初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓專(zhuān)題輔助線

1、圓專(zhuān)題一輔助線1. 遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑?；蛘哌B結(jié)圓心和弦 的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)。作用：1、利用垂徑定理；2、利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；3、利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。4、可得等腰三角形；5、據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。例：如圖，AB是。的直徑，POLAB交。于P點(diǎn)，弦PN與AB相交于點(diǎn) M, 求證：PM?PN=2PO2 分析：要證明 PM?PN=2PO2,即證明PM?PC =PO2, 過(guò)O點(diǎn)作OCLPN于C,根據(jù)垂

2、經(jīng)定理 NC=PC ,只需證明 PM?PC=PO2,要證明 PM?PC=PO2 只需證明 RtAPOCRtAPMO.證明：過(guò)圓心。作OCLPN于C, PC= 1PN2 POXAB, OC ±PN , .MOP= / OCP=90° .又. / OPC=/MPO,RtAPOC RtAPMO.POPC1° 即.PO2= PM?PC.PO2= PM?PN, . PM?PN=2PO2.PMPO2【例1】如圖，已知 ABC內(nèi)接于。0, ZA=45° , BC=2,求O。的面積。例2如圖，O。的直徑為10,弦AB= 8, P是弦AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 那么0P的長(zhǎng)的取值范

3、圍是.【例3】如圖，弦AB的長(zhǎng)等于。0的半徑，點(diǎn)C在弧AMB±,則/ C的度數(shù)是2. 遇到有直徑時(shí)常常添加(畫(huà))直徑所對(duì)的圓周角。作用：利用圓周角的性質(zhì)，得到直角或直角三角形。例 如圖，在 ABC中，/ C=90° ,以BC上一點(diǎn)。為圓心，以 OB為半徑的圓交 AB于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N .(1)求證：BA BM=BC BN ;(2) 如果CM是。O的切線，N為OC的中點(diǎn)，當(dāng) AC=3時(shí)，求AB的值.分析：要證 BA - BM=BC - BN,需證 ACBNMB ,而/ C=90° ,所以需要 NMB中有個(gè)直角，而B(niǎo)N是圓O的直徑，所以連結(jié) MN可得/ BMN=90

4、(1) 證明：連結(jié) MN ,則/ BMN=90 ° =/ACB ACBA NMB 也膽 BM BN .AB - BM=BC - BN(2) 解：連結(jié) OM ,則/ OMC=90 ° N為OC中點(diǎn)MN=ON=OM , . MON=60 °一 一 ，_1， 一 。 OM=OB , .-/ B= 2 / MON=30 / ACB=90 ° , AB=2AC=2 X 3=6【例4】如圖，AB是。的直徑，AB=4,弦BC=2,/ B=3.遇到90的圓周角時(shí)常常連結(jié)兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑?！纠?】如圖，AB、AC是。的的兩條弦

5、，/ BAC=90 ,AB=6, AC=8。的半徑是5.遇到有切線時(shí)(1)常常添加過(guò)切點(diǎn)的半徑(連結(jié)圓心和切點(diǎn))(2)常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)作用：1、可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。2、利用切線的性質(zhì)定理可得 OALAB,得到直角或直角三角形。初中數(shù)學(xué)【例6】如圖，AB是。的直徑，弦AC與AB成30°角，CD與。切于C,交AB?勺延長(zhǎng)線于 D,求證：AC=CD6.遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)切線判定分兩種：公共點(diǎn)未知作垂線、公共點(diǎn)已知作半徑切線的判定定理是：“經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.”，就是說(shuō)，要判定一條直線是否是切線，應(yīng)同時(shí)滿足這樣的兩條：（1）直

6、線經(jīng)過(guò)半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以 ，在證明直線是切線時(shí)，往往需要通過(guò)作恰當(dāng)?shù)妮o助線，才能順利地解決問(wèn)題.下面是添輔助線的小規(guī)律.1 .無(wú)點(diǎn)作垂線需證明的切線，條件中未告之與圓有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過(guò)圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心 的距離等于半徑.例7.已知：如圖， AB是。的直徑，人口，人8于人，BCXAB于B,若/DOC= 90°.求證：DC是。的切線.分析：DC與。O沒(méi)有交點(diǎn)，“無(wú)點(diǎn)作垂線”，過(guò)圓心。作OELDC,只需證OE等于圓的半徑.因?yàn)锳O為需證明 DEO半徑，若能證 OE=OA即可.而OE、OA在DEO、 DAO中, 9匕 DAO證明：作 OELD

7、C于E點(diǎn)，取DC的中點(diǎn)F,連結(jié) OF.又. / DOC= 90 ° . FO=FD ，/1 = /3. . ADXAB, BCXAB, BC/AD, . OF 為梯形的中位線. .OF/AD. .1./2=/3. ，/1 = /2. .DO 是/ADE 的角平分線.OA ± DA , OEXDC,OA=OE=圓的半徑.DC是O O的切線.2 .有點(diǎn)連圓心.當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點(diǎn)與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直.例8.已知：如圖， AB為。的直徑，BC為。的切線，切點(diǎn)為 B, OC平行于弦 AD ,求證：CD是。 O的切線.分析：D在OO上

8、，有點(diǎn)連圓心，連結(jié) DO,證明DO，DC即可.證明：連結(jié) DO, . OC/AD . DAO= / COB, / ADO= / DOC而 / DAO= /ADO DOC=/COB ,又 OC=OC , DO=BO /.A DOCA BOC/ ODC= / OBC , BC 為。O 的切線，切點(diǎn)為 B./OBC=9 0° ,./ODC=9 0° ,又 D 在O O±,CD是O O的切線.【例7】如圖所示，已知 AB是。0的直徑，ACLL于C, BDLL于D,且AC+BD=AB求證：直線L與。0相切。【例8如圖， ABO中，OA= OR以。為圓心的圓經(jīng)過(guò) AB中點(diǎn)C,

9、且分別交 OA OB于點(diǎn)E、F.求證：AB是。切線；7. 遇到兩相交切線時(shí)（切線長(zhǎng)）常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。作用：據(jù)切線長(zhǎng)及其它性質(zhì)，可得到：角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系； 全等、相似三角形?！纠?】如圖，P是。外一點(diǎn)，PA PB分別和。切于A B, C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò) C作。的切線分別交 PA PB于口 E,若 PDE的周長(zhǎng)為12,則PA長(zhǎng)為8. 遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得：內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線； 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等?！纠?0如圖， ABC中，/A=

10、45° , I是內(nèi)心，則/ BIC=【例 11如圖，RtAABC 中，AC=8 , BC=6 , / C=90 ° , O I 分別切 AC , BC, ABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離.9. 遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。課后沖浪Rt1 .已知：P是OO外一點(diǎn)，PB, PD分別交。O于A、B和G D,且AB=CD求證: PO平分/ BPD.2 .如圖，A ABC中，/ C=90° ,圓O分別與 AG BC相切于 求圓O的半徑.M N,點(diǎn) O在 AB上，如果 AO=15cm, BO=10cm,A3 .已知： DABCD勺對(duì)角線 AG BD交于。點(diǎn),BC切。于E點(diǎn).求證：AD也和O。相切.4 .如圖，學(xué)校 A附近有一公路 MN 一拖機(jī)從 P點(diǎn)出發(fā)向PN方向行駛，已知/ NPA=30° , AP=160米，假 使拖拉機(jī)行使時(shí)，A周?chē)?00米以內(nèi)受到噪音影響，問(wèn)：當(dāng)拖拉機(jī)向PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪音影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.如果拖拉機(jī)速度為 18千米/小時(shí)，則受噪音影響的時(shí)間是多少秒？5