彈性碰撞模型及應(yīng)用

1、彈性碰撞模型及應(yīng)用彈性碰撞問(wèn)題及其變形在是中學(xué)物理中常見(jiàn)問(wèn)題，在高中物理中占有重要位置，也是多年來(lái)高考的熱點(diǎn)。彈性碰撞模型能與很多知識(shí)點(diǎn)綜合，聯(lián)系廣泛，題目背景易推陳出新，掌握這一模型，舉一反三，可輕松解決這一類題，切實(shí)提高學(xué)生推理能力和分析解決問(wèn)題能力。所以我們有必要研究這一模型。(一) 彈性碰撞模型彈性碰撞是碰撞過(guò)程無(wú)機(jī)械能損失的碰撞，遵循的規(guī)律是動(dòng)量守恒和系統(tǒng)機(jī)械能守恒。確切的說(shuō)是碰撞前后動(dòng)量守恒，動(dòng)能不變。在題目中常見(jiàn)的彈性球、光滑的鋼球及分子、原子等微觀粒子的碰撞都是彈性碰撞。m2v2m1v1Bm1v0BA圖1A已知A、B兩個(gè)鋼性小球質(zhì)量分別是m1、m2，小球B靜止在光滑水平面上，A

2、以初速度v0與小球B發(fā)生彈性碰撞，求碰撞后小球A的速度v1，物體B的速度v2大小和方向解析：取小球A初速度v0的方向?yàn)檎较?，因發(fā)生的是彈性碰撞，碰撞前后動(dòng)量守恒、動(dòng)能不變有： m1v0= m1v1+ m2v2 由兩式得： ， 結(jié)論：（1）當(dāng)m1=m2時(shí)，v1=0，v2=v0，顯然碰撞后A靜止，B以A的初速度運(yùn)動(dòng)，兩球速度交換，并且A的動(dòng)能完全傳遞給B，因此m1=m2也是動(dòng)能傳遞最大的條件；（2）當(dāng)m1m2時(shí)，v10，即A、B同方向運(yùn)動(dòng)，因 ，所以速度大小v1v2，即兩球不會(huì)發(fā)生第二次碰撞；若m1m2時(shí)，v1= v0，v2=2v0 即當(dāng)質(zhì)量很大的物體A碰撞質(zhì)量很小的物體B時(shí)，物體A的速度幾乎不

3、變，物體B以2倍于物體A的速度向前運(yùn)動(dòng)。（3）當(dāng)m1m2時(shí)，則v10，即物體A反向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)m1m2時(shí)，v1= - v0，v2=0 即物體A以原來(lái)大小的速度彈回，而物體B不動(dòng)，A的動(dòng)能完全沒(méi)有傳給B，因此m1mB 經(jīng)時(shí)間T發(fā)生下次碰撞且發(fā)生在平衡位置C如果mAmB 經(jīng)時(shí)間T/2發(fā)生下次碰撞且發(fā)生在平衡位置右側(cè)D如果mAmB 經(jīng)時(shí)間T/2發(fā)生下次碰撞且發(fā)生在平衡位置左側(cè)解析 當(dāng)mA=mB時(shí)，A、B球在平衡位置發(fā)生彈性碰撞，速度互換，A球靜止，由于B擺長(zhǎng)是A擺長(zhǎng)的4倍,由單擺周期公式可知,A周期是T，B的周期是2T，當(dāng)B球反向擺回到平衡位置經(jīng)時(shí)間為T，再次發(fā)生碰撞。故A選項(xiàng)正確。當(dāng)mAmB時(shí)，發(fā)生第

4、一次碰撞后兩球同向右擺動(dòng)，但A球的速度小于B球的速度，并有A的周期是B周期的一半，T/2時(shí)B到達(dá)右側(cè)最大位移處,此時(shí)A向左回到平衡位置,A繼續(xù)向左;再經(jīng)T/2, B完成半個(gè)全振動(dòng)向右,A恰好完成一次全振動(dòng)向左同時(shí)回到平衡位置發(fā)生碰撞，故B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)mAmB時(shí)，碰撞后A反彈向左運(yùn)動(dòng)，B向右，若mA越接近mB發(fā)生下一次碰撞的時(shí)間越接近T，若mAmB，A接近原速反彈，B幾乎不動(dòng)，發(fā)生下一次碰撞的時(shí)間越接近T/2，當(dāng)A經(jīng)T/2經(jīng)平衡位置從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)B恰好在右側(cè)最高點(diǎn)，而A、B碰撞的位置只能在平衡位置的右側(cè)，或十分接近平衡位置，不可能在平衡位置的左側(cè)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤。例2 質(zhì)量為M的小車靜

5、止于光滑的水平面上，小車的上表面和圓弧的軌道均光滑，如圖3如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球以速度v0水平?jīng)_向小車，當(dāng)小球返回左端脫離小車時(shí)，下列說(shuō)法正確的是：A小球一定沿水平方向向左做平作拋運(yùn)動(dòng)B小球可能沿水平方向向左作平拋運(yùn)動(dòng)C小球可能沿水平方向向右作平拋運(yùn)動(dòng)D小球可能做自由落體運(yùn)動(dòng)解析：小球水平?jīng)_上小車，又返回左端，到離開(kāi)小車的整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，相當(dāng)于小球與小車發(fā)生彈性碰撞的過(guò)程，如果mM，小球離開(kāi)小車向左平拋運(yùn)動(dòng)，m=M，小球離開(kāi)小車做自由落體運(yùn)動(dòng)，如果mM，小球離開(kāi)小車向右做平拋運(yùn)動(dòng)，所以答案應(yīng)選B，C，D例3在光滑水平面上有相隔一定距離的A、B兩球，質(zhì)量相等，假定它們

6、之間存在恒定的斥力作用，原來(lái)兩球被按住，處在靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)突然松開(kāi)兩球，同時(shí)給A球以速度v0，使之沿兩球連線射向B球，B球初速度為零；若兩球間的距離從最小值（兩球未接觸）到剛恢復(fù)到原始值所經(jīng)歷的時(shí)間為t0，求：B球在斥力作用下的加速度 解析：A球射向B球過(guò)程中，A球一直作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，B球由靜止開(kāi)始一直作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩球速度相等時(shí)相距最近，當(dāng)恢復(fù)到原始值時(shí)相當(dāng)于發(fā)生了一次彈性碰撞，由于A、B質(zhì)量相等，A、B發(fā)生了速度交換，系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。 設(shè)A、B速度相等時(shí)速度為v，恢復(fù)到原始值時(shí)A、B的速度分別為v1、v2，mv0= 2mv 2mv=mv1+ mv2 由式得v=，由解得v1=

7、0，v2= v0 （另一組解v1= v0，v2= 0舍去） 則B的加速度a= 例4 如圖4所示,光滑水平地面上靜止放置兩由彈簧相連木塊A和B,一質(zhì)量為m子彈,以速度v0,水平擊中木塊A,并留在其中,A的質(zhì)量為3m,B的質(zhì)量為4m.(1)求彈簧第一次最短時(shí)的彈性勢(shì)能 (2)何時(shí)B的速度最大，最大速度是多少？mvoBA圖4解析(1)從子彈擊中木塊A到彈簧第一次達(dá)到最短的過(guò)程可分為兩個(gè)小過(guò)程一是子彈與木塊A的碰撞過(guò)程，動(dòng)量守恒，有機(jī)械能損失；二是子彈與木塊A組成的整體與木塊B通過(guò)彈簧相互作用的過(guò)程，動(dòng)量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒， 子彈打入: mv0=4mv1 打入后彈簧由原長(zhǎng)到最短: 4mv1=8mv2

8、 機(jī)械能守恒: 解得 (2)從彈簧原長(zhǎng)到壓縮最短再恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程中，木塊B一直作變加速運(yùn)動(dòng),木塊A一直作變減速運(yùn)動(dòng),相當(dāng)于彈性碰撞，因質(zhì)量相等，子彈和A組成的整體與B木塊交換速度,此時(shí)B的速度最大,設(shè)彈簧彈開(kāi)時(shí)A、B的速度分別為4mv1=4mv1 +4mv2 解得: v1=o ,v2=v1 = 可見(jiàn),兩物體通過(guò)彈簧相互作用,與彈性碰撞相似。彈性碰撞模型的應(yīng)用不僅僅局限于“碰撞”，我們應(yīng)廣義地理解 “碰撞”模型。這一模型的關(guān)鍵是抓住系統(tǒng)“碰撞”前后動(dòng)量守恒、系統(tǒng)機(jī)械能守恒（動(dòng)能不變），具備了這一特征的物理過(guò)程，可理解為“彈性碰撞”。我們對(duì)物理過(guò)程和遵循的規(guī)律就有了較為清楚的認(rèn)識(shí)，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解

9、。 例4 如圖4所示,光滑水平地面上靜止放置兩由彈簧相連木塊A和B,一質(zhì)量為m子彈,以速度v0,水平擊中木塊A,并留在其中,A的質(zhì)量為3m,B的質(zhì)量為4m.(1)求彈簧第一次最短時(shí)的彈性勢(shì)能 (2)何時(shí)B的速度最大，最大速度是多少？mvoBA圖4解析(1)從子彈擊中木塊A到彈簧第一次達(dá)到最短的過(guò)程可分為兩個(gè)小過(guò)程一是子彈與木塊A的碰撞過(guò)程，動(dòng)量守恒，有機(jī)械能損失；二是子彈與木塊A組成的整體與木塊B通過(guò)彈簧相互作用的過(guò)程，動(dòng)量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒， 子彈打入: mv0=4mv1 打入后彈簧由原長(zhǎng)到最短: 4mv1=8mv2 機(jī)械能守恒: 解得 (2)從彈簧原長(zhǎng)到壓縮最短再恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程中，木塊B一直作變加速運(yùn)動(dòng),木塊A一直作變減速運(yùn)動(dòng),相當(dāng)于彈性碰撞，因質(zhì)量相等，子彈和A組成的整體與B木塊交換速度,此時(shí)B的速度最大,設(shè)彈簧彈開(kāi)時(shí)A、B的速度分別為4mv1=4mv1 +4mv2 解得: v1=o ,v2=v1 = 可見(jiàn),兩物