2020年北京市101中學(xué)高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷

1、期中數(shù)學(xué)試卷題號(hào)一一三總分得分一、選擇題(本大題共 8小題，共40.0分)1 . 若 z=3+4i,貝U |z|二()A.盧B. 5C. 7D. 252 . 下列四個(gè)函數(shù)：y=x3;y=x2+l；y=|x|；y=2x.其中在x=0處取得極值的是( )A.B.C.D.3 .在極坐標(biāo)系中，直線 p sin- p9cos。被密線p吊2截得的線段長(zhǎng)為()A.B.C.D. 24 . f (x) =x (2018+lnx),若 f' (x。)=2019,貝U xo等于()A. e2B.1C.ln2D. e5 .已知函數(shù)y= f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，則f(x)的極大值點(diǎn)共有()A.

2、1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)6 .已知曲線t3在點(diǎn)處切線的斜率為1,則實(shí)數(shù)a的值為()A.B. -1C. DD. 27 . 已知函數(shù) - lnx-x + ；,若我=6,b=f (兀)，c=f (5),則()A. cvbvaB. c<a< bC. b< c< aD. avcv b8 . 已知實(shí)數(shù)a, b滿足a2-3lna-b=0, cCR,則(a-c) 2+ (b+c) 2的最小值為()A. 1B.C. 2D.二、填空題(本大題共 6小題，共30.0分)9 . 函數(shù)f (x) =x2-2lnx的單調(diào)減區(qū)間是 .10 .復(fù)數(shù)z=： (i為虛數(shù)單位)的共軻復(fù)數(shù)是 .11 .曲

3、線y=ln (x+2) -3x在點(diǎn)(-1, 3)處的切線方程為 .12 .若復(fù)數(shù)(a+i) (3+4i)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面的一、三象限角平分線上，則實(shí)數(shù)a=.tx = 2 + cosO13 .已知圓C的參數(shù)方程為| y = sM(。為參數(shù))，則圓 C的面積為 ；圓心C到直線l: 3x-4y=0的距離為.14 .若函數(shù)f (x) =2x3-ax2+ex+1 (aCR)是實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)，則函數(shù) f (x)在區(qū)間 卜1, 1上的最大值與最小值的和的最小值為 .三、解答題(本大題共 4小題，共50.0分)15 .設(shè)函數(shù) f (x) =-；(x-5)2+61nx.(1)求曲線y=f (x)在點(diǎn)(1,

4、f(1)處的切線方程;(2)求函數(shù)y=f (x)的單調(diào)區(qū)間與極值.16 .已知函數(shù) f (x) =axex-x2-2x.(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)f (x)的極值；(2)當(dāng)xC (-2, 0)時(shí)，f (x) «恒成立，求a的取值范圍.17 .已知函數(shù) f (x) =x3-x-M.(i)判斷的單調(diào)性；(n )求函數(shù)y=f (x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(出)令g (x) =',：+lnx,若函數(shù)y=g (x)在(0/)內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù) a的 “rNt取值范圍.18 .已知常數(shù) a>0,函數(shù) f(x) = ln(1 +ax)-5.(1)討論f(x)在區(qū)間(0, +8止的單調(diào)性；(2)若

5、f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1, x2,且f(x1)+ f(x2)>0,求a的取值范圍.答案和解析1 .【答案】B【解析】解：團(tuán)=3工+屋=5故選：B.利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式直接求解即可. 本題考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.2 .【答案】B【解析】解：y=x3；y=2x.在R上都單調(diào)遞增，因此無極值.y=x2+l； y' =2x=0,解得 x=0, x<0 時(shí)，y' < 0; x>0 時(shí)，y' >0.可得函數(shù) y=x2+1 在x=0處取得極小值.因此正確.同理可得：y二|x|在x=0處取得極小值.(雖然導(dǎo)數(shù)不存在，有點(diǎn)超出高中課本范圍)， 因此正確.故

6、選：B.根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義、取得極值的判斷方法即可判斷出結(jié)論.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3 .【答案】C【解析】 解：直線p sin-電cos。嚷?lián)Q為直角坐標(biāo)方程為：x-y+1=0 .曲線p弋2轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2,所以圓心(0, 0)到直線x-y+1=0的距離d= = #,故選：C.首先把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步利用點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用求出結(jié)果.本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬

7、于基礎(chǔ)題型.4 .【答案】B【解析】 解：f (x) =x (2018+lnx),則 f' (x) =2019+lnx,. f' (x0) =2019+lnx0=2019,. x0=1,故選：B.可求出導(dǎo)函數(shù) f' ( x) =lnx+2019,從而根據(jù)f' ( x0) =2019即可得出x0的值.本題考查了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，積的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，已知函數(shù)求值的方法，考 查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5 .【答案】B【解析】 解：f (x)取得極大值，則滿足：f' (x) =0,在x的左邊f(xié)' (x) > 0,在x 的右邊f(xié)' (

8、x) V 0.由圖可得：f(X)的極大值點(diǎn)共有 2個(gè)：為-2, 2.故選：B.f (x)取得極大值，則滿足：f'(x)=0,在x的左邊f(xié)'(x)>0,在x的右邊(x)<0.由圖即可得出.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6 .【答案】B【解析】【分析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f (x),利用f (1) =1,解a即可.【解答】解:XT，第9頁(yè)，共9頁(yè)故 f (x)在(0, +0°)遞減,f'(x)=Z*，,曲線f(x)在x=1處切線

9、斜率為1,即f'=1 ,竽=1,解得 a=-1 .故選B.7 .【答案】A解：f (x)的定義域是(0, +8),<0,f' (x)cv b< a,故選：A.求出函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而比較函數(shù)值的大小即可.道基礎(chǔ)題.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是8 .【答案】C【解析】解：分別設(shè) y=f (x) =x2-3lnx, (x>0) , y=-x,則(a-c) 2+ (b+c) 2表示曲線y=f (x)上的點(diǎn)到直線y=-x的距離的平方，因?yàn)?f (x) =x2-3lnx,所以 f' (x) =2x-所以2x-,=-1,

10、x>0,解得：x=1,所以切點(diǎn)為P (1, 1),所以P到直線y+x=0距離為：d=；=.2 所以(a-c) 2+(b+c)2的最小值為2,故選：C.構(gòu)造函數(shù)，y=f (x) =x2-3lnx, (x>0) , y=-x,貝U ( a-c) 2+ (b+c) 2表示曲線 y=f (x)上的點(diǎn)到直線y=-x的距離的平方，求導(dǎo)，求出與y=-x平行的切線方程，進(jìn)而求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩條平行線的距離，進(jìn)而求出( a-c) 2+ (b+c) 2的最小值.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和平行線間的距離公式，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)和直線，屬于中難題.9 .【答案】(0,1)【解析】解：才(x) =x2-2ln

11、x (x>0),f (x) =2x-=,1/CJtTi.x令 f' ( x)。由圖得：0V x< 1.函數(shù)f (x) =x2-2lnx的單調(diào)減區(qū)間是(0, 1).故答案為(0, 1) .依題意，可求得f' (x) =' t 7rl由f' (x) <0即可求得函數(shù)f (x) =x2-2lnx的單調(diào)減區(qū)間.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式的能力，屬于中檔題.10 .【答案】【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，共軻復(fù)數(shù)的求解，是基礎(chǔ)題.直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)結(jié)合共軻復(fù)數(shù)得答案.【解答】解：,2二IT 口加工 之+

12、山故答案為：2.11 .【答案】2x+y-1=0【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程.本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用 點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.【解答】解：y=ln (x+2) -3x 的導(dǎo)數(shù)為 y' =?-3,可得在點(diǎn)(-1,3)處的切線斜率為 k=1-3=-2,即有在點(diǎn)(-1,3)處的切線方程為 y-3=-2 (x+1),即為 2x+y-1=0.故答案為：2x+y-1=0.12 .【答案】-7【解析】 解：(a+i) (3+4i) = (3a-4) + (3+

13、4a) i的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面的一、三象限 角平分線上，. 3a-4=3+4a,解得 a=-7.故答案為：-7.利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部與虛部相等列式求解a值.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.13 .【答案】?！窘馕觥拷猓河蓤AC窿:濡"，可得(x-2) 2+y2=1,.圓C的圓心坐標(biāo)為(2, 0),半徑為1, 則圓C的面積為兀x2=兀；|2 x 3- 4 m Ul b圓心C (2， °)到直線l: 3x-4y=0的距離為際方二手故答案為：兀；5化圓的參數(shù)方程為普通方程，求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，則圓的面積可求；再由點(diǎn)到直

14、線的距離公式求圓心 C到直線l： 3x-4y=0的距離.本題考查圓的參數(shù)方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.14 .【答案】2-24詞【解析】解：函數(shù)f (x) =2x3-ax2+ex+1 (aCR)是實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)，顯然f (x) =6x2-2ax+ew杯恒成立，若 f (x) =6x2-2ax+e>Q=4a2-24e<0, a<,由f (x)在-1 , 1單調(diào)遞增,故 f (x) max=f (1) =3+e-a, f (x) min=f (-1) =-1-e-a,皿 += 2-2a 3 2-2,故答案為：2-2版根據(jù)題意，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷

15、出 f (x)的最大值和最小值，求和，再 求出結(jié)果即可.本題考查利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合利用能力，中檔題.15.【答案】解：(1) /=一；發(fā)一5)2+ 6加札x>0,.f (1) =-8,切點(diǎn)為(1, -8),/=5r+ ；,切線斜率 k=f' (1) =10,.切線方程為y+8=10 (x-1),即 10x-y-18=0.(2) =5-工 + ；T* 6M * i) -=；,x>0 ,令 f (x) >0, 0<x<6；令 f' (x) <0, x> 6 ,.f (x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0, 6),單調(diào)遞減區(qū)

16、間為(6, +8)；- f (x)極大值為f (6) =-+6ln6,無極小值.【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出 f (1) , f' (1)的值，代入直線方程即可；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可.本題考查了求曲線的切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，是 一道中檔題.16 .【答案】(1)當(dāng) a=1 時(shí)，f (x) =xex-x2-2x, f' (x) =xex+ex-2x-2= (x+1) ( ex-2), 令 f (x) =0,得 x1=-1 , x2=ln2 .x(-OO)-1 )-1(-1,

17、ln2)ln2(ln2, +00)f (x)+0-0+f (x)/極大值極小值/所以，f (x) 極大值=f (-1) =1=；f (x) 極小值=f (ln2) =- (ln2) 2(2)當(dāng) xC (-2, 0)時(shí)，f (x) Wl恒成立. 等價(jià)于當(dāng) xC (-2, 0)時(shí)，axex-x2-2x< 1, 即 axex蟲2+2x+1,因?yàn)?xe (-2, 0), 所以a3產(chǎn)， .te7；人 J /、 a+ Zl + 1 尸 / CU! Z x (i+ 1)0令 h (x)=, xe (-2,0) , h (x)=-x(-2,-1)-1(-1, 0)h' (x)+0-h (x)/極

18、大值貝U h (x) max=h (-1) =0, 因此 a>Q 即 a 0, +8)【解析】(1)把a(bǔ)=1代入，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性和極值即可；(2)當(dāng) xC (-2, 0)時(shí)，f (x) wi恒成立，等價(jià)于當(dāng) xC (-2, 0)時(shí)，axex-x2-2x< 1,即axexM+2x+1,因?yàn)閤C (-2, 0),所以a>.,構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)最值判斷即可.本題考查導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，最值的應(yīng)用，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力， 中檔題.17 .【答案】解：(I )設(shè) 4 (x) =、=x2-1-薪(x>0),則(K(x) =2x+< >0,.體(x)

19、在(0, +8)上單調(diào)遞增；(n ) ()(1) =-1<0, 4 (2) =3->0,且 4 (x)在(0, +8)上單調(diào)遞增,()(x)在(1, 2)內(nèi)有零點(diǎn)，又 f (x) =x3-xWi=x? 4 (x),顯然 x=0 為 f (x)的一個(gè)零點(diǎn)，=x2- (2+a) x+1,f (x)在(0, +8)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；(山)g貝U g' (x)設(shè) h (x)則h (x) =0有兩個(gè)不同的根x1，X2,且有一根在(0,')內(nèi)，不妨設(shè)0vxiv 由于xix2=1,即X2>e,由于h (0) =1,故只需h J) V0即可， f'即W- (2+a)

20、,+1<0 解得 a> e+1 -2,.,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e+$2, +8).【解析】(I )化簡(jiǎn)華并求導(dǎo)數(shù)，注意定義域：(0, +8),求出單調(diào)區(qū)間；(n )運(yùn)用零點(diǎn)存在定理說明 與在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)，再說明f (x)在(0, +8)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；(出)對(duì)g (x)化簡(jiǎn)，并求出導(dǎo)數(shù)，整理合并，再設(shè)出 h (x) =x2- (2+a) x+1,說明h(x) =0的兩個(gè)根，有一個(gè)在(0, ?)內(nèi)，另一個(gè)大于 e,由于h (0) =1 ,通過h A)>0解出a即可.本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，求極值，同時(shí)考查零點(diǎn)存在定理 和二次方程實(shí)根的分布，是一

21、道綜合題.18.【答案】解：(1) I (x) =ln (1+ax) xC (0, +川，()-I 4+ ajl)(r + 2)7 ?(1+ax) (x+2) 2>0, 當(dāng) 1-awo 時(shí)，即 a小 時(shí)，f' ( x) >0 恒成立，則函數(shù)f (x)在(0, +8)單調(diào)遞增，當(dāng) Ovawi時(shí)，由(x) =0 得 x=±" a則函數(shù)f ( x)在(0,岫')單調(diào)遞減，在(岫'=),+OO)單調(diào)遞增. &n(2)由(1)知，當(dāng)a>W, f' (x)刊 此時(shí)f (x)不存在極值點(diǎn).因此要使f (x)存在兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2,則必有0V av1,又f (x)的極值點(diǎn)值可能是“近13-史巴， Q口且由f