3圓錐曲線的性質(zhì)與結(jié)論-簡(jiǎn)單難度-講義

1、圓錐曲線的性質(zhì)與結(jié)論知識(shí)講解、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1. 直線與橢圓的位置關(guān)系位置關(guān)系：相交、相切、相離.判定條件：設(shè)直線1 : Ax By C 0，橢圓方程C : f（x，y）0，由:x, C 0消去 y （或消去 x）得：ax2 bx c 0 . b2 4ac,0 相交，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)；0 相離，直線與橢圓無(wú)交點(diǎn)；0 相切，直線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn).2. 直線與雙曲線的位置關(guān)系位置關(guān)系：相交、相切、相離；對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切;判定條件：Ax By C 0 設(shè)直線1 : Ax By C 0，雙曲線C : f (x, y) 0 ,由f(x, y

2、) 0消去y （或消去x ）得：ax2 bx c 0 .2右 a 0, b 4ac,0 相交，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；0相離，直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)；0 相切直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).若a 0，得到一個(gè)一次方程，與雙曲線相交，有一個(gè)交點(diǎn)，I與雙曲線的漸近線平行.3. 直線與拋物線的位置關(guān)系位置關(guān)系：相交、相切、相離.對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō)，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；判定條件：設(shè)直線 I : Ax By C 0，拋物線 C : f (x, y) 0 ,由 A By C °f(x, y) 0消去y （或消去x ）得：ax2 bx c 0 .2右 a 0, b 4ac,0 相交

3、；0 相離；0 相切.I與拋物線的對(duì)稱軸平行.若a 0,得到一個(gè)一次方程，與拋物線相交，有一個(gè)交點(diǎn),4.圓錐曲線的弦：連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦.求弦長(zhǎng)方法:1）將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái) 求；2）如果直線的斜率為 k，被圓錐曲線截得弦 AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（洛，yj ,（X2 ,2），則弦長(zhǎng)公式為 | AB | 1k2 Xi X2 , 1yi y2 兩根差公式：如果 為,冷滿足一兀二次方程：ax bx c 0 ,則xi沁J仆J J 4寸耳尹咅（0）注意:（1）討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一般是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立成方程

4、組，消兀（x或y ）,若消去y得到ax2 bx c 0，討論根的個(gè)數(shù)得到相應(yīng)的位置關(guān)系，這里要注 意的是： 二次項(xiàng)系數(shù)a可能有a 0或a 0兩種情況，只有當(dāng)a 0，才能用 判斷根的個(gè)數(shù)； 直線與圓錐曲線相切時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)，但有一個(gè)公共點(diǎn)不一定相切.（2 ）在討論直線與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合圖象作出判斷有時(shí)更方 便快捷，要注意雙曲線的漸近線的斜率，以及直線與漸近線的斜率比較.（3）當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、 弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化 同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含

5、條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就 能事半功倍.、圓錐曲線的常用結(jié)論1.橢圓1)點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角2) PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直3)徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)以焦點(diǎn)半徑PFi為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切4)2 2若R(x),yo)在橢圓 爲(wèi) 爲(wèi)1上，則過(guò)R的橢圓的切線方程是a bXoXyoy孑眉1.5)2_ z 、x右Po (Xo, yo)在橢圓v a1外，則過(guò)FO作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P、P2，則切點(diǎn)弦pp的直線方程是xo2xay)y1.2x6)橢圓a£ 1 (3bb 0)的左右焦點(diǎn)

6、分別為Fi , F2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為 S f1pf2b2 tan2.2x7)橢圓右a2y_b2(a b 0)的焦半徑公式:|MR|IMF21 a ex)(F1( c,0),F2(c,0) , M (xo,yo).2xAB是橢圓丐a2y_b21的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(X), yo)為AB的中點(diǎn)，K ABb2x)20a yo若 P)(xo,y°)在橢圓22xy 1內(nèi)，則被P)a b所平分的中點(diǎn)弦的方程XoXy)y2ab22Xo2a2y。b210 ）若2 X p3（X0,yo）在橢圓 a2y21內(nèi)，則過(guò)R的弦中點(diǎn)的軌跡方程是b22XyX0Xyoy

7、2 ab22 ab2 2.雙曲線1）點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角2） PT平分 PFiF在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直 徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .3） 以焦點(diǎn)半徑pf1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）4 ）若2XR（xo,yo）在雙曲線?a2y_b1 （a0,b0）上，則過(guò)P0的雙曲線的切線方程是X0X2a5）若2 y b21 （a0,b0）外，則過(guò)P）作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P、P，則切點(diǎn)弦PB的直線方程是X0X2ayy 1盲1.6）雙曲線篤 1 （a 0,b 0）的左右焦點(diǎn)分別為bFi，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為Sb2F1PF2tan27）雙曲線0,b 0）的焦半徑公式：（吒（c,0） , F2 （c,0）當(dāng)M（Xo, y°）在右支上時(shí),| MR | ex0 a, | MF21 ex0 a.當(dāng)M（Xo, y°）在左支上時(shí),| MF1 | ex3 a , | MF21 ex；3 a8） AB是雙曲線22xy22ab1 （a0,b 0）的不平行于