工程電磁場部分課后習題答案

1、1-2-1-點電荷Q放在無界均勻介質中的一個球夠空腔中心，設介質的介電常數(shù)為J空腔的半徑為柿，求空腔盂面的極化電荷面密皮° 解 由離斯是律,介質中的電場濮度為由關系式D-0E + Pt得電極化強度為屮囚此,空膠表面的極化電荷IE密產(chǎn)為1-31從靜電場基本方程岀發(fā),證明當電介質均勻時扱化電荷密度耳 存在的條件是自山電荷的體密度p不為零且有關系式Pp= -（1 - ¥）“解 均勻介質的£為常數(shù)畝從關系式D = eol< + P及D = Q 得介質中的 電極化強度扱化電荷密度pp = - v * p = - v r( 1)d&0*7(1 )(I - )V

2、Dee由于它D = p和£口一和敲匕式成為竹=71-43邛岀下列靜電場的邊值冋題:（1）電荷怵甯度分別為小和0“半徑分別為疥與住的取層同心帶電球體 （如題1 - 4- 3圖（話）；（2）在兩同心導體球殼間，左半部和右半部分別填充介電常數(shù)為巧與電 的均勻介質”內球盍帯總電伺雖為Q,外球直接地（如題14-3圖（b）”（3）半徑分別為與”的兩無限長空心同釉圓柱面導體，內圓柱表面上單 付長度的電量為.外圓桂面尋體搖地（如題3圈（J人（C）題f-4-3圖解 選球坐栩系，球心與原點重合。占對稱性可知，電位卩僅為廠的函 數(shù)，故有如下胖電場邊值問題：半，単）一已 drdr£g(0r<

3、 a)_i（” 如）=_&(45 < r <2>)(X Y h )'=愛2宀竽1 f = ar = ar/ r1c? tp-i t >切彳么 r bc*r_E驗s=有限值，nl（2）選球坐標系，球心與原點重合©分析可知，電位甲僅為尸的函數(shù)，故石 如F的靜電場邊值問題：占警）=0（在介質5中）吉£ （廠2警）=0（在介質“中）* 0 二蟲 =0（在介質分界面上）L _® = P2由干在a<r<bf有0三枕二護，所以以上邊值問題可以簡化為齊。（3）選圓拄學標系山軸與圓拄導體咖的軸線重合，丙圓柱導體無限長，故 由對稱性

4、可知，電位護僅為尸的亟數(shù)右如F的靜電場邊值問題；萬蚯（P囂）" g5dtp1- 7-4真空中點電荷q = 10-ft C,放在距金屬球殼（半徒為R-5crn） 的域心15 cm處，求：（1）球而上各點卩的表達武。何處場強雖人，數(shù)值如何？（2）若將球殼接地，則情況如何？解 應用鏡豫電荷法、鏡像電荷的大小和位置為q - 務二吉X 0 $C= - y x 10f C疋=£_3d 一15- 31- 7-4 ffi所示：（JD球殼不接地口此時，球心處還宜放一點電荷球外和球表面上任一點的 2 由g,和/共同產(chǎn)生。®1-7-4 圖4”、h _- i-A -b-V h2- u?c

5、m球更上的電位為(P = A v 5 二呦 kV球血上任一點的電場強度為E =曾*"_' _ 7(V 十 7 tfr?仏百。片1 4亦卄;1 4rsuJ?不難判瞬,球面上A點的場強最大數(shù)值為E 2.4b XI臚 VAii(2)若將俅殼接地，這時，球外和球表面上任一點的護和E由q和共同產(chǎn) 生C球面上的電位為審=0 V球袤面上任一點的電場強度為£ = ' ' *T 4 弟4兀曲小4江帥巧2球表而上A點的電場強潢展大，數(shù)值為Ez = 3JXl" V/n)1-7-5 兩根平廳圓桿導體，半袴均 為2 cm,相距12 cm,設儷以1 GOT V電氐 束

6、兩凰拄休表面上相距雖近的點和量遠的 點的電荷向密度。解用電軸法求解首先確定電軸的位 S如題-7-5圖所示，此時空間任意點的電 位為卩In 2叭 r2爲“；丸盲-點卩:；仁養(yǎng) + (h a)式中心為 r辛所求點的距離，心為十至所求點的距離，設十r廚杜的 電位為卩帶-r圓柱的電位為©，則卩0 = p 一仞所以，厠杜單位長度上的電荷T與兩柱間的電壓關系為21n方 + I h a) b _Ih-a)1 DOO= 283.65點A處，場強和電荷面密度最大nux -切 E啞-“ 2g° Q-(<1)十6 + (A - a)= 0.1775X10* C/m2點B處，場強和電荷面密度

7、最小迪eoEnm-eo 2?:e/a + (h “)_° + (h + b'= 0.088 7X10-6 C/m2iZ.題 1-8-3 S1-«-3姍半行導線位于與地面垂育的平面內， 如題1弋-3圖所示已卸譬體半桎為2mm,求導線單 位長度的祁分電容口及兩孕線間的尊效電容。解整個系統(tǒng)足由三個尋體組成的粹電獨立系 統(tǒng)共有3個部分電容為計算部分也容先計算電位條 數(shù)，有77777777777777777 CTU tj + (ZiiViI 護2= a2，LTl + 口 22 曠 2令口 = "口 = 6計算此情況下的曲評恥將地面 的影響用境像屯荷代替,并珞去導線2

8、上鳳應電荷的彩 響，則得0i = y?lnxio3)2n02X10 b 2氏問_ r I 2X8-5OX1()2 r . »g>2 = o曲 tn =亍一hi3LT 2are05X10 2 2xP所以，有5一 2亦少曲10人呦-嚴1同理，令r!=0,r2-T JI算此情況下的小申“將地面的形響用鏡像電荷 代替，并略去導線1上感冋電荷的影響，則礙所比有仍-2衣_(0.5_ J-2ln31 化_ 2k/ 沽討 =2亦嚴7.5 x K?)*厲負a22 = «ln(7.5xiO3) 2®根據(jù)各個系數(shù)之間的關系，可得3ii 土=2tteq 乂0.130 1Qtla22

9、 - 122121念2 二 Zttcq x0.131 4一 2?；? x 0.050 2402 一 5221012 = Bu 二二再根據(jù)部分電容與感應系數(shù)之間的關系，可得C1221 /3】2 = 2” 788 9 x 10 " F/mF/mCj（）= /Sji + Pi£ = 4- 438 9 x 10 dF/mC20 =畑十燉2 =4. 5門 1 x 10-12兩導線間的等效電容為Ce = C2 +026 3x 1O12 F/mJ山十°20闊個電客器ct tn c2 &充以電荷門和業(yè)。然厲移去電涕再將 肉電容器并聯(lián)，問總的能魚是否減少？減少了多少？到哪里

10、去了？解 兩電客器井聯(lián)斥，它們的電壓相等，且總電荷與聯(lián)接前相同頁這是一個 常電荷系統(tǒng)并聯(lián)啟，每個電容器的電壓為腦以，兩電容器中的總能凰w；為評'產(chǎn)jC2c/' =1 （如丈血）亠2<ClC2）而幷聯(lián)之前，兩電容器中的總曙鼠.為W 一丄蜀亠丄呈 此- 2 C2 G 因此，能量的變化為6缶：QgiF2© y）CG可児并聯(lián)后總的餡鼠減少了。減少的這祁分能量用于在電容器并職達到稔態(tài) 的過渡過理中，電位移電流輻貳到空間中去了。1-9 3用8mm厚*5 = 5的電介匱片隔開的兩片金屬盤，形成一電容為 1時、的平行板電容器，并接1 kY的電(8°如果不計厚擦，要把電

11、介質片從兩金 屬盤間移出來.問在下列兩種iff況下各需做芳少功？(1) 移動前，屯瀝已斷開*(2) 移動中，電祿-賣聯(lián)若。解根據(jù)帶電體系統(tǒng)中的能量守恒關系：與帯電體相聯(lián)接的仔電謁提供的能卓=電場能呈的塔量+電場力所做的功(1)對于電藤斷幵的常電荷系址：電場力做功二-(電場能凰的WM)移動前電容器中的電場能臺為-XKI' 110" = 0.5 討£厶棉動后，電容齬的電容為廠-%S 帥屯小11嚴所以”電容器中的舖能為附包注業(yè)冃生.皆常電荷系統(tǒng)) F現(xiàn)A扣忌卜討閒陶二扣U癢卜叫所以外力做的功=-(電場力做的功)=W.2 *.1=2 0對于電源-直接著的常電位系統(tǒng)，電場力所

12、做的功在數(shù)佰匕第干電場 能凰的«Sa因為=2Cj0.5 pj% = *GU；專x扣心二寺叫 所以外力做的功-wd) = - M/el = 0.4 “J1-9-6應用虛位移沫，計算教材中例-27平行板電容器中兩神介質分 界面上每單位面積所受的力°解(t)先討論題1 -9-6ffi(s)D這種情況下，設介質鞋和可的厚度分別為 小和吐，且右十必=圧W是平板電容誌的兩極板間的距離人則電容器的電容 為C =引啣 =“皿“疋2十藝2心 j(c/ - Jj) +所以，電場能量為VKe=yCl/2-4i"Su1（E - 2）el2*S十（習 一 i ）7 F則介煩分界面I:所受的

13、總力為f -弓爭=-y U2dd 12由于價質1和2中的電場分別為F = "U1 d2 + "d 1所以/=*E£Oi - c2）S = D2ZLEI2單位面積匕所受的力為乎結匕這里,尸的參考方向由介質G指向介質£“ 再看題1-9-6圖(b人 這種情況下，兩種價質中皓E是相導的口沒介 質和和勺填充扱板的面積分別為5| = ZtW和S廠乙閃且為根 扳的長度帶為扱板的寬度人則電容器的電容為廣i SSr (“-eJD+MELd d 所以電場能星為叭二 y CU2 二斗 M b - G?ZZcz（b）則介質分界面上所受的總力為（a）廠 y 億一 IP®

14、 GW 丄 Hr）= yEz（2-L>W單位面積I：所受的力為f = f = 三（I _ £ r ）7 S Wd 2® L/這里十f的參驢方向由介質。捲向介質eio1 - I試回答下列各問題：（1）等侍向上的電忖址處一樣，因此面上各處的電場強度的數(shù)值也一樣n這 句話對嗚？試舉例說明Q（2）某處電忖卩=山因此那里的電場E= J二-V0 = 0&對嗎？（3申處電位是10 000 V,乙處電位是10 V故甲處的電場強度大于乙處的 電場強度。對嗎？答此三冋的內容基本一致，均是不正確的口靜電場中電場強度是電位函 數(shù)的樣度，即電場強度E是電位函數(shù)卩沿最大減小率方向的空間變

15、化率。護的 數(shù)值大小與農(nóng)的大小無關，因此甲處電位雖星10000 V,大丁乙處的電位，但并 不等于甲處的電場鍛度人于乙處的電場強度。在尊位面上的電位均相尊，只能 說明沿等位面切線方向，電位的變化率等于零，因此導位面上任一點的電場強度 沿該面切線方向的份量等丁零，即£ 0。而電位函數(shù)沿等位面迭線方向的蠻 化搟并不一定等于零.即En不一定為零，且數(shù)值也不一定相笄即使等位血上 爭=0,該面上任"點沿等位面法線方向電位函數(shù)的變化率也不一定等于零。例 如:靜電場中導休表面為等位面但導體表面上電場強度£垂直于導體表血，大 小與導體表面各點的曲率半徑有關，曲率半徑越小的地方電荷面

16、密度越大，電場 強度的數(shù)值也越大“1-5曲條電力線能否栢切？同一條電力線上任意兩點的電位能否相弄? 為什么?答 電力線的疏密表示電場強度的弱或強.申力線披搐，說明該牡的場強越 大匸因此若阿條電力線相切，在壞點處的條電力線無限靠近即去示切點處的 場強趨于XR4X,這是不符合實際的，所以電力線不能相切。因為甲=Jfidz，說明周i條甌力線上任意筠點的電位不筋相竽朋電力線 方向電位在減小。1 -8在一不帶電的導怵球內，挖Hi 備心的球形空腔。（I）若在空紀中心裁點電荷g,試問腔表面和球外表面上的電荷及腔內, 腔外各處的場強分別如何？2）若q不在空療的中則腔表面和球外表面的電荷怎樣分布？球外的 場強怎

17、樣分布？（3）若點電荷q放在空腔中心*但在肆外也械一點電荷，則腔表面和球表面 上電荷怎樣分布？答（"空腔表面均勻分布與點鬼荷電量樹尊但異號的面電荷。導體球的 外表面均勻分布與點電荷電最相等H同號的面電荷"腔內空閭的屯場強度為式中為空腔中心（卻點電荷所在處到腔內空間中任一點的距離。尿體球內 各處電場強度均為零°導體球外電場罡均勻帝電導體球在空間產(chǎn)生的電場匸_Q式申r為導體中心到球外空間任一點的距離。（2）點電荷q彳在空腔中心時則空腔表面分布著與點電荷g電量相等且 異號的非均勻的面電荷，在靠近點電荷附近的表面匕電荷分布的面密度大。此 時導體球外表S上剋電倚分布及球外空

18、間中場的分布與仆）間中此冋題相同p 若點屯荷q仍放在空腔中心，球外也赦點電荷,則空腔表面上的電荷 分布與（“問中此問題相同"此時導體球外表面匕電荷分布不均勻，靠近珠外點 電荷處，分布著非均勻的與球外點電椅異號的面電荷孑遠康球外點電荷處，分布 著非均勻的與球外點電荷冋號的面電荷.但導體球外姿面上分布的面電荷總暈 仍與空腔內點電荷q的屯最相尋且同號。1HI圳絕綠導休A和Zi帶等塑異轉電荷”現(xiàn)把第三個不帶電的導體C 插入占、E之問（不與它們接觸）.試問電位差 也-沖是堆大還是減??？（從能 屋觀點分析人答 導體C的外表面將感竝分布不均勻的面屯宿L靠近A導體的農(nóng)面帶 負電，靠近£導休

19、的表面帶疋電八插入的過程屮，電場力作功,AJi與外界無 聯(lián)系（雜緣導體），所以電場能量要減小仃故71岀之間的電位羔仙-舸要甌 小。1-14在一個中性導休球克的中心放-電荷址拘項的點電荷這時球殼內 外表面各帶多少電荷雖？若杷點電樹從球殼中芯移到殼內其它點，球殼內外表 面上的電荷分市變不變？球殼內外的場強分布變不變？答 點電荷Q放在球心時，球殼內表而帶有均勻分布的（-q）的電量，外裘 面帶有均勻分布的q電量二若把點電荷移至殼內其它點，球殼外表聞電荷分布 不變，球殼內表面分布的電間仍是（-g）的電號，但分布不均勻*幕近點電荷的內表面匕的電荷面密漠人于遠離點電荷的內表面上的電荷面密膚，球殼外的場 強分

20、布不變仍* E = - 齊 球売內空間的電場分布改變了，町由鏡像迭求 4irer得“1-16 說明E、。、P三個矢量的物理意義“ E與介質有關，D與介質無 關的說祛對嗎？答E足電場強度，其物理意義在于是從力的角度描述靜電場特性的物理 址。其定義為靜電場中任一點單位正電荷所曼到的電場力。D是血位移矢量、是一個輔助物理量，其本身并段有明確的物理意義，然而 引人它可以方便地表達出靜電場中任一點的場量與場源之間的關系'即電位移 矢量的敬度等于該點分布的R由電荷體密度P是電極化強度，其物理意義是描述申介質中任一點電極化強弱的物理E與介質有關與介質無丈的說法是不對的。E和D的分布均與介質右 關。但

21、錄穿過閉合曲面的D通童僅與該閉合面所包圍的自由電荷有關，而與介 質中的束縛電荷無關。1-17若電場中啟人電介質后，白由電荷分布耒變，電介虞中的場強大小 泉否一宦比真空中的場強小槨答不-定。只能說電介質小的場強比原*沒放電介質時同一處賓空中的 場強小G1 囲有入說，均勺介質扱化丘不會產(chǎn)生體分怖的板化電荷，只足住介質 的表廊上才出現(xiàn)面分布的極化電荷若均勻介顱是無覘大的那么它的表直在無 限遠處，那樂的根化電荷對考察點的場無影舸，因此均勻的無限大的電介質克 空完全相同。你星否同壷迖,種看法。答 這種看法是錯1S的二舉一反例說明n假設均勻介質是尢眼大的命題成 立，耍使介質極化，必要育外加電場.面外加電場

22、星曲竺間分布的自由電荷產(chǎn)生 的，這些自由電荷會分布在均勻價硬中.使均勻介質內部存在圾化電荷休密度， 故與直空的悄況不能相同。ffi#® 1-221-22 有帶電為q的球休，附近自一塊介電常數(shù)為 £的介質，如思考題1-22圖所示請問下列公式成立否?£ D - <IS = 9P (IS = qD =你嚴5 E dS = 2口 &5 E dS = &每e0答 £ § O »站=打型w D dS二g, #、D朋二g及# f $ =囂成立=益務和# E d& = f不辰立，岡為滋有考慮介 質的影響了*1-29電纜為

23、什么娶制舷多層絕緣的結構（即在內、外導體間用介電常數(shù) 答不相同的多層介質）？各層奔質的介電常數(shù)的選取遵循什么原則？為什么？答 在電纜內、外導體之間施加崗樣電壓絢情況下，對于多層絕緣結構，其 電介質中電場強度的蜻大值比單）5絕緣情況下的電場強度的呈大值小，這樣窯 層絕緣的電纜可以承受更大的電壓。如果各層介質的仆電常數(shù)選擇為|P1 = 2f>2 = 3p3=i5 為i戻介質的最小半徑人則在各層電什質中，場強的最人值 均相等且均小于單層絕綵情況下的電場蟲度的最大值。若冷層電介庫的擊穿場強不同，這時既要考慮介質的介電常數(shù)的大小，還要 考慮介質排列的順序及厚度的選取，1-30強定鏡像電荷的分布上要

24、有哪兩點？已學過的有哪幾種典型的鏡 像問題？并總結之。說明鏡像電荷是代替哪些實際存在的電荷分布。答 苜先鏡像電荷必狽位于待求解的場域簡稱有效區(qū)域）之外，保吐有效 區(qū)內的電荷分布不變，也就是電位方程不變。另一點是鏡像電荷的個數(shù)、位置, 電荷量的大小和符號的選取要能等裁替代有效區(qū)以外區(qū)域的電荷和有效區(qū)場域 邊界上復雜分布的電荷的作用，以保證邊界條件不變，已學過的典型的鏡像問題 有：（1）如點電荷対無限大導體平面的鏡像；（2）球形導體邊界問題-如點電荷對 導體球的鏡敝圓柱形導體邊驊問題（也稱電軸法打無限大平面介質邊界A卜述問題中，鏡像電荷主冬用以替代'有散區(qū)場域邊界上實際存在的感應 電荷或束

25、縛電荷的分布或作用。1-31以下各小題（見思考題1-3圖）能否用鏡像底求解？如館，畫出其 鏡像電荷的位置并標明數(shù)值；如不能，說明理由口思考題1- 31圖答 分界面均按無窮大導體平面對待。對于圖（“2 =60-敏打二應-3,有（2” -1） = 5個鏡像口其位置與平面鐐成像的方法禍同，數(shù)值均為v冷號毎成-次像加牛負號（圖略）對丁圖（3,不能用橈像法求犧口因為像電荷不能 出現(xiàn)在有效區(qū)內，而圖（b）中不能避免這點，故不能采用鏡像法。心）可選擇無窮 個鏡像”但鏡像電荷距有效區(qū)的距離越來越遠心當問題的精確度要求一定時，可 舍夫遠處不定以影響精度的徐電荷達到滿足問題要求的近似解。1 -34靜電場中儲存的能

26、量町從哪幾個方面來計算它們各適用于什么情 況？足旁因為W；=當曲，故當電容器中介電常數(shù)牟增加耳電場能量也培 加？答 嘰=*=*><罷”適用于計算電容器的倩能。適用于空間屮有有限體電荷和面電荷分布拮況下的計算，其屮積分域忙，S是 電荷分布的區(qū)域。We= ¥ 4<7A 適用于點電費系統(tǒng)或導體系統(tǒng)儲能的計算斗（E DdVz j v說明掙電能是儲存在電場之中，適用于計算區(qū)域"內分布已知的情況， 靜電能量密度W = zE2中徉增人時+由于E的分布也會發(fā)生變化，因 此電場能量井非一定會增加。1 -2兩半徑為(i和A(a<&)的同心導體球面間電位差為匕K,

27、問:若應固 足，蕓使半徑為a的球面上場強最小皿與b的比值應是多少？解 由髙斯定律，容易求得同心球面間任一 r處的電場強度E為所以從中解得E(C=嚴馬h _ a r半徃為G的球面上的場強為當石和超時tE(a) a不同而變ft*但不是a的單調函數(shù)，它存在極值口 為了求出u取什么數(shù)值時，EJ)最小，則令即a與力的比值應為0.41-3具有兩層同軸介阪的圓柱彬電容器，內導體的直徑齒2an.內層介質 的相對介電常數(shù)6丄=外層介質的相對介電常數(shù)-2.要使兩層介質中的撮 大場強相等，并且內層價質所承愛的電壓和外層介質的相等，問兩層介質的區(qū)度 各為多少？解 設網(wǎng)屋介質的交界面¥桎為4外導體內半輕為氣月

28、內、外導體衣面 單位長度上的電荷分別為卜r和-廠則由奮斯定律可求得介質q利介匯宅中的電場分別為根據(jù)題意，要使兩層介質中的相等由于樂頁北10' Eg=a欣扁lnwix = 1.5X10-11=1.5uni內怡卜層介質分別承受的電壓為»彳益喬(町題圖(0QRJ電場強度E =父，故R(*RJ_益7廠盤礙(Ri<p<r2) 益育盤加g<F<&) 0<p>Ry)i®io航切卩F 虹勺 L5 x 10 *垠搖題意：要使兩層介質亜受的電壓相等，即口-6,故7-lnL5 =1n , JsR6肚o如t£|)L5X10 2解之得0

29、= 1,% cm 最后*得介質1的厚度g - 1.0二1.5-1衛(wèi)=汛5 cm介質 2 的厚度 1*96 L50,46 cm1-4用雙層電介質制成的同軸電纜如題1-4圖所示；介電常數(shù)巧上毗亦 也=2切；內、外導休單位長度上所帶電荷分別為亡和-化(1) 求兩種電介質中以及p<RL和p>«3處的電場 憬度與電通密度；(2) 求兩種電介質中的電極化iftS；(3) 問何處有極化電荷，并求其密度$ 解(1)應用高斯定律，不難求得電通密度為03<心Q）由O =引E + P,得兩種電介質中的電扳化強度為(R<p<R2)(R2<p<&)內 '

30、;外導體圓杵表更卜和兩種電介質交界面上有極化電荷，它們分別是枉卩=&:處："嚴P珂即）=仏鼻在卩=尺2處：（7r '卩斗P（ 找/_ 3r r _ rSrJ?2 4恣2 8ttR1ft有一平行板電容器，卻極板距離為ABd.中間平行地放人兩塊薄 金屬片CJJ,且= 勵= 4/3 （見題1-6圖）如將為兩板充電到電 壓口。后，拆去屯源，問：（1）ACCD.BC囘電斤一各為多少？ C,D片上看無電荷？ ACTCYJ,DR間 電場強度各為多少？ 若將CQ兩片用導線聯(lián)結再斷開重答問;（3）若充電前先聯(lián)結C J）,然厲依次拆去電源和C,D的聯(lián)結線何答（丄） 問；（4）若繼（2）之

31、后，乂將兩板用導線短接，再斷開，重新回答仃）問，解 忽略邊緣效應，作為均勻帶電的無限大平行板電容器來處理，各區(qū)域為 為均勻電場.方向垂直于極板。(b)<c)® 1 -6 圖U玫.-(Ucd 十 Ue =-亨(I)充電到電壓5后= =Ei手1 Lz斗+碼務=5 因此，有Ed - U。所以E、= E2 = E尸字 Zac= 口畑 _ Une 丄 E # 二學 各極板上的帶電悄況如題1 -6圖(h)所示，有(2) 若將CJ)板用導線聯(lián)結，C*D兩皈內側的+%與-丸將中和有二0和雖=0這桿，様內側的+ m與-刊將仝部中和出，而其它部分的電荷則由于電場 的作用以及電荷守恒(這時電源已拆去

32、)都不變化口再斷開聯(lián)結線時也*會變 化”即有E' = F尸甞= u囲%二-5十皿=-¥麗人板、円板丄板和D板外側的電荷也都保持不變°3)由t：住聯(lián)結C.D時接有電源，電漁的作用將看迫A,R板間電圧口迢 保持在【衣匚，門板被短接強迫1&=航 顯然"：2 =入但同時為了又満足 U/W = Uo的條件，必狽使Ei和E,增大，也即相應的電荷密度由“增大到 小 這時有E =E 和.Ej % 斗 彳=U。所以G.D板內側沒有電荷分布川j A板板,C板和D板外側的電荷密度都 由（1）問中的“墳大到"口由于電場力的作用，依次拆去電鯨與C,D |可的聯(lián) 線

33、時情況不再變化“若在繼問之啟將兒E短接，山于©的悄況下上陋亠號5刊， 因此兩板上的電荷將逬行屮和達到U?lB=0的強制條件口而f：,D板由十 與外界沒有導線聯(lián)接，電荷守恒各自板匕的總申満保持不變，但會莊內、外側板 囪周發(fā)生電荷轉移。達到U昭=0后，一切電荷的轉移將停止*電荷分布如題 1-6圖0）所示口有(E1 + E2 + E5)/3=0由電荷守恒，還應有解之得_r % ?g(*Un 兀一 2可-F_ £o 53 = 3M 'Ujjc _ （ t/fy）+ Ujtb ） 由于電場力的作用，再斷開A,占聯(lián)接線時，情況不變口1-7半徑為b的無限長圓柱中，有體密度為內的電

34、荷與它偏軸地放有 半輕為“的無限氏圓住空洞，兩者的軸線距高為幾求空洞內的電場強度 設在真空中）。（提示：可應用疊加原理）題1 -7圖解 空洞可看成是密度為和（見題1 - 1圖（b）和一po（見題7圖2）的 體電荷分布的疊加，而電場為原來電荷分布與空附中密度為佝的體電荷分布瓦JI * h « ' IK 同作用產(chǎn)生的場和由空洞中密度為-代的體電荷分布單獨產(chǎn)生的電場疊加而 得口在圖b）中*空洞部分的電場町選取單位長度的同軸圓柱面作為高斯面，利 用高斯定程求得碼二瓷餅（0<r<6）在圖（町中，空洞部分的電場可用類似方法求得F產(chǎn)-譽* e,（0<rJ<a

35、3;2丸空乖I實際的屯場為匕述：者的疊加E E豐冋2丄驊叫亠廣O =豊（孑F）1* 2 臥Zeo由圖可見所以1-12在離半徑為R的導體球球心為d處（d>R）#一電荷冋要在 球匕加翁少電荷才能使作用在電荷q上的力為零？解應用球面鏡像法在球心處有一鏡諫電荷.R?=屮另在球心與點電荷q的連線匕距球心b（二孚）處有一鏡像電荷a gJ -% 它們對點電荷g的忙用力即為導體球對點電荷g的作用力。為使作用衣點電荷 q上的作用力為零，設在球心再加電荷Q 則點電荷q受的吸引力為p = （Q ! Qg 4 dq4血£護4冗£ （沖&）2令F = 0解得2d2R3-R（屮-尺呼瀘1

36、 1S 一半徑為口的球殼嗣心地詈于半桎為的球殼內，外殼接地口 一 點電荷放在內球內距其球心為d 4b.問大球內各點的電位為多少？解（1）由于半屋為b的球殼捷施,所以其外部的電場強度為零，電位為 零。即卩=0（r >）（2）在內球殼與外球殼之同，由于瓷足球形的，內球殼外表面上的感應電荷 Q的分布是均勻的，外球殼內我而上的感應電荷（-q）的分布也是均勻的。因 此，內外球殼間的電場強度由下式?jīng)Q定4應護略(a <r<b枉一點的電付為E " m )r4ne(i r b(3) 莊內球殼內部.應用球面鏡像法。設在內球殼外部離球心為b處有鏡 像電荷d和卜的大小由下式?jīng)Q定aA_ u2

37、達樣，內球殼內部任意P點的電位山下式?jīng)Q定： 式中，C和。分別是F戌到點電荷g和的距離。盂(+一+)為內球殼表臨 電飢117三條輸電線位于同水平向上，鋅線半徑皆為=地面高度«-14叫線間距離 = 2m,其中導線1接電源，對地電壓為L'l-IW kV 如 ® 1 -17圖所示芒(1) 導線2,3未接至電源,但它們由于靜電感應作用也有電壓。間其電H dIK各為多少？I-?(2) 若將導線2接地，問導線2上|的電荷與導線3的對地電壓份別為多少？I3此吋*若切斷接地線，然后斷開 門門 H門小門小廠門 電源，問三根線對地的電壓為多少？解 此題的關鍵是求岀各電位系® 1

38、'17 0數(shù)莖個系統(tǒng)是由4個導體？fi成的靜電獨立條統(tǒng)，選大地為0號導體.有仰=?！翱?+ 52心十"3口仇=21 口 + 22 T1 + 23 T*3対=口31 " + 口32 2 +?？齾[3這一方釋組說明r各導線的電位與各導線的電荷之間的關系e令口二仆門二計算此悄況下的0占2和的將地面影響用境像電 荷代替，又山于人和H都遠犬于廠°,所以町以略去導線2和3丄的感應電荷的彫響，則得r t 2x14 _1_2xe n 0.004 P一 r ( /(2xi4>2+2-列盂忸2"白Q這戶込盤450所以心7 000ln/197二初n/50宙圖示結勾

39、不難看出這一靜電獨立系統(tǒng)中的電位系數(shù)育如下特征 022=住53 二 G 和 巴13 =空|_2所以，最后得各電位系數(shù)分別為11° 22 = 33 = 2rg000, ©2 = 5 = £ln / 1另a23口乜二 Si =£In "50t 巾3 = o翹二吉"/197當導線2和3未接電沁時，有七=巧=0。由上述的方程紐侮得導線2 和3的電壓分別為CT?i亡Or it護嚴巾1 丁嚴盂卩1和卩3二肓卩I代入給定數(shù)據(jù)® = I10kS和相關的電位系數(shù)併取« =etl = &85"07午/皿。計算得z2-

40、321 kv, 旳= 24. 31 kV若將導線2接地”此時筠=0.但口工山又由于導線3未接電源有 巾二山幽此，由上述方程組有件-俚讓“卜門O' ajj rl 1 口22比 ff3i r 1 十白111*2聯(lián)立解之*得_Q10 一 s_（住號口“ - a卻。？2）“ 2;、 和舸一廠irr池（切一旳1）（冬廠町J代入給定數(shù)據(jù)® "WkV,和柑關的電位系數(shù)，并取£-£-&呂5X1（1 W/叫 計算得T2 =226.06 nC/m *<p3 - 15.93 kV(3) 若切斷接地線然后斷開電源此時導線1.2和3上的電荷不變，所以它 們上

41、的電樂都保持不變。有110 kV, 歸= UkV. -15.93 kVl ift 牢氣中相隔1 rm的曲塊平行導尅平板充電到100 V肩脫離電源, 然石將一彤度為1 mm的絕緣導電片插入兩板間，問：“)忽略邊緣效應，導電片吸收了多少能雖？這部分能量起到了什么作用? 兩板間的電壓和電荷的收變量各為若干¥最后儲存在其中的能量多犬？(2)如果電壓源一直與兩平行導電平板相聯(lián)重答前問。解 設導電平板的面積為兩平板間的間隔為d=lctm,顯燃，絕緣界電片的厚度S 壽就二I平板間39電壓為(Jo = 1(H) V<,(1)忽略邊緣效應，未插入絕緣導電片時 如=5口0=罟5, w詭二寺a疋二+

42、罟u： 播人導電片后£f)S _ 10£OS JO所以”導電片中吸收的能量為用由 一 = 4-425 x 10_ 7 J這部分施量使絕緣導電片中的正、負電荷分離，在導電片進人極板間時.做機械 功£這是一常電荷系統(tǒng)電荷守恒，各極板電荷號不変，=on而插入絕緣導 電片百的電壓為S產(chǎn)吿喘X器器390V所以電壓的改變量為U= C/()i - 5= 10 V如果電漁一直聯(lián)接著，則 U = 0, U” 二 5 = 100 Vg L G S =罟G 5 二畔 go 所以F電荷的改變量為Af?= 91 'Vo = 0=0*983 X 10 _s CR2三牛鏡像電荷在q處產(chǎn)

43、生的電場強度 為吧嚴討心欝軌哈打必 為此導電片吸收的能量為d)= -J = 4.915xlO'7J1-20點電荷彳肯于導休A附 近，導體有半球形凸赴如題1 一20圖 所示口已知求此點電荷所受 的力。解應如圖所示放置三個鏡像電 荷來滯足邊界條件，其中肌° o爪=盤舄卩一 at弄訪閔打打皿所以J所受之力為F =妙1(0,0. A )V(進Z2- 2 半徑為u的均勻帶電球帶電總量為Q,該球繞直徑以角速度 疑轉。求；仃)球內各處的也流密度J;(2逋過半徑為口的半圓的總電流"解(DW球心為原點，旋轉軸為Z軸楚立球坐標系口球內任-點距球心 處，與2軸的夾他為0,該點運動的線速度

44、為v = wrsine帶電球的電荷體密度為2）利用與J的關蔡可得u 3QjtysinErdrdfl -2- 7有阿塊不同屯導率的樽鋼片構成一導 電孤片，如題2-7圖所示。若7（ - 6. 5 x 107 S/rn,y2 l，2x IQ7 S/rn,K： = 45 cm,Ri =30 cm, 厚度為2 mm,電極間電壓V - 30 V,且冷様 求Ml）弧片內的電位分布（設旦軸上的電扱 為零t&）;（2）總電說I和弧片電阻RM3）在分 界面上rD,J,E是否發(fā)生突變；（4）分界面上的 電荷面密度62ir爆（L）因為川電極表面町視為等位眄由對稱性分析，屯流密度 統(tǒng)是沿圖示勺方向，即垂直于電極

45、表面而等位線垂宜于E線（即J線）因此平 只與坐標0有關，面與坐標p無關口將系統(tǒng)分為兩個均勻的導電媒質區(qū)域，其 邊值問題為護V認-寺諱匕。（昭0益“于冬0W牙） 卩2 =寺 = 0 （附卩尺2,0丟*0¥） <jP - U卩2 0*=0其通堺可寫為平=G。十Cj<p： = C理 + 利用邊界條件決定待定系數(shù)可礙Cl-U= 5.95C產(chǎn) U-壽 0 = 20,65C3 = ?C1=32.26-乃C4 = 0tij此可得孤片內的電位分布為5.95+20.65 V 血=22.260 V F-V?= -十綸再利用分界面上電流慚度的銜接*件/ln=/in由【比可得到弧片內的總電流J

46、力場y 沖2 -； let嚴J -dS = " ddp =C1/i1n 2 = 3J37XH)5 A 打 PKi式中J = 2mni,te薄鋼片的厚度?；∑碾娮鐵=¥ = 956X1O7 a 利用分界面上的銜接棗件盡-丿0期電流密度在分界面上保持連 續(xù)，泣有突變。因兀凰2廠"Ei十0,人故電場強度住分界面上不連續(xù)，有突變。又 囚為兩種導電媒質的介電常數(shù)均可視為母，故電位移矢量也不連續(xù)，有突變#利用D%-Dg二"將咼嚴-2，企尸-£代入得fi&_4eq( yx - y2)Ua Tt(yy2)p2- 12半球形電極置于一個苴而探的睦肇附近

47、.丿M2-12圖所示巾巳知K = (h3nb半球中心距陡壁 必匕丿"Y的距離h = 1() m,土壤的電導率y - IO"2 S/rn,求接地-_5；社阻心/解 根據(jù)解的唯一性定理°在保證邊界條件不變的；情況下*利用鏡像法，在呼陡壁右測h處對彌地引出接*地半球的鏡像°由于近假認為兩半球之電 題2-12圖 流沿球的徑向均勻分布，電流終止于無限遠處，由此可 得口丄/F二er卡齊1 2jt”2 2式中門和廠分別為接地器中心和它的鏡像的中心到土壤內任意一點的距離; 花"。分別為該距離連線上的單位矢量°若以無限遠處為電位的參考點半球 的電位為半

48、球電扱的接地電阻為恥譽擊（護擊）=乩87 H5-1-2設住空咒中有一個邊長分別為1 m和0.5m的栓方形回路，通以 電流U4A*求其中心垂宜軸線上離回路平而f m處的磁感應強度。® 曲于對稱性，町分衲長方形回路四條邊上的電涼在P點產(chǎn)生的磁感應 強度的方向沿<3-1-2圏所示片方向。捌用聲加定理，在尸點的磕感應強度町覘為兩組對邊的線電流在P恵產(chǎn)牛的磁感應強度的矢量和 仃?1=sAFoSsy 二 vTTows代=/卩 + （0. 5嚴=M 1.25 triB = 2x式中= X 1 = 0,5 tn/2y X0,5 = 0/250.25OJSQ 1 = _ PL0.5msaa =*

49、 p2將上而各數(shù)字代人貯武中虹 r ”訂 x 0.25r 1= 2X4xXL146Ll70625E+仔嚴二 COSC + 十丹=3.039 x 10_/e=(T)3- 3 -3在恒定磁場中，若兩種不同媒質的分界面為xoz平面其上有電 流線密度K = 2ez A/im已知Hi = q+2勺+ 3%,求H2<t解 陌種養(yǎng)質的分界面為丈少平面,則分界面的法線方向為片的方向。曲 分界面上鶴銜接條件可知仏=險'RL*AUHl，= M2,HlyHvz =也 H|v =7尸2丿4j即為法線方向，由題意町知是由媒質2摘向媒匪，故叭- KH2« = Hh + K 二匕 + 3名十 2eT

50、 = rr + 5e,2 £ZiHr 二 + *pv -J- 5 A/mg '3- 51截面為圓環(huán)形的中空儀直導線沿軸向流過的電流為f,導線圓環(huán) 的內外半輕分捌為RttR2c求導體及外空間各處的磁位和磁場強度。解 由于在R<piR2的范闌內有悄定電流存在，因此該范圍內不能用 磁位函數(shù)屮辭住QWpUR、及戸>R,的空間范圍內無電流存在，故可刀引人 磁位亜數(shù)單窗建立磁位所滿足的拉普拉斯方程及邊界條件令陽J “0 = 0= 00 < p <L可 Em2 厶 °P > 2（鑫考點）卩m2丨gQ二0護d豐=2片。忖I g"=-利用磁位函

51、數(shù)所滿足的方程，町求出通第為Pnd p C4 C3 0 W P V J?護沁-十G* 0 >局利用邊界條件決定通解中的待定系數(shù)由此可得曲 *=o =06=0曲心=oG工0卩皿 1 0=厲" oc = °卩m2 1 / =2 " 一【Cm一 2希護說=00 W p V R卩誡=一 ±0P > 2再利用If =得兩區(qū)域內的磁場強度注;此題也可用安培壞路定律先求出H*再求fmc3 2真空中，在P = 0平面上的0<a：<10和y>0范圉內，有以線密度K =500 A/m均勻分布的電流,求在點（h0#5）所產(chǎn)生的磁感應強度。解如題3

52、-2圖所示'選擇d/ = kdx,視為 半無限長直導線，它在P點產(chǎn)生的磁感應強度的大 小為d” = J其中p = 7x2 + 52o由右手探旋法則可判斷d”的 方向，井將HE分解為疋方向和z方向兩個分量dBz 二 dBcosfl題31圈dBt片 dBsinS =廬qKh4tt(j? + 5*)利用養(yǎng)加定理,P點的磁感應強度的忑分量和忙分量分別為10十才-o 4jt（ j2 + 52）_譬X十響an專Iarctan2 = 44 1何 Tr10 眶壯嚴 丁Jo 42十5巧山"2“小B =和441珀十32乞）T3-3 真空中一通有電流（密度J = J"、半徑為6的無限長圓

53、柱內，有一半處為口的不同軸圓桿形空洞，兩軸線之間相距£如題3亠3圖所示。求空洞內任一點的解若假設空洞處有大小同為幾但流向分別 為方向和（'町方向的電流，這樣可檸此何題 視為半徑為&的無限長圓柱內繫體載有電流幾耳 和半徑為口的無限K：圓柱內載有電流（-J。）的 兩個K圓柱在P點產(chǎn)生前磁感應強度的疊加心刑用安培環(huán)路定律，半栓為&的大圓社住空 洞內尸點所產(chǎn)生的磁感應強度夭小為B dS =| J - dSJ 5J S2PiBi = “Mo 呼g其方向用右手縹旅法則判斷，它沿以大圓柱軸線為申心Ml為半徑圓環(huán)的切線 方向。對半徑為。的小圓柱，在空洞內F點所產(chǎn)生的瞳感應強度

54、大小為u _ 廠 J0P2 2其方向也用右手螺it法則判斷貝是電濫沿（-化）方向。若設大圓柱與小虧柱 中心連線為工正方向、則P點的磁感應強度應為兩圓柱各自崔P點產(chǎn)空的磁感 應強度的矢量和H = B1 + 拆2= Bkr 一呂2丄十pin日 1 + sin（?2）er 十° 005叭十丹心乞）丹】二響（“£*繪）務+ S氓*尹叮7?_訂叫. /JOO ,H - J（T1 + X2）_2"式中九為卩點到工釉的垂直距離山為何4 #紬上的投影，工2為尸2在乂軸 上的投影皿為兩圓柱軸線的距離二3-4真空中有一厚度為/的無限大載流（均勻密度 M平板,在其中心位置有一半徑等于a

55、的圓柱形 牢洞*如題3圖所示。求各處的確感應強度i解與上題思路相同假設空洞中存在J。"和 （幾）的電Sfct求各點處的磁感應強度可視為一個無 限大均勻載流幾叫的平板與一個載流為（-兒色）的無 限畏直圓柱各自在該處產(chǎn)牛.的磁感強度的矢量和樣越3-4圖尹（JM地J2<y<通有J=扎叫的無限大平板在空間各點產(chǎn)生的磁感 應強度，可利用安培環(huán)路定律求岀通有J - - JoFs的無限長直圓柱產(chǎn)生的磁感應強度也可利用安培環(huán)賂定律求出卜2（宀丹皿+卻宀 一令址ye工+哼】p < a各處的場強為它們的矢量和B = B1 + &23-7半徑為s長度為/的園拄，被永久磁化到磁 化強度為（Z軸就是頓柱的軸線人（1）求沿軸各處的B及H；（2）求遠離圓柱屮"處的磁場少解 先分析該園柱的磁化現(xiàn)象。由十是均勻磁化， 為常數(shù)在圓柱內部磁化電流尙密廈為丿皿=燈x M匸V x二0磁化電流線密度為K刑匸M X你其兔為表面的法向方向。在圓柱的兩個端囪，其外法題3-7圖線