一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.9.2圓錐曲線中的探究性問題練習(xí)

1、992圓錐曲線中的探究性問題核心考點精準(zhǔn)研析12憶考點一探究數(shù)量關(guān)系a.點君點 師生共研【典例】（2020 宜昌模擬）已知橢圓y2苗P;-=1（ab0）的離心率為,橢圓上的點到左焦M臺已2點的最小值為 沁.求橢圓P的方程.已知直線x=1與x軸交于點 M,過點M的直線AB與P交于A B兩點，點P為直線x=1上 任意一點,設(shè)直線AB與直線x=4交于點N,記PA,PB,PN的斜率分別為ki,k2,ko,則是否存在實 數(shù)入,使得kl+k2=入k 0恒成立？若是,請求出入的值;若不是，請說明理由.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)根據(jù)題干條件列出a,b,c的關(guān)系求解(2)將直線AB與橢圓P的方程聯(lián)立，消兀后

2、建立兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系，兩點坐標(biāo)求三個斜率值，代入等式確定實數(shù)入的值【解析】（1）橢圓上的左頂點到左焦點的距離最小為2-遁 =a-c,）42（a = 2結(jié)合題干條件得到0,2m3則 yi+y2=-Z,y iy2=-弓,計+4計+41-X 1-無 2-3盹* （一品）叱篤隹2ko,-3in-3若直線AB與x軸重合時, 則 B（-2, O）,A 0,N（屯 0）,t t 2此時 ki+k2=+二jH-g,1而 ko=-孑，故 ki+k2=2ko.綜上所述,存在實數(shù) 入=2符合題意.1.探究性問題求解的思路及策略 (1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在

3、.(2)策略:當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件.在這個解題思路指導(dǎo)下解決探索性問題與解決具有明確結(jié)論的問題沒有什么差別2.解決存在性問題的一些技巧 (1)特殊值(點)法:對于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立(2)核心變量的選取：因為解決存在性問題的核心在于求出未知要素，所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時候消去.核心變量的求法：直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進(jìn)行求解,間接法：若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關(guān)于該

4、變量與輔助變量 的方程(組)，運用方程思想求解.變式訓(xùn)練尤T y21f(2020 廣州模擬)已知橢圓E=1(ab0)的離心率為一,且點 電1孑J在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程. 過點M(1,1)任作一條直線1,1與橢圓E交于不同于P點的A,B兩點,l與直線 m:3x+4y-12=0交于C點，記直線PA,PB，PC的斜率分別為 水訃3.試探究k1+k2與ks的關(guān)系， 并證明你的結(jié)論.【解析】尤工1(1)因為橢圓E=1(ab0)的離心率為孑,c 1所以e=7虧？ a=2c，因為 a2=b2+c2,所以 b=V3c.究2故可設(shè)橢圓E的方程為：墓2+冬1=1,因為點p(l,寸)在橢圓E 上,1所以將

5、其代入橢圓E的方程得、聲9匚=1? c2=1.廿2陽2所以橢圓E的方程為丄=1.43(2)依題意,直線I不可能與x軸垂直,故可設(shè)直線I的方程為：y-仁k(x-1).即y=kx-k+1,A(x i,y i),B(x 2,y 2)為I與橢圓E的兩個交點.QQQQQQ將 y=kx-k+1 代入方程 3x +4y -12=0 化簡得(4k +3)x -8(k -k)x+4k -8k-8=0.所以 X1+X2=,x 1x2=.m 3所以k1+k2d斗丈1一1 Xj-l把 41 -丄)叼-i1/ 1 1=2k-2Ql+pi1=2k- 21=2k- 24/c-8fc8-+(4以十3) Sy kx-fc +

6、1又由? 3x+4(kx-k+1)-12=0,l3x + 4y-12 二 0解得4*8 9k + 3X阪百y=齊，即C點的坐4fe+S標(biāo)為4fe+34k+379* 3所以 k3Ffe+B = lq4te+3因此,k i+k2與k3的關(guān)系為:k i+k2=2ks.憶考點二探究定點與定值【典例】（2019 成都模擬）已知橢圓Cr七=1（ab0）的離心率為一,直線x+y-1=0被圓 M2x將直線AB與橢圓C的方程聯(lián)立，建立交點坐標(biāo)之間的關(guān)系.需要注意 直線是否與x軸重合的處理.【解析】 因為橢圓C的離心率為空,所以a2b, 因為圓x2+y2=b2的圓心到直線x+y-1=0的距離為d=+Z 11竺%

7、2 2所以直線如=0被圓x2+yW截得的弦長為2押2=2冋 解得 b=1,故 a= 2 b= 2 ,+y2=b2截得的弦長為求橢圓C的方程；（2）過點（1,0）的直線I交橢圓C于A,B兩點,在x軸上是否存在定點P,使得P21 -PE為定值?若存在,求出點P的坐標(biāo)和預(yù) 麗的值;若不存在,請說明理由.【解題導(dǎo)思】序號(1)聯(lián)想解題根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)2系,與離心率為一聯(lián)立求a,b.2所以橢圓C的方程為+y2=1.2 設(shè) P(t,0),A(x i,y i),B(x 2,y 2),當(dāng)直線I與x軸不重合時，設(shè)I的方程:x=my+1.:x - my + 1,由C得(

8、m+2)y +2my-1=0, + / = 1L 2*-2 m兒+ 72=右4-亦尹所以 Xi+X2=R，x 1x2=:+1,I皆+2腫+21 1P71 PB =(xi-t,y 1) (X2-t,y 2)2=xiX2-t(x i+X2)+t +yiy2-咖 jH+t2+1 2+1,771+24t+l* 7當(dāng)=2,即t=時,PA PZ?的值與m無關(guān)，此時PS PR =-.當(dāng)直線I與X軸重合34訶且t今時，陽詢=（近-0）（-返專Q）餐-占 所以存在點pf, 0 ），使得丙麗為定值-右.定點與定值的探究性問題，一般采用假設(shè)法.首先根據(jù)所解決的問題設(shè)出參數(shù)；然后假設(shè)定點存在，定值成立，再根據(jù)定點與定

9、值問題的解決方法，列出參數(shù)所滿足的等式關(guān)系，則可將探 究性問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組的解的存在性問題(2020 九江模擬)已知F1,F2是離心率為碑的橢圓E芻琴1(ab0)的兩焦點，若存在直2護(hù)fcZ線I ,使得 Fi,F 2關(guān)于I的對稱點的連線恰好是圓 C:x2+y2-2mx-4my+5m-1=0(m E R m羊0)的一條直徑.(1)求橢圓E的方程；(2)過橢圓E的上頂點A作斜率為ki,k2的兩條直線AB,AC,兩直線分別與橢圓交于B,C兩點,當(dāng)ki k2=-2時,直線BC是否過定點？若是，求出該定點，若不是，請說明理由.2 2【解析】(1)將圓C的方程配方得(x-m) +(y277!)=1,

10、所以其圓心為(m, 2 m),半徑為1.由題意知，橢圓E的焦距2c等于圓C的直徑，所以c=1,c /2又e=-,所以a 2aZ2,b 2=a2-c2=1,r2所以橢圓E的方程為+y2=1.2(2)因為 k1 k2=-21),設(shè)A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點，過點A作圓C的弦AM,并使弦AM的中點恰好落在y軸上.(1)求點M的軌跡E的方程.延長MC交曲線E于點N,曲線E在點N處的切線與直線 AM交于點B,試判斷以點B為圓心,線段BC長為半徑的圓與直線 MN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【解析】(1)設(shè)M(x,y),由題意可知 ,A(1-r,0),AM 的中點【解題導(dǎo)思】因為C(1,0),所以D匚=(1

11、,-另,/?陽序號聯(lián)想解題(1)相關(guān)點法求點的軌跡方程(2)圓心為B,半徑為|BC|,故只需比較點B到直線MN的距離與|BC|的大小即可纖,x0,*在。C中,因為CD丄DM所以DC DM =0,所以 =0,即 y2=4x(x0),所以點M的軌跡E的方程為y2=4x（x0）. 設(shè)直線 MN的方程為 x=my+1,M(xi,y i),N(x 2,y 2),上=rny + 1,2-? y -4my-4=0,y 4x可得 yi+y2=4m,yiy2=-4,又 r-1=x 1,則點 A(-x 1,0),所以直線AM的方程為yx+Fl 2設(shè)直線BN的方程為y=k（兀一乎）+y2, 聯(lián)立整理得 ky2-4y

12、+4y 2-ky孑=0,2由 =0可得k=,V2則直線BN的方程為*1 一+竺2fy X聯(lián)立2y亠B=可得xB=-1,y B童蘭沁=2m,2V12 門所以點 B(-1,2m),|BC|=b0)的焦距為4,且過點(2,(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)橢圓C的上頂點為B,右焦點為F,直線I與橢圓交于M,N兩點，問是否存在直線I ,使得F為 BMN勺垂心，若存在，求出直線I的方程；若不存在，說明理由.【解析】(1)由已知可得，2c = 4,42喬+麗=1日 血2 =護(hù)+氏解得 a2=8,b 2=4,c=2,2 2所以橢圓C的方程為 一L=1.G -i 由已知可得，B(0,2),F(2,0), 所以kB

13、F=-1.因為BF丄I ,所以可設(shè)直線I的方程為y=x+m,代入橢圓方程整理， 得 3x2+4mx+2rfb8=0.2 2 2 2則 =(4m) -12(2m -8)=96-8m 0,得 m12.設(shè) M(X1,y 1),N(x 2,y 2),4皿2汗-S則 X1+X2=-二,x 1x2=,33因為BN1 MF所以上打=-1.誥2即 y1y2+X1X2-2y 1-2x 2=0.因為 yi=xi+m,y2=X2+m,所以(x i+m)(X2+m)+xiX2-2(x i+m)-2x2=0.即 2xiX2+(m-2)(x i+X2)+m2-2m=0,所以 2 +(m-2) 也+m-2m=0.332 8

14、所以 3m+2m-16=0,所以 m=L或 m=2.3又m=2時，直線I過B點，不合要求，8所以m=L,3e故存在直線I :y=x-滿足題設(shè)條件.【變式備選】尤2 F1.(2019 人大附中模擬)已知橢圓c：-；=+=1(a A b A 0)的離心率等于 ,P(2, 3),Q(2,-3)是橢圓上的兩點.2(1)求橢圓C的方程.(2)A,B是橢圓上位于直線 PQ兩側(cè)的動點.當(dāng)A,B運動時，滿足/ APQ玄BPQ試問直線AB的斜率是否為定值？如果為定值,請求出此定值；如果不是定值,請說明理由.【解析】(1)由題意可得f jL += _辺2 =夕+匸2解得 a=4,b=2 V3,c=2.所以橢圓C的

15、方程為 一+一=1.16 12 設(shè) A(Xi,yi),B(x 2,y 2),當(dāng)/ APQ2BPQ時,則PA PB的斜率之和為0,設(shè)直線PA的斜率為k,則PB的斜率為-k,PA的直線方程為y-3=k(x-2).聯(lián)立y = fc(x-2)+ 3+ = 1122 2 2得(3+4k )x +8k(3-2k)x+4(3-2k)-48=0.所以Sfe(2fc-3) x1+2 3+4以.同理PB的直線方程為y-3=-k(x-2),可得-3秋-21)x*2 3+12=.所以-4SJtx2時4酹,X 1-X2時丄滬,yi-Jj /f(Xi-2)+3 +左(:T2-2)-3 kA16更2-12 k *巧-也3護(hù)

16、 F =LrAflfc2 3+4左所以直線AB的斜率為定值-2.如圖,A,B是橢圓C:孑+y2=1長軸的兩個端點，M,N是橢圓上與 A,B均不重合的相異兩點，設(shè)直線AM,BN,AN的斜率分別是ki,k2,k3(1)求k2 k3的值.(2)若直線MN過點 即) ,求證:k 11-k3=-；.設(shè)直線MN與 X軸的交點為(t,O)(t為常數(shù)且t豐0),試探究直線 AM與直線BN的交點Q是否落在某條定直線上 ？若是,請求出該定直線的方程；若不是，請說明理由.15【解析】設(shè)N(xo,yo),由于A(- 臣,0)啟(返,0),所以k2 k34靭-P2兀=曲 尤d4盪爲(wèi)-2因為N(xo,yo)在橢圓C上,于是尋+州=1,即兀f -2=-2y,實2所以k2 饒孑(2)設(shè)直線 MN:x=my ,M(x i,y i),N(x 2,y 2),3x =my + 22 E 3由 12 得(m +2)y 2 my=0.&2 十 2y2=2NV2?Jt3于是 y1+y2=-齊,y1 y2=-se,71ki k3=LL尤 lh*2 X2 +V2 2 Cm+2) 3和2片旳+于池yi +f2?+2T 33扌亍vzm , 5F * 2(譜七 i * E * 亦74 十 23: 2-扌啟十舟（trZ十2 ）由于直線 MN與x軸的交點為（t,0）.于是直線 MN的方程：x=my+t,. _ 2 2