29，xz，yz，y