概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)免費(fèi)超詳細(xì)版80669

1、 2.樣本空間、隨機(jī)事件1.事件間的關(guān)系A(chǔ) BA，B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí),X X事件X XA或X B稱為事件A與事件A B發(fā)生A且X B稱為事件A與事件B的和事件,B的積事件,指當(dāng)且僅當(dāng)指當(dāng) A，B概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章概率論的基本概念則稱事件B包含事件A，指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A B XXA且X B稱為事件A與事件B的差事件,指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A B ，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件 A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的，則稱事件 A與事件B互為逆事件，又稱事件A與事件B互為對(duì)立事件2 .運(yùn)算規(guī)則 交換

2、律A結(jié)合律(AB)(BC)(A B)C A(B C)分配律A(B(AB)(AC)(BC)(AB)(A C)徳摩根律 3 頻率與概率定義在相同的條件下,進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nn稱為事件A發(fā)生的頻率概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P( A), 稱為事件的概率1.概率P(A)滿足下列條件:(1)非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件 A 0 P(A) 1(2)規(guī)范性：對(duì)于必然事件S P(S) 1(3)可列可加性：設(shè)A1, A2, An是兩兩互不相容的事件,n有 P( Ak)k 1nP(Ak) (n可1以取 )2.

3、概率的一些重要性質(zhì):(i) P( )0(ii )若A1, A2, An是兩兩互不相容的事件，則有nP(k 1nP(Ak)k 1(n可以取 )(iii )設(shè)A，B是兩個(gè)事件若 A B，則P(B A)P(B) P(A) , P(B)P(A)(iv)對(duì)于任意事件 A, P (A)1(V) P(A) 1 P(A)(逆事件的概率) 4等可能概型(古典概型) 等可能概型：(Vi)對(duì)于任意事件 A, B 有 P(A B) P(A) P(B) P(AB)試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同何，里A 包含 k 個(gè)基本事件，即 A 兔 e?ii，12,ik 是 1,2,n中某k個(gè)不同的數(shù)

4、，則有P(A)Peijk A包含的基本事件數(shù) n s中基本事件的總數(shù) 5.條件概率定義：設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且P(A) 0，稱P(B|A)鵲為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件1。非負(fù)性：對(duì)于某一事件 B，有P(B| A) 02。規(guī)范性：對(duì)于必然事件 S, P (S|A)13可列可加性：設(shè) B1, B2,是兩兩互不相容的事件，則有P( Bi A ) P(Bi A )i 1i 1乘法定理設(shè)P(A) 0，則有P(AB) P(B)P(A|B)稱為乘法公式全概率公式:nP(A)P(Bi) P(A|Bi)i 1貝葉斯公式:P(Bk | AP (Bk) P(A|Bk)n

5、P (Bi) P(A|Bi)i 1 6 .獨(dú)立性定義設(shè)A ,定理一設(shè)A,定理二若事件B是兩事件，如果滿足等式 P(AB) P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨(dú)立B是兩事件，且P (A) 0,若A，B相互獨(dú)立，則 P(B| A) P BA和B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A與B ,A與B ,A與B第二章隨機(jī)變量及其分布 1隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S e. XX(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X X(e)為隨機(jī)變量 2離散性隨機(jī)變量及其分布律1.離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，這種隨 機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量P(X Xk) Pk滿

6、足如下兩個(gè)條件(Pk0 , ( 2)Pk =1k 12.三種重要的離散型隨機(jī)變量(1) (0- 1)分布設(shè)隨機(jī)變量 X 只能取1 兩個(gè)值，它的分布律是P(X k) pk(1-p)1-k, k 0,1 (01),則稱X服從以P為參數(shù)的(0- 1)分布或兩點(diǎn)分布。(2)伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A與A，則稱E為伯努利實(shí)驗(yàn)設(shè)P(A) P (0 P 1),此時(shí)P(A) 1- P .將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n重伯努利實(shí)驗(yàn)。P(X k) n pkqn-k, k0,1,2,n 滿足條件(1) Pk0, (2)Pk =1 注意kk 1pkqn-k是二項(xiàng)式(P q)

7、n的展開式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,P的二項(xiàng)分布。(3 )泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2，而取各個(gè)值的概率為P(X k)k -,k 0,1,2,其中 0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布記為k!X () 3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù) F(x) PX x,稱為X的分布函數(shù)分布函數(shù)F(x) P(X X)，具有以下性質(zhì)(1) F(x)是一個(gè)不減函數(shù) (2)0 F(x) 1,且 F( )0,F( )1(3)F(x 0)F(x),即F(x)是右連續(xù)的 4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F (x

8、)，存在非負(fù)可積函數(shù)f (x)，使對(duì)于任意函數(shù) x有F(x) f( t) dt,則稱x為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度x2(3)P(xiX X2)1概率密度f (x)具有以下性質(zhì)，滿足(1) f(x) 0, (2) f (x)dx 1 ；f (x)dx ；(4)若f (x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有 F(x) f (x) x12,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(1)均勻分布若連續(xù)性隨機(jī)變量 X具有概率密度f(x)1b- a0，a x，其他b，則成X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布記為X U(a，b)(2)指數(shù)分布若連續(xù)性隨機(jī)變量 X的概率密度為f(x)-e-xx.0 其中

9、0為常數(shù)，則稱X，其他服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。(3 )正態(tài)分布x若連續(xù)其中，（0）為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布，記為特別，當(dāng)2)0，1時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（x） 型隨機(jī)變量 X 的概率密度為f （x）一1一e 5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fx(x),-,又設(shè)函數(shù)g（x）處處可導(dǎo)且恒有g(shù)(x)Y= g(X)是連續(xù)型變量，其概率密度為fY(y)fxh(y)0h(y), y，其他第三章多維隨機(jī)變量 1二維隨機(jī)變量定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是Se. XX（e）和Y Y（e）是定義在S上的隨機(jī)變量，稱XX（e）為隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量（X

10、，Y）叫做二維隨機(jī)變量）是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x， y，二元函數(shù)F（x，y）P（Xx)（Y y）記成PX x，Y y稱為二維隨機(jī)變量（X，Y ）的分布函數(shù)如果二維隨機(jī)變量Y ）是離散型的隨機(jī)變量。（X，Y）全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì),則稱（X，我們稱P（X xi，Y yj) Pij，i，1,2，為二維離散型隨機(jī)變量（X，Y ）的分布律。對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，丫）的分布函數(shù)（X，y），如果存在非負(fù)可積函數(shù)（x，y），使對(duì)于任意x, y有F （x，y）y x /f(u，V）dudv,則稱（X，Y）是連續(xù)性的隨機(jī)變量,函數(shù)f （x，y）稱為隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度，或稱為隨機(jī)變

11、量X和丫的聯(lián)合概率密度。 2邊緣分布二維隨機(jī)變量（X，Y ）作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)F （x，y）.而X和丫都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將他們分別記為FX（ x）, FY（y），依次稱為二維隨機(jī)變量 （X，Y）關(guān)于X和關(guān)于丫的邊緣分布函數(shù)。Pi? Pij PX Xi, i 1,2,j 1p?jPjPY yi, j1,2,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x)，若積分xf(x)dx絕對(duì)收斂，則稱積分分別稱Pj? p?j為(X，Y)關(guān)于X和關(guān)于丫的邊緣分布律。f X (x) f (x, y) dyfY(y)f (x, y) dx分別稱fx(x),fY(y)為X, Y關(guān)于X和關(guān)于丫的邊緣概

12、率密度。 3條件分布定義 設(shè)(X，Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若 PYyj0,則稱 PX xi|Y yj PX空一旭jPY yj匹,i1,2,為在丫P?jy j條件下隨機(jī)變量X的條件分布律，同樣PY yj X XiPX Xi,Y yjPX Xi-Pj,j 1,2,Pi?為在X Xi條件下隨機(jī)變量 X的條件分布律。設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x, y)，( X，Y)關(guān)于丫的邊緣概率密度為fY(y)，若對(duì)于固定的y, fY(y)0，則稱f(X,y)為在 Y=yfY(y)的條件下X的條件概率密度，記為 f X |Y (x y)=f(x, y)fY(y) 4相互獨(dú)立的隨機(jī)

13、變量定義設(shè)F (x，y)及FX(x)，F(xiàn)Y(y)分別是二維離散型隨機(jī)變量(X，Y )的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)若對(duì)于所有x,y有PX x,Y y PX xPYy，即Fx, y Fx (x)Fy (y)，則稱隨機(jī)變量X和丫是相互獨(dú)立的。對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量(X，Y )，X和丫相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù) 5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1, Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f (x, y).則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為fX Y(z) f (z y, y) dy或fX Y (z) f (x,z x) dxfx y(z)fx (z y) fY(y)dy 和 fx

14、y(z)fx(X)fY(Zx)dx這兩個(gè)公式稱為fx(x),fY(y)則又若X和丫相互獨(dú)立，設(shè)(X , Y)關(guān)于X , Y的邊緣密度分別為fx , fY的卷積公式有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布Y2, Z 一的分布、Z XY的分布X設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,它具有概率密度f (x, y),仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為fY/X (Z)X f (x,xz)dxfxY ( Z)f (x,-)dx又若 X 和XY相互獨(dú)立，設(shè)(X，Y )關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為 fx(x),fY(y)則可化為 fX (Z)fX(X)fY (xz)dxfxY(Z)-fx(x)fY(!

15、)dx3 M maxX，Y及 N min X ,Y的分布設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為Fx (x), FY(y)由于M maxX，Y不大于z等價(jià)于X和丫都不大于z故有PM z PX 乙丫 z又的分布函數(shù)為Fmax (Z) Fx(z)Fy (z)由于X和丫相互獨(dú)立，得到 M maxX , YN min X,Y的分布函數(shù)為FminFx (z) 1Fy(z)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1 .數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PXXkPk, k=1,2，若級(jí)數(shù)XkPk絕對(duì)k 1收斂，則稱級(jí)數(shù)XkPk的和為隨機(jī)變量k 1X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X),即E(X)Xk Pkixf

16、(x)dx的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即E(X) xf(x)dx定理 設(shè)丫是隨機(jī)變量X的函數(shù)丫= g(X)(g是連續(xù)函數(shù))(i)如果X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為PXXkPk，k=1,2，若g(Xk) Pkk 1絕對(duì)收斂則有 E(Y) E(g(X)g(Xk) Pkk 1(ii)如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分概率密度為f(X)，若g(x)f (x)dx絕對(duì)收斂則有 E(Y) E(g(X)g(x)f (x)dx數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有E(C) C2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E(CX) CE(X)3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 E(X Y) E(X) E(Y)；4

17、設(shè)X， Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有E(X Y)E(X)E( Y) 2方差定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E X E(X)2存在，則稱EX E(X)2為X的方差，記為D ( x )即D( x)=EE(X)2，在應(yīng)用上還引入量Jd(x)，記為(X)，稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。D(X) E(X E(X)2E(X2)(EX)2方差的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有D(C)0,2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有2D(CX) C D(X)，D(XC) D(X)3 設(shè) X,Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 D(X Y) D(X)D( Y) 2E(X - E(X)( Y - E( Y)特別，若X,Y相互獨(dú)立，則有 D(X Y)

18、D(X) D(Y)4D(X) 0的充要條件是X以概率1取常數(shù)E(X)，即PX E(X)1切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望E(X)2，則對(duì)于任意正數(shù)，不等式2PX -成立 3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義 量E X E(X) Y E(Y)稱為隨機(jī)變量 X與丫的協(xié)方差為Cov(X,Y)，即Cov(X, Y) E(XE(X)( Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y)而XYCWX: 丫)稱為隨機(jī)變量X和丫的相關(guān)系數(shù)Jd(x) TDYT對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量 X和丫，D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)協(xié)方差具有下述性質(zhì)lCov(X,Y) Cov(Y,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)2Cov(X1X2,Y)Cov(Xi,Y) Cov(X2,Y)定理 1XYXY1的充要條件是，存在常數(shù)a,b使PY a bx 1分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分 布0 P 1PX k) Pk(1 p )i,k 0,1，PP(1 P)二項(xiàng)式 分布n 10 P 1P(X k) chk(1 p)nk,k 0,1, n,npnp(1 P)泊松分 布0keP(X k),k 0,1,2,k!幾何分 布0 P 1k 1P(X k) (1 p) p,k 1,2,丄P1 P2P均勻分 布a b1rz ,a x bf(x) b a，0 ，其他a b2(b a)2120時(shí)