--非正弦交流電路說課材料

1、知識是人類進(jìn)步的階梯第9章非正弦交流電路學(xué)習(xí)指導(dǎo)與題解一、根本要求1. 建立幾個頻率為整數(shù)倍的正弦波可以合成為一非正弦周期的概念。明確一個非正弦周期波可以分解為一系列頻率為整數(shù)倍正弦波之和的概念即諧波分析、諧波中的基波與高次諧波的含義。了解諧波分析中傅里葉級數(shù)的應(yīng)用。2. 掌握波形對稱性與所含諧波分量的關(guān)系。能根據(jù)波形的特點判斷所含諧波的情況。 了解波形原點選擇對所含諧波的影響。3. 掌握非正弦周期電壓和電流的平均值即直流分量和有效值的計算。能根據(jù)給定波形計算出直流分量。能根據(jù)非正弦周期波的直流分量和各次諧波分量,計算出它的有效值。4. 掌握運用疊加定理和諧波分析計算非正弦交流電路中的電壓和電

2、流的方法。5. 建立同頻率的正弦電壓和電流才能形成平均功率的概念。掌握運用疊加定理和諧波 分量計算非正弦交流電路中和平均功率。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)在電工技術(shù)中,電路除了鼓勵和響應(yīng)是直流和正弦交流電和情況外,也還遇到有非正弦周期函數(shù)電量的情況。 如當(dāng)電路中有幾個不同頻率的正弦量鼓勵時,響應(yīng)是非正弦周期函數(shù)；含有非線性元件的電路中,正弦鼓勵下的響應(yīng)也是非線性的；在電子、計算機等電路中應(yīng)用的脈沖信號波形,都是非正弦周期函數(shù)。因此,研究非正弦交流電路的分析,具有重要和理論和實際意義。本章的教學(xué)內(nèi)容可分為如下三局部：1. 非正弦周期波由諧波合成的概念；2. 非正弦周期波的諧波分析；3. 非正弦交流電路的計算。著

3、重討論非正弦周期波諧波分析的概念,非正弦周期量的有效值和運用疊加定理計算 非正弦交流電路的方法?，F(xiàn)就教學(xué)內(nèi)容中的幾個問題分述如下。一關(guān)于非正弦周期波的諧波的概念非正弦周期波是隨時間作周期性變化的非正弦函數(shù)。如周期性變化的方波、三角波等。這類波形,與正弦波相比,都有變化的周期T和頻率f ,不同的是波形而已。幾個頻率為整數(shù)倍的正弦波,合成是一個非正弦波。反之,一個非正弦周期波ft,可以分解為含直流分量(或不含直流分量)和一系列頻率為整數(shù)倍的正弦波。這些一系列頻率為整數(shù)倍的正弦波,就稱為非正弦周期波的諧波。其中頻率與非正弦周期波相同的正弦波,稱為基波或一次諧波；頻率是基波頻率2倍的正弦,就稱為二次諧

4、波；頻率是基波頻率3倍的正弦波,稱為三次諧波；頻率是基波頻率k倍的正弦波,稱為 k次諧波,k為正整數(shù)。人們通常將二次及二次以上的諧波,統(tǒng)稱為高次諧波。(二) 關(guān)于諧波分析的方法在電路分析中,將非正弦周期波的分解,應(yīng)用傅里葉級數(shù)展開的方法,分解為直流分 量(或不含有)和頻率為整數(shù)倍的一系列正弦波之和,稱為傅里葉分析,又稱為諧波分析。一人周期為T的函數(shù)f (t),如果滿足狄里赫利條件* ,貝Uf (t)可以展開為如下三角級數(shù)：0f (t) = A。' (A cosk t Bksin k -t)k 4這是一個無窮級數(shù),由法國人傅里葉( Fourier )提出來的,故稱為傅里葉級數(shù)。式中 A

5、,A , Bk稱為傅里葉系數(shù),由如下公式計算得出：1T= 1f(t)dt(直流分量)T。=f (t)cos k tdtT 0Bk2T ,=f (t)sin k tdtT oAo是f(t)一周期時間內(nèi)的平均值,稱直流分量。k = 1的正弦波,稱為基波；k = 2的正弦波,稱為二次諧波；k = n的正弦波,稱為n次諧波。當(dāng)k為奇數(shù)時,稱為奇次諧波； k為偶數(shù)時,稱為偶次諧波。非正弦周期波的傅里葉級數(shù)展開,關(guān)鍵是計算傅里葉系數(shù)的問題。在電工技術(shù)中,遇到的非正弦周期波,都滿足狄里赫利條件的,均可展開為傅里葉級數(shù)。常見的非正弦周期波的傅里葉級數(shù)展開式,已在手冊及教材中列出,如下表所示,以供查用。常見非正

6、弦周期波的傅里葉級數(shù)展開式f (t)波形圖f (x)傅里葉級數(shù)展開式A22f (t)(1 sin t - cos2 t -cos4 t |1|)-2315*狄利赫利條件：f (t)在T , T或0, T區(qū)間,(1)除有限個第一類間斷點外,其余各點 連續(xù)；(2)只有有限個極點。f (t)波形圖f (x)傅里葉級數(shù)展開式iAm06rrC 地h 2n 3藤2222f (t) = %(1 cos2tcos4仁 tcos6 t 一川)兀315351廠4 . , .1 .一1 .、f (t) = A (sin cot + sin3cot +-sin 5cot +|H) 兀350壹2聳3汗J枷廠7A211.

7、f (t) = Am(sin 切t 一一 sin 2t +- sin 3M 一川)H230JT/2元Am1/I M1 111f (t) = 1一 一一(sin cot +-sin 2cot + sin 3財t +川)2 兀2302jt 4jtAm0Z 瀏一811f(t) 2Am(sin 切t sin 3M +sin5切t|)兀2925JA琨01 /吐一811f(t) 2Am(cos切 t+ cos齡 t+cos5【t+川)兀2925血W4. 1. 1一 lf(t)=Ksin a sin t+一 sin 如 sin 3,t i sin 只 sin5 t+IH)頃9253/31.11. 1f (t

8、) =1(一 +一 cos3切t cos6t+ cos9由t HI)兀2 83580(三) 關(guān)丁波形對稱性與所含諧波分量的關(guān)系在電工技術(shù)中遇到的非正弦周期波,許多具有某種對稱性。在對稱波形中,傅里葉級數(shù)中,有些諧波分量(包括直流分量。因直流分量是k = 0的零次諧波分量) 不存在。因此, 利用波形對稱性與諧波分量的關(guān)系,可以簡化傅里葉系數(shù)的計算。1.波形對稱性與諧波分量的關(guān)系有如下幾個對稱性與諧波分量的關(guān)系圖9-1偶函數(shù)波形舉例有如下幾個對稱性波形及其傅里葉系數(shù)情況。(1) 偶函數(shù)f(t)波形對稱于縱坐標(biāo),滿足f(t)=f(-t)條件,如圖9-1所示。那么Bk = 0,傅里葉級數(shù)中只含A0和&

9、#163;人coskcot項,k=l, 2, 3,。亦即 這類對稱性非正弦周期波,只含直流分量和一系列余弦函數(shù)的諧波分量。(2) 奇函數(shù)f(t)波形對稱于坐標(biāo)原點,滿足f(t)=f(t)條件,如圖 9-2 所示。貝U Ao=0 , A波,只含一系列正弦函數(shù)的諧波分量。圖9-2奇函數(shù)舉例=0,傅里葉級數(shù)中,只含 z Bksink泌項,k=1, 2, 3,。亦即這類對稱性非正弦周期(3) 奇半波對稱函數(shù)假設(shè)f(t)波形移動半周(土工)與2原波形成鏡像,即對橫軸對稱,滿足f (t) = - f (t ±T)條2件。如圖9-3所示,f (t)波形不對稱于縱軸和原點,故它不是偶函數(shù)和奇函數(shù),只

10、是移動(±1)與原波形對稱于 橫軸,那么傅里葉系數(shù)中,2A0 =0 , A,和Bk中k為奇數(shù),即k=1, 3, 5,。這類非正弦周期波只含奇次諧波。所以,這類奇半波對稱函數(shù)f(t),稱為奇諧波函數(shù)。以上是三種對稱波形及其諧波分量情況,下面圖9-3奇半波對稱波形舉例再介紹半波重疊波和四種雙重對稱性波形及其諧波 分量情況。(4) 半波重疊函數(shù) 假設(shè)f (t)波形移動半波(土;)與原波形重疊,滿足 f (t) = f (t ±T)條件。如圖9-42所示,f (t)不對稱于縱軸和原點,故它不是偶函數(shù)和奇函數(shù),只是移動 ±1與原波形重疊。那么傅里葉系數(shù)2文檔如有冒犯，請站內(nèi)

11、留言，謝謝！A和Bk中k為偶數(shù),即k=0, 2, 4, 6,。這類非正弦周期波只含偶次諧波。所以,這類半波重疊函數(shù),稱為偶偕波函數(shù)。圖9-4半波重疊函數(shù)波形舉例圖9-5奇函數(shù)且半波對稱波形舉例(5)奇函數(shù)且奇半波對稱假設(shè)f(t)波形滿足f(t)= f(t)和f(t) = f(t±T)兩個條件。如圖9-5所示,f (t)波形對稱于原點,是奇函數(shù),且移動 ±T與原波形對橫軸成鏡2像對稱,又是奇半波對稱函數(shù)。3, 5 - O傅里葉級數(shù)中只含 只含正弦函數(shù)的奇次諧波。那么傅里葉系數(shù)中 A°=0 , Ak=0 , Bk中k為奇數(shù),即k=1,Bksinkcot項的奇次諧波。所

12、以,這類奇函數(shù)且半波對稱波,(6)偶函數(shù)且奇半波對稱f (t)波形滿足f (t)T=f ( t)和f (t) = f (t 士 )兩個條件。如圖9-6所小, 七f (t)波形對稱于縱坐標(biāo),是偶函數(shù),且移動土:與原波形對橫軸成鏡像對稱,又是奇半波對稱函數(shù)。那么傅里葉系A(chǔ)3=0Bk=0 , A中k為奇數(shù),即k =1, 3, 5。傅圖9-6偶函數(shù)且奇半波對稱波形舉例里葉級數(shù)中只含Z Acoskcot項的奇次諧波。所以,這 類偶函數(shù)且奇半波對稱對稱波,只含余弦函數(shù)的奇次諧波。(7)偶函數(shù)且半波重疊f(t)波形滿足f(t) = f(t)和f(t)=f(t±T)兩個條件。2如圖9-7所示,f (

13、t)波形對稱于縱軸,是偶函數(shù),且移動±】與原波形重疊,又是半波重2疊函數(shù)。那么傅里葉系數(shù)中,Bk=0 , Ak中k為偶函數(shù),即k=0 , 2, 4, 6,。傅里葉級 數(shù)中只含A0和£ Acoskcot項的偶次諧波。所以,這類偶函數(shù)且半波重疊波,只含余弦函數(shù)的偶次諧波,包含直流分量。(8)奇函數(shù)且半波重疊f (t)波形滿足f(t) = f(t)和f(t)= f(t±T)兩個條件,2如圖9-8所示。f (t)波形對稱于原點,是奇函數(shù),且移動±1與原波形重疊又是半波重2疊函數(shù)。那么傅里葉系數(shù)中,A°=0 , Ak=0, Bk中的k為偶數(shù),即k=2 ,

14、 4, 6,。傅里 葉級數(shù)中只含 £ Bksink仁t項的偶次諧波。所以,這類奇函數(shù)且半波重疊波,只含正弦函數(shù)的偶次諧波。fe(t)和奇部f0(t)之和。偶部fe(t)* 2。非對稱性非正弦周期波諧波分析的簡化計算(1) 非對稱性非正弦周期波f (t),可以分解為偶部是對稱于縱軸的偶函數(shù),奇部f°(t)是對稱于原點的奇函數(shù)。即-e_ 0f(t) = f (t)f (t)fe(t) =1f(t)f (-t)2f0(t) =1f(t)-f(-t)2圖9-9非對稱性非正弦周期波 u(t)及其偶部ue(t)和奇部U0(t)波形圖然后,利用波形的對稱性來簡化傅里葉系數(shù)的計算。例如,如

15、圖9-9 (a)所示的非對稱性非正弦周期電壓波 u(t),它的偶部ue(t)為如圖9-9 ( b)所示,是偶函數(shù)且半波重疊波,從上述波形對稱性可知,它的傅里葉級數(shù)只含Ao和£ Acoskcot項的偶次諧波。即c IJ 一21J 一111ue 或 竺當(dāng) _cos2,t -cos4 tcos6 t - I 二二31535奇部u0(t)如圖9-9( c)所示,它是一正弦函數(shù),即0 , 、 I,u (t) U msin t2故非對稱性非正弦周期波u (t)的傅里葉級數(shù)展開式為u(t) =ue(t) u0(t)=里 里sin t 獨】cos2 t-2-311cos4 t cos6 t Tl15

16、35(2) 將非對稱性非正弦周期波移動坐標(biāo)原點位置,便可提到對稱性波形,從而可以簡化傅里葉級數(shù)展開式的計算。例如9-9 ( a)所示非對稱性非正弦周期電壓波u(t),移動_1得出如圖9-10所示的波形4它對稱于縱軸,是偶函數(shù),傅里葉系數(shù)中Bk = 0 ,只含A0和& ,傅里葉級數(shù)展開式為UmUm2Um 1一 11u (t)= mcos t (cos2 t cos4 t cos6 t - I )二 2二 31535圖9-10偶函數(shù)u'(t)波形圖今假設(shè)求圖9-9 (a )所示非對稱性非正弦周期電壓波u(t)的傅里葉級數(shù)展開式,可將圖9-10 uYt)波形移動T便可得到。因此,將上

17、式中的t以't+T4.4葉級數(shù)的展開式為u(t) = u (t代入便得出u(t)波形的傅里Um Um /x T、 2Um1 c T =cos (t ) cos2 (t二 24 二 341. T、1 一 . T、 ,_cos4,(t ) cos6,(t ) -山154354UmUm ,二、2U=cos(t)二221110cos(2 t 二)-cos(4 t 2二)一 cos(6 t 3二)- I 1535Um Um . 2Umsin t:2:1-cos6 t - I 3511cos2 t cos4 t315這一結(jié)果,與u(t)分解為偶部ue(t)和奇部可以了解利用波形對稱性分析非對稱性非

18、正弦周期波諧波的方法。u0(t)之和的方法分析結(jié)果是相同的。從而還應(yīng)指出,坐標(biāo)原點位置的移動,即可沿橫軸移動,也可沿縱軸移動,以獲得對稱性波形為準(zhǔn)。(四)關(guān)于頻譜的概念上述傅里葉級數(shù)f(t)中,將£ Akcoskot和£ Bksinkcot合并為一正弦函數(shù)形式為f (t )= A , '、A< c(kstBkki nk 4od=A)- 二：(Ck s i nk , clos Ckk_QO=Co Cksi rk(,tk )k =1式中Co =AoAk = Ck sin kBk = Ck cos kCk = . Af Bkk = arctg A-)ckosk st

19、i n )B上式就是傅里葉級數(shù)三角函數(shù)第二種形式。當(dāng)然,也可以將圖矣%三甫形關(guān)系A(chǔ) coskcot和Bk sin履t合并為一余弦函數(shù),得出第三種傅 里葉級數(shù)的三角形式,即qQf(t) =Co 、 Ck cos(k t ,k )k J(a)振幅頻譜(b)相位頻譜圖9-12 振幅頻譜圖和相位頻譜圖為了方便而又直觀地表示一個周期信號包含有哪些諧波分量,各諧波分量所占的比重 及它們相互的關(guān)系,可以作出頻譜圖來表示和分析。根據(jù)上述第二種或第三種傅里葉級數(shù)三 角函數(shù)形式,作出振幅頻譜和相位頻譜兩種頻譜圖。振幅頻譜,是將非正弦周期函數(shù)中各次諧波振幅值Ck按角頻率依次分布的圖形,縱坐標(biāo)表示振幅Ck,橫坐標(biāo)那么

20、表示角頻率 k與,振幅頻譜圖如圖9-12 (a)所示。以各次諧波的相位 氣為縱坐標(biāo),以角頻率 g為橫坐標(biāo),作出相位頻譜圖,如圖 9-12 ( b )。在頻譜圖中,對應(yīng)于某一角頻率的表示振幅大小和相位的垂直橫坐標(biāo)的線段,稱為譜線。每條譜線的高度表示一個諧波分量的振幅值和初相位。周期函數(shù)的頻譜具有如下的特性：(1) 頻譜是由一系列不連續(xù)的譜線組成,稱為不連續(xù)頻譜或離散頻譜。頻譜的這種性質(zhì),稱為離散性。(2) 每條譜線只出現(xiàn)在基波角頻率 由及其整數(shù)倍角頻率 k上,相鄰譜線間的間隔等于 基波角頻率。頻譜的這種性質(zhì),稱為譜波性。(3) 振幅頻譜中,各條譜線的高度,隨角頻率的增加而減小,當(dāng)角頻率無限增大時

21、,譜 線的高度就無限減小,頻譜逐漸收斂。振幅頻譜的這種性質(zhì),稱為收斂性。周期函數(shù)信號的頻譜,在信號的分析中,具有重要的理論與實際的意義。(五)關(guān)于非正弦周期波的直流分量與有效值1.直流分量非正弦周期波f (t)的直流分量,就是在一個周期 T時間內(nèi),f (t)的平均值,即1 TAo =干.f(t)dtT 0(1) 對稱于原點的非正弦周期波,沒有直流分量。即f(t)在一個周期中,正、負(fù)半周所包含的面積相等,上式積分為零,氣=0。這類非正弦周期函數(shù)有：奇函數(shù)波、奇半波對稱的奇諧波函數(shù)波、偶函數(shù)且奇半波對稱波和奇函數(shù)且半波重疊波等。(2) 偶函數(shù)波、半波重疊偶諧波和偶函數(shù)且半波重疊波等,上式積分不為零

22、,A #0 ,均有直流分量。Ao可以通過在一個周期中正、負(fù)半周所包含面積之差來進(jìn)行計算。2.有效值周期函數(shù)f (t)的有效值定義式為F=j救"(睥0設(shè)非正弦周期電流為i =1。+£ Ikmsin(k切t+%) 代入上式,得f (t)的有效值為k mI =J Mo+E Ikmsin(gt+R)2dt(1), T o km將上式展開的幾項積分為1 lodIo0一二 1T c c一二 cI km sin (k t k)dt = Ikkd T ok=1式中,孕,k次諧波分量的有效值。二 1 T02I°IkmSink,tkdt=0k jT二 1TIkmIqmSink,t ,

23、sinq- qdt =0E T 0qE將上述結(jié)果代入(1)式中,便得非正弦周期電流i的有效值為上式導(dǎo)出中,應(yīng)用了如下三角數(shù)組的正交性,即式I =. I； ' I： sinkxdx = 0k=1 ,2,3,山,k注sin kxsin qdx = 0k = q,k,q=1,2,3,|-31 冗 sin2kxdx -二k =1,2,3,山同理,非正弦交流電壓 u的有效值那么為說明：非正弦周期量的有效值,是直流分量和各次諧波分量有效值平方和的開方。(6)關(guān)于非正弦周期電流電路中電壓和電流的計算非正弦交流電源鼓勵的線性電路中,電壓和電流的分析,可按如下步驟進(jìn)行計算。(1) 將非正弦周期鼓勵電壓或

24、電流,應(yīng)用傅里葉級數(shù)分解為直流分量(或不含有) 和各次諧波分量之和。由于電工技術(shù)中所遇到的非正弦周期量,一般都可以展開為傅里葉級數(shù)形式,而且傅里葉級數(shù)都是收斂的,頻率越高的諧波振幅越小,因此,較高次諧波因振幅很小而可以忽略不計。所以,對非正弦周期函數(shù)電量進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開時, 一般只取接近基波 分量的前幾項,所取的項數(shù)多少,應(yīng)視所要求的準(zhǔn)確度而定。(2) 分別計算出直流分量和各次諧波分量單獨作用時,電路中的電壓和電流分量。直流分量單獨作用時,電路中各次諧波分量均置零,作出直流穩(wěn)態(tài)電路,這時電感相當(dāng)于短路,電容相當(dāng)于開路。按直流電阻電路分析方法進(jìn)行計算,求出待求支路中的電壓和電流分量。每一諧波分

25、量單獨作用時, 按正弦交流電路分析的相量法進(jìn)行計算。這時對于k次諧波,1相量模型中,感抗是XLk =kL ,容抗是Xck =。最后應(yīng)將分析計算所得的待求支路k C相量形式的電壓和電流分量,變換時域正弦量的瞬時值表達(dá)式。(3) 應(yīng)用疊加定理將各分量單獨作用時,所計算的結(jié)果進(jìn)行疊加,求它們的代數(shù)和,便求出線性電路在非正弦周期函數(shù)電源鼓勵下所求支路的電壓和電流。應(yīng)該注意的是,疊加時應(yīng)按瞬時值表示式不進(jìn)行。因各次諧波的頻率不同,故不能用相量進(jìn)行疊加。(七)關(guān)于非正弦交流電路平均功率的計算假設(shè)一個二端網(wǎng)絡(luò),端口的非正弦周期電壓和電流分別為qQ u(t)=U° ' .2UkSin(k&#

26、39;t uk) k 4oO i(t) =1。 ' 、.2lkSin(k *k) k那么二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率為P = U°I。U1I1 cos 1 U212cos七 U3I3cos 3 川QO= U°Io ' UklkCOS kkT式中,k =uk-*k說明：(1)非正弦交流電路的平均功率,等于直流分量功率和各次諧波平均功率之和。非正弦交流電路中,不同頻率的各次諧波平均功率滿足疊加性,而在直流電路和單一頻率多電源正弦交流電路的有功功率不滿足疊加性。(2)非正弦交流電路中,同次諧波電壓和電流形成平均功率,而不同次諧波電壓和電流不形成平均功率。這是由于三角函數(shù)

27、的正交性所決定的。本章學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容是,非正弦周期波諧波分析的概念,非正弦周期量有效值的計算和 非正弦交流電路中電壓和電流以及平均功率的計算。三、解題指導(dǎo)9-12 ( a)所示僅為非正(一) 例題分析例9-1 波形對稱性與所含諧波分量情況的分析。如圖弦周期波的T的波形,試分別給出如下函數(shù)一個完整周期的波形。4(1) f (t)為偶函數(shù)且只含奇次諧波；(2) f (t)為奇函數(shù)且只含偶次諧波；圖9-13例9-1波形圖解解題思路 利用波形的對稱性與所含諧波的關(guān)系,偶函數(shù)波形對稱于縱軸；奇函數(shù)波形對稱于原點；奇諧波函數(shù)的波形必是奇半波對稱,即波形移動±T與原波形成2鏡像對稱；滿足f(t)=

28、-f(t±T)的條件；偶偕波函數(shù)的波形必是半波重疊函數(shù),即波形移2動±T與波形重疊,滿足f (t) = f (t 士二)的條件。根據(jù)以上波形對稱性與所含偕波的關(guān)系, 22便可在給出T波形條件下,繪出整個一周期的波形。4解題方法(1) f (t)為偶函數(shù)且只含奇次諧波。第一步,在坐標(biāo)圖上先作出如圖 11-13(a)所示的(0JT)區(qū)間的T波形；第二步,根據(jù)f(t)是偶函數(shù),作出對稱于縱軸44(0 -T)區(qū)間的T波形；第三步,根據(jù)f(t)只含奇次諧波是奇半波對稱,對已作出的波44形移動±T與橫軸成鏡像對稱,作出整個周期的波形,如圖 9-13 (b)所示。2(2) f

29、(t)為奇函數(shù)且只含偶次諧波。 第一步,在坐標(biāo)圖上作出如圖 9-12( a )所示(0LI T)4區(qū)間的一周期的波形；第二步,根據(jù)f (t)是奇函數(shù),作出對稱于原點(0L -)區(qū)間的一波444形；第三步,f(t)只含偶次諧波是半波重疊函數(shù),對已作出的波形移動±T ,與原波形重2疊作出整個周期的波形,如圖9-13 ( C)所示。例9-2非正弦周期電流電路的計算。如圖9-14所示電路,u(t)= 45 + 180sin10t +60sin30t+30sin50t V。求電流i(t)及其有效值I和電路吸收的平均功率 P。解解題思路(1)首先,運用疊加定理,分別 計算出輸入電壓各諧波分量單獨

30、作用時的電流分量。然 后,在時域進(jìn)行疊加,求出輸入電流i(t) ； (2)按非正弦函數(shù)由諧波分量計算有效值的公式,計算出i (t)的有效值I ; (3)按相同次數(shù)諧波電壓和電流及其相位差計圖9-14算出各次諧波的平均功率,最后疊加得出電路吸收的平 均功率。解題方法(1)計算輸入電流i(t)當(dāng)直流分量電壓單獨作用時,電路的導(dǎo)納為Y01113S3 1030故輸入直流分量電流為=YU0=13 45E9.5A 030 基波電壓分量單獨作用時,電路導(dǎo)納為113Y j , =一 +j10 103 1010 3 j4= 0.1 0.12-j0.16 j0.01=0.22-j0.15=0.266 . 18.3

31、-S故基波電流為52£6乙地1£0塵=47 18.3° Ai1(t) =47.88sin(10t -18.3 ) A 三次諧波電壓單獨作用時,電路的導(dǎo)納為Y伽尸小赤圳莊= 048 + )0.01故三次諧波電流為L頊伽)心= io.aizlZi3(A) =10.81sin(30t 3.2 ) A 五次諧波電壓單獨作用時,電路的導(dǎo)納為flI=0 U3Z2Tx30Z£1= 3.39 地 Ai5(t) =3.39sin(50t 21 ) A 進(jìn)行疊加求出端口輸入電流為i(t) =19.5 47.88sin(10t -18.3 ) 10.81sin(30t 3.2

32、 ) 3.39sin(501 21 ) A計算電流i(t)的有效值為I = I0 I213I52=. 380.25 1146.25 56.43 5.75-38.85A 計算電路吸收的平均功率P=U0I0 U1I1 cos 1 U3I3cos 3 U5I5cos 511=45 19.5 五(180 47.88)cos18.3 五(60 10.81)1 cos(-3.2 ) § (30 3.39)cos(-21 )= 877.5 4093.74 323.81 47.15= 5342.2 W(二) 局部練習(xí)題解答 練習(xí)題11-2 圖9-1 (a)所示方波,如果把縱軸向右平移至 t=0.5s

33、處,波形如圖9-5所示。試?yán)脠D9-2,寫出該方波的傅里葉級數(shù)。解 利用圖9-2,可寫出圖9-1 (a)所示方波的傅里葉級數(shù)為4 (11)f (t) = 一 .sin 兀t + sin3兀t + sin 5兀t +HI叭35)現(xiàn)將圖9-1 (a)所示方波的縱坐標(biāo)向右平移至t=0.5s處,得出如圖9-5所示方波。因周期T =2 s,故t =0.5s處是三,以(t +與代入上式便得出圖9-5所示方波的傅里葉級數(shù)22為一 411f (t) sintsin3tsin5t H二. 354 .其.1二 1sin(t p §sin3二(t 5) - sin5 (t )=4 sin二(t 90、；s

34、in 二(3t 270 ) ：sin二(5t 90) III-i cost -cos3二t - cos5-1 -III 50f(t)=、k=1(-1)k12k -1cos(2k 1)二 t練習(xí)題9-5 試說明圖9-13所示三角波原點分別選在 a , b ,。三點所含諧波成分有何不同？解 (1)三角波原點選在 a點,波形對稱于縱軸,是偶函數(shù),那么Bk =。；且波形移動±T ,與原波形成鏡像,又是奇半波對稱,只含奇次諧波。因此,三角波是Z Akcoskot 2項的奇次諧波。(2) 三角波原點選在 b點,波形不對稱于縱軸,也不對稱于原點,不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)。而波形移動±T ,

35、與原波形成鏡像對稱,故它是奇半波對稱,這時三角波是含2£ Acoska和£ Bksinkcot 的奇次諧波,即 k=1, 3, 5,。(3) 二角波原點選在 c點,波形對稱于原點, 是奇函數(shù),那么A< = 0 ;且波形移動±,2與原波形成鏡像對稱,又是奇半波對稱函數(shù),只含奇次諧波。因此,三角波是只含X B sinMot項的奇次諧波。k= 38.73A練習(xí)題9-7 施加以二端口網(wǎng)絡(luò)的電壓 uab(t)=100+100coscot+30cos3catV,流入a 端口的電流 i(t)=50cos(cot45)+10sin(3cot60°)+20cos5&

36、#174;tA。求：(1) uab的有效 值；(2) iab的有效值；(3)平均功率P。一 11(3) P = (100K50)cos 45" (30 W0)cos150。= 1637.86 W22(三) 局部習(xí)題解答 9.115.方波電壓的峰谷值為20 V,假設(shè)濾去其三次諧波。試?yán)L出波形圖,問所得波形的峰谷值是多少？解 如圖9-1 (a)所示方波電壓,峰谷值為20 V,它的傅里葉級數(shù)為40、二 1u(t) = sin k t V二"k三次諧波電壓為40u3(t) =sin3 t =4.24sin 3 t V 3:濾去U3(t)后,電壓波形表達(dá)式為40 二 1u (t) =

37、 u(t)-u3(t) = £ sin kot-4.24sin &cit 作出波形圖,如圖 9-15 所示。從二 k4k圖中可見,u(t)的峰谷值為28.28 V。9.12.電路圖如圖題 9-4 所示,us1(t)=costV , us2(t) = cos2t V。(1) 計算電路中的電流i(t)；(2) 電流i(t)的有效值是多少;(3) 計算電阻消耗的平均功率；(4) 計算us1(t)單獨作用時電阻消耗的平均功率；(5) 計算us2(t)單獨作用時電阻消耗的平均功率；(6) 由(3), (4), (5)的計算結(jié)果,能得出什么結(jié)論?當(dāng)解 (1)計算電路中的電流i(t)usi

38、 (t)單獨作用時,與=1rad /s , i(t)的振幅相量為Ji =-0 23-J0.U43頊 13?77/-33 77°Ai(t) =0.277 cos(t -33.77 ) A-10-14 24圖9-15 習(xí)題9.11第5題波形圖當(dāng)us2 (t)單獨作用時,與=2rad/s, i2(t)的振幅相量為/= 1=1= 21=0 12-;0 16 =03頃i2(t) =0.2cos(2t -53.13 ) A解出i(t) =0.277cos(t33.77 ) 0.2cos(2t - 53.13 ) A(2)計算電流i(t)的有效值為0.277H0：2 " =0.2415

39、A2(3)計算電阻消耗的平均功率P = I 2R=(0.2415X3 = 0.175WUs1 (t)單獨作用時電阻消耗的平均功率為23 = 0.115Wo 0.277R = 11 R = '2(5)Us2 (t)單獨作用時電阻消耗的平均功率為P2 = |；R=陛 1 x3 = 0.06W222從(4), (5)兩項計算的平均功率 Pi與F2之和為P' = P +P2 =0.115 +0.06 =0.175 W與(3)計算的平均功率 P相等,即P' = P。故可得出結(jié)果：非正弦交流電路中,電路吸收(6)的平均功率,等于相同頻率的個次諧波電壓與電流形成的平均功率之和。因此,

40、符合疊加定理。9.14. R L C串聯(lián)電路,外施電源電壓波形如圖9-6所示,切=500rad/s , R = 1Q,L=5mH , C=88.8F,輸出電壓u(t)取自電阻R兩端,試?yán)L出輸出電壓的頻譜圖。解(1)寫出圖題11-6所示三角波的傅里葉級數(shù)。從教材圖9-18 ( b)三角波的傅里葉級數(shù)8A11f(t)=(cos t cos3 t cos5 t ) :925現(xiàn)此題圖題9-6所示三角波電壓Us(t)是直流分量與對稱縱軸偶函數(shù)三角波各諧波分量 之和。直流分量是us0 = = 3.5 V2諧波之和是上式中 A = 3.5的傅里葉級數(shù)。為、二一 1 一 1二.A< cosk t =2.837 I cos t cos3 t cos5 t III 心.925k =1, 3, 5, 7, -(2)計算電阻兩端的輸出電壓u(t) 直流分量電壓 U0：由于直流穩(wěn)態(tài)時,電容相當(dāng)于開路,電路中的電流 1=0,故U0 =0。