平行四邊形培優(yōu)講義新打印版

1、平行 四邊形培優(yōu)講義新打印版-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 13一.知識(shí)框架平邊四邊形知識(shí)點(diǎn)4正方形二.知識(shí)概念平行四邊的定義：兩線對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平.行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點(diǎn)連成的線段叫做它的對(duì)角線。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分。 平行四邊形的判別方法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。和線互相平分的四邊形是平行四邊形。三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩

2、形是特殊的平行四邊形。矩形的性質(zhì)： 具有平行四邊形的性質(zhì)， 且對(duì)角線相等， 四個(gè)角都是直角。 （矩形是軸對(duì)稱圖 形，有兩條對(duì)稱軸）矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形（根據(jù)定義）。對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且四條邊京箱等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角 線平分一組對(duì)角。菱形是軸對(duì)稱圖形， 每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形

3、。S菱形=1/2Xab （a、b為兩條對(duì)角線）或底 X 高正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形.菱形的一切性質(zhì)。有四條對(duì)稱軸）正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形：鄰邊相等的矩形是正方形：（正方形是軸對(duì)稱圖形,一個(gè)內(nèi)角為直角（或?qū)蔷€互相垂直平分）、x（或?qū)澖y(tǒng)相竽一姐鄰邊相等且 1 個(gè)內(nèi)角辦亙角一組鄰邊相”柜一內(nèi)角為直一鄰邊村等或?qū)蔷€垂直D5對(duì)角線互相垂直的矩形；對(duì)角線相等的菱形：梯形的定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。 直角梯形的定義：有一個(gè)角是直角的梯形 等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形。等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同

4、一底邊上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。等腰梯形判定定理：同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。梯形常用輔助線：6平行四邊形的判定及性質(zhì)鞏固練習(xí)題1、如圖，已知在四邊形ABCD中，AD=BC, ZD=ZDCE.求證：四邊形ABCD0是平行四邊 形.2、如圖，在口4BCD中，E E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且AE/CF,AE/CF,AE與CF相等嗎說明理由.3、有一個(gè)四邊形的四邊長分別是a, b, c, ch且有a2+b2+c2+d2=2 （ac+bd）求證：此四邊形 是平行四邊形.4、uABCD中,AC、BD交于點(diǎn) 6AE=CF,求證:BE=DF5、（變式練習(xí)2）nABCD中,AC、B

5、D交于點(diǎn) 6AE二CF, BM=DN求證：四邊形MFNE是平行四邊形6、（變式練習(xí)3）如圖，平行四邊形ABCD中，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AE=CF,乂點(diǎn)M、N分 別在AB. CD ,且MFEN, MN交AC于0。求證：EF與MN互相平分。B B77、（變式練習(xí)勺如圖所示，口4BCD的對(duì)角線AC、BDBD交于6 EF過點(diǎn)O交AD于&交BC于F,F,G是加的中點(diǎn)，H是0C的中點(diǎn)，四邊形EGFH是平行四邊形，說明理由.8、 （變式練習(xí)）nABCD中，DE平分Z ADC交BC的延長線于E, BF平分Z ABC交AB的延長線于F,求證：四邊形DEBF是平行四邊形9、 （變式練習(xí)“如圖所示，平行四

6、邊形ABCD中，M、ZV分別為AD、BC的中點(diǎn)，連結(jié)AA/、DNDN、BMBM、CM,CM,且A/V、BMBM交于點(diǎn)、P,P, CMCM、DN交于點(diǎn)Q.四邊形MGNPMGNP是平行四邊形嗎為什D D10、（變式練習(xí)2）如圖，E、F分別為Z7ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)。求證：（1） BE=DF；（2） O為GH的中點(diǎn)。8llx aABCD中，E在AB上，F(xiàn)在CD上，且AE=CF,M為DE中點(diǎn)，N為FB中點(diǎn)求證：FM=NE ME=NF12、已知如圖：在口4BCD中，延長AB到& 延長CD到F,使BE=DFBE=DF則線段AC與EFEF是否互相平分說明理由.13、如圖所示，已知點(diǎn)D是ZAB

7、C的邊AB上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC 的一點(diǎn)，DFII BE,EFII AB,證明：AE、DF互相平分14、如圖，已知AD是AABC的邊BC上的中線，ABME是AAMD繞點(diǎn)M按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180得到的,連結(jié)AE,求證：DE二AC.15、如圖，在OXBCD中，ZDAB=60，點(diǎn)E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD, CF=CB.求證：四邊形AFCE是平行四邊形.918、如圖，在ZZ7ABCD中,AB=2AD,延長AD到F,使DF=AD,再延長DA到巳使AE=AD,求證:BF丄CE.19、如圖19-1-30,分別以AABC的三邊為邊長，在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD,等邊三角形BCE,等邊三

8、角形ACF,連接DE, EF。求證：四邊形ADEF是平行四邊形。20、如圖3，在ABC中，D是3C邊的中點(diǎn)，F(xiàn),分別是及其延長線上的點(diǎn),CF/BE,CF/BE,連結(jié)3F, CE,試判斷四邊形BECF是何種特殊四邊形, 并說明理由。16、如圖所示，某城市部分街道示意圖，AF/7BC, EC丄BC, BADE, BDAE, EF=FC,屮. 乙兩人同時(shí)從B站乘車到F站，屮乘1路車，路線是B-A-E-F,乙乘2路，路線是B-D17、在平行四邊形ABCD中，BN = DM, BE = DF,求證：四邊形MENF是平行四邊形.BE C圖19-1-3010（笛A21、如圖2,平行四邊形ABCDABCD中，

9、E E、G、F F、H分別是四條邊上的點(diǎn)，且AE=CF,AE=CF, BGBGDH,DH,試說明：EF與GH相互平分.矩形拓展題1、如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（）A.ABAB = = CDCDBADAD = = BCBCCABAB = = BCBCDAC=BDAC=BD2、如圖，矩形ABCD, AB=12cm, AD=16cm,現(xiàn)將其按下列步驟折疊：（1）將ABAD對(duì) 折，使AB落在AD,得到折痕AF,如圖（2）將ZFB沿BF折疊，AF與DC交點(diǎn)G,如 圖則所得梯形BDGF的周長等于（）+2屈+2、耳+4、伍+42+42 3、 如圖， 邊長為（m

10、+3）的正方形紙片剪出一個(gè)邊長為m的正方形之后， 剩余部分乂剪拼成一 個(gè)矩形（不重疊無縫隙），若拼成的矩形一邊長為3,則另一邊長是（）A. 2n?+3B2m+6 C.m+3m+3Dm+6圖2114、如圖，矩形ABCDABCD中，ABADABAD9 9ABAB二a,a,AN平分乙DAB,DAB,DM丄A/V于點(diǎn)M,M,C/V丄A/V于點(diǎn)/V則DM+CNDM+CN的值為（用含Q的代數(shù)式表示）（）A.a aBC.a aD.乜5225、如圖，已知矩形紙片ABCD,ABCD,點(diǎn)F是43的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，ZBEGZBEG60,現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊， 使點(diǎn)3落在紙片上的點(diǎn)H處， 連接AH,AH,

11、則與ZBEGZBEG相等的角的個(gè) 數(shù)為（）AE.AE.在折痕AEAE上存在一點(diǎn)P P到邊CDCD的距離與到點(diǎn)B B的距離相等，則此相等距離為7.小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖，ADCDADCD）沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處，折痕為AEAE（如圖）；再沿過D點(diǎn)的直線折疊，使得C點(diǎn)落在DA邊上的點(diǎn)N N處,E點(diǎn)落在AE邊上的點(diǎn)A4處，折痕為DGDG（如圖）.如果第二次折疊后，M點(diǎn)正好在CD=6,貝lj CF=_6、矩形紙片ABCD中,將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上的少處，折痕為ZNDGZNDG的平分線上,那么矩形ABCD長與寬的比值為8、如右上圖，將矩形ABCD紙片沿EF折

12、疊,使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn) A 重合，若BC=8,9、如圖2,在矩形ABCD中,ADAD=4, DC =3,將按逆時(shí)針方向繞點(diǎn)人旋轉(zhuǎn)到AEF（點(diǎn)弟。趙48 = 3,ADAD = = 4,4,12爪B B、E在同一直線上）,連結(jié)CF,則CF=CF=_ 1310、如圖矩形紙片ABCD, AB = 5cm, BC = 10cm, CD 有一點(diǎn)E, ED = 2cm, AD上有一點(diǎn)P, PD = 3cm,過P作PF丄AD交BC于F,將紙片折疊，使P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，折痕與PF交于Q點(diǎn)，則PQ的長是_cm.川11.把一張矩形紙片（矩形ABCDABCD）按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合， /、折痕為EF若AB

13、AB = = 3 3 cm,cm,BC=5cm,則重疊部分DEF的面積是A廠E _ D（歹）cm2/3 cm B. 4cm和8 /3 cm C8cm和8/3 cm D. 4cm和4/3 cmA.平行四邊形的對(duì)邊相等B.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形C 矩形的對(duì)角線相等D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形3如圖，下列條件之一能使平行四邊形ABCD是菱形的為（） ACAC丄BDBD ZBADZBAD = =90 ABAB = = BCBC ACAC = = BDBDA.B.C.1412題圖14、如圖所示，D, E, F分別是AABC的邊BC, CA, AB上的點(diǎn)，且DEII AB, DFII CA,

14、要使5如圖，菱形ABCD中，ZB = 60 , AB = 2, E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF,則AAEF的周長為（）A23 B.3A/3C4、庁D36如右圖，四邊形ABCDABCD是菱形，過點(diǎn)A作的平 行線交CD的延長線于點(diǎn)E,則下列式子不成立的是 A.DADA = = DEDEB.BD=CEBD=CEC. ZEAC = 90D D ZABC=2ZEZABC=2ZE7如右圖，在菱形ABCDABCD中，對(duì)角線&C,相交于點(diǎn)O, E為AB的中點(diǎn)，且OEOE = = a,a,則菱形A3CD的周長為（）A. 16“B. 12aC. 8D4a4a8、如圖，菱形AECDAEC

15、D中，4E垂直平分BC,BC,垂足為E,E, ABAB = =4cm.那么，菱形ABCDABCD的面積是_ ,對(duì)角線BD的長是.9、 已知菱形ABCDABCD的面積是12cnr ,對(duì)角線AC = 4cm，則菱形的邊長是cm10、如圖，矩形ABCD中，AB = 2, BC=3,對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD, BC于點(diǎn)E、F,連接CE,則CE的長_ 11.如圖所示，兩個(gè)全等菱形的邊長為1厘米，一只螞蟻山A點(diǎn)開始按ABCDEFCG4的順療:沿菱形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng)，行走2008厘米后停下，則這只螞蟻停在點(diǎn).12、如圖，菱形ABCDABCD中，O是對(duì)角線4G 3D的交點(diǎn)，ABAB = =5cm,AO =

16、 4cm,則_cm.13、如圖所示，已知aABCD, AC, BD相交于點(diǎn) 60添加一個(gè)條件使平行四邊形為菱形，添15四邊形AFDE是菱形，則要增加的條件是_ .（只寫出符合要求的一個(gè)即可）1615、菱形ABCD的周長為48cm, Z BAD：0Z ABC=01：02,回則BD=0_, 0菱形的面積是16、 在菱形ABCD中，AB=4, AB邊上的高DE垂直平分邊AB,則BD二_, AC=_17、 如圖，四邊形ABCD是菱形，DE丄AB交BA的延長線于E, DF丄BC,交BC的延長線于Fo請你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系并證明你的猜想18、已知：如圖，AD平分ZBAC, DEAC交AB于E,

17、 DFAB交AC于F.求證：四邊形AEDF是菱形.19、如圖，四邊形ABCDABCD中，AB/CD,AB/CD,4C平分ZBAD,ZBAD, CECE/ADAD交AB于E.E.（1）求證：四邊形AECDAECD是菱形；（2）若點(diǎn)E是加的中點(diǎn)，試判斷ABC的形狀，并說明理山.20、如圖8,在平行四邊形ABCD中，E,E,F分別為邊AB CD的中點(diǎn)，連接DEBF,BF, BD.BD.（1）求證：心DEDE竺厶CBFCBF . .（2）若ADAD丄B6B6則四邊形3FDE是什么特殊四邊形請證明你的結(jié)論171821、如圖，在ZiABC中，ZBAC=90 , AD丄BC于D, CE平分ZACB,交AD于

18、G,交AB于E, EF丄BC于F,四邊形AEFG是菱形嗎A22、如圖，三角形ABC中，AD是ZB AC的平分線，E是AC上一點(diǎn)，AE二AB,EFBC交AD于F, BE與AD交與G,求證：四邊形BDEF是菱形。23、如圖.在三角形ABC中，ZA=90, ZB的平分線交AC于D,交高AH于E門DF丄BC,F為垂足，求證：四邊形AEFD為菱形。C1924、如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn) 6 過點(diǎn)A作AH丄BC,交BD于E,垂足 為H,已知CH二4, AH=8 （1）求菱形的周長；（2）求0E的長25、如圖，在Rt/ABCRt/ABC中，ZB=90 ,BC=5BC=5艮ZC=30點(diǎn)D從點(diǎn)

19、C出發(fā)沿CA方向以每 秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E E從點(diǎn)A出發(fā)沿ABAB方向以每秒1個(gè)單位長的 速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng) 的時(shí)間是r秒（to）.過點(diǎn)D作DF丄BC于點(diǎn)F,連接DE、EF.EF.（1）求證：AEAE二DFDF；（2 2）四邊形AFFD能夠成為菱形嗎如果能，求岀相應(yīng)的r值；如果不能，說明理由.（3）當(dāng)r為何值時(shí),ADEF為直角三角形請說明理由.正方形練習(xí)題1、正方形ABCD的邊長為1,它的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)0,為_則ABO的周長為EC=AC, AE交CD于F,則ZAFC=A203、如圖，在正方形ABCD中，A

20、B=8, AE=2ZEF=點(diǎn)E在AB,點(diǎn)F在AD上，則CF=_4、在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE把正方形分成兩部分，且SSBEBE: : SSAECDAECD=1:5,AB二6,則AE=_5、若正方形面積縮小為原來的丄，則它的邊長是原來邊長的_36、如圖，ABCD是正方形，M是BC中點(diǎn)，將正方形折起，使點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，設(shè)折痕為EF,若正方形面積為64,那么AEM的面積是_7、如圖，以正方形ABCD的對(duì)角線BD為邊作正三角形BDE,過E作EF丄AD,交DA的延長線于F,則ZAEF=_:若正三角形BDE的周長是12旋，正方形面積為_9、正方形ABCD邊長為8, M在DC,且DM二乙N是A

21、C上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值 為10、如圖，已知邊長為1的正方形ABCD, E為AD中點(diǎn)，P為CE的中點(diǎn)，則S S啊產(chǎn)_11、在ZABC中，AB=AC, D是BC中點(diǎn)，DE丄ABQF丄AC,垂足分別為EF只添加一個(gè)條件_使四邊形AEDF為正方形（寫出一個(gè)條件即可）12、如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60,至正方形ABC。,則2題圖3題圖6題圖PE丄AC,PF丄BD,點(diǎn)E、F分別是垂足,BD+AC=14,貝lj PE+PF=_CBMC2114、已知正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長線上一點(diǎn)，MN丄DM且交ZCBE的 平分線于N.求證：MD=MN.若M是A

22、B上任意一點(diǎn)，MD=MN還成立嗎若成立，請證明之；E是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線分別交CD、AB的延長16、如圖，在正方形ABCD中,PAQ是正三角形，設(shè)AB=10,求PB的長17、如圖，在正方形ABCD中,F是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)，BF丄EF,求證：BF二EF15、如圖，在正方形ABCD中,BE=BG+CF18、如圖，正方形ABCD邊長為1，E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上移動(dòng)試判斷當(dāng)點(diǎn)F移到 什么位置時(shí)，AE是ZDAF的平分線四邊形綜合培優(yōu)題1、以ABC的邊AB、AC.AC.BC為邊作等邊ABD、等邊ACE和等邊BCFo17E是DB延長線上的一點(diǎn)，且ZECB=15求證：EC=BDB6C2

23、33、如圖，在梯形ABCD中，ZA+ZB=90 , AB 1 (/IB-CD)24、已知：如圖，在NABCNABC中，AB=AC,AB=AC, ADADBC,BC,垂足為點(diǎn)D,ANAN氏ABABC C外角ZCAMCAM的平分線，CF丄AN,AN,垂足為點(diǎn)E,（1）求證：四邊形&DCE為矩形；（1）求證四邊形ADFE是平行四邊形.（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADFE是矩形；（3）當(dāng)AABC滿足什么條件時(shí)，平行四邊形ADFE不存在；（4）當(dāng)AABC分別滿足什么條件時(shí)，平行四邊形是菱形、正方形.2、如圖：正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn) 6E是AC 的一點(diǎn)，連接EB,過點(diǎn)A作

24、AM丄BE,垂足AM交BD于點(diǎn)F.1求證OE=OF2如圖2所示，若點(diǎn)E在AC的延長線上，AM丄EB的延長線于點(diǎn)交DB的延長線于點(diǎn)F,其他條件都不變，則結(jié)論9E=0F還成立嗎如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明 理由.246、已知正方形ABCD,點(diǎn)P是對(duì)角線&C所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在DC邊所在直線上，且始終保持陀=PD.(2)當(dāng)AABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形并給出證明.5、在oABCDoABCD中，ZBADBAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線DC于點(diǎn)F.(1)在圖1中證明CE=CFCE=CF；(2)若ZABC=90。，G是EF的中點(diǎn)(如圖2),求ZBDGBDG的度數(shù)(3)若Z4BC= 120,FGIIFGII CE,CE, FGFG = = CE,CE,分別連結(jié)DB、DGDG(如圖3),求Z人DD圖325（1）如圖魚當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線&C上時(shí)，觀察、猜想PE與PB有怎樣的關(guān)并證明你的結(jié)論。（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C&的延長線上時(shí)，（1）中猜想的結(jié)論是否成立如果成立，請給岀證明：如 果不成立，請說明理由：（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C&的反向延長線上時(shí)，請你利用圖3畫出滿足條件的圖形, 并判斷此時(shí)PE與