全等三角形地相關(guān)模型總結(jié)材料

1、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用全等的相關(guān)模型總結(jié)一、角平分線模型應(yīng)用1.角平分性質(zhì)模型：輔助線：過(guò)點(diǎn)G作GE射線 AC（ 1） .例題應(yīng)用 ：如圖 1，在ABC中 ，C900，AD平分 CAB, BC 6cm, BD4cm, 那么點(diǎn) D 到直線 AB 的距離是cm.如圖 2，已知，12 ，34 .求證： AP平分 BAC .圖1圖2 2（提示：作 DEAB交AB于點(diǎn) E）12，PMPN，34， PNPQ， PMPQ, PA平分 BAC .(2) .模型鞏固：練習(xí)一：如圖 3，在四邊形 ABCD 中， BC>AB， AD=CD ，BD 平分BAC .文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用.求證：AC180圖 3練習(xí)二：已知如圖4，四

2、邊形 ABCD 中，BD1800 , BCCD.求證： AC平分BAD.圖 4練習(xí)三：如圖 5，Rt ABC中， ACB900，CDAB,垂足為 D，AF平分 CAB, 交 CD 于點(diǎn) E ，交CB于點(diǎn) F.(1)求證： CE=CF.(2)將圖 5 中的 ADE 沿 AB 向右平移到A' D ' E ' 的位置，使點(diǎn) E' 落在 BC 邊上，其他條件不變，如圖 6 所示，是猜想： BE'于 CF 又怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.圖5圖6練習(xí)四：如圖7， A90 ， AD BC ， P 是 AB的中點(diǎn)， PD平分 ADC文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用求證： CP平分

3、DCBAD21E4P3BC圖 7練習(xí)五：如圖 8，AB AC， A 的平分線與 BC的垂直平分線相交于D，自 D 作 DE AB，DF AC，垂足分別為 E， F求證： BE=CF圖 8練習(xí)六：如圖9 所示，在 ABC 中， BC 邊的垂直平分線DF 交 BAC 的外角平分線AD 于點(diǎn) D， F為垂足， DE AB 于 E，并且 AB>AC 。求證： BE AC=AE 。DAEBCF圖 9練習(xí)七：如圖 10，D、E 、F 分別是 ABC 的三邊上的點(diǎn)，CE=BF ，且 DCE 的面積與 DBF 的面積相等，求證：AD 平分 BAC 。AFEBCD2.角平分線 +垂線，等腰三角形比呈現(xiàn)文案

4、大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用輔助線：延長(zhǎng)ED 交射線 OB 于 F輔助線：過(guò)點(diǎn)E 作 EF 射線 OB（ 1） .例題應(yīng)用：如圖1 所示，在 ABC 中， ABC=3 C， AD 是 BAC 的平分線， BE AD 于 F 。1求證： BE( ACAB)證明：延長(zhǎng)BE 交 AC 于點(diǎn) F。已知：如圖2，在ABC 中 ，BAC的角平分線 AD交BC于D, 且ABAD,作 CMAD交AD的延長(zhǎng)線于 M .求證： AM1( AB AC)2文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用分析：此題很多同學(xué)可能想到延長(zhǎng)線段 CM ，但很快發(fā)現(xiàn)與要證明的結(jié)論毫無(wú)關(guān)系。而此題突破口就在于 AB=AD ，由此我們可以猜想過(guò) C 點(diǎn)作平行線來(lái)構(gòu)造等腰三角形

5、.證明：過(guò)點(diǎn)C 作 CE AB 交 AM 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.例題變形 :如圖，12， B為AC的中點(diǎn) ， CMFB于M , ANFB于N.求證： EF 2BM ;FB1 (FM FN ).2(3) .模型鞏固：練習(xí)一、 如圖 3， ABC是等腰直角三角形， BAC=90°， BD平分 ABC交 AC于點(diǎn) D，CE垂直于 BD，交 BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E。求證： BD=2CE。文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用圖 3練習(xí)一變形：如圖4，在 ODC 中，D 900 ，EC是DCO 的角平分線，且 OECE ，過(guò)點(diǎn) E作EFOC交 OC于點(diǎn) F .猜想：線段 EF 與 OD 之間的關(guān)系，并證明 .圖 4練習(xí)二、

6、如圖5，已知 ABC 中， CE 平分 ACB ，且 AE CE， AED CAE 180 度，求證：DE BCADEBC圖 5練習(xí)三、如圖 6，AD DC，BC DC ， E 是 DC 上一點(diǎn)， AE 平分 DAB ，BE 平分 ABC ，求證：點(diǎn)E是 DC中點(diǎn)。ADEBC圖 6文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用練習(xí)四、如圖7（ a）， BD 、 CE分別是ABC 的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A 作ADBD 、DE1 (AB BCAC )AE CE，垂足分別是 D 、 E，連接 DE .求證 : DE BC，2.圖 7（ a）圖 7（ b）圖 7（ c）、 如圖 7（b）， BD 、 CE分別是ABC的內(nèi)角平分線，其他

7、條件不變；、 如圖 7（ c）， BD 為 ABC 的內(nèi)角平分線，CE為 ABC 的外角平分線，其他條件不變 . 則在圖7（ b）、圖 6（ c）兩種情況下， DE 與 BC 還平行嗎？它與ABC 三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜測(cè)，并證明你的結(jié)論 .(提示：利用三角形中位線的知識(shí)證明線平行)練習(xí)五、 如圖 8，在直角三角形 ABC 中， C 90 ， A 的平分線交 BC 于 D 自 C 作 CG AB 交 AD 于 E，交 AB于G自 D 作DF AB于F ，求證： CF DE文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用CED1A2F BG圖 8練習(xí)六、 如圖 9 所示，在ABC 中， ACAB ， M 為 BC

8、 的中點(diǎn)， AD 是BAC 的平分線， 若 CFAD且交 AD 的延長(zhǎng)線于1F，求證MFAC AB 2ABDMCF圖 9練習(xí)六變形一：如圖10 所示， AD 是ABC 中BAC 的外角平分線，CDAD 于 D ， E 是 BC 的中點(diǎn)，求證 DE AB 且 DE1 (AB AC)2ADBEC圖 10練習(xí)六變形二：如圖11 所示，在ABC 中， AD 平分BAC ， ADAB，CMAD于M，求證AB AC 2AM ABDCM圖 11練習(xí)七、 如圖 12，在ABC 中，B2 C ，BAC 的平分線AD 交 BC 與 D 則有 ABBDAC 那么如圖 13，已知在ABC 中，ABC3 C ，12 ，

9、 BEAE 求證： ACAB2BE 文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用AA21EBDCBC圖 12圖 13練習(xí)八、在 ABC 中， AB3AC ，BAC 的平分線交BC于 D，過(guò)B作BEAD ， E 為垂足， 求證：ADDE ACDBE練習(xí)九、AD 是ABC 的角平分線，BEAD 交 AD 的延長(zhǎng)線于E ， EF AC 交 AB 于 F 求證： AFFB ACFDBE3.角分線，分兩邊，對(duì)稱(chēng)全等要記全兩個(gè)圖形的輔助線都是在射線OA 上取點(diǎn) B，使 OB=OA ，從而使OAC OBC.（ 1） .例題應(yīng)用：、在 ABC中， BAC=60°， C=40°， AP平分 BAC交 BC于 P， BQ

10、平分 ABC交 AC于 Q，求證： AB+BP=BQ+AQ。文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：作平行線。2）解題思路 ：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢(shì)較為復(fù)雜，我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證。可過(guò)O作 BC的平行線。得ADO AQO。得到 OD=OQ， AD=AQ，只要再證出 BD=OD就可以了。解答過(guò)程 ：證明：如圖（ 1），過(guò) O作 OD BC交 AB于 D， ADO=ABC=180° 60° 40° =80°，又 AQO=C+QBC=80°，

11、ADO=AQO，又 DAO=QAO， OA=AO， ADO AQO， OD=OQ，AD=AQ，又 OD BP， PBO=DOB，又 PBO=DBO， DBO=DOB，BD=OD，又 BPA=C+PAC=70°， BOP= OBA+ BAO=70°， BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思考：（ 1）本題也可以在 AB上截取 AD=AQ，連 OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)法”。（ 2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（ 2），過(guò) O作 ODBC交 AC于 D，則 ADO ABO從而得以解決。文案大全標(biāo)準(zhǔn)

12、實(shí)用如圖（ 5），過(guò) P 作 PDBQ交 AC于 D，則 ABP ADP從而得以解決。小結(jié)：通過(guò)一題的多種輔助線添加方法， 體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。、 如圖所示，在 ABC 中， AD 是 BAC 的外角平分線， P 是 AD 上異于點(diǎn) A 的任意一點(diǎn)，試比較 PB PC 與 AB AC 的大小，并說(shuō)明理由EAAPPBCDBCD【解析】 PBPCABAC ，理由如下文案大

13、全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用如圖所示，在AB 的延長(zhǎng)線上截取AEAC ，連接 PE 因?yàn)?AD 是BAC 的外角平分線，故 CAPEAP 在ACP和AEP 中， ACAE ，CAPEAP ， AP 公用，因此ACP AEP ，從而 PCPE在 BPE中， PB PE BE，而 BEBAAEAB AC，故 PBPCABAC 變形：在ABC 中， ABAC， AD是BAC 的平分線 P 是 AD 上任意一點(diǎn)求證： AB AC PB PC AAPPEBDCBDC【解析】 在AB上截取AEAC，連結(jié)EP，根據(jù)SAS證得AEPACP，PEPC，AE AC又BEP 中， BEPB PE， BE ABAC， ABACPBPC

14、（ 2）、模型鞏固：練習(xí)一、 .如圖，在 ABC 中， AD BC 于 D ，CD AB BD ， B 的平分線交 AC 于點(diǎn) E，求證：點(diǎn) E 恰好在 BC 的垂直平分線上。AEBDC練習(xí)二、如圖，已知ABC 中， AB AC ， A 100°， B 的平分線交 AC 于 D，求證： ADBD BCADBC練習(xí)三、如圖，已知 ABC 中， BC AC ， C 90°， A 的平分線交 BC 于 D，求證： AC CD ABCD文案大全AB標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用練習(xí)四、已知：在ABC 中，B 的平分線和外角ACM 的平分線相交于D , DFBC , 交 AC 于E,交AB于F , 求證：

15、 EFBFCE練習(xí)五、在ABC 中， AB2 AC , AD 平分BAC ， E 是 AD 中點(diǎn)，連結(jié) CE ，求證： BD2CE變式： 已知：在 ABC 中， B2 C,BD平分ABC ， ADBQ于D,求證： BD1 AC2練習(xí)六、已知：如圖，在四邊形ABCD中， AD BC,BC=DC,CF平分 BCD,DF AB,BF 的延長(zhǎng)線交DC于AD點(diǎn) E.E求證：（ 1） BF=DF；(2) AD=DE.FBC文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用練習(xí)七、已知如圖，在四邊形 ABCD中， AB+BC=CD+DA， ABC 的外角平分線與 CDA 的外角平分線交于點(diǎn) P.求證： APB= CPD練習(xí)八、如圖，在平行四

16、邊形ABCD （兩組對(duì)邊分別平行的四邊形）中，E，F(xiàn) 分別是 AD ， AB 邊上的點(diǎn)，且 BE 、 DF 交于 G 點(diǎn)， BE=DF ，求證： GC 是 BGD 的平分線。AEDFGBC練習(xí)九、如圖，在 ABC 中， ACB 為直角， CM AB 于 M，AT 平分 BAC 交 CM于 D，交 BC于 T，過(guò) D 作 DE AB交 BC于 E，求證： CT=BE.AMDCTEB練習(xí)十、如圖所示，已知ABC中，AD平分BAC，E 、F 分別在、上，AC求BD ADDECD EF證： EF AB文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用AFBEDC【補(bǔ)充】如圖，在ABC 中， AD 交 BC 于點(diǎn) D ，點(diǎn) E 是 BC

17、 中點(diǎn)， EF AD 交 CA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F ，交 AB 于點(diǎn)G，若 BGCF ，求證： AD 為 BAC 的角平分線FAGBEDCCMBEEOAED4.中考巡禮：FDF（ 1）.如圖 1，OP 是 AOB的平分線，請(qǐng)你利用圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P為所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的FABC全等三角形，請(qǐng)你參考這個(gè)全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題。A圖 1N圖 2、如圖 2，在 ABC中， ACB是直角， B=600圖 3，AD、CE是 BAC、BCA的角平分線，相交于點(diǎn) F，請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出EF與 DF之間的數(shù)量的關(guān)系。、如圖 3，在 ABC中， ACB不是直角，而（ 1）中的其他條件不變，請(qǐng)問(wèn)， （1）中的結(jié)論是否

18、任然成立 ?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用yEDAMxBOC（ 2）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， B（-1，0）， C（ 1，0）D 為 y 軸上的一點(diǎn)，點(diǎn) A 為第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且 BAC=2 BDO ，過(guò)點(diǎn) D 作 DM AC 于 M ，、求證： ABD= ACD ；、若點(diǎn) E 在 BA 的延長(zhǎng)線上，求證： AD 平分 CAE；、當(dāng)點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)時(shí)，（AC-AB ） /AM 的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由。二、等腰直角三角形模型1.在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等：操作過(guò)程：（ 1）.將 ABD 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 0 ，使 ACM ABD ，從而推出

19、 ADM 為等腰直角三角形 .（但是寫(xiě)輔助線時(shí)不能這樣寫(xiě)）（2）.過(guò)點(diǎn) C 作 MCBC，連 AM 導(dǎo)出上述結(jié)論 .2.定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在兩直角邊上滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)全等：文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用操作過(guò)程：連 AD.（ 1） . 使 BF=AE （AF=CE ），導(dǎo)出 BDF ADE.（ 2）.使 EDF+ BAC= 1800 ，導(dǎo)出 BDF ADE.（ 1）、例題應(yīng)用： .解析：方法一：過(guò)點(diǎn) C 作，方法二： .文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用證明：方法一：連接AM ，證明 MDE MAC. 特別注意證明MDE= MAC.方法二：過(guò)點(diǎn) M 作 MN EC 交 EC 于點(diǎn) N，得出 MN 為直角梯形的中位線， 從而導(dǎo)出

20、MEC 為等腰直角三角形 .（ 2）、練習(xí)鞏固： 已知：如圖所示， Rt ABC 中， AB=AC， BAC90 ，O 為 BC 中點(diǎn)，若 M、N 分別在線段 AC、 AB 上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持 AN=CM.、 是判斷 OMN 的形狀，并證明你的結(jié)論 .、 當(dāng) M 、 N 分別在線段 AC、 AB 上移動(dòng)時(shí)，四邊形AMON 的面積如何變化？文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用思路：兩種方法： 在正方形 ABCD中， BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求 BAE=DCF 為多少度 .提示如右圖：3.構(gòu)造等腰直角三角形（ 1）、利用以上的 1 和 2 都可以構(gòu)造等腰直角三角（略） ；（ 2）、利用平移、對(duì)稱(chēng)和弦圖

21、也可以構(gòu)造等腰直角三角 . 如下圖：圖 3-1圖 3-2操作過(guò)程：在 圖 3-2 中，先將 ABD 以 BD 所在的直線為對(duì)稱(chēng)軸作對(duì)稱(chēng)三角形，再將此三角形沿水平方向向右平移一個(gè)正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度單位，使A與M，D與E重合.例題應(yīng)用：已知：平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)，A 1，0，B 2， 1，C 0,3 ， 求OCA+OCB 的文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用度數(shù) .4.將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形，如下圖：圖 4-1圖 4-2例題應(yīng)用：思路：構(gòu)造正方形ACBM，可以構(gòu)造出等邊APM，從而造出，又根據(jù)文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用，可得，再由于，故而得到從而得證 .例題拓展：若 ABC 不是等腰直角三角形，即，而是，其他條件不變

22、，求證：2=2 1.練習(xí)鞏固：在 平面直角坐標(biāo)系中，A（ 0 , 3），點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)為0，當(dāng) A、B、C三點(diǎn)圍成等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)B、C 的坐標(biāo) .（ 1）、當(dāng)點(diǎn) B 為直角頂點(diǎn)：圖1圖2（ 2） 、當(dāng)點(diǎn) A 為直角頂點(diǎn)：文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用圖3 圖4（ 3）、 當(dāng)點(diǎn) C 為直角頂點(diǎn)：圖5圖6三、三垂直模型（弦圖模型）.由 ABE BCD 導(dǎo)出由 ABE BCD 導(dǎo)由 ABE BCD 導(dǎo)出ED=AE-CD出 EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD1.例題應(yīng)用：例已知：如圖所示，在ABC 中，AB=AC， BAC90 ，D為AC中點(diǎn)，AFBD于E，交1.BC 于

23、F，連接 DF .求證： ADB= CDF.文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用思路：方法一 : 過(guò)點(diǎn) C 作 MC AC 交 AF 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M. 先證 ABD CAM，再證 CDF CMF 即可 .方法二：過(guò)點(diǎn)A 作 AMBC 分別交 BD、BC 于 H、M.先證 ABH CAF，再證 CDF ADH 即可 .方法三：過(guò)點(diǎn)A 作 AM BC 分別交 BD 、 BC 于 H 、 M .先證 Rt AMF Rt BMH ，得出HF AC. 由 M 、 D 分別為線段 AC、BC 的中點(diǎn)，可得 MD 為 ABC 的中位線從而推出 MD AB，又由于BAC 90，故而MD， HF ，所以MD 為AC MD線段 HF

24、 的中垂線 . 所以 1= 2.再由 ADB+ 1=CDF +2 ，則 ADB= CDF .文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用例 1 拓展（ 1）： 已知：如圖所示，在 ABC 中， AB=AC， AM =CN，AF BM 于 E，交BC 于 F，連接 NF .求證： ADB=CDF. BM=AF+FN思路：同上題的方法一和方法二一樣.拓展（ 2）：其他條件不變，只是將BM和FN分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)PPM=PN,，求證： PB PF+AF.思路：同上題的方法一和方法二一樣.例 2.如圖 2-1，已知 ADBC， ABE 和 CDF 是等腰直角三角形， EAB =CDF= 90 ，AD=2，BC=5，求四邊形 AEDF

25、 的面積 .圖 2-1解析：如圖 2-2，過(guò)點(diǎn) E、 B 分別作 EN DA， BM DA 交 DA 延長(zhǎng)線于點(diǎn) N、M.過(guò)點(diǎn) F、C 分別作 FPAD，CQAD 交 AD 及 AD 延長(zhǎng)線于點(diǎn)P、Q.S四邊形 EAFDS AEDS ADF1ADEN1ADFP1ADENFP222文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用 ABE 和 CDF 是等腰直角三角形， EAB= CDF= 90 ， AE=AB ， DF=CD. ENDA，BMDA，F(xiàn)PAD，CQAD ， NMB = ENA=FPD= DQC= 90 . ENA=MBA ， FDP= QCD. ENA ABM， FPD DQC. NE=AM ， PF=DQ .N

26、E+PF=DQ+AM=MQ-AD. AD BC， CQ BM ，BMN= 90 ， 四邊形 BMQC 是矩形 . BC=MQS四邊形 EAFD1233. AD=2，BC=5 NE+PF=5-2=32圖 2-22.練習(xí)鞏固：（ 1）、如圖（ 1）-1，直角梯形 ABCD 中， AD BC， ADC= 90 ， l 是 AD 的垂直平分線，交 AD 于點(diǎn) M ，以腰 AB 為邊做正方形ABFE ， EP l 于點(diǎn) P.求證： 2EP+AD=2CD.（1）-1（1）-2文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用（ 2）、 如圖，在直角梯形 ABCD 中， ABC= 90 ， ADBC，AB=AC， E 是 AB的中點(diǎn)，CE

27、BD.求證： BE=AD ；求證： AC 是線段 ED 的垂直平分線； BCD 是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.四、手拉手模型1.ABE 和 ACF 均為等邊三角形結(jié)論：（ 1）. ABF AEC（2）. BOE=BAE= 600 （“八字模型證明” ）（3）.OA 平分 EOF拓展：條件： ABC 和 CDE 均為等邊三角形結(jié)論：（ 1）、AD=BE（2）、 ACB=AOB（3）、 PCQ 為等邊三角形（ 4）、PQAE （5）、 AP=BQ （ 6）、CO 平分 AOE （7）、 OA=OB+OC（ 8）、OE=OC+OD （ 7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用2. ABD 和 ACE 均為等腰直角三角形結(jié)論：（ 1）、