大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識點

1、大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識點整理公式，用法合集極限與連續(xù)1 .類型:數(shù)列：%“=/();，*=/0)(2)初等函數(shù)：, 2力(x) X < x0f/(x) X 工司分段函數(shù)：/3 = 11'，° */(幻=八，°f2W x>與a x = x0復(fù)合(含f)函數(shù):y = /(),“ =(p(x)(5)隱式(方程):F(x,y) = O參式(數(shù)一，二):變限枳分因數(shù)：尸(x) = /(xj)力級數(shù)和困數(shù)(數(shù)一三)：S(x) = Z"”C2 .特征(幾何)：單調(diào)性與有界性(判別)/(%)單調(diào)=Vx0, (x %)(/*) -/(%)定號)奇偶性與周期性(應(yīng)用).

2、3 .反困數(shù)與直接由數(shù)：y = /(x) = x =/"(>) = y = /"(x)二.極限性質(zhì)：1 .類型：*linw/r；*lim/(x)(含 x -y)；* lim/(x)(含 x-> x0士) “T8XT8Kf«)2 .無窮小與無窮大(注：無充量)：3 .未定型：,r, 8s, 0-OO, 0°, oc° 0 oo4 .性質(zhì)：.有界性，.保號性，1 月并性H.常用結(jié)論：111ann f 1, an (a > 0) - 1, (a,1 +b" +cll )n T max(a,/?,c), > 0) 03

3、=。,1xn一(x>0) -s,lim a' = 1, lim = 0, limX.V-NT+X /XT+8lim xnn x = 0 9ex > s,D*O四.必備公式:1 .等價無窮小:當(dāng)(x)f 0時,sinz/(x) (x); tanu(x) w(a); 1 - cosw(x) zr(x) 2建外一 1 (x); ln(l + m(x) (x) ；(1 + (x)“-1 au(x);arcsinz/(x) w(x)；2 .泰勒公式:(1)<?r = + x + x2 +o(M)； 2!(2)ln(l + x) = x- x2 +o(x2)； 23 3) sin

4、 x = x- x3+ o(x4)； 3!4 4) cos x = - - x2+ x4+ o(x5)；2!4!(1 + x)。= + ax + x2+o(x2). 2!五.常規(guī)方法：前提:準(zhǔn)船喏千杵其它*-會-也小變量代換通:臺)1.加大棄小(一)o0考試資料2.無窮小與有界量乘枳otM )(注：sin'Wl,x>s) x3 .廣處理(其它如：0°,s°)4 .左右極限(包括；v )：1 1一 (x -0);/(x->8)；e*(x->0);(3)分段函敬：|x|f x9 max/(x)x5 .無窮小等價普換(因式中的無窮小)(注：非等因子)6

5、.洛必達(dá)法則(1)先“處理"，后法則最后方法);(注意對比：lim2與lim業(yè)»0I l-x D I用指型處理：(x)E)=e'”"n“(如：內(nèi)"=/(萬-j)(3)含變限積分;(4)不能用與不便用7 .泰朝公式(皮亞諾余項)：處理和式中的無窮小8,極限函數(shù):/(x) = limE(x,)(二>介段函數(shù)) R大.非常手段1 .收斂法貶 4 =/()= Hm fM X-(2)雙邊夾：* bn < an < cn ?."心 ->？單邊擠：/司=/&)*電之4?"3>。?2 .導(dǎo)數(shù)定義(洛必達(dá)？

6、)：lim" = /1x。)51。4艾3 .枳分和：hm-/'(-) + /(-) + - + /(-) = ( fWdx, -8 n n nn Jo4 .中值定理：lim"(x+a)-f(x) = alim /0) .1+3C,V-5 .級教和(1一三):x2”ix(1)X4 收斂=Hman =0,(a lim )(2) lim(q +)+. + an) = Van , 3c”T8 1>TR.F2-1H-lqj與同斂散 n-lt.常見應(yīng)用:1 .無窮小比較(等價，階):(1)/(0) = /,(0)=. = /(n-,)(0) = 0(0) = 40 /(x

7、) = -xn+ a(x")-xn n!n!工"(" T：-2 .漸近線(含斜)：(1) a = lim 卜。、b = lim f(x) - ax n f(x) - ax+b + a.V->x XXTB '(2) /(x) = ov+ +。，(1 - 0)X3.連續(xù)性：(1)間斷點判別(個數(shù))；分段函數(shù)連續(xù)性(陽：極限函船/'(x)掛續(xù)性)人. 3,。上連續(xù)函教性質(zhì)1 .連通性：/(/) = ，(注:V0v4vl,“平均”值:彳/(。) + (1 /3) = /(x。)2 .介值定理：(附：達(dá)布定理)(1)零點存在定理：S) v 0 = /(

8、而)=0 (根的個數(shù));/(x) = On(/(x)g = O.第二講:導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用(一元)(含中值定理)基本基念:1 .差商與導(dǎo)數(shù)：/'") = lim A' +/二"*;/'(x0)=lim /U)/W >1) X1/ x-x0廣(0) = lim 小)一 °)(注:lim= A(/ 連續(xù))=/(0) = 0,/,(0) = A ) .一 0x1 5) x左右導(dǎo)：£(%), £(%);(3)可導(dǎo)與連續(xù);(在x = O處，區(qū)連續(xù)不可導(dǎo)；x|x|可導(dǎo))2 .微分與導(dǎo)數(shù)：/ = f(x +AX)- /(X) = f &

9、#39;(A) AX + (7( AX) => df = f x)dx(1)可檄u>可導(dǎo);比較紂，療與“0”的大小比較(圖示);二.求導(dǎo)求備:1 .基本基等函數(shù)求導(dǎo)公式;(注:(|/«|),)dx 12 . ail：四則運算;(2)復(fù)合法則；(3)反函數(shù)一= dy y=.各類求導(dǎo)(方法步驟)：1 .定義導(dǎo)：(1)/'伍)與/'(力|；(2)分段困數(shù)左右導(dǎo)；(3)lim/(-+/)/(-/r)(11： /*) = /*),"題，求:/5)/*)及外幻的連續(xù)恒 a x = x°2 .初等導(dǎo)(公式加法期)：(1) 11 = flgW，求:W&

10、#39;(%)(圖形題); F(x) = /(/),，求:?(x)(注：(J：/(x")'，(/*"辿)'，(J：/。)，")')y求£(.%),£30)及/Go)(待定系數(shù)) fiM xN%3.隱式(%,y) = 0)導(dǎo):半 dx dx1(1)存在定理;(2)微分法(一階微分的形式不變性).(3)對數(shù)求導(dǎo)荻./於4巳/加 一.Jx = x")十，/y4,參代導(dǎo)(數(shù)一,_),1$ -7ry = y(t) dx dx-5.高階導(dǎo)r”>(x)公式:(eaxry=aneax(!產(chǎn)=”川；a - bx(o - Z

11、u )"(sin 3"。= a1' sin(t7X + xn) ；(cos ax)"" =an cos(av + xn)22(l，)g = /"、+ C><，-，)V '+ Cj 嚴(yán)-2、“+ .注：/'"'(0)與泰朝展式：f(x) = a()+ciix+a1x2 + +%x" +=>/= -四.各類應(yīng)用:1 .斜率與切線(法線);(ESI)： y = /(x)上點M。和過點M0的切線)2 .葡理：(相對)變化率一速度；3 .曲率(數(shù)一二)：P=J：XS一(曲率半徑,曲率中

12、。，曲率同) (Jl + /T(x)34 .邊斥與岸性(數(shù)三):(附：需求，收益，成本，利河)5 .單調(diào)性與極值(必求導(dǎo))1 .利刖(駐點/'(小)=0)：(1)/,(x)>0=>/(x)Z；/'W<0=>/(x);(2)分段函數(shù)的單調(diào)性/，*)>。=零點唯一；f”(x)>0=駐點唯一(必為極值圈值).2 .極值點：(1)表格(/ '(X)變號);(由lim 豐0, lim 與2豐0, lim二0工。=工=。的特點) .f X 1。x.fU JT二階導(dǎo)(/5) = 0)注(1)/與/'，/"的也配(/'圖形中

13、包含的信息);實現(xiàn)：由/(X)+ 4(x)/(x) = g(x)*定點“X = % ”的特點.(3)閉城上量值(應(yīng)用陳與定積分幾何應(yīng)用相結(jié)合,求最優(yōu))3 .不等式證明(f(x)NO)(1)區(qū)別：.單變量與雙變量？*xea/與 xea,+co), xe(y+oo)?類型：*尸之0,/(。)2 0；*/,<0,/()>0* /” 0 J() JS)之 0；V''M >。，/(%)=0，/(%) > 0注意：單調(diào)性端點值極值四0性.(如：/。)知=以式工)=加)4.函數(shù)的零點個數(shù)：單調(diào)介值穴.與拐點(心求導(dǎo)!)：1 . y”=表格;(/"(x

14、6;) = 0)2 .應(yīng)用：(1)泰朝估計；(2)/'單調(diào)；(3)四氏匕羅爾定理與輔助函數(shù)：(注：最值點助力駐點)1 .結(jié)論：尸(>) =尸3)=尸鋁)=。0)=02 .輔助困數(shù)構(gòu)造實例：/)= =國 e)g(9 + /)g 鋁)=0 = F(x) = f(x)g(x) / 'G)g4) - /)g 4) = 0 =尸(x)=- g(x)(4) / 8) + 24)/值)=0 = F(a) =；3 .=0 = /(x)有 + 1個零點=/e"x)有2個零點4 .特附：if明/w)="的常規(guī)方法:令F(x) = f(x)- Pn (x)有 +1個零點(P

15、n (x)恃定)5 .注:含品與時,分家!(柯西定理)6 .附(達(dá)布定理)：f(x)在a,b可導(dǎo),Vc e ",f '(b)，*e必向,使:/R) = cA.拉格朗日中日定理1.結(jié)論：f(b) - f(G = f'®(ba)；(奴。)奴6)=*,”鋁)>0)九.泰勒公式(連接九之間的橋梁)1 .結(jié)論：f(x) = f(xu) + f '(xo)(x-xo) + f "(Xy)(x-x0)2 + ./ '"()Cv-X0)3； 乙D 2 .應(yīng)肋在巳知a) 2值時進行枳分(J計+ .積分中值定理(附:廣義):注:有定機分

16、(不含變網(wǎng))條件時使用第三講：一元積分學(xué)基本基念:1 .原函數(shù)尸(x):(1)尸=/(A); jxylx = dF(x)； J/UXv = FM+c注F(x) = £ /«)，(連續(xù)不一定可導(dǎo))；“一"力= ")， = /(x) "(X)連續(xù))2 .不定枳分性質(zhì):(J 于(x)dx) ' = /(a) ;"(J f(x)dx) = f(x)dx j f x)dx = f(x)+cdf(x) = f(x)+c二.不定積分常規(guī)方法1 .熟悉基本枳分公式2 .基本方法:柝(線性性)J("(x) + Qg(x)Mx = kf

17、(x)dx+k2 g(x)dx3 .湊微法(基朋)：要求瓦筒，潔(l=siif x + cos?x)如：dx = dax+b), xdx = dx2, = d In x,= 2dFa2 xyjx dx =(1 + ln x)dx = J(xln x)y/ + x24 .變量代換：常用(三角代換，根式代換，倒代換)：x = sint, yjcix + b =ty - = t. &' +1 =/ X作用與引伸(化簡)：77±1-%=/5 .分部枳分(萬用):(1)含需求導(dǎo)的被機函數(shù)(如In x, arctan x,f(t)dt )； Ja“反對吊三指“：>/公，卜&

18、quot;加火兒特別：jM'(x)c/x (* B 知 /(X)的原函數(shù)為 F(x) ； * 已知 / '(x) = F(x)6 .特防f sin a* cos %. ;(2)r (制小公p(x) sin L 快速擊f 曾dr J asinx + bcosxJJJ u (x)E.定根分：1 .科念性質(zhì)：機)和式(可視的必要條件:有界,充分條件:連坡)幾何意義(面機對稱性,周期性，機分中值)* J： jcix-x2dxa >0) = «2；*(x -= 0(3) RI: |j fxydx <M(b- a), f(x)g(x)(lx |g(x*/x)(4)定枳

19、分與變限枳分，反常枳分的區(qū)別聯(lián)系與第里 2:變眼枳分(x) = /()的處理(重點)(1)/可枳=中連續(xù)，/連續(xù)=可導(dǎo)(1/力)'=/*)； (J：(x-)/(")' = 1/«)，； j(x)dt = (x-a)f(x)由函數(shù)尸") = /。)，參與的求導(dǎo)，極限，極值，枳分(方程)問題3 . N L公式：I /(x)c/x = /S)尸®)(尸(x)在他,句上必須連續(xù)!) j。注：(1)分段根分，對稱性(奇IB),周期性(2)有理式三角式，板式含，/(»的方程.4 .變量代換：/(，6公=1/(0)")4 JaJa

20、J： f(x)"x = J： /a - x)"x(x = a-t),：f*)dx = J： /(一x)dx(x = t) = j："(x) +(如:)/ = 7sin/rxJx = / J。n£ £ T £(4) /(sin x)dx = £2 /(cos x)dx ；£ /(sin x)dx = 2，； /(sin xdx, £ a/(sin x)dx = J。/(sin x)fZv ,o2。5 .分部積分(1)準(zhǔn)備時“湊常數(shù)”巳知/'W或/W = W,求J：/(X)公6 . ffl:三角函數(shù)系

21、的正交性：.2尸尸開.2廳sin nxdx =cos nxdx =sin nx cos mxdx = 0JoJoJo.2忽.2月J。sin nx sin nixdx = cos nx cos mxdxn W m) = 0J” sin" nxdx = cos* nxdx = n4 .反常根分：1 .類型：d)£ /(x)dx,匚/(x)dx (/(x)連續(xù))(2)1 f (x)dx: (/(X)在 x =。，x = b, x = c(a v c v。)處為無窮間斷)2 .一恥3 .計算：枳分法N L公式極限(可換元與分部)4 .特例:；(%5 .應(yīng)用：(柱體制面積除外)1 .

22、而枳，S = J：/i(yMy；，而枳：S = £' 2 乃 f(x)止+ f，"x)dx匕=乃f "7(y)%y = 2可:4公(1)5=£/(x)-gCv)J.¥；s = ；J>2(ewe；2 . ttffi:匕=4 尸(X)- g 2 (x)dx ；3 .弧長：ds = yl(dx)2+(dy)2 y = /(X), x e a,b s = J：4 + f，x)dx(2)X = x(t)y = y(f),tetrt2 s r = " J), e e c,尸:s =J/(6) +(8)以94 .物理卜數(shù)一二)隊引力，

23、水壓力，質(zhì)心,5.平均值(中值定理)：1fbfa,b = - fxdx h-aJa_/力_ f；(2) /0 + oo)= lim 應(yīng)，(/力丁為周期:/ =)j+x xT第四講：微分方程基本慨念1 .常識：通解，初值問題與特解(注：應(yīng)用題中的隱含條件)2 .變換方杈：(1)令x = x(f)= y = ”2，"(如收拉方程)(2)令=心,y) = y = y(x,)= y'(如伯努利方程)3 .建立方程(應(yīng)用題)的能力二.一階方程：1 .形式： y' = fx, y);(2) M (x, ydx + N(x, y)dy = 0;(3) y(a) = b2 .變量分離

24、型：yf = f(x)g(y)(1)解法：言=J /'= G(y)=尸(x) + C(2)“偏”微分方程：=f(x, y);dx3 . 一階線性便點)：y'+ p(x)y = q(x)f p(x)dx(1)解法(枳分因子法)：M(x) = ey-=y = tt=加(x)q(x)公 + %M(x) J r。(2)變化：x+(y)x = My);(3)推廣：伯留利(數(shù)一)y'+p(x)y = q(x)ya4 .齊次方程：r=中(2) x解法：=工=" +工/ =中(), X特除半dx a2x + b2y + c2A A ,G 4 45 .全(8 分方程(數(shù) 一):

25、M(x, v)“Y + N(x,y)dy =。且且一 = W ox oydU = Mdx + Ndy±>U = CJ0 v c(.ix6 . 一階差價方程(數(shù)三)：九川一。兒=±“b P(A-) yx=Q(x)h三.二階降階方程1. y', = f(x)： y = F(x) + clx + c22. y” = /(x,y')：令y' = p(x) = y” = ? = /(x,p) dx3. y-=f(y,y,)-令尸(y) = y" = " = /(y，)四.高階線性方程：(幻y"+仇x)y'+c(x)y

26、 = /(x)1 .通解結(jié)構(gòu)：(1)齊次次:yo(x) = qx(x)+c2y2(x)(2)非齊次特解:y(x) = C(x) + c2y2(x + y*(x)2 .常系數(shù)方程：aybyl+cy = f(x)特(f方程與埼征根:。外+以+。= 0(2)非齊次特解形式編定:特定系恥(的:/0)=履的算子法)由巳知反求方程.3 .收拉方程(數(shù)一)：ax1 y "+ bxy ,+ cy = f (x),令 x = e'= x、" = 0(。一 l)y,Ay，= Oy五.應(yīng)用(注意初始條件):1 .幾何應(yīng)用(斜率，版長,曲率,血孔體枳)；注：切線和法線的截施2 .枳分等式變

27、方程(含變限枳分);nJ 8 X f(x)dx = F(x)yF(a) = 0 Ja3 .導(dǎo)致定義立方程：含雙變量條件/*+)，) =的方程4 .變化率（速度）5 .尸史上 dt dr6.路徑無關(guān)得方程（數(shù)一）：絲二絲dx dy7. 級數(shù)與方程：累級數(shù)求和;（2）方程的某級數(shù)第法:），=& + 儼+ 生/+，4）=）'（°）， =）''（°）8. 8性問題（教三）第五講：多元微分與二重積分二元微分學(xué)慨念L極限，連續(xù)，單變量連續(xù)，偏導(dǎo)，全微分，偏導(dǎo)連續(xù)（必要條件與充分條件）, v = f(xQ +«¥,% +) A J =

28、f(xQ +*,%)，A J = f(xQ. yQ +、)JAx(3)/>x + /vaj = #9 lim . A/ rJ/=(判刖可微性),7Ux)2+Uy)2注：（0.0）點處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的極限定義:“0,0) = Hm 一°°, /；(0,0) = Hm /a''T(°° xT)Xy。y9. 2用:f ,工(0,0)(1) f(y) = <x- + y: (0,0)點處可導(dǎo)不連續(xù)；,0 , = (0,0),(0,0)(2) f(x,y) = < yjx2 + y2 : (0,0)點處連續(xù)口【導(dǎo)不可微； 0 ,

29、 = (0,0)Z. 18導(dǎo)數(shù)與全18分的計算:1. 顯困數(shù)一，二階儲導(dǎo)：z = /(X,y)注：一處J (3)含變眼機分2. 2合函數(shù)的一，二階胃導(dǎo)（I點）:z =小（x,y）,u（x,y）熟縹掌褥記號/；,工；，工；，的準(zhǔn)確使用3. 16函數(shù)（由方程或方程組程定）:柩式：嚇（x,y,z） = o；°（存在定理）G（x,y,z） =。微分法（熟練拿樨一階微分的形式不變性）:尸dx+A力+ E4z = o （要求：二階導(dǎo)）（3）注：（.”,光）與Z。的及時代人（4）會變換方程.E.二元極值（定義?）;1 .二元極值（顯式或爵式）:必要條件（駐點）；（2）充分條件（刊刖）2 .條件極值

30、（1格朗日來日法）（注:應(yīng)用）目標(biāo)函數(shù)與I束條件:z = /（X, y） © <P（X, y） = 0,（或:多條件）求解步驟：L（x,j,2） = f（x,y） + X（p（xyy）,求一點即可.3 .有界閉城上最值（重點）. Z = D = （x,y）|以X, y） <0）實臥距離問題四.二重枳介計算:1 .科念與性質(zhì)（“枳”前工作）：pb,D對林恒熱練掌樨）:*。恒軸對就,/奇偶對就*早母輪換對就"垂心坐標(biāo)；“分塊”視分:*D = D1IJD2; */（x,y）分片定義;奇偶2 .計算（化二次枳分）:直角坐標(biāo)與極生標(biāo)選擇（轉(zhuǎn)換）：以“0”為壬;交換機分次序

31、（熟練掌握）.3 .極生標(biāo)便用（轉(zhuǎn)換）：f（x2 + y2）附：D.（x-a）2+（y-b）2<R2-, D：4 + tv<1； cr lr雙紈線，+）2）2 =2（%2一。2）p：|x|_|.|y|<l4 .特例:單變量：fW gj f(y)利用重。求枳分：要求：題型且已卻。的而枳S與垂心丘?。〥5 .無界域上的反常二亶積分（數(shù)三）五：一類根分的應(yīng)用（J7（MMb =。： o；Q；L；r；z）： Q1 .“尺寸”：（1）“b = So；（2）曲面面枳（除林體，面）；D2 .質(zhì)量，垂心（形心），轉(zhuǎn)動慣量；3 .為三重枳介,格林公式,曲面投第作準(zhǔn)備.第六講:無窮級數(shù)（數(shù)一，三）

32、一.級數(shù)慨念1 .定義：伍力 S” =©+”,+ + /； （3）limSn （如 f注:吧/ ；w>"（或z >）；“伸縮”級數(shù):一/）收斂=4收缸2 .性質(zhì)：（1）收斂的必要條件:limq=。； 30加括號后發(fā)亂則原級數(shù)必發(fā)敢（交錯級數(shù)的時論）;3 3） s2n > S, 一> ° =邑”+1 - S =，- S ；二.正頂級數(shù)1 .正頂級數(shù)：定義：為之。； 特征:S”/; 收斂= S.WAn有界）2 .標(biāo)準(zhǔn)級數(shù)：Zr，Z一»Z 7 tvnn In n3 .審斂方法：（注:lab <a2+b2, alnb = blna

33、）比較法（原理）：q與（ISit）, imf«/uxv；y ivJ。Q（n）比值與根值:*lim4"lim瘋（應(yīng)用:星級數(shù)收斂半徑計算）30 “T8 YunE.交錯級數(shù)（含一般項）：£（一1嚴(yán)勺（勺>0）一審”前考察:% >0? （2）41f 0?；（3）絕對（條件）收斂?注：若lim4=0>1,則發(fā)散 “TX n條件收斂.2 .標(biāo)準(zhǔn)級數(shù)：（DC-ir'l; Z（T）g）； Z（1）2 93 .萊布尼瑟審斂沫（收斂?）前提：WKI發(fā)船 條件：八,%一。；笫論：Z（T嚴(yán)44 .補充方法：加括號后發(fā)做,則原級數(shù)必發(fā)散；（2）s,“-s,%-0

34、 = s，z-s = s“-5 .注意事項：對比Z%；Z（一1）%； »“|； Zd之間的斂散關(guān)系四.品級數(shù)：1 .常見柩式：,»4仆7。）”，5>,仆產(chǎn)2 .阿貝爾定理：（1）錐論：x = x斂=>R2 x*-x（）|； x = x* ® =>/?< .v*-x0（2）注：當(dāng)工=/條件收斂時nR=x-J3 .收斂半徑，區(qū)同，收斂域（求和前的準(zhǔn)備）注（1）Zqrx”, Z?x"與E>"x"同收斂半徑（2） »口與/產(chǎn)之間的轉(zhuǎn)換4.品級數(shù)展開法：前提:熟記公式(雙向，標(biāo)明斂陵)- ?'=

35、1 + X + X2 + x5 + ,£! = /?2!3!- (ex +ex) = + x2 +x4 + 一，復(fù)=R22!4!- (<?' -ex) = x + x3 + x5 +,。=R23!5!sinx = x- -x3 + x5,。= R cosx = 1- x2+ x4+-,Q = /?;3!5!=1 + x + / + ,x e (-1 J);1-xIn(l + x) = X- - X1 +-x3, xe (-1,123In(l-x) = -x- -x2 - x3, xe-lj)2!4! = -x + x2,xe(-l,l)1 + xarctanx = x-

36、x3 +-x5(2)分解：/(x) = g(x) + (x)(注:中心移動)(特別：,” = %) ax" + bx + c考察導(dǎo)函數(shù)：g W = f 'W = f(x) =g(x)dx + /(O)(4)考察原因數(shù)：g (x) 2f(x)dx = /(A) = g x)5 .累級數(shù)求和法(注：先求收斂城,*變量普換)： S(x) = Z+Z，S(r) = .,(注意首項變化) S(x) =(X)'，S(x) = "S(x)”的微分方程(5)應(yīng)用:£4 = s(x)=毋.6 .方程的累級卻斛法7 .經(jīng)濟應(yīng)用(數(shù)三)：復(fù)利：A(l + )"

37、；(2)現(xiàn)值：A(l + p)-"五.博里葉級數(shù)(數(shù)一 )：(7 = 24)1 .傅氏級數(shù)(三角級數(shù))：S(x) = + 'all cosnx+blt sinnx2 H.l2 .。丘力/充分條件(收斂定理)：由/(x) = S(x)(和函數(shù))(2) S(x) = 1/(x-)+ /(%+)1丫% = /(x)cos nxdx7T J一開3.系數(shù)公式：g7, = 123,1 .bn= f(x) si n nxdx7C J-g4.4世(注:/(x) = 5(Axe?)(1)T = 2i且/(%) =,xe(況燈(分段表示)(2) x (一萬,4或 x w 0,2用（3）工

38、3;0,捫正弦或余弦 *(4)xe0,/r(T = %)*5. T = 2l6 ,陽產(chǎn)品:/(x)= S(x) =XV an cos nx + hn sin nx /r-1/8=S(X。)= ? + Z冊 cos nxy + bn sin nx() = -/(x0-) + /(x0+) 2 n.l2第七講：向量，偏導(dǎo)應(yīng)用與方向?qū)В〝?shù)一）一.向量基本運算1.匕+%）；（平行=6=2）2. Z ；(單位向量(方向余我)。"=-La = (cosa.coscos/)3. 7B；（投歌缶）2=空 a垂直:Zj_Bo7B = o；夾角：4Q,5）=巴2） a b4. ax/7;(法向: = x

39、Z? J.a,；面積:兄=乂)二.平面與直我1 .平面n特征（基本量）：%（%）,為，） = （A,3©(2)方程(點法式):/r:4(x-Xo) + 8(y-yo) + C(z-Zu) = 0 = Ax + 8)，+ Cz + 0 = 0其它:截距式工+三=1; *三點式 a b c2 .直線L特征（基本量）：此（%為,4）航=（z, , p）（2）方程（點向式）：L：=&=三二包一般方程（交血式）：AjX+Bjy + CjZ + Dj =0A)x + 8)y + C,z +。？ =0x = a + (a2 - a V其它：.二點式;*參數(shù)式;(附：線段A8的參數(shù)表示:丁

40、= 4+(優(yōu)一Z = q+(Q-G"3.實用方法:(1)半面束方程：乃：Aix+By + Clz + Dl+A(A2x + B2y + C2z + D2) = O(2)距離公式：如點加。(%, 用)到平面的.離"=:*：+ U” +日y/A2+B2+C2(3)對稱網(wǎng)題;(4)投勒問題.H.曲面與空間曲線(港備)1.曲面形式Z:尸(x,y,z) = O或z = /(x,y)；(8：柱面f(x,y) = 0)法向=(6,1,£) = (cosa,cos/7,cos7)(或 /i = (-zt,-zvl)2,曲線v = x(t)y =)"),或 V z = z

41、(t)F(x, y,z) =。G(x,y,z) = O切向:t = 3(f),y"),z")(或三= >x-)3.應(yīng)用(1)交綠投題柱面與投上曲線;旋轉(zhuǎn)面計算:參式曲線繞坐標(biāo)軸旋片(3)錐面計算.四.常用二次曲面1 .同柱面：/ +)?=尺22 .球面：x2 + y2 +z2 = R變柩：? + y2 =R2-z2,z = yjR2-(x2+y2), x1 + y2+z2 =2az.(x-xQ)2+(y-yQ)2+(z-zQ)2 = R23他面：Z = J/ + y2變柩：/ +)，2=22,4 .糖物而：z = x2 + y2.z = a-yx2 + y2變柩：x2

42、 + y2 = z,z = a-(x2 + y2)5 .雙曲面：工'+）尸=z2±l6 .馬鞍血：z =/一y'或z ='d五,編導(dǎo)幾何應(yīng)用1.曲面法向：尸(x,y,z) = O=> = (工，工,汽),注：z = /(x,y) = =(力"、T)（2）切平面與法線:2,曲線(1)切向：x = X"), y = )"), z = z(t) =>s = (xyz')切線與法平面3.券臺：F = 0 G = 01-A.方向?qū)c拂度便點)1 .方向?qū)?7方向斜率)：(1)定義(條件)：7 =(九 ”,p) = (co

43、s a, cos 0, cos/)(2)計算(充分條件:可慨)：=ux cos a+ uv cos p + uz cos /陽：z = f(x,y /° =cos6, sin6 = 3 = fx cos0 + fy sin 0 dl陽：-4- = f u cos2 0 + 2 fx、, sin 0cos 0 + /vv sin2 02 .悌度（取得員大斜率值的方向）G:(1)計算:(4)Z =于"y) = G = gradz =(0,4.)；() =f(x, y, z)=>G = gradu =結(jié)論3冷泊心 Ol(b)取7 =存為最大變化率方向;(c)p(M)W最大方

44、向?qū)?shù)值.第八講：三重積分與或面積分(數(shù)一)三垂根分(Jjp/V) n1 .。域的特征(不涉及復(fù)雜空間域)：對林恒垂點)：含：關(guān)于坐標(biāo)面；關(guān)于變量；關(guān)于重心 投題法： A = (x, y)x2 + ),2 « N 4 (x,),) K z w Z2 (X, y) (3)截面法:。=(x,y)|x2 + y2 <Rz)®a<z<b 其它：長方體，四面體，橢球2 . 7的特征：單變量/'，(2)f(x2 + y2), (3)/，+ + 干),(4)f = ax+by+cz+d3 .選擇最適合方沫：“枳”前：JJ?。弧崩脤α中员泓c)Q截面法(旋轉(zhuǎn)體)：

45、/ = J："zJJ "Mv(細(xì)展或中空，J'(z), f(x2 + y2)D(Z)投勒法(直柱體)：/ = JJ "X"可二:政A f球坐標(biāo)(球或錐體)：/ =；問:sin淑娟/()?人/?,垂心法(/' =ax + Ay + cz + " )： I = (ax+by+cz + d)VQ4 .應(yīng)用問題：同第一類枳分:質(zhì)量，質(zhì)心，轉(zhuǎn)動慣量，引力(2) Gauss 公式二.第一類線枳分(JjZ)(2)對稱性; 代人“L”表達(dá)式1.“枳”前設(shè)備： Jds = L；2 .計算公式:3 .補充說明：(DI Jb a：；_f e 必向 n J"s =+ >'(，)，J (ax + by + c)ds = (a