2019-2020學(xué)年福建省普通高中高二1月學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2019-2020學(xué)年福建省普通高中高二1月學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1 .已知集合人=一, 6 = 1,2,則AC16等于()A. 1B. 2C. -1,1D. -1,1,2【答案】A【解析】直接根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧? = -1,1, 6 = 1,2,所以AnB = l.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2 .已知向量)= (1,2), 5 = (2-1),貝!+ b等于()A. (-3,-1) B. (-1,3)C. (1,3)D.(3,1)【答案】D【解析】根據(jù)平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄咳f(wàn)= (1,2),坂

2、=(2,1),所以 d + B = (1 + 2,2 1) = (3,1),故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3 .如圖放置的圓柱，它的俯視圖是()A.匚【答案】C【解析】根據(jù)俯視圖的定義，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】俯視圖為由上向下觀察的平面圖形，所以俯視圖為圓，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了由直觀圖判斷三視圖，屬于基礎(chǔ)題.4 .等比數(shù)列2, 4, 8,的公比為（）1 1A. -B. C. 2D. 442【答案】C【解析】利用等比數(shù)列的定義求公比即可.【詳解】由己知2, 4, 8,為等比數(shù)列,4 8則公比q = = W = 2.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)

3、列的概念.屬于容易題.5 .某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中射靶5次，每次命中的環(huán)數(shù)分別為9, 9, 10, 9, 8, 則他這次射擊測(cè)試的平均環(huán)數(shù)為（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)公式計(jì)算可得答案.【詳解】 他這次射擊測(cè)試的平均環(huán)數(shù)為（x（9 + 9 + 10 + 9 + 8） = 9.故選：C.【點(diǎn)睛】 本題考查了一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.x>06 .不等式組，y>0,表示的平面區(qū)城為（）x+y-l<0【答案】A【解析】采用排除法可得答案.【詳解】 由xno, 排除& c.由x=O,y = O滿足x+）l<0知

4、A符合,故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，屬于基礎(chǔ)題.7 .隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則其向上一面的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率為（）1111A. -B. -C. -D.-6432【答案】D【解析】利用列舉法可得基本事件的總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概 型的概率公式可得結(jié)果.【詳解】隨機(jī)拋擲一枚骰子，向上點(diǎn)數(shù)有1, 2, 3, 4, 5, 6共6種，為偶數(shù)的為2, 4, 6共3第3頁(yè)共16頁(yè)3 1種情況，則概率為一=.6 2故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用列舉法求占典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.8 .已知直線心y = x+i, /2： y = kx-l9若則實(shí)數(shù)k等于

5、（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】根據(jù)兩條直線的斜率乘積等于-1可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€4： y=x+i, /2： y = kx-i,且/J*所以lxk =l,即k = T.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了由兩條直線垂直求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.9 .不等式Vx2>0的解集是（）A. 止1cx<2B.卜,<-2或%>1C. 止2cx<1D. 中<-1 或x>2【答案】D【解析】根據(jù)二次不等式的解法求解即可.【詳解】由/一工一2>0 即（x+l）（x2）>0得x<l或x>2.所以原不等式的解集為：或x>2.故

6、選：D.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，屬于簡(jiǎn)單題.310.已知。是第二象限的角，且cosa = §,則sin2。等于（）24121224A. C. D.25252525【答案】A第5頁(yè)共16頁(yè)【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角的正弦公式求解.【詳解】因?yàn)?。是第二象限的角，所?sin a =11- 2 = 3,siii 2a = 2 sin a cos a = 2x-x2425故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦公式，屬于容易題.11.已知 4 = log67, /? = log76, c = log70.6,則。，b , C 的大小關(guān)系

7、是（）A. a <b<cB. c <b<aC. c <a <bD. a<c<b【答案】B【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得。>1，0</?<1, C<0.【詳解】由"log6 7 > log6 6 = 1,b = log7 6 < log7 7 = 1 且 b > log-1 = 0 ,即 0 v b v 1,c = log7 0.6 <log71 = 0,即故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.12.函數(shù)y =，sinx+立cos工的最大值是（）【答案】C【

8、解析】先利用輔助角公式化簡(jiǎn)整理，再利用三角函數(shù)的值域求解最大值即可.【詳解】第9頁(yè)共16頁(yè)由 ysmx+3c°sx =.22= su】2I 3 J又函數(shù)= sin x+g的值域?yàn)? ）則函數(shù)廣如1+冬。SX的最大值為1.故選：c.【點(diǎn)睛】 本題主要考查了輔助角公式以及求三角函數(shù)的最值問(wèn)題,屬于較易題.13 .已知函數(shù)），=/, y = bx, y = c'的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)，b,。的大小關(guān)系是（）A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<b<a【答案】D【解析】取x = l，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解

9、】當(dāng)x取1時(shí)，三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值分別為。，b, C,由圖知 故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.A. 1，214 .函數(shù)=的定義域?yàn)椋ǎ〣.(1,2C. (-00,2D. (1,+8)【解析】根據(jù)函數(shù)有意義的條件列出關(guān)于X的不等式組，解對(duì)數(shù)不等式組即可:【詳解】X>1,X-1 <1,x-l> 0,log】 (x-l)> 0 » 解得 所以l<x<2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)定義域的求解，其中主要考查了對(duì)數(shù)及根式有意義的條件，屬于簡(jiǎn)單題, 解題的關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)不等式的解法的掌握.15 .用一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)一邊

10、靠墻的矩形菜園.已知墻長(zhǎng)20米，則菜園面 積的最大值是（）A. 144B. 160C. 162D. 180【答案】C36- V【解析】設(shè)菜園靠墻一邊的長(zhǎng)為X米，則矩形菜園的寬為二一米，且0<x<20,根 據(jù)矩形的面積公式得到矩形的面枳，再根據(jù)基本不等式求出最大值即可得解.【詳解】36 丫設(shè)菜園靠墻一邊的長(zhǎng)為X米，則矩形菜園的寬為工米，且0<x«20,2則菜園面枳y = x生尸=1一12(36-x)<1xV + 36-V =162.當(dāng)且僅當(dāng)2 I 2>x = 36 x即x = 18時(shí)等號(hào)成立,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最

11、值，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題16 .閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的X的值為3,則輸出的）的.【答案】2【解析】根據(jù)程序框圖判斷框內(nèi)的條件進(jìn)行判斷及運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)程序框圖可知，當(dāng)x = 3時(shí)，應(yīng)執(zhí)行步驟y = log2（x+l） = log2 4 = 2,所以輸出）'的值為2.故答案為：2 【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖判斷輸出的結(jié)果，屬于簡(jiǎn)單題.17 .已知|£卜5, b=4f £與5的夾角8 = 60°,則.【答案】10【解析】由。bTM-W-ose計(jì)算出答案即可【詳解】因?yàn)閨。|=5, | h |= 4 > a與b的夾角6

12、= 60所以。5=|4卜 /? cos8 = 5x4xcos600 = 10故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查的是向量數(shù)量積的直接計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.18 .在ABC 中，AB = 2» A = 45。，C = 30 ,則 6C =.【答案】2&【解析】直接根據(jù)正弦定理可解得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得里二也, sm A sin CBC 2所以7?一工，得6c = 2jl T 2故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.以已知"x)= Q(i),m，則42)=【答案】2【解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式代入求值即可得解.【詳解】/(2) = /(2-1) =

13、/(1) = 21 = 2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了求分段函數(shù)的函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.20.已知函數(shù)x) = 4W一丘-8.若對(duì)任意為，士45,20,且占工毛，均有 /(不)。/(毛)，則實(shí)數(shù)出的取值范圍.【答案】(y,40U160,+oo)【解析】已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)AM在5,20上為單調(diào)函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的 關(guān)系列式可解得結(jié)果.【詳解】依題意分析可知，函數(shù)AM在5,20上為單調(diào)函數(shù)，_L_k所以45或 >20,即ZK40或女2160.2x42x4故答案為：(s,40U160,+8).【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.第15頁(yè)共16頁(yè)三、解答題21.已知等差數(shù)

14、列4的前項(xiàng)和為S“，且生=5, d5 = ll.(1)求q的通項(xiàng)公式；(2)若S“=120,求.【答案】(1)%=2 + 1： (2) 10.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列”的首項(xiàng)為外，公差為d ,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入%=5, %=11，即可得解；(2)由(1)求出通項(xiàng)公式。”，進(jìn)而求出S“，代入求和公式即可的解.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列4的首項(xiàng)為可,公差為d ,因?yàn)樯?5,。5=11，所以q + d = 5, q+4d = 11,解得q = 3, d = 2所以。“ =4 +(l)d = 3+2(-1) = 2 + l, £ N* ,所以q的通項(xiàng)公式為% = 2 +1, G N” .

15、(2)由(1)知q = 3,=2 + 1,因?yàn)?S = 120,所以如包=120, 2nn (3 + 2 + 1)即<- = 120,2化簡(jiǎn)得2+ 2 一 120 = 0,解得刀= 10.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，有一定的計(jì)算量，難度不大，是基礎(chǔ)題.22.已知圓。：V + y=8,點(diǎn)"（1,2）,直線/過(guò)點(diǎn)4且傾斜角為a.（1）判斷點(diǎn)4與圓。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若a = ：,求直線/被圓。所戴得的弦A5的長(zhǎng).4【答案】（1）點(diǎn)在圓。內(nèi)，理由見(jiàn)解析；（2）曬.【解析】（1）根據(jù)|北|<，.可得結(jié)果；（2）利用點(diǎn)斜式

16、求出直線/的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線/的距離, 根據(jù)勾股定理可求得弦長(zhǎng).【詳解】（1）點(diǎn)痣在圓。內(nèi)，理由如下：由已知得圓。的圓心為0（0,0）,半徑二 2直，因?yàn)椋ㄒ?,2）,所以|0周=J（_i）2 + 2? =6.因?yàn)閨O引 <，所以點(diǎn)”在圓。內(nèi).（2）因?yàn)椤?，所以直線/的斜率為1.4因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)鳥（一1,2）,所以直線/的方程為y 2 = -（x+l）,即x+> - l = 0,由圓心O到直線I的距離d =,所以lABk2（2&j_孝=病.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查了直線方程的點(diǎn)斜式，考查了點(diǎn)到直線的距離公式, 屬于基礎(chǔ)題.23.某

17、地區(qū)2010年至2016年農(nóng)村居民家庭人均純收入y （單位：千元）的數(shù)據(jù)如表:年份2010201120122013201420152016年份代號(hào)，1234567人均純收入）2.93.33.64.44.85.25.9(1)求)關(guān)于，的線性回歸方程；(2)利用(1)中的線性回歸方程，分析2010年至2016年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純 收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入.2()(丫-了)附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為 =J,f=la = y-bT【答案】(1)夕= 05 + 2.3； (2) 2010年至2016年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐 年增

18、加，平均每年增加0.5千元，7. 8千元.【解析】(1)根據(jù)根據(jù)最小二乘法估計(jì)公式，基礎(chǔ)線性回歸方程的基本量，即可得解： (2)由(1)知， =0.5>0,故2010年至2016年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，將2020年的年份代號(hào) = 11代入1=0.5/ + 2.3,即可得解.【詳解】(1)由題意得丁=；(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 4, 尸(2.9 + 3.3 + 3.6 + 4.4 + 4.8 + 5.2 + 5.9)= 4.3 , 所以/?_(-3)x(-1.4)+ (-2)x(-l) + (-l)x(-0,7)+ 0x0.1 + lx0.

19、5 +2x0.9 + 3xl.6 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9= = 0.528所以力=了一7=4.3 0.5x4 = 2.3 ,所以)'關(guān)于t的線性回歸方程為夕=0.5Z + 2.3.(2)由(1)知，b = 0.5>0,故2010年至2016年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加0. 5千元, 將2020年的年份代號(hào) = 11代入1=0.5f + 2.3 ,得 9 = 0.5x11 + 2.3 = 7.8,故預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入為7. 8千元.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的計(jì)算，考杳了對(duì)線性回歸方程各個(gè)量的理解以及線

20、性回歸方 程的預(yù)測(cè)作用，在解題時(shí)公式已經(jīng)給出，計(jì)算相對(duì)較為繁瑣，屬于中檔題.24.如圖，在直四棱柱488 AdGR中，庫(kù)面四邊形A5CO的對(duì)角線AC, BD互相平分，E為的中點(diǎn).（1）求證：平面A£C；（2）若,則平面4EC_L平面8月試在三個(gè)條件“四邊形A6CQ是平行 四邊形；四邊形A5CO是矩形；四邊形A6CO是菱形”中選取一個(gè)，補(bǔ)充在上面 問(wèn)題的橫線上，使得結(jié)論成立，并證明.【答案】（1）證明見(jiàn)解析：（2）答案見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)ACn5O = O,連接。石，由題意得8OJ/OE,利用線面平行的判定 定理證明即可：（2）先判斷三個(gè)條件，判斷選擇的條件是；先利用菱

21、形的特點(diǎn)得到 ACLBD,又幾何體為直四棱柱，得到。R_L平面A5C。，進(jìn)而得到4C_LOR, 利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理證明即可.【詳解】（1）證明：如圖，設(shè)Acnso = o,所以。為3。的中點(diǎn).連接。石，因?yàn)槭癁椤?的中點(diǎn),所以 BDJ/OE.又因?yàn)?%(Z平面AEC, OEu平面A£C,所以6D”平面AEC.(2)解：選擇的條件是.證明如下：因?yàn)樗倪呅蜛BCO是菱形，所以 AC _L 60,因?yàn)樗睦庵鵄5CQ AdGR是直四棱柱，所以0A_L平面A6C0,因?yàn)?Cu平面468，所以 AC_L£>2，因?yàn)?6。n。 = d ,所以AC_L平面6

22、月。，因?yàn)槿薈U平面AEC,所以平面AEC1平面BBQQ.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及線面垂直，面面垂直的判定定理.屬于中檔題.25.已知定義在R上的函數(shù)/(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期，且y = /(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1。對(duì)稱.(1)試給出滿足上述條件的一個(gè)函數(shù)，并加以證明；(2)若TKxKl, f(x) = l-x2t寫出/(x)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)/(x) = cosyx,證明見(jiàn)解析；(2),11 (x4k>，l+4k(xKl + 4k,keZ,單調(diào)遞增區(qū)間是(x-2-4k)- -1,1 + 4攵 <x<3 + 4k,2 + 4攵,4k(k £Z).【解析】(I) /(x) = cosyX,根據(jù)偶函數(shù)的定義可證/(X)是偶函數(shù)；根據(jù)周期函數(shù) 乙的定義可證4是函數(shù)/（X）的一個(gè)周期：設(shè)4（.%,%）關(guān)于點(diǎn)（1,0）的對(duì)稱點(diǎn)為4（匕,乂），利用中點(diǎn)公式求出用（興），可證點(diǎn)也在函數(shù)y = /（x）的圖象上.（2）利用對(duì)稱性求出當(dāng)1<X<3時(shí)，/（x） = （x 2f1,再根據(jù)周期性可求出了（X）的解析式：先求出函數(shù)/（M在一個(gè)周期內(nèi)的遞增區(qū)間為-Z0,再