第四講 小升初圖形面積專題

1、第四講 平面幾何部分2. 掌握五大面積模型的各種變形 知識(shí)點(diǎn)撥一、等積模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等;兩個(gè)三角形高相等,面積比等于它們的底之比; 兩個(gè)三角形底相等,面積比等于它們的高之比; 如右圖 12:S S a b =夾在一組平行線之間的等積變形,如右圖 ACDBCD S S = ;反之,如果 ACD BCD S S = ,則可知直線 AB 平行于 CD .等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等 (長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形 ; 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半;兩個(gè)平行四邊形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個(gè)平行四邊形底相等,面積比等于它們的高之比. 二、鳥(niǎo)頭定

2、理兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ),這兩個(gè)三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角 (相等角或互補(bǔ)角 兩夾邊的乘積之比.如圖在 ABC 中, , D E 分別是 , AB AC 上的點(diǎn)如圖 (或 D 在 BA 的延長(zhǎng)線上, E 在 AC 上 ,:( :( ABC ADE S S AB AC AD AE = 則EDCBA圖 圖三、蝴蝶定理任意四邊形中的比例關(guān)系 (“蝴蝶定理” : 1243:S S S S =或者 1324S S S S = (1243:AO OC S S S S =+ 蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑. 通過(guò) 構(gòu)造模型, 一方面可以使不規(guī)則四邊

3、形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形 相聯(lián)系;另一方面,也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系. 梯形中比例關(guān)系 (“梯形蝴蝶定理” : 2213:S S a b = 221324:S S S S a b ab ab =; S 的對(duì)應(yīng)份數(shù)為 (2a b +.S 2S 1DC BAS 4S 3S 2S 1DCBA A BCDba S 3S 2S 1S 4EDCB A四、相似模型(一 金字塔模型 (二 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF GAD AE DE AFAB AC BC AG=; 22:ADE ABC S S AF AG = :. 所謂的相似三角形, 就是形狀相同, 大小不同的三角形 (只

4、要其形狀不改變, 不論大小怎樣改變它們都相似 , 與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下:相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例,并且這個(gè)比例等于它們的相似比; 相似三角形的面積比等于它們相似比的平方;連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理:三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半.相似三角形模型,給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具. 在小學(xué)奧數(shù)里,出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形. 五、燕尾定理在三角形 ABC 中, AD , BE , CF 相交于同一點(diǎn) O ,那么 :ABO ACO S S BD DC =.上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面

5、積比與線段比的手段, 因?yàn)?ABO 和 ACO 的形狀很象燕子的尾巴, 所以這 個(gè)定理被稱為燕尾定理. 該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用, 它的特殊性在于, 它可以存在于任何 一個(gè)三角形之中,為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑 . 六、正方形面積等于對(duì)角線的平方除以 2. 如圖: S ABDC =12S AEFC =12AC 2(很明顯,大正方形面積是小正方形的兩倍,因?yàn)榇笳叫斡?4個(gè)直角 三角形,而小的只有 2個(gè)FE D C B AFE典例精講例 1 三角形 ABC 的面積為 36平方厘米, D 上分別為 BC 、 AC 邊上的三等分點(diǎn) (如圖 。 則三角形 ADE

6、 的面積為平方厘米 ?例 2 如圖, ABC 中, CD =3AD , EC =3BE ,那 ABO 的面積占 ABC 面積的 _分之 _;例3、如圖,三角形 ABC 的面積是 1, E 是 AC 的中點(diǎn),點(diǎn) D 在 BC 上,且 :1:2BD DC =, AD 與 BE 交于 點(diǎn) F .則四邊形 DFEC 的面積等于 .ED CBA例4、如圖,長(zhǎng)方形 ABCD 的面積是 2平方厘米, 2EC DE =, F 是 DG 的中點(diǎn).陰影部分的面積是多少平方厘米 ? CECD O x yy x A BCD E FGE DCBA例5、四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O (如圖所示

7、.如果三角形 ABD 的面積等于三角形 BCD 的面積的 13,且 2AO =, 3DO =,那么 CO 的長(zhǎng)度是 DO 的長(zhǎng)度的 _倍.【鞏固】如圖,四邊形被兩條對(duì)角線分成 4個(gè)三角形,其中三個(gè)三角形的面積已知, 求:三角形 BGC 的面積; :AG GC =? 例6、如圖,長(zhǎng)方形 ABCD 中, :2:3BE EC =, :1:2DF FC =,三角形 DFG 的面積為 2平方厘米,求長(zhǎng)方 形 ABCD 的面積.ABCD EFABCD EF【解析】 連 接 AE , FE .因?yàn)?:2:3BE EC =, :1:2DF FC =,所以 3111( 53210DEF ABCD ABCDS S

8、 S = 長(zhǎng)方形 長(zhǎng)方形 . 因?yàn)?12AED ABCD S S =長(zhǎng)方形 , 11:5:1210AG GF =,所以 510AGD GDF S S = 平方厘米,所以 12AFDS = 平方厘米.因?yàn)?16AFD ABCD S S = 長(zhǎng)方形 ,所以長(zhǎng)方形 ABCD 的面積是 72平方厘米.例7、如圖,正方形 ABCD 面積為 3平方厘米, M 是 AD 邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面積.B A【解析】 因 為 M 是 AD 邊上的中點(diǎn),所以 :1:2AM BC =,根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道22:1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S = ( ( ,

9、設(shè) 1AGM S = 份 , 則12MCD S =+= 份,所以正方形的面積為 1224312+=份, 224S =+=陰影 份,所以AB C DB:1:3S S =陰影 正方形 ,所以 1S =陰影 平方厘米.【鞏固】在下圖的正方形 ABCD 中, E 是 BC 邊的中點(diǎn), AE 與 BD 相交于 F 點(diǎn),三角形 BEF 的面積為 1平方厘米,那么正方形 ABCD 面積是 平方厘米.A BCDE【解析】 連 接 DE ,根據(jù)題意可知 :1:2BE AD =,根據(jù)蝴蝶定理得2129S =+=梯形 ( (平方厘米 ,3ECD S = (平方厘米 , 那么 12ABCD S = (平方厘米 .例8

10、如右圖, 三角形 ABC 中, :3:2AF FB BD DC CE AE =, 且三角形 ABC 的面積是 1, 則三角形 ABE 的面積為 _, 三角形 AGE 的面積為 _, 三角形 GHI 的面積為 _.課后練習(xí): 課后練習(xí):練習(xí) 1. 已知 DEF 的面積為 7平方厘米, , 2, 3BE CE AD BD CF AF =,求 ABC 的面積.ED CBA【解析】:( :( (11 :(23 1:6BDE ABC S S BD BE BA BC = ,:( :( (13 :(24 3:8CEF ABC S S CE CF CB CA = :( :( (21 :(34 1:6ADF A

11、BC S S AD AF AB AC = 設(shè) 24ABC S = 份,則 4BDE S = 份, 4ADF S = 份, 9CEF S = 份, 244497DEF S =-= 份,恰好 是 7平方厘米,所以 24ABC S = 平方厘米練習(xí) 2. 如圖,四邊形 EFGH 的面積是 66平方米, EA AB =, CB BF =, DC CG =, HD DA =,求四邊形I F E D C B AABCD 的面積 的面積 H C D A E B F E H G D A C B G F 【解析】 連接 BD 由共角定理得 S BCD : SCGF = (CD CB : (CG CF = 1:

12、2 ，即 SCGF = 2SCDB 同理 S ABD : S AHE = 1: 2 ，即 S AHE = 2S ABD 所以 S AHE + SCGF = 2( SCBD + S ADB = 2 S四邊形ABCD 連接 AC ，同理可以得到 S DHG + S BEF = 2 S四邊形ABCD S四邊形EFGH = S AHE + SCGF + SHDG + S BEF + S四邊形ABCD = 5S四邊形ABCD 所以 S四邊形ABCD = 66 5 = 13.2 平方米 練習(xí)3. 練習(xí) 平方厘米， 的中點(diǎn)， 的中點(diǎn)， 正方形 ABCD 的面積是 120 平方厘米， E 是 AB 的中點(diǎn)，

13、F 是 BC 的中點(diǎn)，四邊形 BGHF 的面積是 平方厘米 平方厘米 A D E G H F A D B C E G H F 【解析】 欲求四邊形 BGHF 的面積須求出 EBG 和 CHF 的面積 1 由題意可得到： EG : GC = EB : CD = 1: 2 ，所以可得： SEBG = SBCE 3 將 AB 、 DF 延長(zhǎng)交于 M 點(diǎn)，可得： BM : DC = MF : FD = BF : FC = 1:1 ， 1 2 而 EH : HC = EM : CD = ( AB + AB : CD = 3 : 2 ，得 CH = CE ， 2 5 1 1 2 1 而 CF = BC ，

14、所以 SCHF = SBCE = SBCE 2 2 5 5 1 1 1 SBCE = AB BC = 120 = 30 2 2 4 1 1 7 7 S四邊形BGHF = SEBC SEBC SEBC = S EBC = 30 = 14 3 5 15 15 本題也可以用蝴蝶定理來(lái)做，連接 EF ，確定 H 的位置(也就是 FH : HD ，同樣也能解出 B C M 練習(xí)4. 練習(xí) 如圖， 已知 AB = AE = 4cm ， = DC ， BAE = BCD = 90 ，AC = 10cm ， SABC + SACE + SCDE = BC 如圖， 則 cm 2 6 C B C B A E A

15、D A E D C 【解析】 將三角形 ABC 繞 A 點(diǎn)和 C 點(diǎn)分別順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90o ，構(gòu)成三角形 AEC 和 A DC ，再連接 A C ，顯然 AC AC ， AC A C ， AC = A C = AC ，所以 ACA C 是正方形三角形 AEC 和 三角形 A DC 關(guān)于正方形的中心 O 中心對(duì)稱，在中心對(duì)稱圖形 ACA C 中有如下等量關(guān)系： SAEC = SA DC ； SAEC = SA DC ； SCED = SC DE 1 1 所以 SABC + SACE + SCDE = SAEC + SACE + SCDE = S ACA C = 10 10 = 50cm

16、2 2 2 練習(xí)5. 練習(xí) 如圖， 平方厘米， 的中點(diǎn)， 的中點(diǎn)， 如圖，正方形 ABCD 的面積是 120 平方厘米， E 是 AB 的中點(diǎn)， F 是 BC 的中點(diǎn)，四邊形 BGHF 的 面積是_平方厘米 _平方厘米 面積是_平方厘米 A D A D E G H E G H B F C B F C 【解析】 連接 BH ,根據(jù)沙漏模型得 BG : GD = 1: 2 ,設(shè) S BHC = 1 份， 根據(jù)燕尾定理 SCHD = 2 份，S BHD = 2 份， 1 2 7 7 因此 S正方形 = 1 + 2 + 2 2 = 10 份， S BFHG = + = ，所以 S BFHG = 120

17、 10 = 14 (平方厘米. （ 2 3 6 6 練習(xí)6. 如圖， 的中點(diǎn)， 的三等分點(diǎn)， 如圖， ABC 中，點(diǎn) D 是邊 AC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 、 F 是邊 BC 的三等分點(diǎn)，若 ABC 的面積為 1，那 的面積是_ _ 么四邊形 CDMF 的面積是_ A D N C B E A D N B E M M F F C 【解析】 由于點(diǎn) D 是邊 AC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 、 F 是邊 BC 的三等分點(diǎn)，如果能求出 BN 、 NM 、 MD 三段的比， 那么所分成的六小塊的面積都可以求出來(lái)，其中當(dāng)然也包括四邊形 CDMF 的面積 連接 CM 、 CN 根據(jù)燕尾定理， SABM : SACM =

18、BF : CF = 2 :1 ，而 SACM = 2 SADM ，所以 SABM = 2SACM = 4 SADM ，那 4 么 BM = 4 DM ，即 BM = BD 5 7 那么 SBMF = BM BF 4 2 1 4 1 4 7 SBCD = = ， S四邊形CDMF = = BD BC 5 3 2 15 2 15 30 1 1 1 1 另解：得出 SABM = 2SACM = 4 SADM 后，可得 SADM = SABD = = ， 5 5 2 10 1 1 7 則 S四邊形CDMF = SACF SADM = = 3 10 30 練習(xí)7. 練習(xí) 如右圖， 如右圖，三角形 ABC 中， AF : FB = BD : DC = CE : AE = 4 : 3 ，且三角形 ABC 的面積是 74 ，求角形 GHI 的面積 的面積 A A F I B H G D E F I C B H G D E C 【解析】 連接 BG， S AGC = 12 份 根據(jù)燕尾定理， S AGC : S BGC =