37點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系一知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系由點(diǎn)到圓心的距離決定；會(huì)畫(huà)三角形的外接圓，熟識(shí)相關(guān)概念2. 理解直線與圓的各種位置關(guān)系，會(huì)用點(diǎn)到直線的距離來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系；3. 了解兩個(gè)圓相離（外離、內(nèi)含），兩個(gè)圓相切（外切、內(nèi)切），兩圓相交，圓心距等概念.理解兩圓的位置關(guān)系與d、1、2等量關(guān)系的等價(jià)條件并靈活應(yīng)用它們解題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系1點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個(gè)集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類點(diǎn)各具有相同的性質(zhì) 和判定方法；設(shè)00的半徑為點(diǎn)P到圓心的距離為d,則有pHx2+y

2、2=r2（1）點(diǎn)戸在圓內(nèi)OcJ SO十尹2 <r;（戈）點(diǎn)戸在圓上0& = +b二心點(diǎn)戸在圓外Od 0 Jj?> 化2 .三角形的外接圓經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等要點(diǎn)詮釋：（1）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù) 量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān) 系也可以確定位置關(guān)系；（2）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓要點(diǎn)二、直線和圓的位置關(guān)系1.直線和圓的三種位置關(guān)系：（1）相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交.這時(shí)直線叫做圓

3、的割線.（2）相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切.這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).（3）相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離.2 直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì).直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過(guò)一些條件來(lái)進(jìn)行分析判斷呢？由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)（圓心）的位置關(guān)系下面圖（1）中直線與圓心的距離小于半徑；圖（2）中直線與圓心的距離等于半徑；圖 中直線 與圓心的距離大于半徑.如果0 0的半徑為圓心0到直線的距離為d,那么(1) 直線F和SCffi交(2) 直線/和©0相切U d二

4、井C3)直線/和G0相離0 £v要點(diǎn)詮釋：這三個(gè)命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；置關(guān)系的判定.從右邊到左邊則是直線與圓的位要點(diǎn)三、圓和圓的位置關(guān)系1.圓與圓的五種位置關(guān)系的定義兩圓外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離兩圓外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切這 個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).兩圓相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做這兩圓相交兩圓內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切這 個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).兩圓內(nèi)

5、含：州個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，11 一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含2 兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系：設(shè)0 0的半徑為n,0 Q半徑為2,兩圓心0Q的距離為d,則：兩圓外離 d> r i+r2兩圓外切Q d=ri+r2兩圓相交Q ri-r 2V dv ri+r2 (r i> “) Q d=rir 2 (r i>2)0 dv r ir 2 (r i >2)兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含要點(diǎn)詮釋：(1) 圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 分類，又可以分為：相離 (含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；(2)

6、內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)；(3) 具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個(gè)圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合【典型例題】類型一、點(diǎn)與圓的為位置關(guān)系Rr 1已知0 0的半徑"5cm,圓心0到直線 的距離d二0D二3cm,在直線 上有P、Q、R三點(diǎn)，且有PD二4cm, QD >4cm, RD < 4cm, P、Q、R三點(diǎn)與0 0位置關(guān)系各是怎樣的？【答案與解析】依題意畫(huà)出圖形(如圖所示)，計(jì)算出P、Q、R三點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑比較大小.連接PO, Q0,R0.PD二 4cm,0D 二3cm,P0二 J PD20D2J4232上.QO JqD2 0D2J42 32外.RO

7、JrD2 0D2JrD232J4 325 r,點(diǎn)R在0 0內(nèi).【總結(jié)升華】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是計(jì)算出點(diǎn)與圓心的距離，再與圓的半徑比較大小，即可得出結(jié)論.A ( 3,I a r J r lr. rtr ； 11 r !.' * ' rtr- it j e j nm nr» nr* nr nr H nf : irvl <rv! r'F r H r fl C > Ji 7 f： r-J m J：i 2 %： 耳”9 B9C BOVB i J v* r 卜 Fta f1* f!« fS f!» -wl-ft:T: TT I- f

8、2.4->-44->>4"' 4"mfffrs:r :4： rv ILK ： rtB>l r!0r< H MM； rl【答案與解析】解:（D半徑"fp二5,所以直徑為10.5經(jīng)T T-nr- s :- T XJII.（-5, 6）；相離；相切;外切;不變的是形狀.若大圓的弦AB與【總結(jié)升華】本題主要考查了平移作圖即圖形平移變換的知識(shí)，注意圖形的平移，變化的是位置,舉一反三：【變式】2015?甘南州）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓半徑為5cm,小圓的半徑為3cm,小圓相交，則弦AB的取值范圍是多少？【答案】解：如圖，當(dāng)AB與小圓相切時(shí)有

9、一個(gè)公共點(diǎn)D ,連接0A , 0D,可得0D丄AB , D為AB的中點(diǎn),即AD=BD ,在 Rt ADO 中，OD=3 , OA=5 , AD=4 , AB=2AD=8 ；當(dāng)AB經(jīng)過(guò)同心圓的圓心時(shí)，弦AB最大且與小圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)AB=1O ,所以AB的取值范圍是8VABC 10.故答案為：8 < ABC 10. ”3（2014 中山月考）如圖所示，己知/ AOB二30 , P是OAh的一點(diǎn)，0P二12cm以r為半徑作0 P.（1）當(dāng)r=7cm時(shí)，試判斷0 P與0業(yè)置關(guān)系；（2）若0 P與0B相離，試求出r需滿足的條件.類型三、三角形的外接圓4.如圖，已知0 0為-ABC的外接圓

10、，圓心0在這個(gè)三角形的髙CD ±, E, F分別是邊AC和BC上的中點(diǎn)，試判斷四邊 形CEDF的形狀，并加以證明.【思路點(diǎn)撥】d）過(guò)點(diǎn)P乍PC丄OBF點(diǎn)C,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出可；（2）根據(jù)PC的長(zhǎng)，再比較出PC與r的大小即 0 P與0B相離，試求出r需滿足的條件.【答案與解析】解（1）過(guò)點(diǎn)P作PC丄0B于點(diǎn)C,/ A0B=30 ,11- PC 0P 12 6 (cm) < 7cm.22/ PC< r,0 P與0B相交；(2) v0 P 與 0B 相離， 0 r PC, 0cm < r < 6cm.【總結(jié)升華】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知直線和圓的

11、三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵【思路點(diǎn)撥】由垂徑定理知，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，且AC=BC再由中位線定義知，D豈丄BC , D鋰丄AC,2從而可得四邊形CEDF為菱形.【答案與解析】四邊形CEDF為菱形.證明：AB為弦，CD為直徑所在的直線，且AB丄CD AD=BD / ADC二八 CDB在"ADCX BDC 中,AD=BD/ ADC = / BDC ,CD CD ADC" BDC( SASAC=BC.又E, F分別為AC BC的中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，DF=CEd AC , DE=CFA BC ,2 2DE=DF=CE=CF四邊形CEDF為菱形.【總結(jié)升華】本題主要考查外接圓與其他知

12、識(shí)的綜合 舉一反三：【答案】如圖，連接由【變式】如圖，己知， 在-ABC中，AB二10,/ A=70°，/ B=50°，求-ABC外接圓0 0的半徑.AO,并延長(zhǎng)交0 0于點(diǎn)D,連接DB.三角形內(nèi)角和得，又/ D=/ C=60 在RtA ABD 中，/C=180° - 70° - 50°二 60。且/ ABD=90 ,DAB=30 , AB=10由勾股定理得,半徑即八ABC外接圓0 0的半徑為皿,3"O類型四、圓與圓的位置關(guān)系5.如圖所示，0 0的半徑為5,點(diǎn)P為0 0外一點(diǎn)，0P二8 .求：(1)以P為圓心作0 P與0 0相P的半徑為多少？0 P的半徑的取值范圍為多少？(1) 當(dāng)0 P與0 0外切時(shí),r = 3.當(dāng)0 P與0 0內(nèi)切時(shí)，r = 13.當(dāng)"3或13時(shí)，(2) 當(dāng)0 P與0 0相交時(shí),則有5+r = 8,則有r- 5= &0 0與0 P相切.則有Ir5 | < 8 < r+5,解得 3< r< 13,舉一反三:d 二 R+r 和 d即當(dāng)3 r< 13時(shí)，0 P與0 0相交.【總結(jié)升華】?jī)蓤A相切包含兩圓外切與兩圓內(nèi)切，兩圓外切和內(nèi)切的對(duì)應(yīng)關(guān)系分別為R-r (R>r),它們起著分界作用，分別是外離與相交，相交與內(nèi)含的分界點(diǎn)可