導(dǎo)數(shù)壓軸題之隱零點問題專輯含答案純

1、導(dǎo)數(shù)壓軸題之隱零點問題導(dǎo)數(shù)壓軸題之隱零點問題(共13題)1 .已知函數(shù)f (x) = (aex- a- x) ex (a>0, e=，e為自然對數(shù)的底數(shù))，若f(x)> 0對于x R恒成立.(1)求實數(shù)a的值;(2)證明：f (x)存在唯一極大值點xo,且0<fQJV丄.U 4【解答】(1)解：f (x) =ex (aex- a-x)> 0,因為 ex>0,所以 ae- a-x>0 恒成立， 即a (ex- 1)> x恒成立, x=0時，顯然成立, x> 0 時，ex- 1 > 0,故只需0, +x)恒成立, e-1令 h (x), (x&

2、gt; 0),X 討e -1,/、 Cl-x )e-l xch (x) = <0,(r-1)故h (刈在(0, +x)遞減,而 Id :=Hnr=1,H-*-Oe -1 H-*Oe故 a> 1,XV 0 時，ex- 1< 0,故只需aw 在 (-X, 0)恒成立, 宀令 g (x), (x< 0),e-1z z、(1_K)£ 7、cg (x)=廠>0, 故h (刈在(-X, 0)遞增,而:=Hnrl=1,H-s-Oe -1 HfOe故 a< 1,綜上：a=1；(2)證明：由(1) f (X)=ex (a-X 1),故 f (x) =ex (2ex-

3、 X- 2),令 h (x) =2ex- x- 2, 在(-X, In丄)單調(diào)遞減，在(l4,2 2 h (I啥)=2el啥-I啥-2=ln2- 1 <0,h' (X)=2eX- 1,所以h (X)h (0) =0,七> 0，e- h (- 2)方程h (X)h (I噲)< 0由零點存在定理及h (x) =0在(-2, l)有唯一根，+x)單調(diào)遞增,h (-2) =2e- 2-(-2)的單調(diào)性知,設(shè)為X0且2ex0- X0 - 2=0,從而h (x)有兩個零點xo和0,所以f (刈在(-X, X0)單調(diào)遞增，在(X0, 0)單調(diào)遞減，在(0, +X)單調(diào)遞增, 從而f

4、 ( X)存在唯一的極大值點X0即證，由 2ex0-X0-2=0得 ex0, xo- 1,f(xo)=eX°(ex° - X0- 1)=丸42毗巴1/- X0- 1)=( (- X0)( 2+x0)w(44取等不成立，所以f ( X0 )<魯?shù)米C，又- 2<X0< In,f (X)在(-X, X0)單調(diào)遞增所以 f (Xo)>f (- 2) =e-2 e-2-( - 2) - 1 =e- 4+e- 2>e- 2>0 得證, 從而0<f (X0)<d成立.2.已知函數(shù) f (x) =ax+xlnx (a R)(1)若函數(shù)f (X

5、)在區(qū)間e, +x)上為增函數(shù)，求a的取值范圍;(2)當a=1且k Z時，不等式k (X- 1)< f (x)在x( 1, +x)上恒成立,求k的最大值.【解答】解：(1)v函數(shù)f (X)在區(qū)間e, +X)上為增函數(shù), f (x) =a+lnx+1> 0在區(qū)間e, +x)上恒成立，二 a> (- Inx- 1) max=- 2.二 a>- 2. a的取值范圍是-2, +x).(2) a=1 時，f (x) =x+lnx, k Z時，不等式 k (x- 1)<f (x)在 x( 1, +x)上恒成立,令 g (X)H-1則 g(x)仝TnZ令 h (X)=x- In

6、x 2 (x> 1).則 h' (X)1=x-l工=1-> 0，二 h(x) 在 (1, +x)上單增, h (3) =1 - In3<0, h (4) =2- 2In2>0,存在 xo( 3, 4),使 h (X0)=0.即當 1<x<X0 時 h (x)< 0 即 g'(x)< 0x>X0時h (x)> 0 即 g'(x)>0g (x)在 (1, xo)上單減，在(xo+x)上單增.令 h (X0) =X0 - InX0- 2=0,即 InX0=X0 - 2,Kf/l+ln 呵)Kg (l+Xo-2)

7、丸-L辺T且 k Z,g (x) min=g (X0)X0( 3, 4).k< g (X)min=X0( 3, 4),-kmax=3.3.函數(shù) f (x) =alnx x2+x,g (x)=(x- 2) ex- x2+m (其中 e=).(1)當a< 0時，討論函數(shù)f (x)(2)當 a=- 1, x( 0, 1時，f的單調(diào)性；(x)>g (X)恒成立，求正整數(shù) m的最大值.【解答】解：(1)函數(shù)f (X)定義域是(0 , +x),F上)二2氐+1二也玉坦，II(i) 當3<召時，1+8a<0,當 x( 0, +x)時 f (x)< 0, o函數(shù)f (X)的

8、單調(diào)遞減區(qū)間是(0, +x);(ii )當 士l+Sai>C,- 2x2+x+a=0 的兩根分別是: c當x( 0 , X1)時f (x)< 0.函數(shù)f (X)的單調(diào)遞減.當x(X1, X2)時f (x)> 0,函數(shù)f (X)的單調(diào)速遞增, 當x(X2, +x)時f (x)< 0,函數(shù)f (X)的單調(diào)遞減；綜上所述，("當0<丄時f (X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0, +X),8(ii)當A<a<0時，f (X)的單調(diào)遞增區(qū)間是上蟲唾冷，8448單調(diào)遞減區(qū)間是(0, Az吃唾4(2)當 a=- 1, x( 0, 1時，f (x)> g (x)

9、,即 m< (- x+2) ex- Inx+x, 設(shè) h (x) = (- x+2) ex- Inx+x, x( 0, 1 , f (G二(1x)丄)，)和呼，0) 當 0<x< 1 時，1-x> 0,設(shè)uXQ二/丄，則3)二iKQ,.u (幻在(0, 1)遞增,又 u (X)在區(qū)間(0, 1上的圖象是一條不間斷的曲線，U(寺), u 二 t肚晳,1)使得u(X0) =0,即詐二丄，1"訐-叼，當 x( 0, X0)時，u (x)< 0, h' (x)< 0;當 x(X0, 1)時，u (x)>0, h' (x)> 0;

10、函數(shù)h (劉在(0, X0單調(diào)遞減，在X0, 1)單調(diào)遞增, hg)血曲二11(叼)二(-ic口十2) e " Tnx十口尸-1+2+2兀在 x( 0, 1)遞減，X吒 £ (寺，1)， hG二T十+2毗£ 4),當mW 3時，不等式 m< (- X+2) ex-Inx+x對任意x( 0, 1恒成立,正整數(shù)m的最大值是3.4.已知函數(shù)f (x) =ex+a - Inx (其中e=，是自然對數(shù)的底數(shù)).(I )當a=0時，求函數(shù)a=0的圖象在(1, f (1)處的切線方程;當時，f (x)> e+1.c(n)求證:【解答】(I)解：a=0時，.f (芷)

11、二 f -Irn,嚴 U二匕* OO), f (1) =e,f'( 1) =e- 1,函數(shù)f (X)的圖象在(1, f (1)處的切線方程：y-e= (e- 1) (x- 1),即(e- 1) x- y+1=0;(n)證明： fj (Q二嚴丄(5),X設(shè) g (x) =f (x),貝Ug'二乜 J>0,X g ( X)是增函數(shù)， ex+a>ea,A 由/>丄6>廠，X當 x>e-a 時，f (x)> 0;若 Ov XV 1ex+a< ea+1,由/+1<丄=工,當 0<x<min1, e-a-1時，f'(x)&

12、lt; 0,故f'( x) =0僅有一解，記為X0,則當0< x< X0時，f'( x)< 0, f (X)遞減;當 x>X0 時，f '(x)> 0, f (X)遞增;J r/、 Xn+aT 口 Kg，1 _ 1肓=辺-In切F艮0二二巴而 fr 工 0)二 e賣。旦二 0=e咒0記 h (x) =lnx+x,a>l - a<1h (X0)< h (ieee),貝U f(孔)-Inso二h(丄),0疋0而h (X)顯然是增函數(shù)，De%一綜上，當a>14時，f (X)C5.已知函數(shù)f (X)=axg-(a+1) (2

13、x- 1).的圖象在點(0, f (0)處的切線方程;(1) 若a=1,求函數(shù)f (x)(2) 當x>0時，函數(shù)f (x)> 0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解答】解：(1)若 a=1，則 f (X)=xex- 2( 2x- 1),當 x=0 時，f (0) =2, f (x) =xex+ex - 4,當 x=0時，f (0) =-3,所以所求切線方程為y=-3x+2.(3 分)(2)由條件可得，首先f (1 )> 0,得aR，而 f (x) =a (x+1) ex- 2 (a+1), 令其為h (x), h' (x) =a (x+2) ex恒為正數(shù),所以h (X)即

14、f (X)單調(diào)遞增, 而 f (0) =-2-avO, f (1) =2ea- 2a-2>0,所以f (X)存在唯一根X0( 0, 1,且函數(shù)f (x)在(0, X0)上單調(diào)遞減，在(X0+X)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f (X)的最小值為f(巧)二且耳口巳"-(日+1)(2忙0-1)， 只需f (X0)> 0即可，又xo滿足«O _22已呵+1)，代入上式可得處空嗒也也即：f (xo)>0恒成立，所以- xo(0, 1(13 分)6.函數(shù)f (X) =xeX- ax+b的圖象在x=0處的切線方程為：y=-x+1.(1) 求a和b的值；(2) 若f (x)滿足：

15、當x>0時，f (x)> lnx-x+m,求實數(shù)m的取值范圍.【解答】解：(1)v f (x) =xex- ax+b,f (x) = (x+1) ex-a,由函數(shù)f (X)的圖象在x=0處的切線方程為：y=- x+1,知:f£CO>=b=lW (0)=1-a-l，解得 a=2, b=1.(2) v f (X)滿足：當 x> 0 時，f (x)> Inx- x+m,m<xe*- X- lnx+1， 令 g (x) =xe- X- Inx+1, x>0,y &)二Q十1)丄全皿a設(shè) g( X0) =0, X0> 0，則D ,從而 I

16、nxo= X0,斶)=3 (琴1|) 由 g'(丄)g'( 1) 當 x(0, X0)時，< 0, g( 1) =2 (e 1)>0,g ( x)< 0；當 x(X0, +X)時，g (x)> 0,函數(shù)g (X)在(0, X0)上單調(diào)遞減，在(X0, +x)上單調(diào)遞增.£ g (x) min=g (X0)=叼巳 °X0 InX0=x e DX0 In X0=x0-竹JX0+X0=1 .m<xe X Inx+1 恒成立 mWg (x) min,實數(shù)m的取值范圍是：(-X, 1.7.已知函數(shù) f (x) =3eX+x2, g (x)

17、 =9x 1.(1)求函數(shù)© (X)=xe+4x-f (X)的單調(diào)區(qū)間;(2)比較f (x) 與 g (X)的大小，并加以證明.【解答】解：(1)(X)= (X 2) (ex 2),© /(X)© /(X)=0,得 X1=ln2, X2=2;> 0,得 x< In2 或 x>2;© 'x)< 0,得 In2<x<2.© (X)在(X, In2)上單調(diào)遞增,(In2,2)上單調(diào)遞減,在(2, +X)上單調(diào)遞增.設(shè) h (x) =f (x) g (x)可設(shè) h' (xo) =0,V h'(

18、0) = 6<0, h' (1) =3e 7>0,二 xo( 0, 1).當 x>X0 時，h' (x)當 x< X0 時，h' (x)< 0. h ( X) min=h ( X0)> 0；=3e °4丸-9kg + 1, 3e °二加o+9, h(H)m曲二T切十-9叼+1=只-11牝 + 10= (X0- 1) (X0 10),V X0( 0, 1), ( X0 1) (X0 10)> 0,+2= h (X) min >0,二 f (X)>g (X).&已知函數(shù) f (X)=lnX+a

19、 (X- 1) 2 (a>0).(1)討論f (X)的單調(diào)性;(2)若f (X)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)有唯一的零點X0,證明:【解答】解：(1)F (S)-當0V a< 2時，f當a>2時，設(shè)72ax -2aK+LX(x)> 0, y=f (%)在(0, +x)上單調(diào)遞增，忑 2工工2)，且2aX - 2ax+1=0的兩個根為呂+7界-25y=f (x)在(0, X1), (X2, +x)單調(diào)遞増，在(X1, X2)單調(diào)遞減.(2)證明：依題可知f (1) =0,若f (X)在區(qū)間(0, 1 )內(nèi)有唯一的零點X0, 由(1)可知a>2,且吁舉g寺)- 于是：1口丸4

20、且(咒0-1J。2且工1為和+1二。 由得1 口工口-；" 1=0，設(shè)呂(丈)二1門H 蔦"1, (XE Co, 1),U2x則r &)二空斗，因此g (X)在(0, 上單調(diào)遞減，212>0,呂(Ji)2根據(jù)零點存在定理，故刁<丸< 巳T.9. 已知函數(shù)f (X) = g .，其中a為常數(shù).Cx+a )'(1)若a=0,求函數(shù)f (X)的極值；(2) 若函數(shù)f (x)在(0,- a)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(3) 若a=- 1,設(shè)函數(shù)f (X)在(0, 1) 上的極值點為X0,求證：f (X0)v- 2.【解答】解：(1) f (X

21、)羋的定義域是(0, +) , f (X),令 f'( x)> 0,解得 0v XV 真，令 f'( x)v 0,解得：x>,則f (%)在(0, )遞增，在(?, +X)遞減, 故f (x)極大值=f (頁)，無極小值；2e(2)函數(shù)f (X)的定義域為x|x>0且xM- a.fl1一-SlriM二 工=&+G"，要使函數(shù)f (刈在(0，- a)上單調(diào)遞增，則av 0,19Cs+a ) -1 nsC2jT+2ai又 x(0,- a)時，avx+av0,只需1+皂-2lnx< 0在(0,- a)上恒成立,即 a>2xlnx-x在(

22、0,- a)上恒成立，由 y=2xlnx- x 的導(dǎo)數(shù)為 y =21+ Inx)- 1=1+21 nx.時，函數(shù)y遞增，0v XV曠時，函數(shù)y遞減，即-v av 0時，函數(shù)遞減，可得a> 0,矛盾不成立; 即av- 於時 ,函數(shù)y在(0,可得 y v- 2aln (- a) +a,當愕當a<當-a>U=V e)遞減，在(-a)遞增,可得 a>- 2aln (- a) +a,解得- K av 0,則a的范圍是-1, 0);(3) 證明：a=- 1，則 f (x) - g ,1-21 ns£Si尸導(dǎo)數(shù)為f (x)=設(shè)函數(shù)f (x)在(0, 1)上的極值點為xo,可

23、得 1 - 2Inxo=0,”0即有2Inx0=1 -丄，要證 f (xo)v- 2，即”2v 0,1亠由于+2 盧+22叼-ir2丸(丸-1= (1-2 K訂 2丄不成立,02*口(hqT) 2工0 (牝-1)' 由于 X0( 0, 1),且 X0J, 2l nx0=1 -2則+2< 0,故f (xo)< 2成立.10. 已知函數(shù)f (x) =lnx-x+1,函數(shù)g (x) =ax百-4x,其中a為大于零的常數(shù).(I )求函數(shù)f (X)的單調(diào)區(qū)間;(n )求證：g (x)- 2f (x)> 2 (lna- ln2).【解答】解：(I)嚴&)二丄-iJh1Xx

24、( 0,1)時，f (x)> 0, y=f (X)單增;+x)時，f (x)< 0, y=f (X)單減x( 1,(n)證明：令 h (x) =axex- 4x- 2l nx+2x- 2=axe 2x- 2l nx- 2 (a> 0, x>0) ：(5 分)7分)故M (Q二泊DGF上) 令h' (X) =0即 /亠兩邊求對數(shù)得：lna+X0=ln2 - Inx0 即 lnX0+X0=ln2 - lna)- (- 9 分) h血二h(Kq)二as Qe °-2h 0-21口 Xp-2二-2 Kg-21nx(j二-2 (ln2Tiia),h (x)>

25、; 2lna 2ln211 .已知函數(shù) f (x) =x2-(a- 2) x- alnx (a R).(I )求函數(shù)y=f (X)的單調(diào)區(qū)間；(n)當 a=1 時，證明：對任意的 x>0, f (x) +ex>x2+x+2.【解答】解：(I )函數(shù)f (X)的定義域是(0, +x),(s+1) (2z-a)-空當a< 0時，f'( x)> 0對任意x( 0, +x)恒成立,f ' (x) =2x( a- 2)(2分)當 a>0 時，由 f( (x)>0 得 x>號，由 f (x)< 0,得 0<x< ,所以，函數(shù)f (

26、X)在區(qū)間(0, +7 單調(diào)遞增；(4 分)、/ _ - C rr-U 丄上，/ a j一 2所以，函數(shù)在區(qū)間(2, +X)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,空)上單調(diào)遞減; 2"' 1、(n )當 a=1 時，f (X) =x2+x- Inx, 要證明 f (x) +ex >x2+x+2 ,只需證明 ex- Inx- 2>0,設(shè) g (x) =ex- Inx- 2, 則問題轉(zhuǎn)化為證明對任意的x>0, g (x)>0, 令 g (x) ="-丄=0,得 ex,IX容易知道該方程有唯一解，不妨設(shè)為X0,則X0滿足ex0(0, X0)X0(X0,x當x變化

27、時，g' (X)和g (X)變化情況如下表g' (X)遞增g (x)遞減+X0 - 2,g (x) min=g (X0) =ex0- Inx0 - 2=丄因為 X0> 0,且 X0 1，所以 g (x) min >2jT - 2=0, 因此不等式得證.12.已知函數(shù)f仗)二如丄-遼.(I )當a=2時，(i)求曲線y=f (x)在點(1, f (1)處的切線方程; (ii)求函數(shù)f (X)的單調(diào)區(qū)間；(n)若 1<av2,求證：f (x)v- 1.【解答】解：(I )當a=2時，f&)二如藍，定義域為(0, +X9z f 2-ln K 2-lns-2

28、kr lx)=22 2 f (1) =- 1 - 2=- 3,f (1) =2 - 2=0;所以切點坐標為(1,- 3),切線斜率為0所以切線方程為y=-3；(ii)令 g (X)=2- Inx-2x2,所以g (X)在(0, +X)上單調(diào)遞減，且g (1) =0所以當 x( 0, 1)時，g (x)>0 即 f (x)>0所以當 x( 1, +x)時，g (x)< 0 即 f (x)< 0綜上所述，f (X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0, 1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1, +X).(n)證明：f(x)<- 1,即血丄衛(wèi)<_1lnx-1=asX<0I設(shè) © (X) =- ax2 - Inx+2(V二-2且從丄 力卞 T所以© ' %)在(0 , +X)小于零恒成立即h' (x)在(0, +X)上單調(diào)遞減因為1< a< 2,所以h' (1)=2- a>0, h' (e2) =- a< 0,所以在(1,e2)上必存在一個X0使得X (珂)二-ax n-Ins P-1-2二0,工02+2 OK所以當x( 0,