一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

1、最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)說課稿（附經(jīng)典解析）元二次不等式的概念和一元二次不等式解法說課本節(jié)課是人民教育出版社 A版必修數(shù)學(xué)5第三章不等式第 大節(jié)3.2 一元二次不等式及其解法的第一節(jié)課.一元二次不等式 及其解法教學(xué)分為三個學(xué)時，第一個學(xué)時先由師生共同分析日常 生活中的實(shí)際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基 本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程 序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法，以此激發(fā)學(xué)生對科 學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度.通過具體例題的分析和求 解，在這些例題中設(shè)置思考項(xiàng)，讓學(xué)生探究，層層鋪設(shè)，以便讓學(xué)生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的 解法

2、的教學(xué).講述完一元二次不等式的概念后，再回歸到先前的 具體事例，總結(jié)一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系和一元二 次不等式解法的步驟，由學(xué)生用表格將一元二次不等式解法與次函數(shù)的數(shù)形關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系用圖表形式表示出來；然后用一個程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來，根據(jù)這些 圖表，得出一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū) 別與聯(lián)系，再輔以新的例題鞏固.整個教學(xué)過程，探究一元二次 不等式的概念，揭示一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系本 質(zhì)，弓I出一元二次不等式解法的步驟和過程，并及時加以鞏固， 同時讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 教學(xué)重點(diǎn)1.從實(shí)際問題中抽象出一元

3、二次不等式模型2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思教學(xué)難點(diǎn)理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)教具準(zhǔn)備多媒體及課件，幻燈片三張三維目標(biāo)、知識與技能1. 經(jīng)歷從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次 方程的聯(lián)系；3. 會解一次二次不等式，對給定的一元二次不等式， 嘗試設(shè) 計(jì)求解的程序框圖.二、過程與方法1.采用探究法，按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、得出 結(jié)論的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；2. 發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性實(shí)驗(yàn)3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性 三、情感態(tài)度與價值觀1.通過利用二次函數(shù)的圖象來求解

4、一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想2.通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系， 使學(xué)生認(rèn) 識到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，樹立辯證的世界觀教學(xué)過程導(dǎo)入新課 師 上網(wǎng)獲取信息已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ畹闹匾M成部分，因特網(wǎng)服務(wù)公司（In ternet Service Provider ）的任務(wù)就是負(fù)責(zé)將 用戶的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)，同時收取一定的費(fèi)用某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)，現(xiàn)有兩家ISP公司可供選 擇，公司A每小時收費(fèi)1.5元；公司B的收費(fèi)原則是在用戶上網(wǎng) 的第一小時內(nèi)收費(fèi)1.7元，第二小時內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時 減少0.1元.（若用戶一次上網(wǎng)時間超過 17小時，按17小時

5、計(jì) 算）一般來說，一次上網(wǎng)時間不會超過17小時，所以，不妨一次上 網(wǎng)時間總小于17小時，那么，一次上網(wǎng)在多長時間以內(nèi)能夠保 證選擇公司A比選擇公司B所需費(fèi)用少?假設(shè)一次上網(wǎng)x小時，則A公司收取的費(fèi)用為1.5X，那么B公 司收取的費(fèi)用為多少？怎樣得來？生 結(jié)果是3 元，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，其首項(xiàng)為1.7，公差為20-0.1 ,項(xiàng)數(shù)為X的和，即1.7X 氾衛(wèi)（0.1）出3丄兇.2 20師 如果能夠保證選擇 A公司比選擇B公司所需費(fèi)用少，則如何列式?生 由題設(shè)條件應(yīng)列式為 必3 > 1.5x（0 V X V 17），整理化簡得20不等式x2-5x V 0.推進(jìn)新課師 因此這個問題實(shí)際就是解不等式：

6、x2-5x V0的問題.這樣的不 等式就叫做一元二次不等式， 它的解法是我們下面要學(xué)習(xí)討論的 重點(diǎn).什么叫做一元二次不等式?含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c > 0或ax2+bx+c v 0(aM 0).例如 2x2-3x-2 >0, 3x2-6x v -2 , -2x2+3v 0 等都是一元二次不等式.那么如何求解呢?師 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程和一元一次不等式的 解法，以及一次函數(shù)的有關(guān)知識，那么一元一次方程、一元一次 不等式以及一次函數(shù)三者之間有什么關(guān)系呢?思考：對一次函數(shù)y=2x-7，當(dāng)X為何值時，

7、 y=0 ?當(dāng)X為何值時，y V 0 ?當(dāng)X為何值時，y > 0 ?它的對應(yīng)值表與圖象如下:當(dāng) x=3.5 時，y=0,即卩 2x-7=0 ;最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)說課稿(附經(jīng)典解析)當(dāng) xV 3.5 時，y V 0,艮卩 2X-7 V 0； 當(dāng) X>3.5 時，y>0, 即卩 2X-7 >0.師一般地，設(shè)直線y=ax+b與X軸的交點(diǎn)是(xo, 0),則有如下結(jié) 果:(1) 一元一次方程ax+b=0的解是X0 ；(2)當(dāng)a>0時，一元一次不等式ax+b>0的解集是x|x >x。；元一次不等式ax+bv 0的解集是x|x V Xo.當(dāng)av 0時，一元一次不等式

8、ax+b> 0的解集是x|x v x。； 元一次不等式ax+bv 0的解集是x|x >xo.師 在解決上述問題的基礎(chǔ)上分析，一次函數(shù)、一元一次方程、元一次不等式之間的關(guān)系.能通過觀察一次函數(shù)的圖象求得 元一次不等式的解集嗎?生 函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖象落在x軸上方(下方)部分對應(yīng)的橫坐標(biāo).a> 0av 0一次函數(shù)y=ax+b(aM 0)的圖象yV. J/ 0X0一兀一次方程ax+ b=0的解集x|x=-ax|x=;a元次不等式 ax+b>0的解集x|x > bax|x v 上a元一次不等式ax+bvx|x V bax|x >

9、; -a0的解集師在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù) 三者之間有著密切的聯(lián)系.利用這種聯(lián)系（集中反映在相應(yīng)一次 函數(shù)的圖象上）我們可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等式的解 集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次 函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢?在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，我們曾解決過這樣的問題： 對二次函數(shù) y=x2-5x，當(dāng)x為何值時，y=0?當(dāng)x為何值時，y v 0?當(dāng)x為何 值時，y > 0?當(dāng)時我們又是怎樣解決的呢?生 當(dāng)時我們是通過作出函數(shù)的圖象，找出圖象與x軸的交點(diǎn),通過觀察來解決的.v<05 A二次函數(shù)y=x2-5x的對應(yīng)值表與圖象如下:x

10、-10123456y60-4-6-6-406由對應(yīng)值表與圖象（如上圖）可知:當(dāng) x=0 或 x=5 時，y=0，即 x2-5x=0 ;2當(dāng) 0V x v 5 時，y v 0, 即卩 x -5x v 0；當(dāng) x V 0 或 x > 5 時，y > 0, 即卩 x2-5x > 0. 這就是說，若拋物線y=x 2-5x與x軸的交點(diǎn)是(0，0)與(5，0), 則一元二次方程x2-5x=0的解就是xi=0，X2=5.一元二次不等式 x2-5x v 0的解集是x|0 v x v 5; 元二次不等 式x2-5x >0的解集是x|x v0或x> 5.教師精講 由一元二次不等式的一

11、般形式知， 任何一個一元二次不等式， 最 后都可以化為 ax2+bx+c> 0或ax2+bx+cv 0 (a> 0)的形式，而 且我們已經(jīng)知道，一元二次不等式的解與其相應(yīng)的一元二次方程 的根及二次函數(shù)圖象有關(guān)，即由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對 應(yīng)的一元二次方程的解和對應(yīng)的一元二次不等式的解集 如何討論一元二次不等式的解集呢?我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a> 0),設(shè)其判別式為 二b2-4ac,它的解按照 >0, =0,Av 0分為三種情況，相 應(yīng)地，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸的相關(guān)位置也分為三種情 況(如下圖)，因此，對相應(yīng)的一

12、元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+cv 0 (a>0)的解集我們也分這三種情況進(jìn)行討論.y： X(2)(1) 若A> 0,此時拋物線y=ax 2+bx+c(a> 0)與x軸有兩個交 點(diǎn)圖(1 )，即方程ax 2+bx+c=0(a>0)有兩個不相等的實(shí)根 xi, X2 (xiVX2),則不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集是x|x最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)說課稿(附經(jīng)典解析)Vxi,或 x>X2;不等式 ax2+bx+cv0 (a>0)的解集是x|x iVxV X2.(2) 若 =0,此時拋物線 y=ax2+bx+c(a>

13、 0)與x軸只有一個交 點(diǎn)圖(2 )，即方程ax2+bx+c=0(a > 0)有兩個相等的實(shí)根xi=X2=,則不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集是x|x 工 ； 2a2a不等式ax2+bx+cv0 (a>0)的解集是. 若< 0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸沒有交點(diǎn)圖，即方程ax2+bx+c=0(a> 0)無實(shí)根，則不等式 ax2+bx+c > 0 (a>0)的解集是R;不等式ax2+bx+cv0 (a>0)的解集是.2 = b -4 ac > 0 =0 v 0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>

14、;0)的圖象rjVy.JVJpJA'lpax2+bx+c=0 的根b JX1.2c2aX1=X2=2a2ax +bx+c> 0的解集x|x v xi 或 x> X2x|x 工 b 2a JR2ax +bx+cv 0的解集x|x 1 v X v X2對于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即 av 0)的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再求解.知識拓展【例1 解不等式2x 2-5x-3 > 0.生 解：因?yàn)?gt; 0, 2x2-5x-3=0的解是xi=- - ,x 2=3.所以不等2式的解集是x|x V 1，或X >3.【例2解不等式-3x2+15x> 12.生解：整理

15、化簡得3x 2-15x+12 V 0.因?yàn)?gt; 0,方程3x2-15x+12=0的解是x i=1,X2=4,所以不等式的解集是x|1 V xV 4.【例3解不等式4x 2+4x+1 > 0.生 解：因?yàn)?=0,方程4x 2+4x+1=0的解是xi=x 2 =舟.所以不等式的解集是x|x工！.【例4解不等式-X 2 +2x-3 > 0.生 解：整理化簡，得x2-2x+3 V0.因?yàn)?lt; 0,方程x 2-2x+3=0無實(shí)數(shù)解，所以不等式的解集是師 由上述討論及例題，可歸納出解一元二次不等式的程序嗎?生歸納如下:(i)將二次項(xiàng)系數(shù)化為“ +”： y=ax 2+bx+c>0(

16、或v 0)( a>0).(2)計(jì)算判別式，分析不等式的解的情況: "0 時，求根 xiVX2,若y>0,則x xi或x>X2；若 y VO,則 V xV x2. 若y >0,則X x0的一切實(shí)數(shù)； 厶=0時，求根X i=X 2=X 0,若yV0,則X;若 y 0,則 X X0.最新高一數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)說課稿（附經(jīng)典解析）0時，方程無解，若y：尺(3) 寫出解集.師 說的很好.下面我們用一個程序框圖把求解一元二次不等式 的過程表示出來，請同學(xué)們將判斷框和處理框中的空格填充完學(xué)生活動過程方法引導(dǎo) 上述過程以學(xué)生自主探究為主， 教師起引導(dǎo)作用，充分體現(xiàn)學(xué)生 的主體作用與新課程的理