基于回歸分析的銷售模型

1、1.基于回歸分析的公司銷售額模型摘 要 本文討論了利用全行業(yè)銷售額預(yù)測(cè)公司銷售額的線性回歸問(wèn)題。對(duì)于問(wèn)題一，根據(jù)1977-1981年公司銷售額和行業(yè)銷售額的分季度數(shù)據(jù)，利 用Matlab軟件畫(huà)出散點(diǎn)圖，并由此得知他們顯然存在正相關(guān)，因此可采取線性 回歸模型進(jìn)行擬合；對(duì)于問(wèn)題二，首先，由公司銷售額和行業(yè)銷售額之間的正自相關(guān)性建立相應(yīng)的線性回歸模型，利用Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱計(jì)算回歸方程中的決定系數(shù)、F統(tǒng)計(jì)量及各級(jí)參數(shù)和參數(shù)置信區(qū)間；其次，根據(jù)決定系數(shù)判斷模型計(jì)算結(jié)果的可信度， 并將參數(shù)代入回歸方程得到相應(yīng)回歸模型；最后，采用D-W檢驗(yàn)法檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭须S機(jī)誤差的自相關(guān)性。得出結(jié)論：該回歸模型的隨機(jī)誤差

2、存在正自相關(guān)性。對(duì)于問(wèn)題三，進(jìn)一步建立消除隨機(jī)誤差自相關(guān)性后的回歸模型， 類比問(wèn)題二， 利用Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱計(jì)算回歸方程中的決定系數(shù)及各級(jí)參數(shù)，檢驗(yàn)其隨機(jī)誤 差的自相關(guān)性，代入?yún)?shù)即得到消除自相關(guān)性后的回歸模型。考慮到全行業(yè)銷售額與公司銷售額之間的相互關(guān)聯(lián)性，可進(jìn)一步對(duì)模型進(jìn)行推廣，預(yù)測(cè)下一年和季度的公司銷售額。關(guān)鍵詞 回歸分析法；自相關(guān)性；D-W檢驗(yàn)、問(wèn)題重述某公司欲用全行業(yè)銷售額作自變量預(yù)測(cè)該公司銷售額，下表為1977-1981年公司銷售額和行業(yè)銷售額的分季度數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)元）?；卮鹑缦聠?wèn)題：?jiǎn)栴}一：根據(jù)數(shù)據(jù)畫(huà)出公司銷售額與全行業(yè)銷售額的散點(diǎn)圖，并觀察用線性 回歸模型擬合是否合適；

3、問(wèn)題二：建立公司銷售額對(duì)全行業(yè)銷售額的回歸模型，并用DW檢驗(yàn)診斷隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性；問(wèn)題三：建立消除了隨機(jī)誤差項(xiàng)自相關(guān)性后的回歸模型。表1公司銷售額和全行業(yè)銷售額季度數(shù)據(jù)表年季t公司 銷售 額y行業(yè) 銷售 額x年季t公司 銷售 額y行業(yè) 銷售 額x19771120.96127.331124.54148.32221.40130.041224.30146.43321.96132.7198011325.00150.24421.52129.421425.64153.119781522.39135.031526.36157.32622.70137.141626.98160.73723.48141.21

4、98111727.52164.24823.66142.821827.78165.619791924.10145.531928.24168.721024.01145.342028.78171.7二、問(wèn)題分析全行業(yè)的銷售額情況通常情況下能夠用來(lái)預(yù)測(cè)公司的銷售額。本文將根據(jù) 1977-1981年某公司及其全行業(yè)銷售額數(shù)據(jù)解決如下問(wèn)題：對(duì)于問(wèn)題一公司銷售額與全行業(yè)銷售額的散點(diǎn)圖，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，利用 matlab軟件畫(huà)出圖像，并判斷其自相關(guān)性；對(duì)于問(wèn)題二公司及全行業(yè)銷售額的回歸模型，首先，本文將利用matlab統(tǒng)計(jì)工具箱分別求解出回歸方程中的各級(jí)參數(shù)及參數(shù)置信區(qū)間， 代入得到線性回歸 模型；其次，畫(huà)出其

5、殘差散點(diǎn)圖，分析隨機(jī)誤差的自相關(guān)性；最后，采用 D-W 檢驗(yàn)法通過(guò)求解DW統(tǒng)計(jì)量并查閱其檢驗(yàn)臨界值診斷其隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性（1）；對(duì)于問(wèn)題三消除隨機(jī)誤差自相關(guān)項(xiàng)的回歸模型，利用 matlab統(tǒng)計(jì)工具箱分 別求解回歸方程中的各級(jí)參數(shù)及其置信區(qū)間， 進(jìn)一步利用DW檢驗(yàn)確定其自相關(guān) 性，代入數(shù)據(jù)得到相應(yīng)的線性回歸模型。三、模型假設(shè)1假設(shè)所給數(shù)據(jù)均真實(shí)有效，具有統(tǒng)計(jì)價(jià)值；2假設(shè)公司銷售額可由行業(yè)銷售額推算，其他因素的影響較小；四、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)符號(hào)含義et殘差回歸系數(shù)1回歸系數(shù)2St隨機(jī)誤差a置信水平F統(tǒng)計(jì)里值P相關(guān)系數(shù)yt公司銷售額dL檢驗(yàn)臨界值1du檢驗(yàn)臨界值2Xt全行業(yè)銷售額R2回歸方程決定系數(shù)

6、P與統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的概率值k回歸變量包括常數(shù)項(xiàng)的數(shù)目五、模型建立于求解5.1問(wèn)題一:根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)利用matlab軟件畫(huà)出公司銷售額與全行業(yè)銷售額的散點(diǎn) 圖如下圖：y A29 -28 -2726252423 -22 -21 -20 L125130135140145150155160165170175圖1y對(duì)x的散點(diǎn)圖由圖像觀察可以看出，隨著行業(yè)銷售額的增加，公司銷售額也隨之增加，且 兩者具有很強(qiáng)的線性關(guān)系，因此可建立一元線性回歸模型。5.2問(wèn)題二：根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出隨著行業(yè)銷售額的增加，公司銷售額增大，而且兩者有 很強(qiáng)的線性關(guān)系，因此可以建立一元線性回歸模型yt - -0 “為 ；t（ 1）（1

7、）式中影響yt的其他因素的作用都包含在隨機(jī)誤差；t內(nèi)，這里假設(shè)；t （對(duì)t）相互獨(dú)立，且服從均值為零的正態(tài)分布（t =1,2,，n）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，對(duì)（1）利用matlab統(tǒng)計(jì)工具箱進(jìn)行求解，得到回歸系 數(shù)估計(jì)值及其置信水平（置信水平0.05）、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量R2、F、p的結(jié)果見(jiàn)表2：表2 （ 1）的回歸系數(shù)估計(jì)值及各項(xiàng)參數(shù)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間Po-1.4548-1.9047，-1.00480.17630.1732，0.17932R2 =1,F =14888, P = o將參數(shù)估計(jì)值代入（1）得到?t - -1.4548 0.1763焉（2）從表面上看得到的基本模型（2）的擬合度已經(jīng)很高了。但

8、是這個(gè)模型并沒(méi) 有考慮到數(shù)據(jù)是一個(gè)時(shí)間序列。實(shí)際上，在對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)做回歸分析時(shí)， 模型 的隨機(jī)誤差項(xiàng)江有可能存在相關(guān)性，違背模型關(guān)于；t （對(duì)t）相互獨(dú)立的基本假 設(shè)。如在公司銷售額模型中，行業(yè)銷售額之外的因素（如政策等因素）對(duì)行業(yè)銷 售額的影響包含在隨機(jī)誤差 壯中，如果他的影響成為；t的主要部分，則由于政策 等因素的連續(xù)性，他們對(duì)行業(yè)銷售額的影響也有時(shí)間上的延續(xù)，即隨機(jī)誤差會(huì)出現(xiàn)（自）相關(guān)性。進(jìn)一步，由于殘差et二yt-?t可以作為隨機(jī)誤差；t的估計(jì)值，從而判斷隨機(jī) 誤差是否存在自相關(guān)性。利用 matlab軟件計(jì)算其數(shù)據(jù)殘差，如下表：表3殘差t12345et-0.0261-0.06200.

9、02200.16380.0466t678910et0.04640.0436-0.0584-0.0944-0.1491t1112131415et-0.1480-0.0531-0.02290.10590.0855t1617181920et0.10610.02910.0423-0.0443-0.0330為使結(jié)果更加直觀明了，根據(jù)表3畫(huà)出et-et的散點(diǎn)圖（如圖2）,可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)大部分都落在在1,3象限，表明e t存在正相關(guān)。)0.2e0.150.10.05-0.05-0.1T4-0.15 -0.15-0.1-0.0500.050.1圖2殘差圖在建立回歸模型之前需檢驗(yàn)其隨機(jī)誤差的自相關(guān)性，采用D -W檢

10、驗(yàn)法進(jìn)行判斷。D -W檢驗(yàn)是一種常用的診斷自相關(guān)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)方法。首先根據(jù)（1）得到殘差計(jì)算DW統(tǒng)計(jì)量如下0.152 e(t-1)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算可知，當(dāng)n二.(et etJ)DW送et2t=2n較大時(shí)-n 1 為 et et-11_np2Z et一t=2一(3)(4)n（5）；t的；t的而（4）式右端的a etet-1 、et2正是自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值?，于是有 t =2/ 2DW : 2（1 _ ?）由于-仁？空1，所以0乞DW乞4,并且?在0附近，貝U DW在2附近, 自相關(guān)性很弱（或不存在自相關(guān)性）；若 ?在1附近，則DW接近0或4 , 自相關(guān)性很強(qiáng)。要根據(jù)DW的具體數(shù)值確定隨機(jī)誤差；t是否

11、存在自相關(guān)，可查閱D - W分布 表，得到檢驗(yàn)的臨界值dL和du,然后由圖3中DW所在的區(qū)間來(lái)確定其自相關(guān) 性。，可由（4）式估計(jì)，即?十空2 利用matlab計(jì)算可得DW = 0.8592查閱DW 分布表可知當(dāng)=0.05，n =20, k=2時(shí)dL =1.20，dU -1.41因?yàn)?0 0.8592 :：: dL，可以認(rèn)為隨機(jī)誤差存在正自相關(guān)性。5.3問(wèn)題三：消除自相關(guān)性后，設(shè)* _ *. * *yt = * + 3 xt + ut（6）作變換*尸 *尸 *?t0（7）y； = yt - 嘰（8）X* 二 xt - ?xtj（9）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，對(duì)（6）式利用matlab統(tǒng)計(jì)工具箱進(jìn)行求解

12、，得到回歸 系數(shù)估計(jì)值及其置信水平（置信水平0.05）、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量R2、F、p的結(jié)果見(jiàn)表4:表4參數(shù)估計(jì)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間R * r0-0.4976-0.9003，-0.0949p/0.17430.1681,0.1804R2 =1,F =3576.6, p = 0DW所在的區(qū)間確定其自相關(guān)性，如圖 3：0dLdu 24-du 4-dL4 DW正不無(wú)不負(fù)自能i自1能自相確相確相關(guān)疋關(guān)定關(guān)圖3與DW對(duì)應(yīng)的自相關(guān)狀態(tài)此時(shí)計(jì)算得到：DW =1.8971，則? = 1-列 =0.0515 2查閱DW 分布表可知當(dāng)=0.05, n =19，k=2時(shí)dL =1.18，dU =1.40因?yàn)閐u ：1.89

13、71 ： 4-du，可以認(rèn)為其隨機(jī)誤差不存在自相關(guān)性進(jìn)而由-0 7.4976，打=0.1743聯(lián)立（7）（ 8）（ 9）式并代入數(shù)據(jù)得到行業(yè)銷售額與公司銷售額之間的表 達(dá)式：yt - -0.4976 0.0515yt40.1743xt -0.0090xt六、模型評(píng)價(jià)與推廣模型評(píng)價(jià)：優(yōu)點(diǎn)：若直接采用普通的回歸模型處理，因無(wú)法預(yù)測(cè)其相關(guān)性，可能導(dǎo)致模型建立 無(wú)意義；因此本模型采用先診斷數(shù)據(jù)是否存在自相關(guān)性，考慮自相關(guān)系數(shù)， 再建立新的回歸模型的方法來(lái)處理數(shù)據(jù)，具有現(xiàn)實(shí)意義；(2)模型建立于求解直觀明了，簡(jiǎn)單易懂。 缺點(diǎn)：(1) 由于數(shù)據(jù)本身可能存在一定誤差，導(dǎo)致在求解過(guò)程中可能存在一定偏差；(2)

14、 采用D -W檢驗(yàn)時(shí)若DW數(shù)值落在無(wú)法確定自相關(guān)性的區(qū)間，則只能設(shè)法增 加數(shù)據(jù)量或選用其他方法，方法本身存在一定的局限性。模型推廣：根據(jù)本文建立的銷售額回歸模型及其求解結(jié)果，可進(jìn)一步對(duì)公司下一年及季 度的銷售額作出簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)，這對(duì)公司選擇銷售價(jià)格及生產(chǎn)數(shù)量都有積極影響。另 外，本模型同樣適用于投資額與生產(chǎn)總值和物價(jià)指數(shù)、牙膏銷售量等其他銷售行 業(yè)的預(yù)測(cè)。參考文獻(xiàn) 1姜啟源等，數(shù)學(xué)模型(第四版)，北京：高等教育出版社，2011.附錄附錄 1 公司銷售額與全行業(yè)銷售額散點(diǎn)圖x=127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 14

15、8.3 146.4150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7;y=20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01 24.54 24.3025.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78;plot(x,y, ko )xlabel( x );ylabel( y );附錄 2 回歸模型參數(shù)估計(jì)x=127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146

16、.4150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7;y=20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.01 24.54 24.3025.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78;X=ones(20,1) x.; b,bint,r,rint,stats=regress(y.,X)附錄3 DW檢驗(yàn)診斷隨機(jī)誤差的自相關(guān)性：x=127.3 130 132.7 129.4 135 137.1 142.2 142.8 145.5 145.3 1

17、48.3 146.4150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7;y=20.96 21.4 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.1 24.01 24.54 24.325 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78;plot(x,y, ko )box offy=y.;x=x.;stand=ones(20,1);x=stand,x;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);k=r;s=0;w=0;a=2;n=length(k);for a=2:

18、nd=k(a)-k(a-1);d=dA2;s=s+d;f=k(a);f=fA2;w=w+f;a=a+1;enddw=s/w 附錄 4 消除自相關(guān)后參數(shù)估計(jì)x=127.3 130 132.7 129.4 135 137.1 142.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7;y=20.96 21.4 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.1 24.01 24.54 24.325 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.

19、24 28.78;y=y.;x=x.;stand=ones(20,1);x=stand,x;k=r;s=0;w=0;a=2;n=length(k);for a=2:nd=k(a)-k(a-1);d=dA2;s=s+d;f=k(a);f=fA2;w=w+f;a=a+1;enddw=s/wp=1-dw/2;y1=ones(1,19)n=length(y)a=2while an+1y1(1,a-1)=y(1,a)-p*y(1,a-1)a=a+1end;x1=ones(1,19)n=length(x)a=2while an+1 x1(1,a-1)=x(1,a)-p*x(1,a-1);a=a+1end;

20、y1=y1.;x1=x1.;stand=ones(19,1);x=stand,x1;b,bint,r,rint,stats=regress(y1,x)2.溫度對(duì)烏龜性別影響的探究摘 要 本文討論了溫度如何影響烏龜性別的問(wèn)題，求解雄龜與雌龜數(shù)量相當(dāng)時(shí)的最適溫度及溫度升高對(duì)烏龜性別的影響。首先，對(duì)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，匯總不同溫度下雄龜所占比例，利用Matlab 軟件畫(huà)出表示雄龜性別比例與溫度關(guān)系的散點(diǎn)圖，觀察得出兩者之間存在非線性 關(guān)系的結(jié)論；其次，先建立雄龜比例與溫度之間的 Logit 一次回歸模型，利用 Matlab求 出回歸系數(shù)及各級(jí)回歸參數(shù)，得到一次回歸方程，經(jīng)計(jì)算知使得雄龜與雌龜數(shù)量 相

21、當(dāng)?shù)淖钸m溫度為27.7333oC，畫(huà)出擬合后的圖像可以看出溫度升高時(shí)的雄龜比 例與實(shí)際比例出入較大；進(jìn)一步引入自變量的二次項(xiàng)得到相應(yīng)回歸方程，運(yùn)用似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)是否需要引入自變量的二次項(xiàng)，由p ：. 0.05知可提高其擬合程度，并得到相應(yīng)最適溫度為27.6841oC，同時(shí)畫(huà)出擬合后的圖像發(fā)現(xiàn)雄龜比例 與實(shí)際比較略為接近；引入自變量的三次項(xiàng)，此時(shí)經(jīng)計(jì)算知p遠(yuǎn)小于0.05，擬合 程度更高，進(jìn)而計(jì)算得到其最適溫度為 27.4967oC，進(jìn)一步由擬合圖像知雄龜比 例與實(shí)際比例更為接近；引入自變量的四次方項(xiàng)，由于p 0.05，所以高于三階項(xiàng)均不能提高擬合程度。最后，考慮到不同溫度對(duì)烏龜性別產(chǎn)生影響

22、之外的其他因素，將模型進(jìn)一步 推廣，建立多變量Logit模型，探究可能影響烏龜性別的其他因素。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞Logit回歸模型；發(fā)生比；似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量法；Matlab軟件、問(wèn)題重述經(jīng)科學(xué)研究表明，烏龜?shù)胺趸瘯r(shí)的溫度是決定烏龜性別的最關(guān)鍵因素，為了研究溫度是如何影響幼龜?shù)拇菩郾壤?，下面給出在 5個(gè)不同的恒定溫度下，3批 烏龜?shù)爸械南嚓P(guān)數(shù)據(jù)：表1不同溫度下雄、雌烏龜?shù)皞€(gè)數(shù)及比例溫度（C）烏龜?shù)皞€(gè)數(shù)雄龜個(gè)數(shù)雌龜個(gè)數(shù)雄龜比例27.2101910%8080%91811.1%27.7107370%64266.7%86275%28.313130100%96366.7%87187.5%28.4107370%8

23、5362.5%97277.8%29.91110190.9%880100%990100%根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)建立幼龜性別比和孵化溫度之間的 Logit模型，求出當(dāng)孵化出 的幼龜性別比例恰好為1:1時(shí)的孵化溫度，并分析若溫度每升高1oC，幼龜性別 的變化情況。二、問(wèn)題分析科學(xué)研究表明，溫度是決定烏龜性別的最關(guān)鍵因素。本文將建立幼龜性別比 和溫度之間的Logit模型（1），定量分析兩者之間的相互影響關(guān)系，并找出 雄雌比例為1:1時(shí)的最適溫度。首先，對(duì)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將同一溫度下的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總，畫(huà)出幼 龜性別比與溫度的散點(diǎn)圖，觀察這兩者之間存在的線性關(guān)系；其次，本文將建立溫度與雄龜比例的 Logit模

24、型，討論自變量一次、二次、 三次及四次回歸模型，利用似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，確定確定符合要求的高階最優(yōu)回 歸模型，利用Matlab求出回歸系數(shù)，分析系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差、擬合偏差、置信區(qū)間， 求出回歸方程并畫(huà)出相應(yīng)的擬合曲線；最后，利用表達(dá)式，求出當(dāng)幼龜性別比恰為1:1時(shí)的最適溫度；利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中發(fā)生比的概念（幼龜中雄龜與雌龜概率之比）分析溫度每升高1oC，幼龜性別的變化情況。三、模型假設(shè)1假設(shè)烏龜性別僅由溫度決定，忽略外界其他因素的影響；2假設(shè)所選用的烏龜?shù)岸家咽芫⑶矣敺趸缶婊睿?.不考慮海拔等地理?xiàng)l件對(duì)溫度的影響，即能準(zhǔn)確地控制溫度; 4假設(shè)所給數(shù)據(jù)均真實(shí)有效，具有統(tǒng)計(jì)價(jià)值；5.假設(shè)實(shí)驗(yàn)所使用的烏龜

25、蛋是獨(dú)立選取的。四、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)符號(hào)含義X溫度（C ）悅回歸系數(shù)1Pi回歸系數(shù)2%回歸系數(shù)3爲(wèi)I回歸系數(shù)4兀（X）雄龜個(gè)數(shù)占所有烏龜個(gè)數(shù)的比例odds(x)溫度為x時(shí)雄性與雌性烏龜之比五、模型建立與求解溫度是決定烏龜性別的最關(guān)鍵因素，未了探究溫度對(duì)烏龜性別的影響以及 雄、雌烏龜個(gè)數(shù)相當(dāng)時(shí)的最適溫度。 首先，為了更直觀看出三批烏龜?shù)爸行埤斦?烏龜?shù)皞€(gè)數(shù)的比例情況，將題目所給數(shù)據(jù)進(jìn)一步進(jìn)行匯總處理， 建立表示雄龜比 例的表格如下：表2雄龜比例溫度（C）烏龜?shù)皞€(gè)數(shù)雄龜個(gè)數(shù)雄龜比例27.22720.074:27.724170.708328.330260.866728.427190.703729.928

26、270.9643為使結(jié)果呈現(xiàn)更加直觀清晰，利用Matlab軟件畫(huà)出對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，如下圖ntni 一*0.9-0.8 0.7-士40.60.50.40.30.2 0.1 -卡2828.52929.50 IL-2727.5圖1幼龜中雄龜比例X）對(duì)溫度x的散點(diǎn)圖根據(jù)散點(diǎn)圖建立幼龜性別比和孵化溫度之間的Logit模型：5.1 次線性模型觀察圖像，幼龜性別比和孵化溫度大致呈線性關(guān)系，用二（x）表示雄龜所占比例，則有In 1 =悅+優(yōu)x（ 1）1 -二（X）利用Matlab軟件計(jì)算模型中-0與M的最大似然估計(jì)值和他的標(biāo)準(zhǔn)差（見(jiàn)表3），得到其擬合偏差為14.8692 。參數(shù)參數(shù)估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差-61.31831

27、2.02242.21100.4309表3模型參數(shù)估計(jì)值與標(biāo)準(zhǔn)差圖2給出了 Logistic模型的雄龜比例預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的圖像變化情況:n10.9實(shí)際值擬合曲線0.80.70.60.50.40.30.20.10 L2727.52828.52929.530圖2雄龜比例實(shí)際值與預(yù)測(cè)值 由（1）式得Logit模型化為ln 0X = -61.3183 2.211X（2）1 - -：（x）其次，利用Matlab軟件計(jì)算不同溫度下雄龜比例的預(yù)測(cè)值（見(jiàn)表 4） 表4不同溫度下雄龜比例預(yù)測(cè)值與預(yù)測(cè)區(qū)間溫度（C）雄性比例預(yù)測(cè)值置信區(qū)間27.20.07400.23540.1289,0.390527.70.70830

28、.48180.3685,0.597028.30.86670.77800.6689,0.858828.40.70370.81380.7044,0.889129.90.96430.99180.9547,0.9986由于Logit模型與統(tǒng)計(jì)中odds (發(fā)生比例或優(yōu)勢(shì)比)的概念有密切聯(lián)系，而 odds就是事件的發(fā)生概率與不發(fā)生概率之比。為此設(shè) odds(x)為溫度為x時(shí)雄性 與雌性烏龜之比，則有odds(x) 口：(x)仁二(X)于是Logit模型可以表示為_(kāi) _odds(x)=評(píng)冷當(dāng)烏龜性別比例為1:1時(shí)，由(2)式有，即I。必=0時(shí),(3)解得x =27.7333C由(3)式有_ _odds(x

29、+1)e f0 (x+)目匚贏廠；。一(4)R , odds(x+1)= Inodds( x)當(dāng)0時(shí)，e 1， x每增加一個(gè)單位，odds比會(huì)相應(yīng)增加，對(duì)任意正整數(shù)k由(4)式有odds(x +k) = ekodds(x)即知，當(dāng)溫度每升高1oC，odds比都會(huì)增加，即為e：1 =9.1248 結(jié)論：變換可得(5)當(dāng)溫度為27.7333C時(shí)，雄龜與雌龜比例恰為1:1。當(dāng)溫度為27oC時(shí)，二(27) =0.1650，發(fā)生比為odds(27) = 0.1976，幼龜中 雄龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?.1976倍；當(dāng)溫度為28oC時(shí)，二(27) = 0.1650，發(fā)生比為odds(28) =1.8034，幼龜

30、中雄 龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?.8034倍；當(dāng)溫度為29oC時(shí)，二(27) = 0.1650 ,發(fā)生比為odds(29) = 2.8007，幼龜中雄 龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?.8007倍；當(dāng)溫度為30oC時(shí)，二(27) =0.1650，發(fā)生比為odds(30) = 5.0117，幼龜中雄 龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?.0117倍?？梢?jiàn)，溫度每升高1oC時(shí)，雄龜都相應(yīng)增多，考慮模型是否可以繼續(xù)優(yōu)化， 所以改進(jìn)模型引入x的二次項(xiàng)。5.2引入x2項(xiàng)后的模型引入x2項(xiàng)后模型變?yōu)镮n (x)0 ：1X，tx2(6)1 -H(x)首先，利用Matlab軟件計(jì)算模型中S和的最大似然估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)差(見(jiàn)表3),得到其擬合偏差為10.

31、1767。同時(shí)p =0.0304 0.05，表示引入x2項(xiàng)能顯著提高擬合程度。參數(shù)參數(shù)估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差-677.5950268.807145.917518.9175-0.77450.3327表3模型參數(shù)估計(jì)值與標(biāo)準(zhǔn)差圖3給出了 Logistic模型的雄龜比例預(yù)測(cè)值與實(shí)際值散點(diǎn)圖圖3雄龜比例實(shí)際值與預(yù)測(cè)值 將數(shù)據(jù)代入（6）式得Logit模型化為兀（X）2In667.595045.9173x-0.7745x21 - : （x）其次，利用Matlab軟件計(jì)算不同溫度下雄龜比例的預(yù)測(cè)值（見(jiàn)表5）表5不同溫度下雄龜比例預(yù)測(cè)值與預(yù)測(cè)區(qū)間溫度（oC）雄性比例預(yù)測(cè)值置信區(qū)間27.20.07400.16000.07

32、08,0.322427.70.70830.51000.3852,0.633628.30.86670.82740.7185,0.900028.40.70370.85410.7520,0.918729.90.96430.94850.7775,0.9898同理odds（x）二e 1x卞當(dāng)烏龜性別比例為1:1時(shí)，由（6）式有，即必2X2 =0時(shí)，解得禺= 27.6841CX2 =31.6023C同理有odds(x 1)_2X1)eodds(x)且對(duì)任意正整數(shù)k有45.9173-0.7745( 2x4)=eodds（x k） =ek “2（2kx k ）odds（x）即知，當(dāng)溫度每升高1oC，odds比

33、都會(huì)增加，即為ei2（2x1）結(jié)論:當(dāng)溫度為27.6841oC時(shí)，雄龜與雌龜比例恰為1:1 o當(dāng)溫度為27oC時(shí)，二(27)=0.0803 ,發(fā)生比為odds(27) = 0.0873 ,幼龜中 雄龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?.0873倍；當(dāng)溫度為28oC時(shí)，二(28) =0.7071，發(fā)生比為odds(28) = 2.4143，幼龜中 雄龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?.4143倍；當(dāng)溫度為 29oC 時(shí)，二(29)0.9341，發(fā)生比為 odds(29) =14.1852，幼龜中雄龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?4.1852倍；當(dāng)溫度為 30oC 時(shí)，二(30) = 0.9465，發(fā)生比為 odds(30) =17.7077，

34、幼龜 中雄龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?7.7077倍。可見(jiàn)，溫度每升高1oC時(shí)，雄龜個(gè)數(shù)都相應(yīng)增多，考慮模型是否可以繼續(xù)優(yōu) 化，所以再次改進(jìn)模型引入x的三次項(xiàng)。5.3引入x3項(xiàng)后的模型 引入x3項(xiàng)后模型變?yōu)镮n 兇 0 亠.X 亠, 2x2 亠.x3(7)1 7、心)首先，利用Matlab軟件計(jì)算模型中、冷、:2和-3的最大似然估計(jì)值和圖4給出了 Logistic模型的雄龜比例預(yù)測(cè)值與實(shí)際值散點(diǎn)圖 x木冗10.90.80.70.6027實(shí)際值 擬合曲線0.50.40.30.20.127.52828.52929.530標(biāo)準(zhǔn)差(見(jiàn)表6)，得到其擬合偏差為1.6829 o同時(shí)p = 0.0036 :：: 0.

35、05表示引入x3項(xiàng)能顯著提高擬合程度表6模型參數(shù)估計(jì)值與標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)參數(shù)估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差-53633.368619466.0727015630.83902051.3550196.982272.014362.29620.8422x圖4雄龜比例實(shí)際值與預(yù)測(cè)值散點(diǎn)圖將所得數(shù)據(jù)代入(7)式得Logit模型化為In 兇 53633.36865630.8390x196.9822x22.2962x31 - 7：(X)其次，利用Matlab軟件計(jì)算不同溫度下雄龜比例的預(yù)測(cè)值(見(jiàn)表4)表6不同溫度下雄龜比例預(yù)測(cè)值與預(yù)測(cè)區(qū)間溫度(C)雄性比例預(yù)測(cè)值置信區(qū)間27.20.07400.06940.0167,0.186827.

36、70.70830.72840.5252,0.866728.30.86670.79640.6849,0.875628.40.70370.79170.6476,0.892029.90.96430.96370.7856,0.9948同理odds(x) = e樣當(dāng)烏龜性別比例為1:1時(shí)，由(6)式有，即必2X23X3 =0時(shí)，解得x =27.4967C同理有odds(x T) _ J =(2x 1) ； (3x2 3x 1)eodds( x)且對(duì)任意正整數(shù)k有odds(x +k)=詐+儆2* 也gg%dds(x) 即知，當(dāng)溫度每升高1oC，odds比都會(huì)增加，即為1 亠：2(2x 1)亠,3(3x2

37、3x：1) _ 5630.839096.9822(2x 1) 22962(3x2!：；3x 1)ee結(jié)論:當(dāng)溫度為27.4967oC時(shí)，雄龜與雌龜比例恰為1:1。當(dāng)溫度為27oC時(shí)，二(27)= 0.0051，發(fā)生比為odds(27) =0.0051，幼龜中雄 龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?.0051倍；當(dāng)溫度為28oC時(shí)，二(28) =0.8241，發(fā)生比為odds(28) = 4.6859，幼龜中雄 龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?4.6859倍；當(dāng)溫度為29oC時(shí)，二(29) =0.5395，發(fā)生比為odds(29) = 1.1718，幼龜中雄 龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?.1718倍；當(dāng)溫度為30oC時(shí)，二(30) =

38、0.9871，發(fā)生比為odds(30) = 76.8053，幼龜中雄龜?shù)膫€(gè)數(shù)是雌龜?shù)?6.8053倍。可見(jiàn)，溫度每升高1oC時(shí)，雄龜個(gè)數(shù)先增多后減少?？紤]模型是否可以繼續(xù) 優(yōu)化，所以再次改進(jìn)模型引入x的四次項(xiàng)。5.4引入x4項(xiàng)后的模型利用Matlab計(jì)算可知p =0.19450.05，表示引入x4項(xiàng)不能顯著提高擬合程度。綜上：幼龜性別比和孵化溫度之間的最優(yōu)Logit模型為?!. ( x)23In53633.36865630.8390x196.9822x2.2962 x1 - -:(x)當(dāng)溫度為27.4967oC時(shí)，雄龜與雌龜比例恰為1:1 ；當(dāng)溫度每升高1oC時(shí),odds(x 1)odds(x)5630.839096.9822(2x 1) 22962(3x2 3x -1)=e變化關(guān)系如圖5所示:A80 .6050 -40 -30 -20 -10 -0 -2727.52828.52929.530圖5 odds比隨溫度變化圖六、模型評(píng)價(jià)與推廣模型評(píng)價(jià)：優(yōu)點(diǎn)：（1）利用溫度與雄龜比例的關(guān)系建立回歸模型，簡(jiǎn)化模型，便于求解；（2）運(yùn)用Logit模型時(shí)，通過(guò)比較p與0.05的大小關(guān)系確定模型。