初中數(shù)學動態(tài)幾何問題

1、學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考中考數(shù)學專題動態(tài)幾何問題第一部分真題精講【例 1】如圖，在梯形 ABCD 中， AD BC ， AD3 ， DC5 ， BC10 ，梯形的高為4 動點 M 從 B 點出發(fā)沿線段BC 以每秒 2 個單位長度的速度向終點C 運動；動點N 同時從 C 點出發(fā)沿線段CD 以每秒 1 個單位長度的速度向終點D 運動設(shè)運動的時間為t （秒）ADNBMC（ 1）當 MN AB 時，求 t 的值；（ 2）試探究： t 為何值時， MNC 為等腰三角形【思路分析 1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點，很多同學看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要

2、找誰在動，誰沒在動，通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M ，N 是在動，意味著BM,MC 以及 DN,NC 都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關(guān)的條件 DC,BC 長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當題中設(shè)定 MN/AB 時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓海?1）由題意知，當M 、 N 運動到 t 秒時，如圖 ，過 D 作 DE AB 交 BC 于 E 點，則四邊形 ABED 是平行四邊形ADNBEMC AB DE ， AB MN DEMN （根據(jù)第一

3、講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN 放在三角形內(nèi)，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時候的靜態(tài)問題） MCNC （這個比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵）ECCD 102tt 解得 t50 103517【思路分析2】第二問失分也是最嚴重的， 很多同學看到等腰三角形， 理所當然以為是 MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】（ 2）分三種情況討論：學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考 當MNNC 時，如圖 作 NFB

4、C交BC于 F ，則有 MC2FC 即（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質(zhì)） sinCDF4 ，CD5 cosC3 ，5 102t23t ，5解得 t25 8ADNBMFC當MNMC時，如圖 ，過M作MHCD于H則CN 2CH， t2 10 2t3 5 t60 17ADNHBMC當MCCN時，則 102tt t10 3綜上所述，當 t25 、 60 或 10 時， MNC 為等腰三角形8173【例 2】在 ABC中， ACB=45o點以 AD 為一邊且在AD 的右側(cè)作正方形D（與點ADEFB、C 不重合）為射線BC 上一動點，連接AD，（ 1）如果 AB=AC如圖，且點系，并證明你的結(jié)論（

5、 2）如果 AB AC，如圖，且點D 在線段D 在線段BC 上運動試判斷線段CF 與 BD 之間的位置關(guān)BC 上運動（ 1）中結(jié)論是否成立，為什么？（ 3）若正方形 ADEF的邊 DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設(shè) AC 42BC3，CD= x ，求線段CP 的長（用含 x 的式子表示）學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考【思路分析 1】本題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動點靜止，而本題并未給出那個 “靜止點” ，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁 運動產(chǎn)生的變化圖形當中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動的，于是利用角度的互余關(guān)系進行傳遞，就可以得解。【解

6、析】：（ 1）結(jié)論： CF與 BD 位置關(guān)系是垂直；證明如下：AB=AC ， ACB=45o， ABC=45o由正方形 ADEF得 AD=AF ， DAF= BAC =90o， DAB= FAC， DAB FAC ， ACF= ABD BCF= ACB+ ACF= 90o即 CF BD【思路分析 2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。A（ 2） CFBD(1)中結(jié)論成立F理由是：過點 A 作 AG AC 交 BC 于點 G， AC=AG可證： GAD CAF ACF=AGD

7、=45oBGDC BCF=ACB+ ACF= 90o即 CF BDE【思路分析 3】這一問有點棘手， D 在 BC之間運動和它在BC 延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X 還是 4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.（ 3）過點 A 作 AQBC交 CB的延長線于點 Q，點 D 在線段 BC 上運動時， BCA=45o，可求出 AQ= CQ=4DQ=4-x，易證 AQD DCP， CPCD ， CPx ，DQAQ4 x4x2x CP4點 D 在線段 BC延長線上運動時， BCA=45o，可求出 AQ= CQ=4，DQ=4+x過A作

8、AGAC 交 CB延長線于點 G，則 AGDACF CF BD， AQD DCP， CPCD ， CPx ，DQAQ4 x4CPx2x 4【例 3】已知如圖， 在梯形ABCD中，AD BC，AD2，BC4， M是AD的中點，點 MBC 是等邊三角形學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考（ 1）求證：梯形 ABCD 是等腰梯形；（2）動點 P、Q分別在線段 BC和MC 上運動，且MPQ 60保持不變設(shè)PC x， MQ求y與 x 的函數(shù)關(guān)系式；y，（ 3）在（ 2）中，當 y 取最小值時，判斷 PQC 的形狀，并說明理由MAD60QBCP【思路分析 1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算

9、太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例 1 一樣是雙動點問題， 所以就需要研究在P,Q 運動過程中什么東西是不變的。題目給定MPQ=60°， 這個度數(shù)的意義在哪里？其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來 .因為最終求兩條線段的關(guān)系 ,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系 .怎么證相似三角形呢 ? 當然是利用角度咯 .于是就有了思路 .【解析】（ 1）證明：MBC 是等邊三角形 MB MC， MBC MCB 60 M 是 AD中點 AM MD ADBC AMB MBC 60 ， DMC MCB 60 AM

10、B DMC AB DC梯形 ABCD 是等腰梯形（ 2）解：在等邊 MBC 中， MBMCBC 4，MBC MCB60 ， MPQ60BMP BPM BPM QPC120,大家要仔細揣(這個角度傳遞非常重要摩 ) BMP QPC BMP CQP PCCQBMBP PC x， MQ y BP 4 x， QC 4 y x 4 y y1 x2x 44 4x4(設(shè)元以后得出比例關(guān)系 ,輕松化成二次函數(shù)的樣子 )【思路分析2】第三問的條件又回歸了當動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考輕易就可以求出當X 取對稱軸的值時Y 有最小值。接下來就變成了“給定PC=2，

11、求 PQC形狀”的問題了。由已知的BC=4，自然看出P 是中點，于是問題輕松求解。（ 3）解： PQC 為直角三角形 y1 x2324當 y 取最小值時，xPC 2 P是 BC的中點， MPBC，而 MPQ60 ，CPQ30 ，PQC90以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當動點移動中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當動的不是點，而是一些具體的圖形時，思路是不是一樣呢 ?接下來我們看另外兩道題 .【例 4】已知正方形ABCD 中， E 為對角線 BD 上一點，過 E 點作 EFB

12、D 交 BC 于 F ，連接 DF ， G 為 DF 中點，連接 EG，CG （ 1）直接寫出線段 EG 與 CG 的數(shù)量關(guān)系；（ 2）將圖 1 中BEF 繞 B 點逆時針旋轉(zhuǎn)45 ，如圖 2 所示，取 DF 中點 G ，連接 EG，CG ，你在（ 1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明（ 3）將圖 1 中BEF 繞 B 點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3 所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）ADADAD GFGEEEFBFCBC BC圖 2圖 3圖 1【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45°到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論

13、其中的不動關(guān)系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考中線自然相等。第二問將 BEF 旋轉(zhuǎn) 45°之后，很多考生就想不到思路了。事實上，本題的核心條件就是 G 是中點，中點往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接 AG 之后，拋開其他條件， 單看 G 點所在的四邊形 ADFE，我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的方法，自然想到過 G 點做 AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了。（ 1） CG EG（ 2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即 CG EG 證明：連接AG ，過

14、 G 點作 MNAD 于 M ，與 EF 的延長線交于N 點在 DAG 與 DCG 中， ADCD， ADGCDG ，DGDG ， DAG DCG AG CG在 DMG 與 FNG 中，DGMFGN ，F(xiàn)GDG ， MDGNFG ， DMG FNG MG NG在矩形 AENM 中， AMEN在 Rt AMG與 Rt ENG 中， AMEN，MGNG ， AMG ENG AG EG EG CGMADGEFNBC圖2【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立。但是我們不應(yīng)該止步于此。將這道題放在動態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果 BEF 任意旋轉(zhuǎn)，學習資料學習資料收集于

15、網(wǎng)絡(luò)，僅供參考哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學自己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點是 FD的中點?？梢匝娱L一倍EG到 H，從而構(gòu)造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形 EBC和三角形 CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。（ 3）（ 1）中的結(jié)論仍然成立ADGFEBC圖3【例 5】已知正方形 ABCD的邊長為 6cm，點 E 是射線 BC上的一個動點，連接 AE交射線 DC于點 F，將 ABE沿直線 AE翻折，點

16、 B 落在點 B處（ 1）當BE=1 時， CF=_cm，CE（ 2）當 BE =2 時，求 sin DAB的值；CE（ 3）當 BE = x 時（點 C 與點 E 不重合），請寫出 ABE翻折后與正方形ABCD公共部CE分的面積 y 與 x 的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過程）ABDC【思路分析】動態(tài)問題未必只有點的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對稱）也是一大熱點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為 2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進式題目。同學們需要仔細把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變

17、的，所以軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E 在 BC 上和 E 在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考【解析】（ 1）CF= 6 cm； （延長之后一眼看出， EAZY）（ 2） 如圖 1，當點 E 在 BC 上時，延長 AB交 DC于點 M ， AB CF， ABE FCE，BEAB CEFC BE =2， CF=3CE AB CF， BAE= F又 BAE=BAE， BAE= FMA=MF 設(shè) MA=MF=k ，則 MC=k - 3， DM=9

18、- k在 RtADM 中，由勾股定理得：k2=(9- k)2+62， 解得k=MA= 13 DM= 5 （設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方22法） sinDAB= DM5 ；AM13如圖 2，當點 E 在 BC延長線上時，延長AD交 B于E點 N，同可得 NA=NE設(shè) NA=NE=m，則 BN=12- m在 RtABN 中，由勾股定理，得m2 =(12- m)2+62， 解得m=AN= 15 BN= 9 22 sinDAB= B N3 AN5（ 3）當點 E 在 BC 上時， y= 18x；圖 2x 1（所求 A BE 的面積即為 ABE 的面積，再由相似表示出邊長）當點 E在 BC延長線上時

19、， y= 18x18 x【總結(jié)】通過以上五道例題，我們研究了動態(tài)幾何問題當中點動，線動，乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出, 所以難度不言而喻, 但是希望考生拿到題以后不要慌張, 因為無論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析, 一個個將條件抽出來, 將大問題化成若干個小問題去解決, 就很輕松了 . 為更好的幫助考生, 筆者總結(jié)這種問題的一般思路如下：第一、仔細讀題，分析給定條件中那些量是運動的，哪些量是不動的。針對運動的量，要分析它是如何運動的，運動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的量，要分析它們和動量之間可能有什么關(guān)

20、系，如何建立這種關(guān)系。學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考第二、畫出圖形，進行分析，尤其在于找準運動過程中靜止的那一瞬間題目間各個變量的關(guān)系。如果沒有靜止狀態(tài)，通過比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。第三、做題過程中時刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學丟分就丟在沒有討論，只是想當然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例 5 當中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。第二部分發(fā)散思考【思考 1】已知：如圖（ 1），射線 AM / 射線 BN ， AB 是它們的公垂線，點D、C分別在 AM 、 BN 上運動（點 D 與點 A

21、不重合、點 C 與點 B 不重合）， E 是 AB 邊上的動點（點E與ABDEEC，且AD DEAB a、 不重合），在運動過程中始終保持（ 1）求證：ADE BEC ；（ 2）如圖（ 2），當點 E 為 AB 邊的中點時，求證：ADBCCD ；（ 3）設(shè) AEm ，請?zhí)骄浚?BEC 的周長是否與m 值有關(guān)？若有關(guān)，請用含有m 的代數(shù)式表示BEC 的周長；若無關(guān)，請說明理由第 25 題（1）第 25題（ 2）【思路分析】本題動點較多，并且是以和的形式給出長度。思考較為不易，但是圖中有多個直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析。第三問計算周長，要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一

22、類關(guān)系當中，看是否為定值，如果是關(guān)于 M 的函數(shù)，那么就是有關(guān)，如果是一個定值，那么就無關(guān)，于是就可以得出結(jié)論了。【思考 2】 ABC 是等邊三角形，P 為平面內(nèi)的一個動點，BP=BA，若 0 PBC 180°，且 PBC平分線上的一點D 滿足 DB=DA，（ 1）當 BP 與 BA 重合時（如圖1）， BPD=°；（ 2）當 BP 在 ABC的內(nèi)部時（如圖2），求 BPD的度數(shù)；（ 3）當 BP 在 ABC的外部時，請你直接寫出BPD的度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考【思路分析】本題中，和動點 P 相關(guān)的動量有 PBC，以及 D 點的位置，但是不

23、動的量就是 BD 是平分線并且 DB=DA，從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事實上， P 點的軌跡就是以 B 為圓心， BA 為半徑的一個圓，那 D 點是什么呢？留給大家思考一下 【思考 3】如圖：已知，四邊形ABCD中， AD/BC， DC BC，已知 AB=5， BC=6，cosB= 3 5點 O 為 BC 邊上的一個動點，連結(jié) OD，以 O 為圓心， BO 為半徑的 O 分別交邊 AB 于點 P，交線段 OD 于點 M ，交射線 BC于點 N，連結(jié) MN （ 1）當 BO=AD時，求 BP 的長；（ 2）點 O 運動的過程中， 是否存在 BP=MN 的情況？若存在，

24、 請求出當 BO 為多長時 BP=MN；若不存在，請說明理由；（ 3）在點 O 運動的過程中，以點 C為圓心， CN 為半徑作 C，請直接寫出當 C 存在時， O 與 C 的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的 C 半徑 CN 的取值范圍。ADADPMBONC B C （備用圖）【思路分析】這道題和其他題目不同點在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動點問題。在和圓有關(guān)的問題當中，時刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問比較簡單，等腰梯形中的計算問題。第二問則需要用設(shè)元的方法表示出 MN 和 BP，從而討論他們的數(shù)量關(guān)系。第三問的猜想一定要記得分類分情況討論?！舅伎?4】在 Y ABCD 中，過點

25、 C 作 CE CD 交 AD 于點 E,將線段 EC繞點 E 逆時針旋轉(zhuǎn) 90o 得到線段 EF(如圖 1)（ 1）在圖 1 中畫圖探究：當 P 為射線 CD 上任意一點（P1 不與 C 重合）時，連結(jié) EP1 繞點 E 逆時針旋轉(zhuǎn) 90o 得到線段 EC1.判斷直線 FC1 與直線 CD的位置關(guān)系，并加以證明；當 P2 為線段 DC的延長線上任意一點時，連結(jié) EP2,將線段 EP2 繞點 E 逆時針旋轉(zhuǎn)90o學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考得到線段 EC2.判斷直線 C1C2 與直線 CD 的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.（ 2）若 AD=6,tanB=411 1 = y ，求

26、 y 與 x 之間的函,AE=1,在的條件下，設(shè)CP = x ， S3VPFC數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x 的取值范圍 .【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動點動線一起考出來，難倒了不少同學。事實上就在于如何把握這個旋轉(zhuǎn) 90°的條件。旋轉(zhuǎn) 90°自然就是垂直關(guān)系，于是又出現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是實際過程中很多同學依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非常可惜。建議大家仔細研究這道中考原題，按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營的去解答。第三部分思考題解析【思考 1 解析】（ 1）證明：DE

27、EC ，DEC90AEDBEC90 又AB90 ，AEDEDA90 BECEDA ADE BEC （ 2）證明：如圖，過點 E 作 EF / BC ，交 CD 于點 F ， E 是 AB 的中點，容易證明 EF1(ADBC) 2在 Rt DEC 中，DFCF ， EF1CD 2第 25題 1(ADBC )1CD22 AD BC CD（ 3）解：AED 的周長AEADDEam ， BEam 設(shè) ADx ，則 DEax 學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考 A90 ， DE2AE 2AD 2 即 a 22ax x 2m2x 2 xa2m22a由（ 1）知 ADE BEC ，a 2m2ADE 的周長

28、AD2aa mBEC 的周長BEam2a BEC 的周長2a2a ADE 的周長a m BEC 的周長與 m 值無關(guān)【思考 2 答案】解：（1） BPD= 30°；（ 2）如圖 8，連結(jié) CD解一：點 D 在 PBC的平分線上，1= 2ABC 是等邊三角形，BA=BC=AC， ACB= 60°BP=BA，BP=BCBD= BD，PBD CBDBPD= 3- - - - - -3分DB=DA， BC=AC， CD=CD， BCD ACD31ACB3042 BPD =30 °解二：ABC 是等邊三角形，BA =BC=ACDB=DA， CD 垂直平分 AB31ACB30

29、42 BP=BA， BP=BC 點 D 在 PBC的平分線上，APB1D342C圖 8學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考 PBD 與 CBD關(guān)于 BD 所在直線對稱 BPD= 3 BPD =30 °（ 3） BPD= 30°或 150° 圖形見圖 9、圖 10PAAAPD或DBBCBCCD圖 9P圖 10【思考 3 解析】解：（ 1）過點 A 作 AE BC,在 RtABE 中，由 AB=5， cosB= 3 得 BE=35CD BC， AD/BC，BC=6， AD=EC=BC BE=3當 BO=AD=3 時，在 O 中，過點 O 作 OH AB,則 BH=HPBH39cos B ,BH=35BO5 BP=18 5（ 2）不存在 BP=MN 的情況 -假設(shè) BP=MN 成立， BP 和 MN 為 O 的弦，則必有 BOP= DOC.過 P 作 PQ BC，過點 O 作 OH AB, CD BC，則有 PQO DOC-設(shè) BO=x，則 PO=x,由 BHcosB3 ，得 BH= 3 x ,x556 BP=2BH= x .518x24x BQ=BP × cosB=， PQ