考研數(shù)三真題及解析

1、.1994 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題 ( 本題共 5 小題 , 每小題 3 分, 滿分 15 分 . 把答案填在題中橫線上.)(1)2 xx_.2 2x2 dx(2)已知 f ( x)1, 則 limx_.2x) f ( x0x)x 0 f (x0(3)設(shè)方程 exyy2cos x 確定 y 為 x 的函數(shù) , 則 dy_.dx0a10L000a2L0(4)設(shè) AMMMM, 其中 ai0, i 1,2,L , n, 則 A 1_.000Lan1an00L0(5)設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為2x,0x1,f ( x)其他，0,以 Y 表示對 X 的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件X

2、1 出現(xiàn)的次數(shù) ,則P Y22_.二、選擇題 ( 本題共 5 小題 , 每小題 3 分, 滿分 15分 . 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)符合題目要求 , 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)1arctan x2x 1(1)曲線 yex2的漸近線有( )( x 1)(x 2)(A) 1條(B) 2條(C) 3條(D) 4條(2)設(shè)常數(shù)0, 而級數(shù)an2 收斂 , 則級數(shù)( 1)nan( )n 1n 1n2(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂 (D)收斂性與有關(guān)(3)設(shè) A 是 m n 矩陣 , C 是 n 階可逆矩陣 , 矩陣 A 的秩為 r , 矩陣 BAC 的秩為 r1, 則( )(

3、A)rr1(B)rr1(C)rr1(D)r與 r1的關(guān)系由 C 而定.(4)設(shè) 0P( A)1,0P(B)1,P( A B)P(A B)1, 則( )(A)事件 A和 B互不相容(B)事件 A和B 相互對立(C)事件 A和 B互不獨(dú)立(D)事件 A和B 相互獨(dú)立(5)設(shè) X1, X 2,L, X n 是來自正態(tài)總體N (, 2 ) 的簡單隨機(jī)樣本, X 是樣本均值 ,記21n2, S21n( X2,S( XiX )iX )1n1 i 12n i 121n221n( X i2,S3n( Xi), S4n i)1 i 11則服從自由度為 n1的 t 分布的隨機(jī)變量是()(A)X(B)tXtS2S1

4、n1n1(C)X(D)tXtS4S3nn三、 ( 本題滿分 6分 )計(jì)算二重積分(x), 其中D(x, y) x2y2xy1.ydxdyD四、 ( 本題滿分 5分 )設(shè)函數(shù) y y( x) 滿足條件y 4y4y0,求廣義積分y( x)dx .0y(0)2, y (0)4,五、 ( 本題滿分 5分 )已知 f ( x, y)x2 arctan yy 2 arctan x ,求2 f .xyx y六、 ( 本題滿分 5分 )設(shè)函數(shù) f ( x) 可導(dǎo) , 且 f (0)0, F ( x)xn 1ntn)dt ,求 limF ( x)tf(x.0x0x2n七、 ( 本題滿分 8分 )已知曲線 yax

5、 (a0) 與曲線 ylnx 在點(diǎn) ( x0 , y0 ) 處有公共切線 , 求 :(1)常數(shù) a 及切點(diǎn) (x0 , y0 ) ；.(2)兩曲線與 x 軸圍成的平面圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx .八、 ( 本題滿分 6 分)假設(shè) f ( x) 在 a,) 上連續(xù) , f(x) 在 a,內(nèi)存在且大于零 , 記F ( x)f ( x)f (a) ( x a) ,xa證明 F (x) 在 a,內(nèi)單調(diào)增加 .九、 ( 本題滿分11 分)設(shè)線性方程組x1a1x2a12 x3a13 ,x1a2 x2a22 x3a23 ,x1a3x2a32 x3a33 ,x1a4 x2a42 x3a43.(1)

6、證明 : 若 a1, a2 ,a3, a4 兩兩不相等 , 則此線性方程組無解；(2) 設(shè) a1a3k, a2 a4k (k0) , 且已知1 ,2 是該方程組的兩個(gè)解, 其中1111, 21,11寫出此方程組的通解 .十、 ( 本題滿分8 分 )001設(shè) Ax1y 有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量, 求 x 和 y 應(yīng)滿足的條件 .100十一、 ( 本題滿分8 分)假設(shè)隨機(jī)變量X1, X 2, X3, X 4 相互獨(dú)立 , 且同分布P Xi 0 0.6, P X i 1 0.4(i 1,2,3,4) ,X1X 2求行列式 X的概率分布 .X 3X 4.十二、 ( 本題滿分8 分)假設(shè)由自動(dòng)線加工的某

7、種零件的內(nèi)徑X ( 毫米 ) 服從正態(tài)分布N (,1) , 內(nèi)徑小于10 或大于 12 的為不合格品 , 其余為合格品 , 銷售每件合格品獲利 , 銷售每件不合格品虧損 . 已知銷售利潤 T ( 單位 : 元 ) 與銷售零件的內(nèi)徑 X 有如下關(guān)系 :1,X10,T20,10X12,5,X12.問平均內(nèi)徑取何值時(shí) , 銷售一個(gè)零件的平均利潤最大?.1994 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題 ( 本題共 5 小題 , 每小題 3 分, 滿分 15 分 .)(1) 【答案】 ln 3【解析】利用被積函數(shù)的奇偶性 , 當(dāng)積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱 , 被積函數(shù)為奇函數(shù)時(shí) , 積分為0；被

8、積函數(shù)為偶函數(shù)時(shí), 可以化為二倍的半?yún)^(qū)間上的積分. 所以知2x2x2x原式2 2x2 dx2 2x2 dx2x2 dx0 221x2 dx20 2ln (22ln 6ln 2ln 3.x2 )0(2) 【答案】 1【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義, 有 f( x0 ) lim f ( x0x)f ( x0 ) .x0x所以由此題極限的形式可構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義的形式, 從而求得極限值 . 由于limf ( x0x0limf ( x0x0( 2)limx02x)f (x0x)x2x)f (x0 )f ( x0xf ( x0 2x) f ( x0 ) 2xx) f ( x0 )f ( x0x) f (x0 )lim

9、2 f ( x0 ) f ( x0 ) 1.x 0x所以原式limx11 .x0 f (x02x)f ( x0x)1yexysin x(3) 【答案】 y2 yxexy【解析】將方程 exyy2cos x 看成關(guān)于 x 的恒等式 , 即 y 看作 x 的函數(shù) .方程兩邊對 x 求導(dǎo) , 得xyyexysin x .e ( yxy ) 2 yysin xyxexy2 y【相關(guān)知識點(diǎn)】兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式：f ( x)g(x)f ( x)g( x) f ( x) g (x) .00L01an10L00a1(4)【答案】1L000a2MMMM00L10an 1010B 1【解析】由分塊矩陣求逆的運(yùn)算

10、性質(zhì),有公式A,B0A 101a11a11a2且a2OOan1an00L01an10L00a1所以 , 本題對 A 分塊后可得 A 101L00.a2MMMM00L10an1(5)【答案】 964111 , 求得二項(xiàng)分【解析】已知隨機(jī)變量X 的概率密度 , 所以概率 PX2 2xdx204布的概率參數(shù)后 ,故Y B(3,1).4P Y2C32464由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式 ,所求概率為42139 .【相關(guān)知識點(diǎn)】二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式：.若 YB(n, p) , 則 P YkCnk pk (1p)n k ,k0,1,L , n ,二、選擇題 ( 本題共 5 小題 , 每小題 3 分, 滿分 1

11、5 分 .)(1) 【答案】 (B)【解析】本題是關(guān)于求漸近線的問題.1x2x1由于lim ex2arctan,x(x1)(x2)4故 y為該曲線的一條水平漸近線 .41x2x1又2arctan.lim ex(x1)(x2)x 0故 x0 為該曲線的一條垂直漸近線, 所以該曲線的漸近線有兩條 .故本題應(yīng)選 (B).【相關(guān)知識點(diǎn)】水平漸近線：若有l(wèi)imf (x) a , 則 ya 為水平漸近線；x鉛直漸近線：若有l(wèi)im f ( x), 則 xa 為鉛直漸近線；x a斜漸近線：若有 alim f (x) ,blim f ( x)ax 存在且不為, 則 yax b 為斜漸xxx近線 .(2) 【答案

12、】 (C)【解析】考查取絕對值后的級數(shù). 因( 1)n | an |1 an21 11 an21,n222 n222n2( 第一個(gè)不等式是由 a 0,b 0,ab1 (a2b2 ) 得到的 .)2又an2 收斂 ,1收斂 ,( 此為 p 級數(shù)：1 當(dāng) p1 時(shí)收斂；當(dāng) p1 時(shí)發(fā)散 .)n1n 1 2n2n1 n p121( 1)n | an |所以n 1 2an2n2 收斂 , 由比較判別法 , 得n 1n2收斂 .故原級數(shù)絕對收斂, 因此選 (C).(3) 【答案】 (C)【解析】由公式r ( AB)min( r (A), r (B) , 若 A 可逆 , 則r ( AB)r (B)r (

13、EB)r A 1 ( AB)r ( AB) .從而 r ( AB)r (B) , 即可逆矩陣與矩陣相乘不改變矩陣的秩, 所以選 (C).(4) 【答案】 (D)【解析】事實(shí)上, 當(dāng) 0P(B)1時(shí), P( A | B)P(A | B) 是事件 A與 B 獨(dú)立的充分必要條件 , 證明如下：若P(A|B)P(A|B), 則P( AB)P( AB) , P( AB) P( B) P( AB)P(B) P( AB) ,P(B)1 P(B)P( AB)P( B) P( AB)P( AB) P(B) P( A) ,由獨(dú)立的定義 , 即得 A 與 B 相互獨(dú)立 .若 A 與 B 相互獨(dú)立 , 直接應(yīng)用乘法公

14、式可以證明P(A|B) P(A|B) .P(A|B) 1 P(A|B) P(A|B).由于事件 B 的發(fā)生與否不影響事件A 發(fā)生的概率 , 直觀上可以判斷 A 和 B 相互獨(dú)立 .所以本題選 (D).(5) 【答案】 (B)【解析】 由于 X1, X 2 ,L , X n 均服從正態(tài)分布 N (, 2),根據(jù)抽樣分布知識與t 分布的應(yīng)用模式可知X:N (0,1),其中 XnnX ) 2( Xi2Xi1:( n1) ,21nn1 i 1即XX: t (n1) .1nS22( XiX )n(n1) in11因?yàn)?t 分布的典型模式是: 設(shè) X : N(0,1), Y :2TX記作 T : t(n)

15、 .服從自由度為 n 的 t 分布 ,Y / n1 nXi ,n i 1n: t(n1).( X iX ) 2(n) , 且 X ,Y 相互獨(dú)立 , 則隨機(jī)變量因此應(yīng)選 (B).三、 ( 本題滿分6 分 )22【解析】 方法 1：由 x2y2x y 1 , 配完全方得 x 1y13 .222.令 x11r sin, 引入極坐標(biāo)系 (r ,) , 則區(qū)域?yàn)閞 cos , y22D(r , ) 02 ,0 r3 .223故(xy)dxdyd2 (1r cosr sin)rdr0D032132(cossin)d4d22003213sincos23.d040222223 .方法 2：由 x2y2x y

16、1, 配完全方得x1y1222引入坐標(biāo)軸平移變換：u1, vy1, 則在新的直角坐標(biāo)系中區(qū)域D 變?yōu)閳A域x22D1(u, v) | u2v23 .2而 xyuv1, 則有 dxdydudv , 代入即得( xy)dxdy(uv1)dudvududvvdudvdudv .DD1D1D1D1由于區(qū)域 D1 關(guān)于 v 軸對稱 , 被積函數(shù) u 是奇函數(shù) , 從而ududv0 .D1vdudv0 , 又dudv D13同理可得,D1D12故( x y)dxdy3.D2四、 ( 本題滿分 5分 )【解析】先解出y( x) , 此方程為常系數(shù)二階線性齊次方程, 用特征方程法求解 .方程 y 4 y4 y

17、0 的特征方程為2440,解得 122.故原方程的通解為y(C1 C2 x)e 2 x .由初始條件y(0)2, y (0)4 得 C12,C20,.因此 , 微分方程的特解為y2e 2 x .再求積分即得0y( x) dx2e 2 xdx0limblime 2x b1.e 2 xd 2xb0b0【相關(guān)知識點(diǎn)】用特征方程法求解常系數(shù)二階線性齊次方程ypyqy 0 ：首先寫出方程 ypyqy 0的特征方程： r 2prq0 , 在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個(gè)特征根 r1 , r2 ；分三種情況：(1) 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 r1 , r2 , 則通解為 y C1erx1 C 2er2 x;(2)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

18、根 r1r2 , 則通解為 yC1C2 x erx1 ;(3)一對共軛復(fù)根 r1,2i , 則通解為 ye xC1 cos x C2 sin x .其中 C1,C2 為常數(shù) .五、 ( 本題滿分5 分 )【解析】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法, 首先求f, 由題設(shè)可得xf2xarctan yx2yy21xx1y2x21x2yxy2xarctanyx2 yy32 x arctanyxx2222y .yxyx再對 y 求偏導(dǎo)數(shù)即得2 f2x1 12x21x2y 2.x y1y2 xx2y2x2y 2x【相關(guān)知識點(diǎn)】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果函數(shù)u(x, y), v(x, y) 都在點(diǎn) (x, y) 具有對 x

19、及對 y 的偏導(dǎo)數(shù) , 函數(shù) zf (u,v) 在對應(yīng)點(diǎn) (u, v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 則復(fù)合函數(shù)z f ( (x, y),(x, y) 在點(diǎn) ( x, y) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有.zzuzvuv ；xu xv xf1 xf2 xzzuzvufv .yu yv yf1 y2 y六、 ( 本題滿分 5 分)【解析】運(yùn)用換元法, 令 xnt nu ,則F ( x)xn 1f ( xnn1 xnf (u) duF( x)xn 1n).tt)dtf ( x由于 lim F ( x)0n 0為“ 0 ”型的極限未定式, 又分子分母在點(diǎn)0 處導(dǎo)數(shù)都存在 , 運(yùn)用洛必達(dá)x 0 x2 n0法則,可得F

20、 ( x)F ( x)xn 1 f ( xn )limx2nlimlim2nx2 n 1x0x0 2nx2n 1x01f (xn )1f ( xn )f (0),limxnlimxn02n x 02n x 0由導(dǎo)數(shù)的定義 , 有原式1f (0) .2n【相關(guān)知識點(diǎn)】對積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：(t )f (x)dx , (t) ,(t ) 均一階可導(dǎo) , 則若 F (t )(t )F(t)(t ) f(t)(t )f(t ) .七、 ( 本題滿分 8 分)【解析】 利用 ( x0 , y0 ) 在兩條曲線上及兩曲線在( x0 , y0 ) 處切線斜率相等列出三個(gè)方程,由此,可求出 a, x0

21、, y0 , 然后利用旋轉(zhuǎn)體體積公式bf 2 ( x)dx 求出 Vx .a(1)過曲線上已知點(diǎn) ( x0 , y0 ) 的切線方程為yy0k (xx0 ) , 其中 , 當(dāng) y ( x0 ) 存在時(shí) ,ky ( x0 ) .由 y a x 知 ya. 由 yln x 知 y1.2x2x由于兩曲線在 (x0 , y0 ) 處有公共切線 , 可見a1得 x012x0,a2 .2x0.1分別代入兩曲線方程, 有 y0a11y01.將 x0a2ln1 lna2a2a2于是a1 , x01e2,ea2從而切點(diǎn)為 (e2 ,1) .(2)將曲線表成 y 是 x 的函數(shù) , V 是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之差,

22、套用旋轉(zhuǎn)體體積公式, 可得旋轉(zhuǎn)體體積為Vxe21x )2dxe22dx2e22xdx(lnx)e4ln0e121e2e2e2e2x ln 2ln xdxe2xx2.24112212【相關(guān)知識點(diǎn)】由連續(xù)曲線yf ( x) 、直線 x a, xb 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞x 軸旋Vb2 ( x)dx .轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為：fa八、 ( 本題滿分6 分)【解析】 方法 1:F ( x)f( x)( xa)f ( x)f ( a)12 f ( x)( xa)f ( x)f (a) ,xa2xa令( x)f (x)( xa)f (x)f (a)( xa),由( x)f( x)( xa)f( x

23、)f( x)(xa) f(x) 0( xa),知( x) 在 a,上單調(diào)上升 , 于是(x)(a)0 .故F ( x)(x)0 .x2a所以 F (x) 在 a,內(nèi)單調(diào)增加 .f ( x)( x a)f (x)f ( a)1f (x)f ( x)f (a) .方法 2:F ( x)x2aaxx a由拉格朗日中值定理知f ( x)f (a)f() , (ax) .xa1于是有F (x)x f( x)f () .a由 f ( x) 0知 f( x) 在 a,上單調(diào)增 , 從而 f ( x)f ( ) ,故 F(x)0.于是 F (x) 在 a,內(nèi)單調(diào)增加 .【相關(guān)知識點(diǎn)】 1.分式求導(dǎo)數(shù)公式：uu

24、 v uvvv22. 拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f (x) 滿足在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)；在開區(qū)間 a,b內(nèi)可導(dǎo) ,那么在 a, b 內(nèi)至少有一點(diǎn) (ab) , 使等式 f (b) f (a)f ( )(b a) 成立 .九、 ( 本題滿分11 分)【解析】 (1) 因?yàn)樵鰪V矩陣A 的行列式是范德蒙行列式, a1, a2 ,a3, a4 兩兩不相等 ,則有A(a2a1 )( a3a1)( a4a1 )(a3a2 )(a4a2 )(a4a3 )0 ,故r ( A) 4 . 而系數(shù)矩陣 A 的秩 r ( A) 3 , 所以方程組無解 .(2) 當(dāng) a1 a3 k, a2 a4k (k0) 時(shí) , 方程組同解于x1kx2k 2 x3k3 ,x1kx2k 2 x3k 3.1k因?yàn)?k 0 , 知 r ( A) r ( A) 2 .1k由 nr ( A) 3 2 1 , 知導(dǎo)出組 Ax0 的基礎(chǔ)解系含有1 個(gè)解向量 , 即解空間的維數(shù)為 1.由解的結(jié)構(gòu)和