《切線長定理》教學(xué)設(shè)計_最新修正版

1、最新修正版第五章圓切線長定理教學(xué)設(shè)計說明廣東省佛山市石門實驗中學(xué)譚紅良、學(xué)生起點分析學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七、八年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對稱圖形、 三角形全 等的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理，在本章圓前面已經(jīng)學(xué)習(xí) 了切線的定義、判定與性質(zhì)、圓的對稱性.因此學(xué)生對前面圓的相關(guān)知識都有一 定的認識，這對本節(jié)課的學(xué)習(xí)有一定的幫助， 學(xué)習(xí)過程不會很困難，理解也不很 困難，但書寫證明過程有一定的難度.學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了利用軸對稱圖形的性質(zhì)證明垂徑定理的經(jīng)驗，和尺規(guī)作圖等動手操作能力，經(jīng)歷了對數(shù)學(xué) 問題進行觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.同時在以

2、前的數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程， 具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，具 備了一定的動手實踐、自主探索與合作交流的能力二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了切線的性質(zhì)和判定的基礎(chǔ)之上，繼續(xù)對切線的性質(zhì)的研 究，是在垂徑定理之后對圓的對稱性又一次的認識 .體現(xiàn)了圖形的認識、圖形的變換、圖形的證明的有機結(jié)合.在習(xí)題和內(nèi)切圓的計算中體現(xiàn)了把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化 為簡單問題后解決問題，從而滲透轉(zhuǎn)化思想和方程思想，提高應(yīng)用意識切線長定理的探究，通過設(shè)計讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、最后歸納得出 切線長定理，使學(xué)生的直觀操作與邏輯推理有機的整合到一起，讓學(xué)生在探究的 過程中體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性， 感

3、受證明的必要性，證明過程的嚴 謹性以及結(jié)論的確定性.應(yīng)用了“實驗幾何一一論證幾何”的探究方法， 并初步 建立了由動手操作抽象出數(shù)學(xué)條件進而解決問題的意識.讓學(xué)生的思維能夠經(jīng)歷 一個從模糊到清晰，從具體到抽象，從直覺到邏輯的過程，再由直觀、粗糙向嚴格、精確的追求過程中，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)展的過程.它也是為證明線段，角相等，弧相等，垂直關(guān)系等提供了理論依據(jù)為此，本節(jié)課的教學(xué)目標是:1.使學(xué)生理解切線長定義.2.使學(xué)生掌握切線長定理，并能初步運用3.通過本節(jié)教學(xué)，進一步培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和創(chuàng)新意識4.學(xué)生在猜想、探索、驗證切線長定理活動中通過相互間的合作與交流,進一步發(fā)展學(xué)生合作交流的能力和數(shù)學(xué)表

4、達能力5.通過分析問題、解決問題的過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣,使學(xué)生積極參與、體驗成功.三、教學(xué)設(shè)計分析本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課7二、合作學(xué)習(xí)，探究新知7三、應(yīng)用新知，體驗成功7四、梳理小結(jié)，盤點收獲7五、延伸思考,提升層次7六、推薦作業(yè)，鞏固拓展.第一環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)情景，引入新課 活動內(nèi)容：問題：有一天，同學(xué)們?nèi)ネ趵蠋熂易隹停趵蠋熣谙村?，就問：誰能測出這個鍋蓋的半徑，就可以得到一根雪糕，同學(xué)們都躍躍欲試，但老師家里只有一個曲尺，到底誰能得到這根雪糕呢？這里讓學(xué)生們小組討論，那么,該如何測量這個鍋蓋的半徑呢？學(xué)生們眾說紛紜，可能會利用90的圓周角所對的弦是直徑來作答，也有

5、可能會利用曲尺的兩邊與圓構(gòu)造正方形來解答，哪一種方法更好呢？則四邊形OBAP是正方形,所以，圓的半徑為A點或B點的刻度，PA=PB.如果這根尺子的夾角不是90，是否還能得到PA=PB活動目的：課標指出：“對數(shù)學(xué)的認識，應(yīng)處處著眼于數(shù)學(xué)與人的發(fā)展 和現(xiàn)實生活之間的密切聯(lián)系”根據(jù)這一理念和九年級學(xué)生的年齡特點、心理發(fā)展規(guī)律，聯(lián)系生活中喜聞樂見的話題，創(chuàng)設(shè)有一定挑戰(zhàn)性的問題情景，目的在于激發(fā)學(xué)生的探索激情和求知欲望，把學(xué)生的注意力較快地集中到本課的學(xué)習(xí)中.教師通過對話交往，引導(dǎo)學(xué)生把對概念的感性認識上升到理性認識， 然后在圖形中 進行識別，從而認識概念的本質(zhì)特征，理解概念的外延第二環(huán)節(jié)合作學(xué)習(xí)，探究

6、新知(一)、切線長定義1、板書定義：從圓外一點可以引圓的兩條切線，這一點和切點之間線段的長度叫做圓的切線長2、剖析定義:(1) 找出中心詞，把定義進行縮句.(線段的長叫做切線長)(2) 定義中的“線段”具有什么特征?在圓的切線上；兩個端點一個是切點，一個是圓外已知點3、在圖形中辨別：(1)已知：如圖1，PC和O O相切于點A，點P到OO的切(線段PA)P線長可以用哪一條線段的長來表示?點P到OO的切線長(2)已知：如圖2，PA和PB分別與O O相切于點A、B，可以用哪一條線段的長來表示？(線段 PA或線段PB(3) 如圖2,思考：點P到OO的切線長可以用三條或三條以上不同的線段的長來表示嗎？這

7、樣的線段最多可以有幾條？為什么?(4) 既然點P到O O的切線長可以用兩條不同的線段的長來表示，那么這兩條線段之間一定存在著某種關(guān)系，是什么關(guān)系呢？我們來探索一下，出示探索問題1,從而進入定理教學(xué).(二八切線長定理:1、探索問題1:從O O外一點P引O0的兩條切線，切點分別為 A B,那么線段PA和PB之間有何關(guān)系?探索步驟:(1)根據(jù)條件畫出圖形;度量線段PA和PB的長度;猜想：線段PA和PB之間的關(guān)系;尋找證明猜想的途徑;(5)在圖3中還能得出哪些結(jié)論？并把它們歸類.(6)AP活動目的:定理教學(xué)的方式是學(xué)生自主探索，相互交流相結(jié)合.首先出示探索步驟的前三個,等學(xué)生猜想出結(jié)論后，再明確僅憑觀

8、察、度量、利用圓的對上述各結(jié)論中，你想把哪個結(jié)論作為切線長的性質(zhì)?請說明理由.猜想并不能說明結(jié)論的正確性，還需證明結(jié)論的正確性，同時稱性，通過折疊，激勵學(xué)生尋找證明猜想的途徑.之后，再讓學(xué)生探索更多的結(jié)論，并由（6）得出 定理.定理的剖析以對話形式進行.在整個過程中，教師相應(yīng)地進行板書.此環(huán)節(jié)讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、最后歸納得出切線長定理，使學(xué)生的直觀操作與邏輯推理有機的整合到一起，讓學(xué)生在探究的過程中體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受證明的必要性，證明過程的嚴謹性以及結(jié)論的確定性.然后，通過動態(tài)演示強化切線長定理這一核心知識.可以看出設(shè)置探究性的問題， 可以樹立學(xué)生已知與未知、簡單與

9、復(fù)雜、特殊與一般在一定條件下可以轉(zhuǎn)化的思 想,使學(xué)生學(xué)會把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜問題化為簡單問題，把一般問題轉(zhuǎn)化 為特殊問題的思考方法.本環(huán)節(jié)教師通過學(xué)生探究、學(xué)生講解、學(xué)生總結(jié)、歸納總結(jié)得出本節(jié)課的核心知識“切線長定理”，又通過動態(tài)演示強化核心知識.最后通過習(xí)題、生活中的實例讓學(xué)生應(yīng)用核心知識，樹立學(xué)生的應(yīng)用意識.這樣多種形式、多種角度強化核心知識，更易學(xué)生接受3、剖析定理:(1)指出定理的題設(shè)和結(jié)論;(2)用符號語言表示定理: PA PB分別是OO的切線，點A B分別為切點，(PA PB分別與OO相切于點A B) PA=PB/ APOh BPO.切線和切線長區(qū)別.切線是到圓心距離等于圓的半

10、徑的直線，而切線長是線段，指過圓外一點 做圓的切線，該點到切點的距離.活動目的：此處通過學(xué)生思考得出結(jié)論，再次加深學(xué)生對概念的理解，也 使學(xué)生了解切線長與切線的關(guān)系,4.拓展:(1)圖3是軸對稱圖形嗎？如圖4,連結(jié)圖3中的兩個切點AB交OPF點C, OP 所在的直線交OO于點D E,又能得出什么結(jié)論？并把它們分類.(2)如圖5,已知O O的兩條切線互相平行，A B兩點為切點，如果連接兩切點AB,則AB是O O的直徑嗎？ 數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，請同學(xué)們 再思考下，它們在我們的日常生活中各有什么應(yīng)用？答：圖3是軸對稱圖形，連接AB,結(jié)論 PAB是一個等腰三角形，并且存在等腰三角形的三線合一

11、定理.AB丄OP,出現(xiàn)了圓的垂徑定理.AD =BD,AE =BEAB是O O的直徑.我們的日常生活中,球放在墻角，V形架中放入一個圓 球等.如圖7可以應(yīng)用于解決日常生活中測量球體的直徑.P(4)如圖8中，作出三角形三條切線后與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圖8中存在切線長定理嗎？.(5) 老師有一張三角形的鐵皮，如何在它的上面截下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能最大?答：只要作出這個三角形的內(nèi)切圓便是這個三角形中取出的用料活動目的：此環(huán)節(jié)讓學(xué)生指出切線長定理的題設(shè)和結(jié)論，并讓學(xué)生熟練掌 握定理的三種幾何語言(符號語言、文字語言、圖形語言)的表示 .學(xué)生在總結(jié)出切線長定理的同時，又

12、通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)了圓心和這一點的連線為圓的對稱軸，利用對稱性還可得到更多的邊等、角等、弧等的結(jié)論.接著讓學(xué)生觀察三角形的內(nèi)切圓從而發(fā)現(xiàn)其中也存在切線長定理.問題的引入自然流暢，層層遞進不 僅符合學(xué)生認知規(guī)律，也激發(fā)了學(xué)生進一步研究的興趣， 達成本節(jié)課知識目標的 教學(xué).最后，通過在三角形鐵皮上裁下一個最大的圓的實際問題的探究，幫助學(xué) 生從實際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，運用所學(xué)知識解決實際問題，提高他們數(shù)學(xué)的應(yīng)用意 識和解決問題的能力.(三)圓的外切四邊形的性質(zhì).請同學(xué)們先在草稿本中作出有關(guān)已知圓 0的四條切線，再互相交流與討論你的發(fā)現(xiàn)與結(jié)論并加以驗證.結(jié)論：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等活動目的：學(xué)生通

13、過在圖形中識別切線長定理的基本圖形，總結(jié)的出圓外切四邊形的性質(zhì)，學(xué)生再次應(yīng)用本節(jié)核心知識發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論 .這樣教學(xué)，教師不只是讓學(xué)生“見到樹木，也看到了他們所在的森林”.第三環(huán)節(jié)應(yīng)用新知，體驗成功活動內(nèi)容：（一）例題學(xué)習(xí)1.例題：已知如圖，Rt ABC的兩條直角邊AGIO, BC=24，O O是ABC的內(nèi)切圓，切點分別為d,e,f，求O O的半徑.F變式一：由于切線長定理的運用是本節(jié)的難點，為了化解難點，在例題完成 后，將例題加以變式訓(xùn)練，將 Rt ABC變?yōu)橐话?ABC即：課本44頁知識技能第2題已知：如圖5,厶ABC的內(nèi)切圓O 0與BC, CA,AB分別相切于點 D, E, F,且 AB=9

14、cm,BC=14cm,CA=13cm,求 AF,BD,CE的長.第2題變式二：在變式一完成后，將變式一再加以變式訓(xùn)練，將切線AC平移到圓的 另一側(cè)，即知識技能第1題：如圖，P是O O外一點，PA與 PB分別O O切于AB兩點，DE也是O0的切線，切點為C, PA=PB=5cm求 PDE勺周長.讓學(xué)生分析問題后，提出問題：1、從圖中可得出哪些結(jié)論？請說明理由2、求 PDE的周長時，應(yīng)如何利用已知條件？提出引導(dǎo)問題的目的讓學(xué)生對所學(xué)的知識加以歸納，形成知識系統(tǒng)，問題2是解決本題的關(guān)鍵，可以引導(dǎo)學(xué)生尋找思路，請一學(xué)生板演完成此題，并讓學(xué)生 進行題后小結(jié).活動目的：本環(huán)節(jié)利用由簡入深的變式，充分發(fā)揮學(xué)

15、生的主體地位，加深學(xué)生對本課內(nèi)容的學(xué)習(xí)與了解，加強數(shù)學(xué)思想的滲透力，從而提高學(xué)生自主建構(gòu) 知識網(wǎng)絡(luò)，分析、解決問題的能力，達到觸類旁通!（二）鞏固練習(xí)1.填空：如圖10，PA PB分別與O 0相切于點A B，(1)若 PB=12, P0=13，則 A0=(2)若 P0=10, A0=6,貝U PB=(3)若 PA=4, A0=3，貝U P0=;PD=P2.已知，如圖10, PA PB分別與O O相切于點A、B, P0與O O相交于點D,且PA=4cm,PD=2cm.求半徑 0A的長.現(xiàn)在讓我們回到鍋蓋的半徑問題上，如何解決這個問題呢?3.為了測量一個圓形鍋蓋的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鍋蓋

16、平放在水平桌面上，用一個銳角為30的三角板和一個刻度尺，按圖中所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進而可求得鍋蓋的半徑，若測得 PA=5cm則鍋蓋的半徑長是多少? （引導(dǎo)學(xué)生連結(jié)0A 0B 0P利用切線長定理解答）活動目的：本環(huán)節(jié)加深了學(xué)生對知識的理解，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的嚴謹性， 意 在培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣、自主探索、引導(dǎo)學(xué)生愛讀書敢質(zhì)疑、能自主建構(gòu)切 線長，并利用切線長定理解答問題，對本節(jié)知識進行鞏固練習(xí)第四環(huán)節(jié)梳理小結(jié)，盤點收獲活動內(nèi)容：1、你的學(xué)習(xí)心得、體會是什么?2、你有哪些好的經(jīng)驗可推廣?3、你還存在哪些困難、疑問?提醒學(xué)生注意由切線長可得到一個等腰三角形.這一點和圓心的連線不但平 分兩切線的夾

17、角，還垂直平分兩切點間的線段.讓學(xué)生自由提問，同時也可利用這個機會，輔導(dǎo)有困難的學(xué)生，從而使每個學(xué)生都能達標活動目的：為讓學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò)，完善認知結(jié)構(gòu)，小結(jié)時引導(dǎo)學(xué)生參與總 結(jié)，在引導(dǎo)學(xué)生針對以上問題，反思自己學(xué)習(xí)過程第五環(huán)節(jié)延伸思考，提升層次活動內(nèi)容:這節(jié)課我們所探索的有關(guān)切線長的知識是在給出圓的兩條切線的情況下得出 的，那么要是圓的三條切線兩兩相交，又會有什么樣的結(jié)論呢？如果有四條切線 呢？這些問題有待于我們課后去研究.活動目的：把數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)延伸到課外的探索和研究中去第六環(huán)節(jié)推薦作業(yè)，鞏固拓展活動內(nèi)容:A層：1.已知：如圖5，O 0是ABC的內(nèi)切圓，切點分別為 D E、F，(1)圖中共有

18、幾對相等線段?(2)若 AF=4, BD=6, CE=8,則 ABC的周長是(3)若 AB=9, BC=15,AC=2,則 AF=,BD=,CE=第1題P第2題圖2.如圖，PA PB分別切O 0于A B兩點，C是AB上任意一點，過C作O 0的切線,交PA及PB于D E兩點,已知/ P=50 , PA=PB=6cm則/ DOE. PDE的周長是B層:1、如圖，過O O外一點作O O的切線PA PB,1設(shè)/AP&a .求證：/ ACB：90+ a.2分析：本題主要運用切線的性質(zhì)和圓周角定理及四邊形的內(nèi)角和進行解答.2 .如圖，PA PB切O O于A、B, PO交AB于E,等式AE=BE AO=OE

19、Op1P/ OA=- / APBPA=PB中，成立的有（A.1個B.2 個 C.3 個D.4 個2活動目的：分層作業(yè)，使“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展” 四、教學(xué)設(shè)計反思1.要創(chuàng)造性的使用教材“數(shù)學(xué)課程標準”指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動與共同發(fā)展的過程.”教師要引導(dǎo)學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)活動，在有 效的數(shù)學(xué)活動中體驗、感悟和理解數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，進而引發(fā) 數(shù)學(xué)思考，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)因活動而精彩 .同時，新課程和教學(xué)改革提出了 “用教材教而不是教教材”的新理念，這就要求教師在使用教材時要針對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況對教材的

20、處理有靈活性和自主性.教材只是為了達到課程目標而使用的教學(xué)材料，并不是課程的全部.教材的優(yōu)點是標準、規(guī)范，但這種規(guī) 范往往會約束教師的創(chuàng)造性，導(dǎo)致老師照本宣科地“教”教材，從而影響了學(xué)生 對知識的理解和掌握.這就涉及老師自己要能靈活地駕馭教材.如何駕馭教材 呢？本人對切線長定理及切線的拓展稍作加工處理，將教材設(shè)置轉(zhuǎn)化為三個活 動情景，充分發(fā)揮學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的主動性和探究性2.相信學(xué)生并為學(xué)生提供充分展示自己的機會，讓學(xué)生自主體驗，自我發(fā)展，在學(xué)習(xí)過程中進一步體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的方法、探索知識形成過程樂 趣和奧秘.本節(jié)課切線長定理的探索以三個學(xué)生動手操作作圖的活動為平臺，結(jié)合學(xué) 生的自主探索和教

21、師的啟發(fā)式提問，對所學(xué)有關(guān)切線性質(zhì)的基礎(chǔ)知識作簡單的遷 移，師生以一種平等民主的方式進行教與學(xué)的活動 .在對話中，師生互相補充,互相促進，最終達到師生在具體情境中共同進步與發(fā)展.在這種活動情境中，學(xué)生樂于進行自我發(fā)現(xiàn)和反思，真正做到“吃一塹，長一智”.教師在整個活動過程只是參與者、指導(dǎo)者、合作者、設(shè)計者，幫助學(xué)生從具體的作圖中提煉有效圖 形，建立數(shù)學(xué)模型.在學(xué)生有困難的情況下，采用互助式合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其協(xié)作 精神.另外通過層層遞進的提問與活動，在具體情境中發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維及創(chuàng) 新能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生真正體驗成功的快樂 .在本堂課中，我立足于學(xué)生已有的切線的性質(zhì)與判定的知識和基本能力, 通過設(shè)計三個學(xué)生活動操作情景， 將切線的拓展與探究的問題拋給學(xué)生， 全由學(xué) 生自主實驗，觀察，猜測，發(fā)現(xiàn)，探究與驗證.在學(xué)生的自主探究、合作交流的 過程中，有關(guān)切線的外延與內(nèi)涵知識一點一點地被學(xué)生挖出來， 讓學(xué)生經(jīng)歷了觀 察，操作，猜想，探究，發(fā)現(xiàn)和驗證過程，更為關(guān)鍵的是讓學(xué)生參與、經(jīng)歷了這個知識的發(fā)生，發(fā)展，形成過程以及知識的建構(gòu)過程.這樣的知識將永遠存在學(xué)生的頭腦中，更為可貴的是給了學(xué)生學(xué)習(xí)知識，探究知識的思維方法與思維過程, 讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中進一步體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的方法、樂趣和奧秘隨著新課